Processi Spazio-Temporali

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1 Processi Spazio-Temporali Quando ineressa una modellazione congiuna sia emporale che spaziale. Si disinguono le analisi in due caegorie: quelle geosaisiche (Kyriakidis e Journel, 1999) e quelle basae su modello. L approccio geosaisico basa l analisi del processo soo sudio prevalenemene sullo sudio della funzione di covarianza spazio-emporale (considerando il dominio spazio-emporale CONTINUO) e mira ad effeuare previsioni nel empo e nello spazio. Il secondo approccio si basa sullo sudio di processi socasici. Generalmene la funzione di covarianza non ha espressioni semplici da raare. Sviluppi anche bayesiani 1 Approccio esploraivo - Si considera una sruura dai semplice dove ci sono: - n sii spaziali s i, i=1,,n; - T isani di empo; -I dai Y ij raccoli in una marice nxt; marice Y. - L insieme delle medie di riga della marice Y produce un processo spaziale mediao sul empo. - Dopo avere cenrao ogni colonna, T 1 Y Y r r ' è una marice di covarianza empirica spaziale. - L insieme delle medie di colonna di Y produce una serie sorica mediaa sul dominio spaziale. 1 - Dopo avere cenrao ogni riga, n Y c Y c ' è una marice di auocovarianza emporale empirica. Un Modello generale Sia Y(s,) una misurazione al sio s al empo. Una esensione del modello geosaisico al caso spazioemporale è Y(s,)=μ(s,)+e(s,). La sruura media μ(s,) può essere scria come: μ(s,)=x(s,) T β(s,) Alcuni esempi di modellazione della media: β(s,)= β β(s,)= β() coefficieni che variano nel empo β(s,)= β(s) coefficieni che variano nello spazio La paramerizzazione spesso dipende dalla naura del rend e dalle covariae nel modello Generalmene e(s,)~n(0,σ e ) I residui e(s,) possono essere scrii come: e(s,)=α()+ω(s)+ε(s,) sruura addiiva (non c è inerazione spazioemporale) e(s,)=α s ()+ε(s,) forma poenzialmene differene dell evoluzione emporale ad ogni sio e(s,)=α()+ω(s)+ε(s,) processo spaziale poenzialmene differene Quando i dai sono cosiuii da pochi sii e moli empi Due principali forme per la sruura emporale: α s ()= α s, cioè variabili emporali dicoomiche; α s (+1)= ρα s ()+η s () dove η s () sono v.c. iid. Sia α()=(α s1 (),, α sn ()) con α=(α (1),, α (T)) Sia Y=μ+α+ε Y μ,α,σ ε ~N(μ+α,σ ε I) Oppure Y β,σ ε, σ α, ρ~n(μ,σ α A(ρ) I T + σ ε I Tn ) Quando i dai sono riferii a pochi isani emporali ma sono molo ricchi di sii Due principali forme per la sruura emporale: w (s)=w s, sono variabili dummy spaziali w (s) è un processo spaziale a media zero. Sia w()=(w (s 1 ),, w (s n )) con w=(w 1,, w n ) Sia Y= μ+w+ε Y μ,w,σ ε ~N(μ+w,σ ε I) Oppure Y β,σ ε, σ w, ρ~n(μ,i T σ w H(δ) +σ ε I Tn ) ad ogni isane 3 4

2 Siano α=(α (1),, α (T)) e w=(w 1,, w n ) Sia Y=μ+α 1 n +1 T w+ε Y β,α,w,σ ε ~N(μ+α 1 n +1 T w+, σ ε I) Oppure Y β,σ ε, σ α, ρ, σ w, δ ~ N(μ,σ α A(ρ) 1 n 1 n + σ w 1 T 1 T H(δ) + σ ε I Tn ) s R Si supponga di voler generalizzare al caso e Un modello generale Y(s,)= μ(s,)+ε(s,) è ancora valido, sebbene ora ε(s,) sia un processo spazio-emporale. Per processi gaussiani, è sufficiene considerare la funzione di covarianza spazio-emporali, cioè Cov(Y(s,),Y(s, ))=c(s-s,- )=c( s-s, - ) (isoropico) Una forma separabile è daa da: Cov(Y(s,),Y(s, ))=σ ρ 1 (s-s ;φ) ρ (- ;ψ) R 5 + La marice di covarianza di Y è ΣY ( σ, φ, ψ ) = σ H S ( φ) H ( ψ ) dove: -H s (φ) è una marice di covarianza IxI con elemeni ρ 1 (s i -s j ;φ) -H (ψ) è una marice di covarianza JxJ con elemeni ρ ( i - j ;ψ) Y è definia posiiva poiché il prodoo di Kronecker di marici definie posiive è definio posiivo. 6 Ci sono vanaggi compuazionali per usare la forma separabile La log-verosimiglianza per Y è ma e Condizione di separabilià 7 La forma addiiva e la funzione di covarianza separabile sono scele spesso fae di convenienza per semplicià e inerpreazione, ma sono ovviamene limiani in quano non modellano l inerazione spazio-emporale. Alcune forme di covarianza spazio-emporale non separabili sono sae propose in ambii di rappresenazione sperale (Fourier) Una classe di modelli spazio-emporali relaivamene semplici ha la forma c( s s', ') = σ ( ' + 1) exp( s s' ( ' + 1) β σ è la varianza del processo β (compreso ra 0 e 1) rappresena il paramero di inerazione spazio-emporale 1 ) 8

3 Modelli spazio-emporali CAR I dai di queso ipo dovrebbero rappresenare qualche sora di sequenza emporale per ogni sio del laice (es. coneggi di malaia per anno in comuni) Per dai gaussiani Per dai non gaussiani Possibili modelli per φ i Spazio annidao nel empo, cioè φ i = φ i Assegnare ai vicini emporali pesi diversi per vicini nel empo o nello spazio CAR mulivariao 9 Approccio geosaisico Apparengono a queso approccio due ipi di modellazioni: 1) quelle che considerano un modello casuale spazio-emporale. Si considera una dipendenza congiuna spazio-emporale ra le osservazioni. Si cerca di unire le conoscenze fisiche e quelle saisiche per modellare il processo che si vuole sudiare. PROBLEMA: L inferenza sulla legge del processo spazio-emporale richiede replicazioni nelle componeni spazio-emporali spesso non disponibili ) quelle che considerano veori di funzioni spaziali o veori di serie soriche. Si considera inizialmene il processo nella dimensione dominane e poi spesso non si uniscono le componeni spazio-emporali. Es. confrono di mappe nel empo oppure confroni ra serie soriche nello spazio. Si scompone il processo spazio-emporale in semplici modelli condizionai. Spesso poi modellai con approccio bayesiano. 10 Approccio basao su modello - Modelli gerarchici spazio-emporali: Si scompone il processo spazio-emporale in semplici modelli condizionai. Spesso poi modellai con approccio bayesiano. - Modelli dinamici Si assume che lo sao immediaamene precedene del processo influenzi lo sao correne. Si include la componene spazio emporale in modelli dinamici. - Hidden Markov Models Si considera la sruura congiuna spazio-emporale come condizionaa su un processo laene (o nascoso) Modelli gerarchici spazio-emporali Wikle, Berliner e Cressie (003) 11 1

4 Modelli gerarchici spazio-emporali Wikle, Berliner e Cressie (003) applicazione sulla emperaura massima 1) Generalmene si definisce la disribuzione [Z Y,θ 1 ] come disribuzione Gaussiana: Gau(Y(s,),σ s,) ) (si modellano variazioni di piccola e larga scala) 3) 4) A priori sui parameri Modelli gerarchici spazio-emporali 3) Sruura spaziale e (ipoesi di indipendenza ra le componeni) 5) Poi si uilizzano procedure di Gibbs-sampling Modelli dinamici spazio-emporali Si consideri una esensione della formulazione modelli dinamici in cui: z è un veore m dimensionale di osservazioni negli m sii spaziali; Y è un veore m-dimensionale che rappresena un processo di sai non osservabili spazio-emporali in alcune rei fisse di sii s 1,,s n al empo. Il modello si può scrivere: z y = K y = Hy per =1,,T 1 + ε + η (equazione di osservazione o misura) (equazione di sao o di ransizione) 15 Per la equazione di misurazione: K èunamaricem x n noa che mappa i dai z nel processo y ; ε è a media zero, incorrelao nel empo e gaussiano con una marice di covarianza R di dimensione m x m. Per l equazione di sao: H è una marice di ransizione; η rappresena gli errori del sisema che sono spazialmene dipendeni, emporalmene indipendeni, gaussiani a media 0 con marice di varianza e covarianza Q. La forma di H è spesso moivaa dal problema scienifico che si sa raando. Le possibili marici di covarianza per ali modelli includono cov[ ε ] = σ ε I cov[ η ] = σ C( θ ) dove C(θ) è cosruio per mezzo di una funzione di covarianza spaziale esponenziale. I modelli possono essere simai mediane algorimo EM oppure usando MCMC. 16 η

5 Modelli dinamici Sroud, Muller, Sansò (applicazione sulle piogge ropicali in Venezuela) Dove la prima equazione modella la dipendenza spaziale Quesa dinamica viene modellaa araverso: La seconda equazione si collega araverso i coefficieni β alla precedene L imporanza della funzione di covarianza spazio-emporale Soo l ipoesi di normalià disribuiva del processo in esame si ricorda come esso possa essere rappresenao in maniera esausiva dai sui primi due momeni. Per queso il valore aeso e la funzione di covarianza vengono generalmene presi in esame: -quando ineressa il rend spazio-emporale ci si concenra sul valore aeso μ(s;)=e(z(s;)); -quando lo scopo è lo sudio della evoluzione su piccola scala si sudia la funzione di covarianza K(s,r;,u)=Cov(Z(s;),Z(r;u)). Sazionarieà (Kyriakidis e Journel, 1999) Sazionarieà in senso sreo: un processo spazioemporale Z(,s) si dice sazionario in senso sreo nel dominio spazio-emporale TxS se le sue leggi disribuive (FdR) sono invariani per raslazione. Proprieà molo difficile da esare si resringe ai primi due momeni: Sazionarieà debole del secondo ordine: un processo spazio-emporale si dice sazionario del secondo ordine se la La media è cosane per ogni s S, T La covarianza è del ipo Cov(Z(,x),Z(+h,x+d)=C(h,d) per ogni x S e T dove h e d sono le disanze nello spazio e nel empo 19 0

6 Sazionarieà Inrinseca Noazione: Si definisce p=(s,) DxT come riferimeno spazio emporale Si ha sazionarieà inrinseca quando: La media delle differenze prime del processo è nulla E(Z(p)-Z(p ))=0 La varianza delle differenze prime è una funzione della sola disanza ra due puni osservai Var(Z(p)-Z(p ))=γ(h), per ogni p, p DxT 1 Assunzione di separabilià Un modello spazio-emporale si dice separabile se la sua funzione di covarianza spazio-emporale (o il suo variogramma) può essere scrio come somma o prodoo di due funzioni di covarianza una puramene spaziale e una puramene emporale L uilià nel posulare quesa ipoesi sa nella diminuzione del numero di parameri da simare. Infai se, ad esempio, si dispone di s sii e p empi. La sima della marice di varianza sp(sp+1)/ parameri. Se c è indipendenza nel empo s(s+1)/ parameri, se analogamene c è indipendenza nello spazio p(p+1)/ parameri. Ed infine nel caso di separabilià, viso che la marice finale è calcolaa come prodoo di Kronecker delle due marici di covarianza (una solo spaziale e una solo emporale), il numero di parameri si riduce a s(s+1)/+p(p+1)/-1. Assunzione di separabilià La riduzione del numero di parameri da simare è uile anche perché nel caso in cui si vogliano fare previsioni spaziali è più semplice in quano si necessia di calcolare l inversa della marice di varianza-covarianza e Modelli separabili C(h;v)=C s (h)c T (v) C(h;v)=exp(-a h -b v ) C(h;v)=C s (h)+c T (v) Queso ipo di covarianza può generare marici di var-cov. singolari (Myers and Journel 1990) Non prevedono inerazione ra spazio e empo In generale, una funzione di covarianza spazio-emporale sazionaria è separabile se esisono due funzioni sazionarie una puramene emporale e una spaziale, ali che vale la seguene condizione: 3 4

7 Modelli non separabili Primi enaivi di raare la non-separabilià come variazione della forma: w(s; ) = w1(s; ) + w(s; ) per mezzo del mixing. Per esempio, si suppone che con w1 e w processi indipendeni, ognuno con funzione di covarianza separabile: Quindi la funzione di covarianza per w(s,) è la somma ed è non separabile. Il difeo principale è connesso al fao che produce una esplosione di parameri da simare. 5 Approccio di Gneiing (00) Propone un approccio non dipendene dalle rasformae di Fourier e inroduce una classe generale di modelli per le covarianze spazioemporali ( σ h C h, u) = ϕ d / ψ ( u ) ψ ( u ) Sruura emporale dove ϕ( ), 0 è una funzione compleamene monoona, e ψ ( ), 0 è una funzione posiiva con derivaa compleamene monoona. Gneiing T. (00). Nonseparable, saionary covariance funcions for space-ime daa. JASA, 97: Sruura spaziale 6 Approccio di Gneiing (00) 7 Alcune applicazioni La scela delle prime funzioni della abella pora ad avere una funzione di covarianza sazionaria: σ c( s s', ') = α βd / ( a ' + 1) γ c s s' exp α βγ ( a ' + 1) a,c sono parameri di scala non negaivi relaivamene del empo e dello spazio. I parameri di smoohness α e γ assumono valori compresi ra 0 e 1. σ èla varianza del processo spazio-emporale. Ruolo cruciale il paramero β che rappresena l inerazione spazio-emporale. La funzione di covarianza puramene spaziale C(s-s,0) è di forma esponenziale menre quella puramene emporale C(0,- ) appariene alla classe di Cauchy. 8

8 Confroni grafici Confroni grafici 9 30 Applicazione di Gneiing Correlazioni spazio-emporali empiriche Si considerano dai di veno in Irlanda (Hasle e Rafery, 1989)che consisono in medie giornaliere di velocià del veno in 11 sii nel periodo )Passano alla radice quadraa per ridurre la variabilià )Assumono le disribuzioni marginali approssimaivamene normali. 3)Si sima l effeo sagionale calcolando la media delle radici quadrae delle medie giornaliere in ui gli anni e le sazioni per ogni giorno dell anno e quindi si regrediscono il risulao su un andameno armonico. 4)Resringe la sua aenzione alla sruura di covarianza per lag emporali da 0 a 4 31 Sruura spaziale di forma esponenziale 3

9 Quindi sruura spaziale Sruura emporale uilizza un modello fisico del ipo (famiglia piuoso generale) Il prodoo Tes per saggiare la separabilià Michell (00) come caso specifico del lavoro di duilleul Fuenes (003) nell imposazione sperale Che corrisponde al modello generale in cui β= Michell e al. Pare con il considerare l ipoesi nulla nel caso più generale: Quesa è semplificabile nel caso di un processo sazionario del secondo ordine In ermini di funzione di correlazione La separabilià consise nell osservare la sruura emporale uguale in ui i sii e la sruura spaziale è la sessa in ui gli isani di empo. Michell propone un es di separabilià, applicabile quando c è un processo mulivariao iid, che usa la saisica del rapporo della verosimiglianza basaa sulla sima del prodoo di kronecker di due marici non sruurae vs la sima di una marice di var-cov non sruuraa. Per campioni grandi la disribuzione della saisica es può essere approssimaa con una disribuzione chiquadrao. Si ipoizza una disribuzione gaussiana dei dai, il es che segue non richiede uavia che il processo sia sazionario del secondo ordine e isoropico

10 Limie: spesso il numero di replicazioni è pari a 1 e queso es non può essere applicao. Moli processi sono ricchi nel empo e poveri nello spazio, è dunque la ricchezza nel empo che può permeere di spezzare I dai in modo che possano sembrare pseudo-replicazioni. Tuavia ali pseudo-replicazioni necessiano una sessa sruura di varianza e covarianza, quindi si necessia di assumere sazionarieà del secondo ordine nel empo Si saggia l ipoesi vs nella condizione in cui U e V sono assune ignoe, simmeriche. Noazione r: dimensione campionaria, s: numero di sii, p numero di empi. In generale la log-verosimiglianza di una normale mulivariaa è Che in queso caso significa 37 Che simao significa 38 Tes finale (Michell) Per l ipoesi alernaiva Quindi il rapporo di verosimiglianze sarà Fuenes (003) Tes presenao in un approccio sperale. In paricolare esso è riconducibile ad una analisi della varianza a due vie. L ipoesi generale è per i=1,,k e j=1,,n. I parameri rappresenano gli effei principali dello spazio e i faori legai alle frequenze. L ipoesi di separabilià corrisponde al caso di β j =0 e quindi: 39 40

11 Applicazione ai dai di qualià dell aria Sruura spazio-emporale di un processo Z relaivo a flussi di ozono medi orari nel giugno Si dispone di 7 osservazioni nel empo. 1. Si rimuove il rend spazio-emporale Trend spaziale: ozono-media del ren nel empo per ogni sazione; Trend emporale: applicazione di sin e cosin con periodo di 4 ore. (il ciclo giornaliero è comune a ui i sii).si simano per mezzo delle funzioni cross sperali propose in Fuenes (005) per la coppia a,b nel dominio D dove Applicazione ai dai di qualià dell aria rappresena il periodogramma del secondo ordine e W e g sono due filri. La funzione f può essere inerpreaa come una media della energia oale del processo conenuo enro una banda di frequenze in una regione di w e una regione nello spazio nel vicinao di a e b 41 4 Applicazione ai dai di qualià dell aria Quindi per oenere sime approssimaivamene incorrelae, le frequenze wj e le coppie ai,bi dovrebbero essere scele opporunamene (w j >π/6 e disanza ra coppie a,b almeno di 5.5 puni griglia). I risulai del es di separabilià usando 6 coppie corrisponde a: Evidenzia non separabilià! Bibliografia Banerjee, Carlin e Gelfand (004), Hierarchical Modeling and Analysis for Spaial Daa, Chapman and Hall. Presenano una buona raazione in una prospeiva Bayesiana con moli riferimeni bibliografici. Gneiing (00), Nonseparable, saionary, covariance funcions for space-ime daa, JASA, 97, Kyriakidis e Journel (1999), Geosaisical space-ime models: a review, Mahemaical Geology, 31, Xu e Wikle (004), Esimaion of paramerized spaioemporal dynamic models,