Dispense del corso di Analisi II

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1 Dispense del corso di Analisi II versione preliminare Paolo Tilli Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino 2 dicembre 2004

2 Capitolo 2 Serie di potenze 2. Introduzione Tra le funzioni elementari più semplici un ruolo particolarmente importante è quello assunto dai polinomi, ovvero dalle funzioni del tipo (2.) p(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n. Così come si passa dalle somme finite alle serie numeriche, è naturale chiedersi se è possibile passare dai polinomi a funzioni del tipo (2.2) f(x) = a n x n = a 0 + a x + a 2 x a n x n + Una serie di questo tipo viene detta serie di potenze: i numeri a n vengono detti coefficienti della serie di potenze, mentre la x assume qui il ruolo di una variabile (o, se si preferisce, di un parametro). In effetti, serie di potenze del tipo (2.2) sono già state incontrate come casi particolari di serie numeriche dipendenti da un parametro (Esempi.2.4,.3.9 e.3.) e, come si è visto, è lecito aspettarsi che una serie di potenze risulti convergente soltanto per alcuni valori del parametro x (che possono variare, ovviamente, da serie a serie). D altra parte, il significato della (2.2) è il seguente: la funzione f è definita nel punto x se e solo se la serie converge per questo valore della variabile, e il valore di f(x) è in questo caso uguale alla somma della serie. Volendo pensare una serie di potenze come una funzione f della variabile x, ammettiamo implicitamente che il dominio della funzione f sia proprio l insieme dei valori del parametro x per cui la serie risulta convergente: tale insieme è detto insieme di convergenza della serie di potenze. Esaminando la (2.2), si vede subito che per x = 0 una serie di potenze è sempre convergente (tutti i termini si annullano tranne eventualmente a 0 ). Quindi, l insieme di convergenza di una serie di potenze non è mai vuoto, dato che contiene sempre il punto x = 0. 27

3 ! Esempio 2.. Consideriamo la serie di potenze (2.3) x n n! = + x + x2 2 + x3 6 + e determiniamone l insieme di convergenza. Dall Esempio.3. otteniamo, ponendo t = x nella (.3), che la serie (2.3) converge assolutamente per ogni x: pertanto essa è convergente per ogni x. L insieme di convergenza coincide quindi con l intera retta reale R. Esempio 2..2 Determiniamo l insieme di convergenza della serie di potenze n n x n = + x + 4x x x 4 + (per il primo termine, adottiamo qui la convenzione che 0 0 = ). Per x = 0 la serie converge. Per x 0, si ha lim n nn x n = lim (n x ) n = +, n quindi i termini della serie non sono infinitesimi ed essa di conseguenza non è convergente per x 0. Ricapitolando, l insieme di convergenza si riduce al solo punto {0}. Esempio 2..3 La serie di potenze è una serie geometrica di ragione x. Sappiamo quindi che il suo insieme di convergenza è l intervallo aperto (, ). Esempio 2..4 La serie di potenze x n (2.4) n= x n n = x + x2 2 + x3 3 + è detta serie logaritmica (il motivo sarà chiaro più avanti). Usando il criterio della radice (o del rapporto), si verifica facilmente che essa è assolutamente convergente (quindi convergente) per x <. D altra parte, se x > si ha lim n x n n = lim x n n n = +, quindi la serie non è convergente per x > dato che i suoi termini non sono nemmeno infinitesimi. Infine, per x = la serie diverge (si ottiene la serie armonica), mentre per x = la serie converge per il criterio di Leibniz (Esempio.5.3). Ricapitolando, l insieme di convergenza è dato dall intervallo semichiuso [, ). 28

4 Riesaminando attentamente questi quattro esempi di serie di potenze, abbiamo trovato come insiemi di convergenza l intera retta R, il solo punto {0}, l intervallo aperto (, ) e l intervallo semichiuso [, ). In tutti e quattro i casi, si tratta di intervalli (consideriamo l intera retta come un caso particolare di intervallo); inoltre, notiamo che si tratta sempre di intervalli centrati rispetto all origine, e che gli estremi di questi intervalli possono appartenere o non appartenere all insieme di convergenza. Il fatto che negli esempi l insieme di convergenza fosse sempre un intervallo centrato non è casuale. Infatti vale il seguente Teorema 2..5 L insieme di convergenza di una serie di potenze è sempre un intervallo (che può essere aperto, chiuso, semiaperto o semichiuso). Tale intervallo è sempre non vuoto e centrato rispetto all origine. Osservazione 2..6 Il teorema precedente afferma in sostanza che l insieme di convergenza di una serie di potenze ricade sempre in una delle seguenti tipologie: a) Si riduce al solo punto {0}. b) È un intervallo del tipo ( R, R), [ R, R], ( R, R] oppure [ R, R) per un certo numero R > 0. c) Coincide con l intera retta reale. Nel caso b), il numero R è detto raggio di convergenza della serie di potenze. Si è soliti parlare di raggio di convergenza anche negli altri due casi, prendendo R = 0 nel caso a) ed R = + nel caso c). Il Teorema 2..5 è una conseguenza del seguente risultato. Teorema 2..7 Se una serie di potenze converge in un certo punto x 0, essa converge assolutamente (e quindi converge) per tutti gli x tali che x < x. Viceversa, se una serie di potenze non converge in un certo punto x 2, allora essa non converge in tutti i punti x tali che x > x 2. Dimostrazione. Supponiamo che la serie di potenze converga nel punto x 0. Allora, grazie al Teorema.2.7, i suoi termini sono infinitesimi, cioè lim a nx n = 0. n Dato che una successione convergente è limitata, esisterà un numero M > 0 tale che (2.5) a n x n M per ogni indice n. Consideriamo ora un punto x tale che x < x. Per la (2.5) abbiamo n n a n x n = a n x n x M x, x x 29

5 e quindi la serie (2.6) a n x n è dominata dalla serie di tipo geometrico M x che è convergente essendo x < x. Quindi, per il criterio del confronto, anche la serie (2.6) converge: questo significa che la serie di potenze converge assolutamente nel punto x, ed è quindi convergente per il Teorema.4.. La seconda parte dell enunciato è conseguenza della prima. Supponiamo infatti che la serie di potenze non sia convergente nel punto x 2. Preso un punto x con x > x 2, se la serie di potenze convergesse in x, essa dovrebbe convergere (grazie alla prima parte del teorema) anche in tutti i punti t tali che t < x, in particolare nel punto t = x 2, e ciò è assurdo. x n, 2.2 Determinazione del raggio di convergenza Data una serie di potenze, è talvolta possibile determinarne esplicitamente il raggio di convergenza, come abbiamo visto tramite alcuni esempi. In effetti, combinando opportunamente i criteri della radice e del rapporto con il Teorema 2..7, si ottengono due importanti criteri per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze. Per semplicità, accorpiamo questi due criteri in un unico enunciato. Teorema 2.2. Data una serie di potenze a n x n, supponiamo che esista (finito o infinito) il limite (2.7) A := lim n n a n. Allora il raggio di convergenza R della serie di potenze è dato da R := A (con la convenzione che R = 0 se A = + e R = + se A = 0). Analogamente, se a n 0 per ogni n e se esiste (finito o infinito) il limite dei rapporti (2.8) B := lim n a n+ a n, allora il raggio di convergenza è dato da con le medesime convenzioni. R := B 30

6 Osservazione I due criteri raccolti nell ultimo teorema sono noti talvolta come criterio della radice per le serie di potenze e criterio del rapporto per le serie di potenze. È bene non confondere questi due criteri con corrispondenti criteri per le serie numeriche (Teoremi.3.7 e.3.0). In effetti, sebbene il limite (2.7) sia analogo al limite (.27) (così come il limite (2.8) è analogo al limite (.28)), i loro significati sono diversi. Nella (.27) i numeri a n sono i termini di una serie numerica; nella (2.7), invece, i numeri a n sono i coefficienti di una serie di potenze (i cui termini sono dati da a n x n ). Analogamente dicasi per le (.28), (2.8). Dimostrazione. Supponiamo che esista il limite (2.7) e che si abbia 0 < A < +. Consideriamo un numero x 0 e applichiamo il criterio della radice alla serie numerica (2.9) Ponendo R = /A si ottiene a n x n. (2.0) L := lim n n a n x n = lim n x n a n = x A = x R. Se vale x < R, allora L < e per il criterio della radice la serie (2.9) converge: pertanto la serie di potenze è assolutamente convergente, quindi convergente, nel punto x. Questo mostra che l insieme di convergenza della serie di potenze contiene almeno l intervallo aperto ( R, R). D altra parte, se la serie di potenze convergesse per un certo x con x > R, essa sarebbe assolutamente convergente (grazie al Teorema 2..7) per tutti gli x tali che x < x : in particolare, la (2.9) dovrebbe convergere per tutti gli x tali che R < x < x. Scegliendo uno di questi x e tornando alla (2.0), si avrebbe L = x /R >, quindi per il criterio della radice la serie (2.9) non potrebbe essere convergente: assurdo. I casi in cui A = 0 oppure A = + si trattano in modo analogo con piccole modifiche formali. Infine, la dimostrazione della seconda parte si basa sull applicazione del criterio del rapporto alla serie (2.9), ed è lasciata per esercizio. Osservazione Quando è applicabile, il teorema precedente permette di calcolare il raggio di convergenza R di una serie di potenze. Ricordando l Osservazione 2.2.2, quando 0 < R < + l insieme di convergenza della serie è certamente uno degli intervalli ( R, R), [ R, R], ( R, R] o [ R, R). Per capire di quale intervallo si tratta, occorre studiare di volta in volta la convergenza della serie agli estremi, cioè nei due punti x = R e x = R. Il Teorema 2.2., infatti, implica che la serie di potenze converge assolutamente per x < R e non converge per x > R, ma non fornisce alcuna informazione circa il comportamento della serie di potenze quando x = R o x = R. 3

7 Esempio Determiniamo il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze 2 + sin(n) x n. n 2 n= Applicando il criterio della radice (per le serie di potenze), abbiamo n 2 + sin(n) A := lim =. n n 2 Quindi il raggio di convergenza è dato da R = /A =, e l insieme di convergenza è certamente uno degli intervalli (, ), [, ], (, ] o [, ). Per individuarlo, occorre studiare la convergenza della serie nei punti estremi x = e x =. D altra parte, per x = e x = la serie converge assolutamente, in quanto per confronto 2 + sin(n) x n n 2 = 2 + sin(n) 3 n 2 n 2 n= e l ultima serie è convergente. l intervallo chiuso [, ]. n= n= Quindi, in questo caso l insieme di convergenza è 2.3 Derivazione e integrazione termine a termine In questa sezione vedremo che se una funzione è definita come nella (2.2) tramite una serie di potenze con raggio di convergenza R > 0, la funzione f risulta essere derivabile un numero qualsiasi di volte nell intervallo aperto ( R, R), e le sue derivate sono ancora esprimibili come serie di potenze. Data una serie di potenze (2.) a n x n, chiamiamo serie derivata la serie di potenze (2.2) na n x n, i cui termini sono ottenuti derivando i termini della serie di partenza. Vale il seguente risultato. n= Teorema 2.3. La serie derivata (2.2) ha lo stesso raggio di convergenza della serie (2.). Osservazione Oltre alla serie (2.2), si può anche considerare la serie a n (2.3) n + xn+ i cui termini si ottengono integrando i termini della (2.). Dato che la (2.) è la serie derivata della (2.3), dal teorema precedente segue che anche la (2.3) ha lo stesso reggio di convergenza della (2.). 32

8 Teorema Supponiamo che una serie di potenze a n x n abbia raggio di convergenza R > 0. Allora la funzione f(x) = a n x n è derivabile un numero qualsiasi di volte nell intervallo ( R, R), e vale (2.4) f (x) = Inoltre, si ha na n x n per ogni x tale che x < R. n= (2.5) x 0 f(t) dt = a n n + xn+ per ogni x tale che x < R. Il teorema precedente garantisce il fatto che, per calcolare derivate o integrali di una serie di potenze, si possa derivare o integrare termine a termine. Inoltre, se si riapplica il teorema partendo dalla funzione f (x), si ottiene f (x) = n(n )a n x n 2 per ogni x tale che x < R, n=2 e così via per le derivate successive. Il Teorema è anche utilissimo per ricavare nuovi sviluppi in serie di potenze, partendo da sviluppi già noti. Esempio Sappiamo che vale lo sviluppo (2.6) x = x n per ogni x tale che x <. Allora, applicando la (2.5) otteniamo log( x) = x 0 t dt = x n+ n + per ogni x tale che x <. Cambiando segno e scrivendo x al posto di x otteniamo lo sviluppo (2.7) log( + x) = ( ) n xn+ n + per ogni x tale che x <. 33

9 Esempio Ponendo x = t 2 nella (2.6) si ottiene + t = ( ) n t 2n per ogni t tale che t <. 2 Integrando tra 0 e x, si ottiene lo sviluppo dell arcotangente: arctan(x) = ( ) n x2n+ 2n + per ogni x tale che x <. Esempio Sempre partendo dalla (2.6), derivando si ottiene ( x) = nx n per ogni x tale che x <. 2 n=! Esempio Sia f(x) la serie di potenze nella (2.3), che sappiamo essere convergente su tutta la retta reale. Derivando termine a termine e scalando gli indici si ottiene f (x) = n= nx n n! = n= x n (n )! = x n n! = f(x). Cosa possiamo concludere sapendo che f (x) = f(x)? Calcolando la derivata del prodotto e x f(x) si ottiene d ( e x f(x) ) = e x f(x) + e x f (x) = e x( f (x) f(x) ) = 0. dx Quindi si ha e x f(x) = c = costante. Per trovare la costante c, basta porre x = 0 trovando f(0) = c. Ma f(0) = dalla (2.3), e quindi f(x) = e x. 2.4 Serie di Maclaurin Nel paragrafo precedente ci siamo occupati dello studio delle serie di potenze a partire dai loro coefficienti e abbiamo visto che, data una serie di potenze, essa converge in un intervallo centrato nell origine di ampiezza 2R, dove R è il raggio di convergenza della serie di potenze. L insieme di convergenza della serie di potenze costituiva il dominio della funzione f(x) := a n x n definita tramite la serie di potenze. Questo si può riassumere nello schema Data una serie di potenze an x n = Si studia la funzione f(x) := a n x n 34

10 Uno degli aspetti più interessanti della teoria è in realtà la possibilità di compiere, almeno in certi casi, il percorso inverso, cioè partire da una funzione f(x) assegnata (ad esempio f(x) = sin x) e chiedersi se questa funzione si possa rappresentare con una opportuna serie di potenze, almeno all interno di un certo intervallo ( R, R). Cercheremo ora di capire come e quando ciò sia possibile, tentando di procedere secondo lo schema seguente: Data una funzione f(x) = Trovare una serie di potenze tale che an x n = f(x) in un certo intervallo Va sottolineato che non è sempre possibile rappresentare una funzione f(x) tramite una serie di potenze. Ad esempio, se f(x) = x, non esiste alcuna serie di potenze tale che f(x) = a n x n in un intervallo aperto ( R, R). Infatti, se così fosse, si otterrebbe una contraddizione dal Teorema 2.3.3, perché la funzione f(x) = x non è derivabile nell origine. In Teorema fornisce quindi una condizione necessaria affinché una funzione sia rappresentabile tramite serie di potenze: se una funzione f(x) è rappresentabile tramite una serie di potenze in un certo intervallo ( R, R), allora f(x) è derivabile un numero qualsiasi di volte nell intervallo ( R, R). Una funzione derivabile un numero qualsiasi di volte viene detta di classe C. Pertanto, se una funzione f(x) non è di classe C, è inutile cercare di rappresentarla con una serie di potenze. D altra parte, il fatto che una funzione sia di classe C non basta per poterla rappresentare con una serie di potenze, in quanto si può dimostrare che esistono funzioni f(x) di classe C che non sono rappresentabili tramite serie di potenze. Un esempio di funzione di classe C, che non è rappresentabile tramite serie di potenze in nessun intervallo contenente l origine, è il seguente: { e /x2 se x 0, (2.8) f(x) = 0 se x = 0. Non entreremo qui nei dettagli di questo esempio, ma ci occuperemo piuttosto di capire sotto quali condizioni aggiuntive, una funzione di classe C sia rappresentabile come serie di potenze. Consideriamo quindi una funzione f(x), di classe C in un intorno dell origine, e supponiamo che esista una serie di potenze tale che (2.9) f(x) = a n x n = a 0 +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 + in un certo intervallo ( a, a). Cosa possiamo dire dei coefficienti a n? Sono determinati univocamente dalla funzione f? Ponendo x = 0 nella (2.9) si ottiene f(0) = a 0, 35

11 e quindi il primo coefficiente a 0 è univocamente determinato da f. Per ricavare i coefficienti successivi, usiamo il Teorema 2.3.3, cioè deriviamo rispetto a x la (2.9), ottenendo f (x) = na n x n = a + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3 + n= Ponendo di nuovo x = 0, otteniamo f (0) = a, e quindi anche a è univocamente determinato. È chiaro che si può procedere in questo modo ricavando tutti gli altri coefficienti: ad esempio, derivando ulteriormente si ottiene f (x) = 2a 2 + 6a 3 x + 2a 4 x 2 + e quindi f (0) = 2a 2. In generale, derivando n volte e ponendo x = 0 si trova e quindi f (n) (0) = 2 3 n a n = n! a n, (2.20) a n = f (n) (0), n = 0,, 2,... n! Pertanto, se una funzione f di classe C è sviluppabile in serie di potenze come nella (2.9), allora i coefficienti a n della serie di potenze sono univocamente determinati e si possono calcolare usando la (2.20). In altre parole, se una funzione f di classe C è sviluppabile in serie di potenze in un intorno dell origine, l unica serie di potenze candidata a rappresentare la funzione è la seguente (2.2) f (n) (0) n! x n = f(0) + f (0)x + f (0) 2 x 2 + f (0) x La serie di potenze (2.2) viene detta serie di Maclaurin (o anche serie di Taylor centrata nell origine ) della funzione f, ed è immediato verificare che le sue somme parziali sono i polinomi di Taylor della funzione f, centrati nell origine. È chiaro che, partendo da una funzione f di classe C, è sempre possibile costruire la sua serie di Maclaurin. Questo non basta, tuttavia, a garantire che i valori della somma della serie di Maclaurin coincidano coi valori della funzione in un intorno dell origine, in quanto:. la serie di Maclaurin potrebbe avere un raggio di convergenza nullo; 2. la serie di Maclaurin potrebbe avere un raggio di convergenza positivo (anche infinito), ma i valori della sua somma potrebbero non coincidere coi valori della funzione f. 36

12 Se si verifica uno di questi due casi, la funzione f non è rappresentabile tramite serie di potenze. Per garantire che la serie di Maclaurin sia convergente e che la sua somma (2.2) coincida (almeno in un intorno dell origine) con la funzione f, occorre verificare che il resto n-esimo nella formula di Taylor sia infinitesimo per n, in tutti i punti dell intorno considerato. Più precisamente, consideriamo il polinomio di Taylor della funzione f di grado n centrato nell origine, ovvero (2.22) P n (x) = n j=0 f (j) (0) x j. j! Come abbiamo già osservato, P n (x) coincide con la somma parziale n-esima della serie di Maclaurin di f. Inoltre, per x 0 possiamo scrivere 2 la formula di Taylor (2.23) f(x) = P n (x) + R n (x), dove il resto n-esimo nella forma di Lagrange è dato da (2.24) R n (x) = f (n+) (t) (n + )! xn+ per un certo t tale che t < x, dove il punto t dipende da x e dal grado n del polinomio di Taylor. Riscriviamo la (2.23) come (2.25) f(x) R n (x) = P n (x). Se si ha (2.26) lim n R n (x) = 0, allora il primo membro della (2.25) ha come limite f(x): di conseguenza, anche il secondo membro P n (x) (che è una somma parziale della serie di Maclaurin) ammette un limite e quindi, per la Definizione.2.3, la serie di Maclaurin (2.2) è convergente nel punto x, e la sua somma in tale punto coincide con f(x). Viceversa, dire che la somma della serie di Maclaurin nel punto x coincide con f(x) equivale a dire (sempre per la Definizione.2.3) che f(x) = lim n P n (x), ovvero che vale la (2.26). La condizione (2.26), verificata per tutti gli x in un certo intervallo, equivale quindi al fatto che la funzione f(x) coincida con la somma della propria serie di Maclaurin. Vediamo ora, attraverso alcuni esempi, come si possa in certi casi verificare la (2.26), ottenendo così alcuni importanti sviluppi in serie di potenze. Entrambe le situazioni possono effettivamente verificarsi. Ad esempio, se la funzione f è definita come nella (2.8), si verifica il caso 2. 2 Qui e nel seguito supponiamo che il punto x appartenga a un intervallo centrato nell origine, in cui la funzione f è di classe C. 37

13 ! Esempio 2.4. Consideriamo la funzione f(x) = e x. Poiché ogni sua derivata coincide con e x (e vale quindi per x = 0), la sua serie di Maclaurin è data da x n n!. Scelto un numero x 0, il resto n-esimo nella forma di Lagrange è dato da (2.27) R n (x) = e t (n + )! xn+ per un certo t tale che t < x. Cerchiamo di verificare la (2.26). La difficoltà maggiore è dovuta al fatto che non conosciamo esplicitamente il valore di t (che dipende da x e da n). Cerchiamo quindi una maggiorazione di R n (x) che faccia scomparire t: dato che e t e t, dalla (2.27) abbiamo e quindi R n (x) = e t (n + )! x n+ e t (n + )! x n+ e x (n + )! x n+, 0 lim R n (x) lim e x x n+ n n (n + )!, = x n+ e x lim n (n + )! = 0 e la (2.26) è verificata. Inoltre, x è arbitrario: quindi si ottiene nuovamente lo sviluppo in serie di potenze (2.28) e x x j = per ogni x R. j! j=0 Osservazione Lo sviluppo in serie (2.28) era già stato ottenuto implicitamente nell Esempio dove, partendo dalla serie di potenze (2.3), si era dimostrato che la sua somma coincide con la funzione esponenziale. Nell ultimo esempio, invece, si è partiti dalla funzione f(x) = e x, ricavandone lo sviluppo in serie con la tecnica discussa all inizio di questo paragrafo. Osservazione Se una funzione f(x) è di classe C su R, e se esiste una costante M > 0 tale che (2.29) f (n) (t) M per ogni t R e per ogni n, allora la funzione f(x) è sviluppabile in serie di potenze su R, ovvero la somma della serie di Maclaurin di f coincide con f(x) per ogni x R. Infatti, in questo caso si può maggiorare il resto di Lagrange (2.24) nel modo seguente R n (x) = f (n+) x n+ (t) (n + )! M x n+ (n + )!, e quindi passando al limite si ottiene lim R n(x) lim M x n+ n n (n + )! = 0 per ogni x R. 38

14 L osservazione precedente si applica, in particolare, alle funzioni sin x e cos x.! Esempio Cerchiamo di sviluppare in serie di potenze la funzione sin x. Essa è di classe C e le sue prime quattro derivate sono f () (x) = cos x, f (2) (x) = sin x, f (3) (x) = cos x, f (4) (x) = sin x. Pertanto le sue derivate si ripetono ogni quattro volte: quelle di indice pari (cioè sin x o sin x) si annullano nell origine, mentre quelle di ordine dispari (cioè cos x o cos x) valgono nell origine alternativamente e. Più precisamente, la derivata di ordine dispari 2j + è data da ( ) j cos x e vale quindi ( ) j nell origine. La serie di Maclaurin della funzione sin x è quindi data da j=0 ( ) j (2j + )! x2j+. Inoltre, la condizione (2.29) è verificata se si sceglie M =. In base all Osservazione 2.4.3, la somma della serie di Maclaurin coincide con la funzione sin x, ovvero si ha lo sviluppo in serie (2.30) sin x = j=0 ( ) j (2j + )! x2j+ per ogni x R.! Esempio In maniera del tutto analoga, si può ottenere lo sviluppo della funzione cos x. Un modo alternativo consiste nell applicare il Teorema 2.3.3, derivando rispetto a x l uguaglianza (2.30). Dato che d dx sin x = cos x e d dx otteniamo lo sviluppo in serie di potenze ( ( ) j (2j + )! x2j+ ) = ( )j (2j)! x2j, (2.3) cos x = j=0 ( ) j (2j)! x2j per ogni x R. 2.5 Serie di Taylor Oltre alle serie del tipo (2.2), anche le serie del tipo (2.32) a n (x x 0 ) n = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + si chiamano serie di potenze. Nella (2.32), x ha ancora il ruolo di una variabile, mentre il numero x 0 (che è fissato) viene detto centro della serie di potenze (si 39

15 dice anche che la (2.32) è una serie di potenze centrata nel punto x 0 ). Con questa terminologia, le serie di potenze studiate finora in questo capitolo erano quindi serie di potenze centrate nell origine. È chiaro che, data un serie di potenze centrata in x 0 come la (2.32), ci si può sempre ricondurre ad una serie di potenze centrata nell origine, effettuando il cambiamento di variabile z = x x 0. Pertanto tutti i teoremi, le proprietà, le tecniche ecc. relative alle serie di potenze centrate nell origine, trovano una generalizzazione al caso delle serie di potenze centrate in un punto x 0 arbitrario. Ad esempio, un serie di potenze del tipo (2.32) avrà un suo raggio di convergenza R, risulterà convergente per tutti gli x appartenenti all intervallo (x 0 R, x 0 + R) (la convergenza agli estremi, al solito, andrà discussa caso per caso), all interno di questo intervallo si potrà derivare o integrare termine a termine ecc. Analogamente, tutto ciò che è stato detto nel 2.4 vale ancora, con le dovute modifiche, nel caso in cui si cerchi di sviluppare in serie di potenze una funzione f(x) in un intervallo del tipo (x 0 a, x 0 + a): si dovrà considerare la serie di Taylor di f(x) centrata nel punto x 0, anziché la serie di Mclaurin. La serie di Taylor di f(x), centrata in x 0, è la serie di potenze (2.33) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Ancora una volta, le somme parziali della serie di Taylor centrata in x 0 sono i polinomi di Taylor con lo stesso centro. Le considerazioni da fare per ottenere un eventuale sviluppo in serie di Taylor, sono le stesse che abbiamo fatto per ottenere gli sviluppi in serie di Maclaurin (occorrerà cioè guardare il resto n-esimo nella formula di Taylor, centrata in x 0 anziché nell origine). Tutto questo può essere chiarito ulteriormente con alcuni esempi.! Esempio 2.5. Consideriamo di nuovo la funzione f(x) = e x, e sviluppiamola in serie di Taylor, con centro in un generico punto x 0. Le derivate sono tutte uguali a e x, quindi la serie di Taylor di e x centrata in x 0 è la serie di potenze e x 0 n! (x x 0) n. Il resto n-esimo nella formula di Taylor (con centro in x 0 ) si può scrivere nella forma di Lagrange come R n (x) = e t (n + )! (x x 0) n+, per un certo t tale che t x 0 < x x 0. Al solito, vogliamo stimare il resto per mostrare che tende a zero. La difficoltà è analoga a quella incontrata nell Esempio 2.4.: non sappiamo quanto vale esattamente t (che dipende sia da x che da n), ma sappiamo che verifica t x 0 < x x 0. Quindi abbiamo e t = e x 0 e t x 0 e x 0 e t x 0 e x 0 e x x 0 40

16 e quindi possiamo stimare il resto nel modo seguente: R n (x) = e t (n + )! x x 0 n+ ex0 e x x0 (n + )! x x 0 n+. Passando al limite per n, si ottiene quindi che il resto è infinitesimo, per qualsiasi x. Pertanto si ottiene lo sviluppo in serie di Taylor (2.34) e x = e x 0 n! (x x 0) n per ogni x, x 0 R. Osservazione Lo sviluppo in serie di Maclaurin (2.28) si ottiene come caso particolare dello sviluppo in serie di Taylor (2.34), scegliendo x 0 = 0. Ora, x e x 0 sono del tutto arbitrari nella (2.34): presi due numeri reali qualsiasi a e b, possiamo quindi porre nella (2.34) x = a + b e x 0 = a, ottenendo e a+b = e a n! bn = e a Ma sappiamo che l ultima serie di potenze ha come somma e b, quindi ritroviamo una proprietà fondamentale della funzione esponenziale, cioè e a+b = e a e b. È in effetti possibile adottare la formula (2.28) come definizione della funzione esponenziale, ricavandone in maniera diretta tutte le proprietà fondamentali. 2.6 Ulteriori esempi ed esercizi! Esempio 2.6. Si vuole approssimare il valore di sin() con un errore minore di 0 5. Ponendo x = nella (2.30) troviamo b n n!. (2.35) sin() = j=0 ( ) j (2j + )! = 3! + 5! 7! + La somma della serie fornisce il valore esatto di sin(). Tuttavia, se vogliamo effettivamente calcolare il valore numerico di sin() (come fa, ad esempio, una calcolatrice tascabile), dobbiamo accontentarci di una approssimazione, ottenuta troncando la serie: cioè considerare, al posto della somma di infiniti termini, soltanto la somma dei primi n termini S n = n j=0 ( ) j (2j + )!. La serie nella (2.35) è a segni alterni: inoltre, la successione b j = (2j + )! 4

17 è decrescente e infinitesima. Pertanto, la serie nella (2.35) soddisfa la ipotesi del criterio di Leibniz: in base all Osservazione.5.2 (si veda anche la Figura.3), l errore che si commette approssimando la somma della serie con la somma parziale S n, è inferiore (in valore assoluto) al primo termine della serie non sommato, ovvero S n sin() b n = (2n + )!. Se vogliamo che S n approssimi sin() a meno di 0 5, basta scegliere n tale che (2.36) (2n + )! 0 5. Ad esempio, si ha 9! = > 0 5, quindi basta scegliere n = 4 per verificare la (2.36), ed è sufficiente sommare i primi 4 termini della serie per avere un approssimazione a meno di 0 5. L approssimazione richiesta è quindi data da S 4 = 3 j=0 ( ) j (2j + )! = 3! + 5! 7! = = Si provi a confrontare l approssimazione ottenuta, col valore di sin() fornito da una calcolatrice tascabile.! Esempio Si vuole approssimare il numero e con una somma finita, stimando l errore di approssimazione. Ponendo x = nella (2.28) si ha e = j=0 j!. Considerando la somma dei primi n termini S n = n si ottiene un approssimazione per difetto di e, e l errore che si commette è dato da j=0 j!, e S n = j=n j! = n! + (n + )! + (n + 2)! + L ultima serie non è a segni alterni ma a termini positivi, quindi non possiamo procedere come nell esempio precedente. Per stimare l errore, raccogliamo /n! nel modo seguente: (2.37) e S n = ( + ) n! n + + (n + )(n + 2) + (n + )(n + 2)(n + 3) +. 42

18 Non si riesce a calcolare la somma della serie tra parentesi. Tuttavia, essa può essere stimata per eccesso da una serie geometrica di ragione /2: + n + + (n + )(n + 2) + (n + )(n + 2)(n + 3) + < = 2 = 2. Inserendo questa disuguaglianza nella (2.37), otteniamo la seguente stima per l errore e S n < 2 n!.! Esempio Studiamo lo sviluppo in serie di Taylor della funzione f(x) = x centrato nel punto x 0 = 5. A tale scopo cambiamo variabile ponendo t = x 5. Si ha ( ) x = 4 t = = ( 4 + t/4 4 ( t/4) e la quantità tra parentesi, se t < 4, è la somma di una serie geometrica di ragione t/4. Quindi otteniamo x = 4 ( t 4) n per ogni t tale che t < 4. Ricordando che t = x 5, torniamo alla variabile x ottenendo x = 4 ( x 5 ) n = 4 4 ), ( ) n (x 5) n, 4 n valido per ogni x tale che x 5 < 4, ovvero x (, 9). Quindi lo sviluppo richiesto è x = ( ) n+ (x 5) n per ogni x (, 9). 4 n+! Esempio Si chiede di stabilire per quali x è convergente la serie n= (2 x) n n 2. 43

19 Questa serie non è una serie di potenze. Per ricondurci ad una serie di potenze, cambiamo variabile ponendo t = 2 x, e studiamo la serie di potenze n= t n n 2. Per trovarne il raggio di convergenza R, calcoliamo A = lim n n a n = lim n n n =, 2 quindi R = /A =, e la serie converge senz altro per t (, ). Inoltre, per t = e t = si verifica facilmente che la serie è ancora convergente. L insieme di convergenza (nella variabile t) è quindi l intervallo chiuso [, ]. Tornando alla variabile x, la serie di partenza risulta convergente per ovvero per x 9. 2 x,! Esempio Usando soltanto lo sviluppo in serie (2.28), dimostriamo che si ha (2.38) lim x e x Dallo sviluppo (2.28) si ottiene = + per ogni α R. xα e x = j=0 x j j! > xn n! per ogni x > 0 e per ogni intero n 0, e quindi e x x > xn α per ogni x > 0 e per ogni intero n 0. α n! Per dimostrare la (2.38), basta scegliere un intero n tale che n > α e passare al limite per x nell ultima disuguaglianza.! Esempio Per ogni α reale e per ogni intero n 0 definiamo il coefficiente binomiale ( α n) come (2.39) (2.40) ( α 0 ) =, ( ) /2 = 5 ( ) α = n Ad esempio, per n = 5 e α = /2 si ha ( 2 2 α (α ) (α n + ), n =, 2,... n! ) ( 3 2 ) ( 5 ) ( 7 ) =

20 Fissiamo un α reale e consideriamo la serie di potenze (2.4) ( ) α x n. n Tale serie è detta serie binomiale di parametro α, e la sua importanza consiste nella validità dello sviluppo (2.42) ( + x) α = ( ) α x n per ogni x tale che x <. n Se α è un numero naturale, dalla (2.39) si vede che ( α n) = 0 per ogni n > α (in quanto se n > α nel prodotto a numeratore compare anche il termine (α α) = 0): quindi la serie di potenze è in realtà una somma finita, cioè un polinomio, e la (2.4) si riduce alla nota formula del binomio di Newton: n ( ) α ( + x) α = x n, per ogni intero α 0. n Ad esempio, per α = 3 abbiamo ( ) ( ) 3 3 =, 0 = 3, ( ) 3 = 3, 2 ( ) 3 =, 3 e la formula del binomio di Newton si riduce a ( + x) 3 = + 3x + 3x 2 + x 3 (da notare che, se α è un numero naturale, la formula del binomio di Newton è valida per qualsiasi x, e non soltanto per x < ). Il caso più interessante è quindi quello in cui il numero α non è un numero naturale. In questo caso, il raggio di convergenza R della serie di potenze (2.4) è pari a. Per verificarlo, usiamo il criterio del rapporto per le serie di potenze. Si ha a n+ ( )( ) α α A = lim = lim n a n n n + n = = lim n n! α (α ) (α n + )(α n) (n + )! α (α ) (α n + ) = lim α n n n + =, e quindi R = /A =. Non forniremo qui la dimostrazione dello sviluppo (2.42) (che peraltro si può ottenere risolvendo in sequenza gli esercizi 2.6.9, 2.6.0, 2.6.), ma ci concentreremo sul caso particolarmente importante in cui α = /2. Ponendo α = /2 nella (2.42), si ottiene lo sviluppo (2.43) ( ) /2 + x = x n per ogni x tale che x <. n 45

21 Cerchiamo di scrivere in maniera più esplicita i coefficienti binomiali ( ) /2 n, per n >. In base alla (2.39), abbiamo ( ( ) /2 2 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 2n 3 ) n 3 5 (2n 3) = = ( ) n n (2n) (per n = 5, si confronti con la (2.40)). Quindi la (2.43) si può riscrivere come (2.44) + x = + 2 x 2 4 x x x4 +, x <.! Esempio Lo sviluppo (2.44) può essere utilizzato per il calcolo approssimato di alcune radici quadrate. Si noti che, per x > 0, i segni della serie sono alterni dal secondo in poi, mentre i valori assoluti dei termini sono decrescenti e infinitesimi: quindi approssimando + x con la somma dei primi due termini della serie, cioè con + x/2, si commette un errore inferiore al valore assoluto del terzo termine, cioè x 2 /8. In formule, + x 2 + x < x2, x <. 8 Ad esempio, per approssimare 0, si può scrivere ( 0 = 00 + ) = da cui, ponendo x = /00, la formula approssimata 0 0 ( + ) = 0.05, 2 00 con un errore inferiore a 0/( ) = /8000 (si verifichi con un calcolatrice tascabile!). Esercizi 2.6. Usando soltanto gli sviluppi in serie (2.30), (2.3) e il Teorema (2.3.3), verificare che si ha d d sin x = cos x, dx cos x = sin x. dx Studiare la convergenza delle serie seguenti: ( + x 3 ) n, n! n= (sin x) n, n n= ( ) n + x n. x n= Determinare gli sviluppi in serie di Maclaurin delle funzioni sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x

22 2.6.4 Discutere gli sviluppi in serie di Maclaurin delle seguenti funzioni (dopo averle estese per continuità, eventualmente, nell origine): cos x 4, e x2, e x, x sin x x, cos x x Sia f(x) una funzione di classe C. Cosa si può dire della sua serie di Maclaurin, se f(x) è una funzione pari? E se è una funzione dispari? È possibile che la serie di potenze n= 5 n (n!) 2 x2n+ sia la serie di Maclaurin della funzione f(x) = (sin x) 2? Costruire tramite una serie di potenze una funzione f(x) tale che, per ogni n, la sua derivata n-esima valga 2 n nell origine Una certa funzione f è di classe C, e per ogni n la sua derivata n-esima vale n n nell origine. Che raggio di convergenza ha la sua serie di Maclaurin? Usando la formula (2.39), dimostrare la seguente proprietà dei coefficienti binomiali: ( ) ( ) ( ) α α α + =. n n n Si indichi con f(x) la somma della serie binomiale (2.4) per x <. Derivando termine a termine la serie di potenze, verificare che (Suggerimento: si sfrutti l esercizio precedente). ( + x)f (x) = α f(x), x < Sia f(x) come nell esercizio precedente. Si dimostri che si ha d ( ( + x) α f(x) ) = 0, x <. dx Usando il fatto che f(0) =, si deduca lo sviluppo (2.42). (Suggerimento: si sfrutti l esercizio precedente) Procedendo come nell Esempio 2.6.7, si approssimi 28 con due cifre decimali esatte. 47