Teoria del consumo Viki Nellas

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1 Teoria del consumo Viki Nellas Esercizio Siano = 0 e = 40 i rezzi unitari di mercato di due beni le cui quantità sono indicate con e. Il reddito R di cui disone il consumatore è ari a 5000 a) Si tracci graficamente il vincolo di bilancio del consumatore e si indichi il valore dell intercetta e del coefficiente angolare. Si indichi, inoltre, qual è l insieme delle ossibilit{ di consumo. b) Si indichi come si modifica il vincolo nel caso in cui = 30; c) Cosa succede nel caso in cui i rezzi dei due beni raddoiano? E se il reddito si dimezza? Consideriamo ora un consumatore, soggetto al vincolo di bilancio individuato al unto a), le cui referenza sono raresentate dalla seguente funzione di utilità: U(,) = d) si determini analiticamente la scelta ottimale dell individuo; e) si raresenti graficamente il roblema. Soluzione La generica equazione della retta di bilancio è + = R nel caso considerato si avrà erciò: = 5000 er raresentare graficamente il vincolo è necessario trovare, innanzitutto, i unti di intersezione con gli assi cartesiani, sui quali sono raresentate le quantità dei beni e. orremo a sistema il vincolo di bilancio, risettivamente, con l equazione = 0 e = 0 e otterremo le coordinate delle intercette: (0;5) e (50;0). I valori trovati di e ci indicano le quantità di tali beni che verrebbero acquistate nel caso in cui il consumatore decidesse di destinare l intero reddito solo ad uno dei due beni. Il coefficiente angolare si evidenzia eslicitando il vincolo risetto ad una delle due variabili, er esemio risetto ad : = Si uò vedere come l inclinazione della retta sia uguale a - e sia ari al raorto tra i rezzi dei due beni. Tale raorto ci indica in che misura è ossibile scambiare un bene con l altro, dati i rezzi di mercato. a) Se si modifica il rezzo del bene, assando da 40 a 30, si avrà un nuovo vincolo di bilancio,

2 0+30 = 5000 a cui corrisonder{ una nuova intercetta risetto all asse. Nel caso secifico le nuove intercette saranno: (50;0) e (0; 500 ) 3 Si uò quindi osservare che, essendosi modificati i rezzi relativi, è cambiata l inclinazione del vincolo di bilancio, che è ari a -. Questo comorta che ora è mutata la roorzione con la quale 3 una unità di un bene uò essere scambiata con una certa quantit{ dell altro bene. c) Se il rezzo di entrambi i beni raddoia avremo il seguente vincolo di bilancio: la cui inclinazione è = 5000 e le cui intercette risultano essere (0;6,5) e (5;0). Si uò quindi notare che la retta di bilancio si è sostata arallelamente risetto alla situazione iniziale, senza che siano stati modificati i rezzi relativi, in quanto entrambi i rezzi sono aumentati nella stessa misura. La roorzione in cui ora i due beni ossono essere sostituiti è la stessa; in questa nuova situazione, di fatto, si è modificato il otere di acquisto del consumatore. Nel caso in cui il reddito si dimezzi avremo: = 500 la cui inclinazione è semre - e le cui intercette sono (0;6,5) e (5;0). E interessante notare che si ottiene lo stesso risultato che nel caso recedente. Questo avviene erché un raddoiamento dei rezzi dei beni, fermo restando il livello del reddito, rovoca una diminuzione del otere d acquisto che genera gli stessi effetti di una diminuzione del reddito disonibile, che si dimezza risetto al recedente ammontare.

3 d) er determinare la scelta ottimale dell individuo è necessario uguagliare il Saggio Marginale di Sostituzione (SMS) al raorto dei rezzi ed intersecare la soluzione con il vincolo di bilancio. Data una generica funzione di utilità, il saggio marginale di sostituzione tra due beni e raresenta il costo oortunità del bene in termini del bene (costo oortunità che non è determinato dalle condizioni di mercato ma è imlicito nella struttura delle referenze del consumatore). Analiticamente esso indica la disonibilità a sostituire fra loro i due beni ed è uguale, in valore assoluto, al raorto fra le utilità marginali. In questo caso il saggio marginale di sostituzione è SMS La endenza del vincolo di bilancio è data dal raorto dei rezzi di due beni, in questo caso:, La scelta ottimale del consumatore si ha in corrisondenza del unto di tangenza fra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza iù lontana dall origine degli assi (quella corrisondente al livello di utilità iù alta ossibile): in tale unto la endenza della curva di indifferenza (data dal SMS) e la endenza del vincolo di bilancio sono uguali. Analiticamente si richiede che: Nel caso secifico, dunque, avremo SMS, Come si uò notare, la condizione di ottimo diende dalle referenze dell individuo e dai rezzi di mercato, ma non individua un aniere secifico. erché questo avvenga, infatti, è necessario considerare il vincolo di bilancio che abbiamo recedentemente secificato. Tecnicamente, questo significa risolvere il seguente sistema (che ci ermette di considerare contemoraneamente la condizione di ottimo con il vincolo di bilancio): Risolviamo il sistema, er esemio, isolando nella rima equazione, =, e sostituendola nella seconda. Si ottiene così ( ) = 5000, da cui * =5 e, er sostituzione, * = 65,5 La figura sottostante dà una raresentazione grafica del roblema. Si osservi che il vincolo di bilancio interseca l asse delle in corrisondenza del valore 5: questo è, infatti, il massimo numero di unità di bene che il consumatore uò acquistare con il rorio reddito. Analogamente, se tutto il reddito (ari a 5000) fosse imiegato er acquistare il bene, il cui costo è ari a 0, il consumatore otrebbe consumarne fino a 50 unità

4 Ciascuna delle curve di indifferenza disegnate corrisonde alle combinazione di due beni cui è associata la medesima utilità: tanto iù elevata è la curva di indifferenza, tanto maggiore il livello di utilità associato. Tra i unti aartenenti al vincolo di bilancio (e erciò accessibili al consumatore) quello di utilità iù elevata corrisonde al unto in cui il vincolo di bilancio è tangente ad una delle curve di indifferenza, U ( = 5, = 6,5) = 78,5 Esercizio Un consumatore ha referenze raresentate dalla seguente funzione di utilità: U(,)= 3. Determinare l'equilibrio se i rezzi dei beni sono =, =3 ed il reddito monetario del consumatore, R, è. Il consumatore referirebbe un reddito maggiorato di un terzo oure che si dimezzasse il rezzo del bene? Soluzione ) Innanzi tutto è necessario determinare il vincolo di bilancio del consumatore, che ci indica l'insieme dei aniere accessibili all'agente. R = + = +3 Successivamente, er determinare la scelta ottima del consumatore, è necessario uguagliare il saggio marginale di sostituzione ( SMS, = 3 ) ed il raorto fra i rezzi dei beni. Avremo quindi

5 SMS,= 3 = 3 Dalla recedente equazione si ottiene =. Tale relazione riflette l'ottimalità della scelta del 9 consumatore - che deve risettare simultaneamente le rorie referenze e le regole del mercato (raresentate dai rezzi relativi) - e deve essere inserita nel vincolo di bilancio dell'agente. Avremo quindi +3 = da cui si ottiene il aniere di equilibrio, E, raresentato da 9 * = 9 * = ) Distinguiamo i due scenari e chiamiamo scenario A quello caratterizzato da reddito maggiorato di un terzo e scenario B quello caratterizzato dal rezzo dimezzato di. Il consumatore referirà lo scenario che gli ermetterà, nel unto di ottimo, di ottenere un'utilità maggiore. Consideriamo A e cerchiamo la scelta ottima associata al nuovo reddito R' = R+ R = 6 3 oichè nello scenario A non cambiano nè referenze nè rezzi, ossiamo rifarci al caso recedente, in cui SMS, = era uguale a 3 Il nuovo aniere ottimale E A è caratterizzato da =, ed inserire tale relazione nel nuovo vincolo di bilancio 3 6 = +3 A = 6 A = al quale è associata un'utilità ari a U( A, A) =

6 Nel caso B la scelta del consumatore dovrà aggiornarsi relativamente al nuovo rezzo di : ' = = Questa volta la variazione modificherà anche la condizione di ottimo (in quanto il raorto fra i rezzi si modifica), che diventerà 3 = 3 rocedendo semre nello stesso modo si ottiene il nuovo equilibrio E B a cui è associata un'utilità ari a U( B, B) = 79 B = 9 B = oichè il secondo aniere ottimo dà un'utilità maggiore di quello dato da A, il consumatore sceglierà la diminuzione del rezzo. Esercizio 3 Le referenze di un consumatore er lo zucchero di barbabietola (bene ) e lo zucchero di canna (bene ) sono raresentate dalla seguente funzione di utilità: I rezzi dei beni sono 5 e 0 Determinare la scelta ottimale dell'individuo. U, 3 e il reddito a disosizione dell'individuo è ari a 0. Soluzione oiché la funzione di utilità è lineare, il saggio marginale di sostituzione tra i due beni è costante e ari a: SMS U, Questo significa che le curve di indifferenza sono lineari e quindi che il unto di ottimo sarà una soluzione d'angolo, il che significa che il consumatore acquisterà solo uno dei due beni. er saere quale dei due e in che quantità, occorre considerare la endenza delle curve di indifferenza (che U 3

7 indica in che roorzione l'individuo è disosto a scambiare un bene con l'altro) e quella del vincolo di bilancio (che indica il raorto in cui i due beni sono scambiati sul mercato). Un SMS ari a 3 significa che il consumatore è disosto a cedere 3 unità di er una di. Invece sul mercato il bene è scambiato contro due unità di (la endenza del vincolo di bilancio, cioè il raorto, è ari a ). Di conseguenza il consumatore referirà sendere il suo reddito solo nell'acquisto del bene, acquistandone una quantità ari a R 4 E 4 Esercizio 4 Le referenze di un consumatore sui beni e sono raresentate dalla seguente funzione di utilità: U (, ) Min {, } Il rezzo del bene è 5 e quello del bene è 3. Il reddito a disosizione del consumatore è R 0. i. Tracciare la curva di indifferenza relativa al livello di utilità ari a 0. ii. iii. Queste referenze soddisfano l iotesi di non saziet{? Ricavare la combinazione di beni consumata in equilibrio.

8 Soluzione i. er questo tio di referenze imorta solo il bene di cui si consuma la quantità minore. Difatti, l utilit{ è ari al valore iù iccolo fra e. Se l utilit{ è U (, ). Se, viceversa,, l utilit{ è (, ) U. er trovare la curva di indifferenza cui è associato un livello di utilità ari a 0 basta eguagliare la funzione di utilità al livello desiderato. Se, U (, ) e 0. In questo caso la curva di indifferenza è una retta arallela all asse, con ascisse ari a 0. Se, U (, ) e 0. La curva di indifferenza è una retta arallela all asse, con ordinata ari a 0. Nel unto in cui il tratto orizzontale e quello verticale della curva di indifferenza si congiungono, ovvero dove i due beni vengono consumati in quantità uguale e semre nella stessa roorzione Aumentare la quantit{ di uno dei due mantenendo ferma quella dell altro non farebbe crescere l utilit{ del consumatore. er questo i due beni sono erfetti comlementi. La curva di indifferenza relativa all utilit{ 0 si disegna quindi cosí: 0 U=0 0 ii.queste referenze violano la non sazietà: infatti er esemio il aniere (,) non è referito al aniere (,), come invece richiederebbe la non sazietà.

9 iii.la retta di bilancio è 3 0. Come si uò facilmente evincere dalla figura sotto 5 raresentata er ogni vincolo di bilancio con rezzi finiti e maggiori di zero la combinazione di beni consumata in equilibrio avrà la caratteristica di. Sostituendo questa esressione nella retta di bilancio abbiamo 3 0, che ci orta a 5. Questa è la 5 combinazione che massimizza l utilità del consumatore data la retta di bilancio U=5 5 4 Esercizio 5 Data la funzione di utilità: U(, ) = a) Determinate la scelta ottima er un consumatore con un reddito m = 4, nel caso in cui i rezzi dei due beni siano = 4 e =. Saendo che le utilità marginali sono: U b) Il aniere (3,7) dar{ un utilit{ maggiore, minore o uguale di quella trovata al unto (a)? Tale combinazione uò raresentare un aniere ottimale er il consumatore? Soluzione a) U U VINCOLO DI BILANCIO: 4 4

10 SMS: RAORTO TRA I REZZI: SMS Sostituisco tale valore nel vincolo di bilancio ed ottengo: 4 4 Da cui si ricava: 4 3 E er sostituzione: b) U ( 3,6 ) 36 U ( 3,7 ) 4 L utilit{ sar{ maggiore ma non uò raresentare un aniere ottimale erché il consumatore non è in grado di acquistarlo dato il suo reddito Esercizio 6 Gino ha un reddito di 300 al mese, che sende interamente in film e concerti. Un biglietto er il concerto costa 5 ed un biglietto er un film 0. Le referenze di Gino sono descritte dalla funzione di utilità U=FC, dove F è la quantità di film e C la quantità di concerti (frazioni sono ammissibili, er esemio acquistare ½ concerto significa andare a un concerto ogni due mesi). a) Scrivere l equazione del vincolo di bilancio b) Qual e il saggio marginale di sostituzione tra film e concerti er Gino? c) Qual e la quantita di film e concerti che sara scelta? Soluzione a) L equazione del vincolo e : 5C + 0F = 300 F = 30 3 C

11 b) F C c) SMS = UM C UM F UM C = U C = F; UM F = U F =C SMS = F C d) La scelta che massimizza l utilita dell individuo si ottiene imonendo la condizione di ottimo: SMS = C F = 5 F = 3 C e sostituiamo nel vincolo di bilancio: F C 0 5C + 0 ( 3 C) = 300 5C + 5C = 300 C = 0 e sostituendo: F = 3 0 = 5 Esercizio 7 Un consumatore resenta la seguente funzione di utilità: U(,) = +, ha un reddito di m = 00 e i rezzi dei due beni sono: = e = 8. Il SMS è -. a) Che tio di beni sono ed? b) Tracciate la maa delle curve di indifferenza e il vincolo di bilancio e calcolate la scelta ottima er il consumatore Soluzione a) I due beni sono erfetti sostituti er cui le curve di indifferenza sono delle rette.

12 b) 8 00 vincolo di bilancio Inclinazione vincolo di bilancio: 8 Inclinazione curve d indifferenza: SMS = - Abbiamo che: SMS Il consumatore acquisterà solo il bene e ne acquisterà un quantitativo ari a 00. Esercizio 8 Carla disone di un reddito mensile ari a 00 euro che riartisce tra due beni, carne (C) e atate (). a) Suoniamo che la carne costi 4 euro al chilo e le atate costino euro al chilo. Tracciate il vincolo di bilancio di Carla. b) Suoniamo che la funzione di utilita sia data dall equazione U(C,)=C +. Quale combinazione di carne e atate dovrebbe acquistare Carla er massimizzare la roria utilita? La carne e le atate sono erfetti comlementi?

13 Soluzione a) L equazione del vincolo di bilancio e 4C + = 00 da cui si ottiene = 00 C. 00 c = 50 C b) er massimizzare l utilita, bisogna calcolare rima il Saggio Marginale di Sostituzione: SMS = C = UM C UM Le utilita marginali sono uguali a: UM C = U C = ; UM = U = oi la condizione di ottimo si ottiene quando il SMS è uguale al raorto tra i rezzi: SMS = C = I due beni sono erfetti sostituti. Il motivo e che la endenza della curva di indifferenza e del vincolo di bilancio e uguale dato che la relazione SMS = C = vale semre nello sazio cartesiano. E utile notare che una qualsiasi combinazione dei due beni fornisce lo stesso livello di utilita. Tutte le combinazioni dei due beni aartenenti al vincolo di bilancio forniscono al consumatore la stessa soddisfazione.

14 C

15 Domande a risosta multila. A quale delle seguenti iotesi sulle referenze corrisonde il concetto di saggio marginale di sostituzione decrescente? a. Comletezza. b. Convessità. c. Transitività. d. iù è meglio di meno. Soluzioni: a. Errato. L iotesi di comletezza comorta che i consumatori siano in grado di classificare tutti i ossibili anieri di consumo, cioè che ciascun aniere di consumo giaccia su una e una sola curva di indifferenza. b. Corretto. Se le curve di indifferenza sono convesse, la loro endenza diminuisce man mano che ci si sosta da destra verso sinistra. In conseguenza, all aumentare del consumo di un bene, il consumatore è disosto a rinunciare a quantità semre minori dell altro bene er ottenere un unità aggiuntiva del rimo. c. Errato. L iotesi di transitività comorta che le curve di indifferenza non si intersechino. Se C è referito ad A e A e C giacciono sulla stessa curva di indifferenza, allora A non uò giacere sulla stessa curva di indifferenza di B. d. Errato. L iotesi che il consumatore referisca semre una maggiore quantità di un bene a una minore comorta che le curve di indifferenza abbiano endenza negativa. Se la quantità di uno dei due beni aumenta, erché la soddisfazione del consumatore rimanga costante è necessario che la quantità dell altro bene diminuisca.. Cosa è costante lungo una curva di indifferenza? a. L utilit{ totale che il consumatore trae dal consumo di uno dei due beni. b. Il saggio marginale di sostituzione tra i due beni. c. L utilit{ totale che il consumatore trae dal consumo di entrambi i beni. d. Il reddito del consumatore. Soluzioni: a. Errato. Le curve di indifferenza sono delle curve di livello che servono a raresentare su un grafico bidimensionale la funzione di utilità del consumatore. La funzione di utilità misura l utilità totale che il consumatore tra dal consumo di uno o iù beni. b. Errato. Il saggio marginale di sostituzione è costante solo nel caso molto articolare di beni erfetti sostituti. Nel caso iù generale dei beni normali, il saggio marginale di sostituzione è decrescente e le curve di indifferenza sono convesse. c. Corretto. Le curve di indifferenza sono delle curve di livello che servono a raresentare su un grafico bidimensionale la funzione di utilità del consumatore. La funzione di utilità misura l utilità totale che il consumatore tra dal consumo di uno o iù beni. d. Errato. Le curve di indifferenza sono tracciate senza alcun eslicito riferimento al reddito del consumatore.

16 3. Il consumo di vodka è raresentato sull asse delle ascisse (in bottiglie), quello di caviale è raresentato sull asse delle ordinate (in ettogrammi). Se la retta di bilancio diventa iù iatta e l intercetta orizzontale rimane invariata, ossiamo concludere che: a. Il rezzo della vodka è diminuito. b. Il rezzo del caviale è diminuito. c. Il rezzo della vodka è aumentato. d. Il rezzo del caviale è aumentato. a. Errato. Se così fosse, la retta di bilancio diventerebbe iù iatta, e l intercetta verticale resterebbe invariata. b. Errato. Se così fosse, la retta di bilancio diventerebbe iù riida, e l intercetta orizzontale resterebbe invariata. c. Errato. Se così fosse, la retta di bilancio diventerebbe iù riida, e l intercetta verticale resterebbe invariata. d. Corretto. Se il rezzo del caviale aumenta, la massima quantità di caviale che è ossibile acquistare er un dato livello di reddito, cioè l intercetta verticale della retta di bilancio, diminuisce mentre quella orizzontale rimane invariata. In conseguenza, la retta di bilanciodiventa iù iatta.