UNA METODOLOGIA SPEDITIVA PER LA CARATTERIZZAZIONE DELL IDROGRAMMA CONSEGUENTE AL CROLLO PARZIALE DI UNO SBARRAMENTO DI RITENUTA

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1 31 Convegno Nazionale di Idraulica e Costruzioni Idrauliche Perugia, 9-12 settembre 28 UNA METODOLOGIA SPEDITIVA PER LA CARATTERIZZAZIONE DELL IDROGRAMMA CONSEGUENTE AL CROLLO PARZIALE DI UNO SBARRAMENTO DI RITENUTA M. Pilotti 1, M. Tomirotti 1, D. Grassia 1 &. B. Bacchi 1 (1) DICATA, Università degli Studi di Brescia Via Branze, 43, 25123, Brescia (IT) - marco.ilotti@ing.unibs.it SOMMARIO Nel resente lavoro viene affrontato il roblema della formulazione di una metodologia semlificata er la individuazione dell'idrogramma conseguente al crollo istantaneo e arziale di uno sbarramento di ritenuta. La rocedura roosta rocede dalla sintesi su base adimensionale dei risultati ottenuti mediante simulazione numerica del rocesso di svuotamento in invasi ad asse rettilineo e area della sezione trasversale esrimibile come funzione monomia del tirante. Nonostante la sua semlicità, la rocedura ha mostrato di rirodurre efficacemente sia la ortata al colmo che la forma comlessiva degli idrogrammi ottenuti dalle simulazioni numeriche di dettaglio. 1 INTRODUZIONE Il roblema del calcolo dell idrogramma rodotto dal crollo istantaneo di uno sbarramento di ritenuta è stato affrontato con riferimento a casi schematici da numerosi autori già a artire dalla fine del XIX secolo (si vedano ad esemio le soluzioni rooste da Ritter, da Stoker, da Dressler e da Su e Barnes). In seguito, a conoscenza degli scriventi, nella letteratura internazionale solo ochi Autori hanno analizzato il roblema alla ricerca di nuove soluzioni teoriche mentre significativi assi avanti sono stati comiuti dal unto di vista della soluzione numerica delle equazioni del moto er casi di dam-break. Sono così state analizzate e simulate dettagliatamente dal unto di vista idraulico le onde di iena conseguenti a grandi catastrofi avvenute nella storia recente come, ad esemio, il crollo delle dighe di Malasset (e.g., Valiani et al., 22), del Gleno (Pilotti et al., 26) e di Saint Francis (e.g., Begnudelli & Sanders, 27). Con riferimento alla situazione italiana, le recenti disosizioni normative hanno imosto la valutazione delle ortate otenzialmente uscenti attraverso la breccia a seguito del collasso della diga. A tale roosito si deve considerare che le soluzioni analitiche già citate (Ritter, Stoker e Su e Barnes) ossono fornire un indicazione utile solo er il caso di crollo totale e limitatamente al colmo dell'idrogramma, dato che si basano sull'iotesi di volume infinito a tergo dello sbarramento. Conseguentemente, sono state sviluate e utilizzate alcune metodologie che consentono di caratterizzare gli idrogrammi senza dover necessariamente redisorre uno studio idraulico di dettaglio. Nell intento di rodurre una rocedura di calcolo semlice, ma nel contemo iù realistica, er il caso di collasso totale Aureli et al.

2 M. Pilotti, M. Tomirotti, D. Grassia, B. Bacchi (26) hanno roosto una metodologia che, oltre a consentire di rirodurre l effettivo volume invasato e di raresentare in forma schematica le forme iù comuni delle sezioni trasversali delle valli, necessita di dati di facile reeribilità sull invaso e sull oera e richiede elaborazioni elementari. D altra arte, er talune tiologie di sbarramento, la normativa revede la ossibilità che il crollo ossa essere iotizzato arziale, tale comunque da fornire un raorto tra le aree della sezione di breccia e quella dell intera diga non minore di 1/3. Con riferimento a tali asetti, Bacchi et al. (26) hanno roosto una metodologia semlificata er la caratterizzazione dell idrogramma conseguente al crollo arziale di uno sbarramento, limitatamente ad invasi di volume finito, rismatici a endenza nulla e con sezione trasversale di forma ragionevolmente rettangolare. Nonostante i buoni risultati ottenuti, la semlificazione introdotta aare evidentemente limitativa. Nel resente lavoro si è quindi inteso generalizzare la metodologia aena descritta valutando l influenza di altri arametri, come la endenza e la forma dell invaso. 2 ANALISI DIMENSIONALE DEL PROBLEMA L'idrogramma conseguente allo svuotamento di un invaso er arziale collasso dello sbarramento diende in generale dalla forma dell'invaso stesso, la quale ne condiziona il volume comlessivo e, sorattutto, ne determina l'andamento temorale. Tale influenza è articolarmente significativa er quanto riguarda la zona nell'intorno del colmo. Al fine di migliorare la metodologia recedentemente roosta (Bacchi et al., 26) senza tuttavia erdere di vista l'obiettivo della semlicità di utilizzo, è arso oortuno ricondurre la forma naturale delle vallate sede di serbatoi artificiali a quella di una geometria semlice (figura 1) con area A della sezione retta descritta dalla relazione A = δh, (1) dove h è l'altezza risetto al fondo e δ e sono due arametri caratteristici. Lo h a h ho x So A(ho) Figura 1. Esemio di bacino utilizzato er la taratura della metodologia (=1.6). Si consideri l'idrogramma conseguente al rocesso di dam-break arziale er un invaso di geometria descritta dalla relazione (1) e che resenti linea d asse con endenza costante S =h /L, dove i simboli hanno il significato evidenziato in figura 1. Si suonga che il rocesso consegua all'istantanea rimozione di una orzione centrale dello sbarramento di area a, resa simmetricamente risetto alla linea d asse. Si uò

3 Una metodologia seditiva er la caratterizzazione dell idrogramma conseguente al crollo arziale mostrare che l idrogramma alla sezione della breccia uò, con buona arossimazione, ricondursi alla forma adimensionale: δh gh a A 2 a = f δh,, t g h. (2) h L Per evidenti ragioni di sazio si rimanda ad altro lavoro (in corso di ubblicazione) er un'adeguata argomentazione di tale relazione. Dalla (2) aare evidente che, fissati il arametro di forma e il raorto tra le aree a/a, la ortata adimensionale diende unicamente dal valore assunto dal temo adimensionale. Ciò imlica che, nelle iotesi fatte, tutti gli idrogrammi adimensionali relativi a fissati valori del arametro e del raorto a/a ossono essere descritti mediante un unico idrogramma adimensionale. 3 ANALISI DEI RISULTATI NUMERICI E LORO SINTESI uanto indicato nel recedente aragrafo deve evidentemente trovare verifica nei risultati derivanti dalla serimentazione che, vista la natura del fenomeno, non uò che rocedere er via numerica. L onda di iena conseguente al collasso arziale uò in via arossimata ricavarsi dalla risoluzione delle equazioni bidimensionali del moto delle correnti a suerficie libera sotto le iotesi di acque basse. Per la loro risoluzione è stato sviluato un aosito codice di calcolo, basato sullo schema alle differenze finite di Mac Cormack, già utilizzato con successo da numerosi autori in casi sia mono che bidimensionali. Per i dettagli dello schema numerico adottato si rimanda al lavoro già citato di Bacchi et al. (26). Il codice è stato utilizzato er il calcolo diretto dell idrogramma generato dal crollo arziale di uno sbarramento di assegnate caratteristiche. Al fine di rodurre una significativa mole di risultati numerici sui quali condurre le elaborazioni sono stati considerati iù di 2 bacini con sezione retta descritta dalla (1), all'interno di un amio camo di variabilità dei arametri, δ e S. Detto camo è stato desunto dall' analisi della geometria di una ventina di vallate aline ositanti o atte ad ositare invasi artificiali. Sulla base dei risultati ottenuti, il arametro è stato limitato tra 1.2 e 2 (si veda figura 2-a), mentre er il arametro δ è stato considerato un intervallo comreso tra 1 e 12 m a/a =.3, =1.5 y [m] 2 1 =1.2 =1.3 =1.4 =1.6 =1.5 =1.7 =1.8 =1.9 =2 [-] S =1%, δ=24.1 m 2- S =1%, δ=15.6 m 2- S =5%, δ=12.6 m 2- S =5%, δ=21.1 m 2- S =2.5%, δ=12.6 m 2- S =2.5%, δ=21.1 m 2- S =2%, δ=1.43 m 2- S =3%, δ=11 m 2- a) x [m] b) t [-] Figura 2. a) Forma della sezione degli invasi arossimanti al variare del arametro, b) idrogrammi adimensionali alla sezione della breccia (a/a =.3, =1.5). Per quanto riguarda le endenze si è scelto di considerare un intervallo di valori

4 M. Pilotti, M. Tomirotti, D. Grassia, B. Bacchi comresi tra l 1 ed il 3%. In corrisondenza di questo camo di variazione dei arametri sono stati simulati dam-break istantanei er i raorti a/a =1, a/a =.75, a/ A =.5, a/a =.3 e a/a =.25. Come anticiato al aragrafo recedente, le simulazioni numeriche hanno fornito idrogrammi che, se adimensionalizzati secondo le esressioni resenti nell eq. (2), tendono ad assomigliarsi er fissati valori di e di a/a. Tale asetto è evidenziato nel grafico di figura 2-b, in cui e t indicano risettivamente la ortata ed il temo adimensionali. La scelta di utilizzare l esressione riortata nell eq. (2) er anziché le altre disonibili in letteratura, come ad esemio quella utilizzata da Aureli at al. (26): ' =, (3) h gh δ è motivata dall attesa di ottenere, come in effetti evidenziato dall'analisi delle ortate al colmo adimensionali ( ) di tutti gli idrogrammi, valori di colmo indiendenti anche dal arametro, non solo er i casi di dam-break totale, ma anche, con ottima arossimazione, er i casi a/a <1. In corrisondenza dei valori di a/a considerati, nelle tabelle 1 e 2 sono riortati risettivamente i valori delle ortate al colmo adimensionali e dei temi adimensionali di sostanziale esaurimento delle ortate ( t f ), questi ultimi diendenti anche dal valore assunto dal arametro. a/a [-] [-] Tabella 1. Valori delle ortate al colmo adimensionali. a/a Tabella 2. Valori dei temi adimensionali di sostanziale esaurimento delle ortate. Data la somiglianza degli idrogrammi numerici adimensionali relativi a fissati valori dei arametri a/a e, si uò ensare di arossimarli attraverso un unica funzione che ne costituisca l idrogramma sintetico. Ciò uò farsi in diversi modi. Tra le diverse alternative valutate è arso iù oortuno scegliere quella che consentisse maggiore

5 Una metodologia seditiva er la caratterizzazione dell idrogramma conseguente al crollo arziale semlicità oerativa. In seguito ad un analisi comarativa si è giunti alla conclusione che la migliore funzione arossimante è un articolare olinomio di quarto grado: ( t) = at + ( b + b' ) t + ( c + c' ) t + ( d + d' ) t + ( e + e' ) (4) i cui coefficienti si ottengono dalla media di un altro olinomio di quarto grado con uno di terzo. Definito V il volume adimensionale invasato nei bacini, dato dal raorto tra il volume invasato rima del crollo (V) ed il rodotto tra la ortata ed il temo di normalizzazione (risettivamente e t ) che si ricavano dall esressione (2): a A h gh h L = δ, t 2 1 =, (5) + g h i arametri che comaiono nell eq. (4) si ossono ricavare imonendo alcune condizioni sulla forma dell idrogramma e sulla conservazione della massa: 1) = er t = : oiché il temo adimensionale in cui si verifica il colmo è rossimo allo zero, si iotizza che il valore si realizzi in corrisondenza della rimozione del aramento; 2) / t = er t = : questa scelta consegue dalla recedente; sebbene in generale al temo t = non si verifichi l annullamento della derivata rima degli idrogrammi, sostando il colmo nell'origine si contribuisce a minimizzare la curvatura del olinomio interolante; 3) = er t = t f (con t f istante finale della iena); 4) / t = er t = t f : la ragione di tale condizione risiede nella forma del ramo di esaurimento dell idrogramma, che uò essere arezzata nella figura 3 seguente. 5) t f ( t) dt = V : ovvero una condizione di congruenza affinché venga conservata la massa resente inizialmente nel serbatoio. uesti vincoli, se inseriti nel olinomio di quarto grado che comone l esressione (4), consentono di costruire un sistema lineare dalla cui soluzione è ossibile ricavare i valori dei arametri a, b, c, d ed e. I coefficienti b, c, d ed e del olinomio di terzo grado di cui si comone l equazione già citata ossono ricavarsi seguendo il medesimo rocedimento e imonendo i medesimi vincoli ad eccezione del numero 2. In figura 3 gli idrogrammi sintetici determinati secondo la metodologia sora descritta sono confrontati con l insieme degli idrogrammi numerici adimensionali relativi ai casi =1.2 e =1.7; al fine di fornire una raresentazione grafica chiara, l'inviluo degli idrogrammi ottenuti dalle simulazioni numeriche è stato raresentato con delle fasce colorate. Si onga attenzione al fatto che gli idrogrammi qui riortati, e i relativi olinomi arossimanti, si riferiscono ad un adimensionalizzazione del tio (3) (si è infatti utilizzata la variabile ' anziché ). Il motivo risiede nella necessità di raresentare i risultati in modo immediato e leggibile, cosa questa che non sarebbe

6 M. Pilotti, M. Tomirotti, D. Grassia, B. Bacchi ossibile utilizzando l esressione riortata nell eq. (2). uesta oerazione è legittimata dal fatto che er fissati valori di e di a/a le due esressioni forniscono idrogrammi adimensionali che differiscono unicamente er un fattore di scala. La corrisondenza tra l idrogramma sintetico e la fascia definita da quelli numerici aare molto buona non solo er gli esemi qui riortati, ma anche in tutti gli altri casi analizzati. '[-] =1.2 a=a a=.75a a=.5a a=.3a a=.25a t [-] '[-] =1.7 a=a a=.75a a=.5a a=.3a a=.25a t [-] Figura 3. Confronto tra gli idrogrammi numerici e quelli sintetici er diversi valori del raorto a/a e er i valori di =1.2 e = METODOLOGIA SEMPLIFICATA PER LA STIMA DEGLI IDROGRAMMI Sulla base dei risultati resentati nel recedente aragrafo, è ossibile infine ervenire ad una rocedura semlificata er l individuazione degli idrogrammi conseguenti a dam-break arziale er bacini reali. Le uniche informazioni necessarie sono la curva dei volumi d invaso, il tirante iniziale h e l area ad esso corrisondente, A. Tutte queste informazioni sono facilmente reeribili resso i gestori degli invasi. I assi in cui si articola il metodo, e che vengono roosti di seguito, sono stati arzialmente mutuati dal lavoro di Aureli et al. (26) er il caso di dam-break totale. 1. Si assimila il bacino ad un invaso rismatico endente con area della sezione trasversale esressa dalla formulazione (1); er bacini di questo tio la curva dei volumi d invaso uò essere calcolata come: h δy V = S dy = S δ + ( 1) h + 1 = ηh + 1. (6) Avendo a disosizione la curva dei volumi del bacino reale, i arametri caratteristici dell invaso in questione ( e η) ossono essere determinati mediante arossimazione ai minimi quadrati. 2. Calcolato così il valore di e noto quello dell area alla sezione di imosta A, dalla formulazione (1) si trova il valore del arametro δ, che, una volta inserito nella (6), consente di conoscere la endenza media dell asse dell invaso (S ). 3. Una volta scelto il valore di a/a er il quale si desidera conoscere l idrogramma, dall esressione (5) si individuano i valori di e t. Si calcola quindi il volume invasato inizialmente, corrisondente ad h, e si ricava il corrisettivo volume adimensionale (V ) dividendolo er il rodotto tra e t.

7 Una metodologia seditiva er la caratterizzazione dell idrogramma conseguente al crollo arziale 4. Sfruttando i valori riortati nelle tabelle 1 e 2 si risale risettivamente al valore di e t f. Per valori di e a/a differenti da quelli riortati si rocede mediante interolazione lineare. 5. Seguendo il rocedimento descritto nel aragrafo recedente si ricavano i coefficienti del olinomio adimensionale che arossima l'idrogramma effettivo. 6. Si risale infine all idrogramma sintetico dimensionale (t). 5 ANALISI DI CASI REALI Per comrovare l affidabilità della rocedura seditiva descritta al aragrafo recedente è necessario che essa venga verificata con riferimento a batimetrie reali. La verifica si attua mediante il confronto dell idrogramma numerico ottenuto dalla simulazione bidimensionale con quello sintetico. Si è così roceduto scegliendo un certo numero di valli dell'arco alino otenzialmente atte ad ositare invasi artificiali e caratterizzate da un andamento ragionevolmente rismatico. uesto tio di verifica è stata eseguita er un consistente numero di vallate; in questa sede sono stati riortati i risultati relativi a 4 otenziali invasi i cui arametri caratteristici sono riortati in tabella 3. Isirandosi alla normativa, si sono iotizzate brecce con raorto a/a 1/3. Invaso V h A a/a η δ L S [1 6 m 3 ] [m] [m 2 ] [-] [-] [m 4- ] [m 2- ] [m] [-] Valsesia Ridanna Ridanna Valtellina Tabella 3. Caratteristiche degli invasi considerati. Dal confronto dell idrogramma numerico con quello sintetico (si veda figura 4) si uò facilmente arezzare l ottimo risultato fornito dalla metodologia roosta. 6 CONCLUSIONI Nel resente lavoro viene valutata la ossibilità di caratterizzare in forma semlificata l'idrogramma conseguente al collasso arziale di uno sbarramento, sulla base di una schematizzazione della geometria del bacino. Tale schematizzazione, aoggiata ad alcune iotesi ragionevoli sulla forma della sezione trasversale, si è mostrata in grado di interretare efficacemente anche situazioni morfologiche reali maggiormente comlesse. Il rocedimento roosto aare semlice e caratterizzato da una estrema arsimonia nel numero e nella qualità delle informazioni necessarie, che si limitano alla sola curva di invaso del serbatoio di monte, alla descrizione della sezione tio della vallata e al valore assunto dal tirante all'istante iniziale. Nonostante la sua semlicità, il metodo, alicato ad una ventina di casi reali, ha semre mostrato di interretare in modo molto soddisfacente la forma e il colmo dell'idrogramma ottenuto dalle simulazioni numeriche di dettaglio.

8 M. Pilotti, M. Tomirotti, D. Grassia, B. Bacchi [m 3 /s] [m 3 /s] Idrogramma: Valsesia2, a/a =.37 numerico sintetico m 5 m 1 m t [s] Idrogramma: Ridanna3, a/a =.39 numerico sintetico t [s] [m 3 /s] [m 3 /s] Idrogramma: Ridanna2, a/a =.37 numerico sintetico m 6m 12m t [s] Idrogramma: Valtellina3, a/a =.37 numerico sintetico t [s] m 4m8m m 1m 2m 3m Figura 4. Confronto tra gli idrogrammi numerici e quelli sintetici. 1 BIBLIOGRAFIA Aureli, F., Maranzoni, A., Mignosa, P. & Ziveri, C. Una metodologia er il calcolo dell onda di iena conseguente a dam-break, XXX Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Roma, 26. Bacchi, B., Oberto, F., Pilotti, M. & Tomirotti, M. Ricostruzione dell'idrogramma conseguente al collasso della diga del Gleno e roosta di un metodo semlificato er la stima delle onde conseguenti al crollo arziale di uno sbarramento, XXX Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Roma, 26. Begnudelli, L. & Sanders, B. F. Simulation of the St. Francis dam-break flood, Proceedings of 32th Congress IAHR, Venice, Italy, 27. Pilotti, M. & Bacchi, B. Analisi modellistica dell incertezza connessa alla determinazione dell onda di iena seguente il crollo di sbarramenti naturali, Atti del convegno La revenzione delle catastrofi idrogeologiche: il contributo della ricerca scientifica, Alba, 5-7 Novembre 1996, Pilotti, M., Maranzoni, A. & Tomirotti, M. Modellazione matematica della roagazione dell onda di iena conseguente al crollo della diga del Gleno, XXX Convegno di Idraulica e Costruzioni Idrauliche, Roma, 26. Valiani, A., Caleffi, V. & Zanni, A. Case study: Malasset dam-break simulation using a 2D finite volume method, Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 22, 128(5),