Esercitazione di Controlli Automatici 1 - n. 4 a.a.2004/05

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1 Esercitazione di Controlli Automatici - n. 4 a.a.24/5 Tutorial sull applicativo SIMULINK di MATLAB - Simulazione del comportamento di sistemi del primo e del secondo ordine. Proprietà dinamiche e filtranti. Controllo in retroazione con regolatore proporzionale. Guida operativa sintetica all utilizzazione di SIMULINK per la simulazione del comportamento di sistemi di controllo descritti tramite schemi a blocchi. N.B.: A seconda della versione di SIMULINK si possono riscontrare delle differenze per le indicazioni operative che seguono. Dopo aver avviato SIMULINK dal prompt di MATLAB con il comando simulink o clickando sull icona corrispondente nella barra degli strumenti, compare una finestra che contiene la biblioteca (Block Library) dei blocchi disponibili, divisa in varie sezioni. In SIMULINK V.2 la finestra è: In Out Sources Sinks Discrete Linear Nonlinear Connections Blocksets & Toolboxes Simulink Block Library Copyright (c) by The MathWorks, Inc. Demos Fig. Finestra di apertura di SIMULINK V.2. In SIMULINK V.4 la finestra è quella del browser della biblioteca di SIMULINK, dove sono contenute, tra l altro, le sezioni dei blocchi elementari disponibili per la costruzione dello schema a blocchi del sistema. Per costruire un nuovo schema a blocchi in una apposita pagina di lavoro vuota, si apre una nuova finestra denominata untitled, entro cui bisogna importare i blocchi elementari per costruire il modello. Tale finestra si apre in vari modi, per esempio clickando su file new del menù o sulla apposita icona create a new model della barra degli strumenti. Dalla sezione della biblioteca Linear (Continuous in SIMULINK V.4), che si apre con un doppio click sull'icona corrispondente nella finestra iniziale di SIMULINK: Gain Sum s Integrator s+ Transfer Fcn x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space (s-) s(s+ ) Zero-Pole du/dt Derivative Dot Product K Matrix Gain Slider Gain Fig. 2 La sezione Linear (Continuous) si deve trascinare con la freccia del mouse il blocco Transfer Fcn all'interno della pagina di lavoro (durante il trascinamento il tasto sinistro del mouse va tenuto schiacciato).

2 s+ Transfer Fcn Dalla sezione Sources (generatori di segnale), aperta con un doppio click sull icona corrispondente, importiamo ora i blocchi Step (gradino) e Sine Wave, sempre trascinandoli con la freccia del mouse all'interno della pagina di lavoro. Step s+ Transfer Fcn Sine Wave Possiamo ora effettuare i collegamenti tra i blocchi. Consideriamo innanzitutto un ingresso a gradino. Bisogna collegare il blocco Step con il blocco Transfer Fcn. Si deve puntare la freccia del mouse sull uscita del blocco Step (il beccuccio che esce dal blocco), clickare e, tenendo premuto, portare la freccia del mouse sulla porta di ingresso del blocco Transfer Fcn (il beccuccio che entra nel blocco). Step s+ Transfer Fcn Sine Wave Si crea in questo modo il collegamento in figura. Ora possiamo settare i parametri dei blocchi che stiamo utilizzando, attraverso la finestra di dialogo che si apre con un doppio click sul blocco corrispondente. 2

3 Con riferimento al blocco Step, bisogna settare a zero lo step time, (che per default è posto pari ad uno), che fissa l istante in cui l uscita del blocco si porta dal valore zero (initial value) al valore uno (final value). Ovviamente, entrambi questi due ultimi parametri possono essere modificati. Il parametro Sample Time va lasciato pari a zero. I parametri da settare del blocco Transfer Fcn sono i coefficienti dei polinomi a numeratore e denominatore della funzione di trasferimento del sistema, che vanno inseriti in accordo con la rappresentazione MATLAB dei polinomi. Ad. es. il polinomio s 4 +3s 3-2s+5 è codificato in ambiente MATLAB-SIMULINK mediante il vettore [ 3 2 5]. Per default, il blocco Transfer Fcn è settato a rappresentare la funzione di trasferimento G () s =. s + Per eseguire le diverse simulazioni per questa esercizitazione (vedi le Fig. 2,3, etc. del seguito), bisogna definire come denominator i vettori [ ], [.5 ], [. ] e cosi via. Per poter visualizzare la risposta del sistema, bisogna inserire nella pagina di lavoro il blocco di visualizzazione Scope, che troviamo nella sezione Sinks, e collegarlo con la procedura vista prima all uscita del sistema. Step s+ Transfer Fcn Scope Sine Wave Siamo ora pronti per avviare la simulazione, dopo averne fissato la durata (stop time) dalla finestra che si apre selezionando la voce Parameters dal menù Simulation. Possiamo iniziare la simulazione selezionando la voce Start dal menù Simulation, e, clickando due volte sul blocco scope, visualizzare l uscita del sistema. Per eseguire la simulazione con ingresso sinusoidale, è sufficiente scollegare il blocco Step dal nostro sistema (cliccando su un punto qualsiasi del collegamento per selezionarlo e cancellando con il tasto Canc (o Del)) e collegare, ovviamente con la medesima procedura vista prima, il blocco Sine Wave all ingresso del sistema. Prima di iniziare la simulazione, si devono, come in ogni caso, settare i parametri della sinusoide (ampiezza, pulsazione e fase) dalla finestra di dialogo del blocco Sine Wave. Il parametro Sample Time va lasciato pari a zero. L esercizio Controllo in retroazione con regolatore proporzionale si simula in maniera immediata aggiungendo nella pagina di lavoro i blocchi Sum e Gain dalla sezione Linear (Math in SIMULINK V.4)e realizzando i collegamenti opportuni, dopo avere cancellato i collegamenti precedenti, fino a realizzare lo schema in figura: 3

4 Step NODO SOMMATORE kp REGOLATORE PROPORZIONALE s+ SISTEMA Sine Wave Si noti che, nella figura, i blocchi non hanno più il nome predefinito. Allo scopo di rendere più comprensibile la struttura del sistema di controllo, è infatti possibile modificare il nome di ogni blocco semplicemente clickando sul vecchio nome e modificandolo a proprio piacimento (con il solo vincolo che due blocchi differenti non abbiano lo tesso nome). E anche possibile, e spesso preferibile, inserire delle costanti simboliche tra i parametri dei blocchi (ad esempio la costante k p nella figura precedente) che possono essere settate dalla finestra di MATLAB. Si tenga presente che: un collegamento "a spezzata" (tipo il collegamento che esegue la retroazione dell uscita del sistema) si realizza rilasciando e ripremendo il tasto del mouse alla fine di ogni segmento. Per prelevare un segnale e inviarlo ad altri blocchi(per esempio allo Scope) bisogna fare doppio click col pulsante destro del mouse su un qualsiasi punto della linea del segnale e procedere come al solito. Per inserire o modificare didascalie bisogna fare doppio click col tasto sinistro del mouse dove si vuole inserire una nuova didascalia o un semplice click sulle didascalie da modificare. I blocchi possono essere ridimensionati, come qualsiasi finestra in ambiente Windows, trascinando con la freccia del mouse uno dei quattro angoli del blocco, dopo averlo selezionato con un singolo click. 4

5 RICHIAMI: Proprietà dinamiche e filtranti di un sistema del primo ordine. Analizziamo la risposta di un sistema del primo ordine in seguito all'applicazione di due particolari segnali di ingresso, un gradino ed una sinusoide. Consideriamo il sistema ad un ingresso ed una uscita (SISO) descritto dalla funzione di trasferimento: G () s = τ s + τ> () Un sistema descritto dalla () è un filtro passa basso del primo ordine a guadagno unitario e costante di tempo τ. Dalla analisi del diagramma asintotico di Bode per i moduli: M db (ω) Log(/τ) Log(ω) Fig. si nota come per valori crescenti di τ il sistema tende ad attenuare sempre più le componenti in alta frequenza del segnale in ingresso, mentre le componenti in bassa frequenza vengono lasciate inalterate. Che effetto ci aspettiamo sulla risposta al gradino unitario (risposta indiciale)? Innanzitutto possiamo affermare, in base al teorema del valore finale, che il valore a regime della risposta sarà pari ad (ampiezza del gradino d ingresso). Infatti, indicando con δ - (t) - (s) w () t = e δ () t Gradino unitario Trasformata di Laplace del gradino unitario t τ Risposta al gradino unitario si ha lim w t () t = lim sg() s () s = lim sg() s = G( ) = s s s (2) L effetto dell aumento di τ, cioè dello spostamento verso le basse frequenze del polo del sistema p=-/τ, e quindi del punto di rottura del diagramma di Bode in figura, si traduce in un aumento del tempo di assestamento della risposta, e quindi in un transitorio di durata maggiore. L andamento simulato della risposta indiciale per diversi valori della costante di tempo τ è: 5

6 .95 τ=..8 τ=.5.6 τ= Fig.2 Nella Figura 2 sono riportati i tempi di assestamento al 5% delle tre risposte esaminate, individuati dalle ascisse delle intersezioni delle curve con la retta orizzontale y=.95, pari al 95% del valore di regime. Si può notare come sia verificata la relazione: t a5% = 3τ caratteristica di un qualsiasi sistema del primo ordine. Viceversa per valori molto piccoli di τ, (polo in alta frequenza sistema molto pronto) una parte più ampia delle componenti in frequenza dell ingresso viene riprodotta inalterata in uscita, e la risposta tende a schiacciarsi istantaneamente sull ingresso, come vediamo in figura (si noti il cambiamento di scala per le ascisse rispetto alla Fig. 2).8 τ=. τ= Fig.3 Al limite, per τ che tende a zero, il sistema diventa istantaneo a guadagno unitario. Ora andiamo ad analizzare come risponde il sistema ad un ingresso sinusoidale. Una proprietà fondamentale dei sistemi lineari stazionari stabili è che la risposta a regime ad un ingresso sinusoidale di pulsazione ω è ancora una sinusoide con la medesima pulsazione e con ampiezza e fase generalmente differenti da quella in ingresso. Cioè la risposta di un sistema lineare-tempo-invariante stabile alla sinusoide d ingresso: * u () t = Asin( ω t) (3) * sin * ω * y t = AM ω ω t + ϕ (RISPOSTA ARMONICA) (4) è data da: () ( ) ( ( ) 6

7 dove M(ω * ) e ϕ(ω * ) corrispondono alle ordinate dei diagrammi di Bode di modulo e fase (i diagrammi esatti, non quelli asintotici, che ne costituiscono solo una approssimazione) valutate alla pulsazione della sinusoide in ingresso. Per valutare qualitativamente le modifiche che intervengono su ampiezza e fase per un sistema del primo ordine, ricordiamo i diagrammi di Bode asintotici di modulo e fase: M db (ω) ϕ(ω) Log(/τ) Log(ω) Log(/τ) Log(ω) Fig.4 Se la frequenza della sinusoide in ingresso si trova sufficientemente a sinistra del punto di rottura del diagramma di Bode, in uscita ritroviamo la sinusoide praticamente inalterata in ampiezza e fase. Verifichiamolo in simulazione, per differenti valori di τ, riferendoci ad una sinusoide in ingresso di ampiezza e pulsazione unitaria: u ( t) = sin( t) (5) Per poter visualizzare contemporaneamente nello Scope i segnali in ingresso e in uscita bisogna utilizzare il blocco Mux della sezione Connections (Signals & Systems in SIMULINK V.4)..8 τ=..8 τ= u(t) y(t).2 y(t) u(t) Fig. 5 Fig. 6.8 τ=.5.8 τ= y (t).2 y(t) u(t) u(t) Fig. 7 Fig. 8 7

8 Notiamo come si passa da una riproduzione in uscita praticamente perfetta della sinusoide in ingresso nella prima figura, alla introduzione di una attenuazione molto limitata e di un modesto ma già rilevabile sfasamento nella seconda. La terza e quarta figura permettono di notare il progressivo aumento dell attenuazione dell ampiezza e dello sfasamento in ritardo. Un sistema del tipo analizzato trova applicazione nei sistemi di controllo reali come filtro per eliminare i rumori in alta frequenza che possono essere presenti nei segnali misurati. Collocando un filtro di questo tipo all uscita di un dispositivo di misura si eliminano le indesiderate componenti in alta frequenza (ripple) dall uscita del sensore di misura. Se infatti sovrapponiamo all'ingresso sinusoidale un disturbo ad elevata frequenza () t sin() t +.sin( t) u = (6) non ne troviamo praticamente traccia nell uscita y(t) in quanto viene pesantemente filtrato come può essere visto nelle figure 9 e e negli zoom e u(t).8.6 y(t) Fig. 9 Fig u(t) (ZOOM) y(t) (ZOOM) Fig. Fig. 2 8

9 Controllo a retroazione unitaria con regolatore proporzionale. Ora fissiamo la nostra attenzione sul sistema trattato nell esempio precedente, in cui la costante di tempo τ è posta pari ad uno. G () s = (7) s + Abbiamo avuto modo di notare in Fig. 2 come la risposta al gradino sia caratterizzata da un transitorio di durata 3τ. Ci chiediamo se, e come, sia possibile realizzare un sistema di controllo che mi permetta di portare a regime l uscita in un tempo arbitrariamente piccolo. In termini più specifici, vogliamo realizzare, a partire dal sistema (7), un sistema arbitrariamente pronto. Dovremo realizzare un sistema di controllo in retroazione, con un blocco di correzione caratterizzato da una opportuna funzione di trasferimento. INGRESSO DI RIFERIMENTO SEGNALE DI INGRESSO DEL ERRORE SISTEMA R(s) COMPARATORE CONTROLLORE s+ SISTEMA USCITA Fig.3 Andiamo a verificare se il regolatore dalla struttura più semplice (regolatore proporzionale) ci consenta di soddisfare il nostro obbiettivo di controllo. Per la sintesi di sistemi di controllo a retroazione unitaria con regolatore proporzionale, disponiamo di un efficace e semplice strumento grafico, costituito dal Luogo delle Radici. E noto infatti come il luogo delle radici di una FdT G(s) non sia altro che il luogo dei poli del sistema a ciclo chiuso ottenuto realizzando un sistema a retroazione negativa unitaria come in Fig. 3 con un regolatore proporzionale R(s)=k p, valutati al variare del guadagno del regolatore. L analisi del luogo delle radici ci consente insomma di valutare in maniera immediata come si spostano i poli del sistema sotto l azione di un regolatore proporzionale a guadagno variabile k p. 9

10 Imag Axis Real Axis Fig.4 Notiamo come per k p = (sistema non retroazionato) il polo sia posizionato in p=-, e si muova, per valori crescenti del guadagno del regolatore, sull asse reale negativo verso sinistra, cioè migliorando la prontezza di risposta. Concludiamo quindi che il sistema di controllo in Fig. con R(s)=k p è Sempre stabile per ogni valore positivo k p Sempre più pronto al crescere di k p Verifichiamolo in SIMULINK. Lo schema SIMULINK che rappresenta il sistema in esame, con τ=, è il seguente INGRESSO DI RIFERIM ENTO SEGNALE DI INGRESSO DEL ERRORE SISTEMA kp s+ COMPARATORE REGOLATORE SISTEMA PROPORZIONALE USCITA Fig.5 Vogliamo vedere come si modifica il comportamento del sistema in seguito all applicazione di ingressi di riferimento a gradino e sinusoidali. Si noti la perfetta corrispondenza tra uno schema SIMULINK e la tradizionale rappresentazione di un sistema di controllo in termini di schema a blocchi alla quale siamo abituati a far riferimento nelle analisi teoriche su carta. La FdT a ciclo chiuso è pari a k p Gcc () s = s + + k con guadagno ( ) p k p G cc =. + k p Vediamo come si comporta il sistema retroazionato al variare del guadagno del regolatore per un ingresso di riferimento a gradino unitario.

11 Ci attendiamo transitori di durata differente ed errori a regime che diminuiscono al crescere del guadagno. Sappiamo infatti che l'errore a regime per un ingresso a gradino unitario è dato da e = + k p.8 k p =8 k p =4.8 k p = k p =.6.6 k p = Fig. 6 Fig. 7 L'errore a regime è molto grande (pari ad /2) per k p =, ed è praticamente scomparso per k p =. Contemporaneamente, la risposta è diventata molto più pronta (cioè il tempo di assestamento, così come il tempo di salita, sono diventati molto piccoli.). Una possibile soluzione per eliminare l'errore a regime è costituita dall'introdurre un guadagno a monte del sistema di controllo, pari all'inverso del guadagno del sistema retroazionato, che rende pari ad uno il guadagno complessivo del sistema. La retroazione infatti modifica il guadagno del sistema, e se vogliamo che l uscita tenda allo stesso valore costante del segnale di riferimento in ingresso si deve pre-moltiplicare quest ultimo per l inverso del guadagno del sistema. Step (+kp)/kp COMPARATORE kp BLOCCO DI CORREZIONE DI TIPO PROPORZIONALE s+ SISTEMA Fig.8 Per quanto riguarda le caratteristiche filtranti, notiamo ora come, già per k p =4, la risposta del sistema alla sinusoide (5) sia coincidente con l ingresso (v. fig. 9). Abbiamo visto in Fig.8 come il sistema non retroazionato presentasse una forte attenuazione di ampiezza e un grosso ritardo in fase. Invece ora si ottiene una sovrapposizione praticamente perfetta tra l ingresso di riferimento e la variabile di uscita.

12 .8.6 u(t) y(t) Fig.9. Difatti, per k p =4, il guadagno a ciclo chiuso è G cc =4/4=.98, e lo sfasamento della risposta armonica in corrispondenza della pulsazione ω * = è praticamente nullo. Ragionando in modo differente, possiamo notare come il polo a ciclo chiuso sia p=-4, cui corrisponde un punto di rottura del diagramma di Bode in τ=/4.25. La sinusoide in ingresso ha una frequenza che è spostata verso le basse frequenze per più di una decade a partire dalla frequenza di rottura, e rientra pertanto in quel campo di frequenze che passano attraverso il sistema rimanendo pressochè inalterate. DOMANDE. Discutere i limiti della soluzione di Fig.8 ai fini dell annullamento dell errore a regime nella risposta indiciale. Come si potrebbe evitare l introduzione dell amplificatore a guadagno (+k p )/k p a monte del comparatore di Fig.8 ed ottenere errore a regime nullo nella riposta indiciale? Suggerimento: si utilizzi per il blocco di controllo una struttura differente. 2. Discutere la nuova configurazione del sistema di controllo in termini di prestazioni al variare del guadagno del blocco di correzione. Simulare con SIMULINK. 3. Si valutino gli effetti di una retroazione unitaria con controllore proporzionale sul sistema del secondo ordine G () s = ( s + )( s + 2) E ancora possibile ottenere un sistema arbitrariamente pronto? Discutere le proprietà dinamiche del sistema e verificarle con SIMULINK. Suggerimento: si effettui l analisi del luogo delle radici. 2