RUOTE DENTATE E ROTISMI

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1 9 CAPITOLO X SOMMARIO - Ruote di frizione. - Le ruote dentate piane ad evolvente. - Le ruote piane a denti elicoidali. - Le ruote coniche. 5 - Vite senza fine e ruota a denti elicoidali 6 - Rotisi ordinari. 7 - Rotisi epicicloidali. 8.- Applicazioni. Le ruote dentate, siano esse piane o coniche, con qualunque tipo di dentatura siano state costruite, rappresentano, insiee alle corrispondenti ruote di frizione, la soluzione al problea della trasissione del oto fra una coppia di assi, rispettivaente paralleli o concorrenti in un punto, e con un rapporto di trasissione costante. Quando si vuole che tale rapporto di trasissione si abbia fra assi sghebi ortogonali, il eccaniso è costituito generalente da una vite senza fine ed una ruota dentata a dentatura elicoidale..- Ruote di frizione. Consideriao due ebri (A) e (B) costituiti da due ruote di raggio r ed r (fig.) vincolate rispettivaente alle coppie rotoidali O ed O i cui assi siano paralleli. Se nel punto di contatto C sussistono le condizioni adatte affinché nel oto relativo non vi sia strisciaento, tale oto relativo fra (A) e (B) è un oto di puro rotolaento di cui C è proprio il centro e di cui le circonferenze, traccia delle due ruote sul piano del oto, sono le priitive.

2 50 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Un siffatto eccaniso costituisce una coppia di ruote di frizione; la trasissione del oto è assicurata esclusivaente dalle condizioni di aderenza che debbono verificarsi nel contatto. L'analisi cineatica ostra che, se in C il oto relativo è di puro rotolaento, le velocità di C coe punto appartenente alla ruota Figura oppure alla ruota devono essere le edesie; deve essere quindi: (v ) = (v ) (6) C (A) C (B) e quindi, indicando rispettivaente con ω ed ω le velocità angolari della ruota (A) e della ruota (B), sarà: ω r = ω r Ne segue che il rapporto di trasissione del eccaniso è: ω r τ = = (7) ω r ed è costante. I versi delle velocità angolari di (A) e di (B) sono discordi se i ebri (A) e (B) sono Figura disposti coe in fig. e quindi nella (7) vale il segno eno; sono invece concordi, e varrà quindi il segno più, quando i ebri (A) e (B) sono disposti coe in fig. che rappresenta il caso in cui una delle due ruote sia una ruota anulare, con contatto, cioè, interno. Quando la realizzazione di un rapporto di trasissione costante deve essere realizzato fra assi concorrenti in un punto le superfici a contatto sono quelle di due coni a sezione circolare, (A) e (B), tangenti lungo una generatrice (fig.), i cui assi di rotazione coincidono con gli assi dei coni e forano fra loro un angolo α=cost. Indicando rispettivaente con α ed α le seiaperture dei due coni, si ha che la condizione di ro-

3 5 tolaento senza strisciaento nel oto relativo è che per tutti i punti della generatrice di contatto sia: ( ) ω C O = ω ( C O ) (8) ossia: ω OC senα = ω OC senα Ne segue che il rapporto di trasissione del eccaniso è: ω senα τ = = ω senα Figura (9) ed è anch'esso costante. L'effettiva utilizzazione delle ruote di frizione coe eccanisi atti a realizzare un rapporto di trasissione costante è confinato al capo della trasissione di piccole potenze (coppie basse e basse velocità); si coprende che la condizione di strisciaento nullo nel contatto è realizzabile solo in presenza di un adeguato carico norale sufficiente a generare la forza tangenziale d'attrito necessaria al funzionaento: tale carico norale non potrà essere troppo elevato per non generare deforazioni locali nel contatto ed elevate perdite per attrito nei perni delle coppie rotoidali. Le deforazioni del contatto d'altra parte renderebbero falsa la condizione che le priitive del oto siano le due circonferenze, nel caso di ruote piane, o i due coni, nel caso di assi concorrenti, che assicuravano il rapporto di trasissione costante desiderato. In generale il rapporto di trasissione diventerebbe una funzione delle forze norali che i due ebri si scabiano.

4 5 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA.- Le ruote dentate piane ad evolvente. Quando sono in gioco potenze notevoli è conveniente che la trasissione del oto sia affidata, non all'aderenza, a all'azione utua che si scabiano opportune superfici coniugate ricavate sulla periferia di un disco, superfici che costituiscono la sagoa dei denti di una ruota dentata (fig.). Tali superfici coniugate sono ottenute cineaticaente a partire da due priitive circolari di raggio r ed r di odo che, nel oto relativo, (coe nel caso delle ruote di frizione piane) si realizzi il desiderato rapporto di trasissione fra i due ebri che sarà, quindi, ancora costante ed espriibile con la (7). Il loro profilo sul piano del oto è quello di una evolvente di cerchio (traiettoria di un punto generico di una retta che rotola senza strisciare su una circonferenza) e i due tratti di evolvente che costituiscono la sagoa del dente si svolgono parte internaente e parte esternaente alla circonferenza priitiva. Il contatto fra i profili durante il oto avviene lungo la retta g inclinata di un angolo costante ϑ rispetto alla tangente coune alle priitive, ε. La retta g pertanto costituisce anche la norale coune ai due profili nel loro punto di contatto e quindi anche luogo esclusivo dei punti di contatto fra i profili dei denti. Retta g ed angolo ϑ prendono anche il noe di retta di pressione ed angolo di pressione (fig.5); in assenza di attrito, infatti, la retta g coincide con la retta di applicazione della forza utua che si scabiano i denti in presa. Il valore dell angolo di pressione, orai gene- f b A t p B Figura Figura 5

5 5 ralente adottato, è ϑ=0. La retta g risulta anche tangente, in H e K, ad altre due circonferenze (c f ) e (c f ), di raggi rispettivaente r cosθ ed r cosθ, concentriche con le corrispondenti priitive, che prendono il noe di circonferenze fondaentali. Sono queste le circonferenze su cui la retta g rotola senza strisciare per la generazione delle evolventi che costituiscono il profilo dei denti. Non sarà quindi possibile avere tratti di evolvente interni alle circonferenze fondaentali. Per le ruote dentate vale la seguente noenclatura: - la congiungente i centri delle coppie rotoidali, O, O prende il noe di retta dei centri (fig.5); - la fase in cui i denti Figura 6 si toccano pria dell'attraversaento della retta dei centri si dice fase di accesso, la successiva, fase di recesso; - nelle ruote esterne (fig.6) la parte del profilo del dente interna alla priitiva prende il noe di fianco del dente, la parte esterna prende il noe di costa del dente; nelle ruote anulari è il viceversa; - troncature si chiaano la circonferenze ideali (fig.5) secondo le quali è deliitato il dente in altezza; la troncatura di testa, t t, deliita i denti verso l'esterno, la troncatura di base (o interna), t b, deliita i denti internaente alla priitiva; - la differenza fra i raggi della troncatura di testa e della priitiva prende il noe di addendu (fig.6); la differenza fra i raggi della priitiva e della troncatura di base prende il noe di dedendu; la soa dell'addendu e del dedendu isura l'altezza del dente; - la lunghezza dell'arco di priitiva copreso fra due profili oologhi (o fra due assi di sietria del dente) successivi prende il noe di passo della dentatura (fig.6); la lunghezza dell'arco di priitiva copreso fra i due profili che costituiscono il dente prende il noe di grossezza del dente; - la differenza fra passo e grossezza è l'apiezza del vano fra due denti; la lunghezza dell'arco di priitiva corrispondente alla rotazione durante la quale due denti sono in presa prende il noe di arco d'azione (fig.7); affinché i due denti successivi siano in presa pria che i precedenti si abbandonino l'arco d'azione deve essere aggiore o al liite uguale al

6 5 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA passo. Affinché due ruote ingranino correttaente devono avere lo stesso passo, p, ed affinché il A loro funzionaento sia invertibile A i denti devono presentare profili sietrici rispetto ad un raggio che sarà quindi l'asse del dente. Inoltre, perché le ruote possano funzionare correttaente aleno per una rotazione copleta, il B B nuero dei denti, z, deve essere intero. Ora se p è il passo della dentatura, coune a due ruote ingrananti fra loro, le relazioni che legano il nuero dei denti alla lunghezza della circonferenza priitiva di ciascuna di es- Figura 7 se saranno: πr = pz πr = pz (0) da cui: p r r π = = z = () z Da questa relazione si ricava che il rapporto di trasissione ottenibile attraverso una coppia di ruote dentate è iediataente deducibile dal rapporto fra il nuero dei denti. Infatti, confrontando con la (7), si ha: ω r z τ = = = () ω r z Il rapporto =p/π che copare nella () prende il noe di odulo della dentatura (o anche passo diaetrale) e si coprende che se, coe si è detto, due ruote ingrananti fra loro devono avere lo stesso passo, ciò equivale a dire che dovranno avere anche lo stesso odulo. Per il odulo, che fissa, in pratica, il rapporto fra il diaetro di priitiva di una ruota ed il nuero dei suoi denti, si conviene di adottare generalente nueri interi; solo per dentature piccole si adottano nueri frazionari. I valori noralente usati, secondo le nore di unificazione variano: di 0, per valori copresi fra 0,5 e ; di 0,5 per valori copresi fra e ; di 0,5 per valori copresi fra e 7; di per valori copresi fra 7 e ;

7 55 di per valori copresi fra e ; di per valori copresi fra e 5; di 5 per valori copresi fra 5 e 75. Il valore del odulo ha un ruolo fondaentale nel proporzionaento della ruota (proporzionaento odulare) e per questo viene couneente indicato in : si fa l'addendu pari ad, ed il dedendu pari a (7/6); l'altezza del dente risulterà pertanto pari a (/6). Quando il dedendu ha un valore tale per cui il fianco del dente si e- stende fino all'interno della circonferenza fondaentale, il tratto del fianco copreso fra la fondaentale e la troncatura di base è radiale di odo che, nel punto di attraversaento, il profilo del fianco del dente abbia la edesia tangente. Dalla () risulta che il diaetro della priitiva di una ruota risulta r=z, e, aggiungendo due volte l'addendu, il diaetro del disco su cui intagliare i denti (diaetro della circonferenza di troncatura di testa) risulta (z+). A parità di nuero di denti, quindi, a oduli piccoli corrisponderanno ruote piccole, a oduli grandi ruote grandi. Tuttavia, la scelta del valore da scegliere per il odulo di una dentatura ha un ulteriore risvolto: fissato i diaetri delle priitive, il odulo deterina il diaetro delle circonferenze di troncatura di testa e di conseguenza, sulla retta g (fig.7) i punti I A ed I B in cui avverrà il prio contatto, in fase di accesso, (I A ), fra il fianco di un dente della ruota conduttrice e l'estreità della costa di un dente della ruota condotta, e l'ultio contatto, in fase di recesso, (I B ), fra l'estreità della costa del dente della ruota conduttrice ed un punto del fianco del dente della ruota condotta. Si coprende allora che aggiore è il odulo scelto per la dentatura tanto più lontano dal centro C si troveranno i punti I A ed I B e tanto aggiore, di conseguenza la velocità di strisciaento (velocità relativa) fra i profili, e tanto aggiore, quindi, la potenza perduta nell'ibocco. Una caratteristica delle ruote dentate con profilatura ad evolvente è quella che il loro funzionaento risulta cineaticaente esatto anche se l'interasse di progetto, d, non viene esattaente rispettato (fig.8), ovvero se, entro certi liiti, esso viene volutaente alterato. Se, infatti, l'interasse passa dal valore d al valore d(+α), i raggi delle priitive diventano r (+α) ed r (+α); i denti, tuttavia, in quanto costruiti sulla base delle fondaentali originarie, saranno Figura 8 ancora

8 56 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA rie, saranno ancora profili coniugati anche se le priitive risultano apliate. Cabia invece l'angolo di pressione in quanto la retta g, dovendosi ancora appoggiare alle fondaentali, i cui centri sono diventati O ' ed O ', assuerà la posizione della g' il cui angolo rispetto alla tangente coune alle priitive sarà ϑ >ϑ. Il rapporto di trasissione fra due ruote il cui interasse sia stato aggiorato non cabia. Sarà infatti: O' C rcosϑ r cosϑ r τ = = : = () O' C cos ϑ ' cos ϑ ' r La ruota liite, ossia quella di raggio assio, è la dentiera (o creagliera) (fig.9). La fora del dente della dentiera è rettilineo. Da quanto sopra detto segue che un gruppo di ruote di diverso diaetro, purché costruite con lo stesso angolo di pressione θ e con lo stesso odulo, possono correttaente ingranare fra loro realizzando i rapporti di trasissione che derivano dal rapporto fra il loro nuero dei denti. Un siffatto gruppo di ruote costituisce una serie: la ruota più piccola prende il noe di rocchetto, la più grande sarà la creagliera. Tuttavia la realizzazione di una serie pone una liitazione alla scelta del valore del odulo (e di conseguenza al proporzionaento dei denti): poiché i contatti fra i profili avvengono sulla retta g e poiché, al contepo, non esiste alcun tratto di evolvente all'interno delle circonferenze fondaentali, l'estensione della costa del dente, e quindi le troncatura di testa, non possono superare i punti H e K. Pertanto fissato il diaetro del rocchetto sarà (fig.9) la troncatura di testa della creagliera, passando per H, a fissare, il valore assio del odulo con cui possono essere realizzate le ruote della serie affinché le condizioni suddette siano rispettate. Sarà quindi: ax = r sen ϑ () Conseguenteente si desue il inio nuero di denti che è possibile assegnare al rocchetto, e che sarà: t Figura 9

9 57 z in = r r = ax r sen = ϑ sen ϑ (5) Dalla () e dalla (5) si osserva che, per dato ϑ, entre il valore del odulo assio dipende dal diaetro prescelto per il rocchetto, il nuero inio di denti che gli si può assegnare dipende esclusivaente dall'angolo di pressione. Con l'usuale valore di ϑ=0 si avrà ax =0,r e quindi z in =8. La forza utua che si scabiano i denti ha coe retta d'azione la retta g, ed è costante se la coppia è costante. Per l'equilibrio della ruota dovrà essere: C = F rcosϑ (6) da cui: F n n C = (7) r cosϑ Si vede quindi che, a parità di coppia otrice e a parità di diaetro di priitiva, il valore dell'angolo di pressione influenza direttaente l'entità della forza utua che si scabiano i denti in presa: aggiore è il valore di ϑ e aggiore sarà il valore di F n ; e ciò spiega coe il valore dell'angolo di pressione che si utilizza sia poco elevato. Si faccia caso anche alla circostanza che ad un aggior valore dell'angolo di pressione, corrisponderebbe inevitabilente un aggravio del carico sulle coppie rotoidali delle due ruote..- Le ruote cilindriche a denti elicoidali. Le ruote a denti elicoidali rappresentano una variante rispetto alle ruote a denti diritti. Si può iaginare che le ruote piane a denti diritti nascano facendo copiere alla sagoa del dente uno spostaento assiale parallelo all'asse di rotazione della ruota stessa; il dente della ruota cilindrica a denti elicoidali può essere pensato ottenuto facendo copiere alla sagoa del dente uno spostaento elicoidale: una traslazione parallela all'asse di e f e p f p Figura 0

10 58 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA rotazione della ruota ed una conteporanea rotazione intorno allo stesso asse. Tutti i punti del profilo del dente descrivono, in questo oto delle eliche appartenenti a cilindri coassiali: tra questi, il cilindro priitivo ed il cilindro fondaentale ed, ovviaente quelli corrispondenti alle troncature, di testa e di base. Le eliche, nascendo dallo stesso oto elicoidale, avranno tutte lo stesso rapporto caratteristico (fig.0) e quindi lo stesso passo p e ; presenteranno quindi inclinazione diversa a seconda del cilindro cui appartengono. In particolare sarà sul cilindro priitivo: π tanα = r p (8) pe e sul cilindro fondaentale: π rf π rp cosϑ tan β = = (9) pe pe Dal confronto fra la (8) e la (9) discende la relazione esistente fra gli angoli, α e β, di inclinazione delle due eliche; ossia: tan β = tanα cosϑ (50) Nelle ruote con asse dente elicoidale si ottiene, proprio in virtù di tale disposizione, (fig.), un auento virtuale dell'arco d'azione: infatti, durante una rotazione della ruota pari a ϑ corrispondente alla durata del contatto fra due denti in presa, il contatto fra i denti si sposta lungo un'elica, da C a a C b, portandosi dalla sezione frontale alla sezione posteriore; la rotazione ϑ può pensarsi risultante dalla soa di due rotazioni distinte: una rotazione ϑ', relativa alla fase in cui il punto di contatto sulla priitiva passa dal punto C a al punto C' e corrispondente alla fase del contatto fra una coppia di profili, isurata sulla sezione frontale, (equivalente all'arco d'azione nel caso dei denti diritti), cui occorre aggiungere la rotazione ϑ", relativa alla fase in cui il punto di contatto sulla priitiva passa dal punto C' al punto C" e corrispondente alla fase che a b e Figura

11 59 porta fino al terine del contatto fra i denti sulla sezione posteriore che è spostata assialente rispetto alla pria della lunghezza z del tronco del cilindro. La rotazione coplessiva sarà quindi: CC a ' CC ' " ϑ = ϑ + ϑ = + r r essendo: CC a " = ztanα I vantaggi che si ottengono con tali tipi di ruote sono: la dolcezza di oviento, e quindi una aggiore silenziosità, in quanto il contatto e il distacco fra i denti non si realizza più in odo istantaneo; una aggiore robustezza dei denti, potendo utilizzare oduli inori senza coproettere la continuità della trasissione, ed ottenendo quindi denti di altezza inore; l'utilizzo di un odulo più piccolo fa sì che diinuiscano anche le ve- locità assie di strisciaento risultando i a xy contatti più prossii all asse della rotazione istantanea. Affinché due f ruote ingranino correttaente devono avere lo stesso passo frontale e lo stesso angolo di inclinazione dell'elica sul cilindro priitivo. La norale al contatto fra i denti (fig.) in questo caso dovrà essere una retta appartenente ad un piano inclinato di ϑ rispetto al piano tangente ai due cilindri priitivi ed inclinata di β rispetto alla norale all'asse di rotazione (deve essere, nel contatto, norale all'elica sul cilindro fondaentale). Pertanto, in assenza di attrito, la forza norale F n che due denti si scabiano avrà le due coponenti: F F xy z = Fn cos β = F sen β n Figura (5) la pria norale all'asse di rotazione, la seconda parallela ad esso; solo la pria delle due ha, quindi, oento rispetto a detto asse, e, per l'equilibrio della ruota, dovrà essere:

12 60 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA C F cos β r cosϑ = n (5) da cui: C Fn = (5) r cos β cosϑ La coponente lungo l'asse z, che prende il noe di spinta assiale, si esprierà allora coe: C C Fz = Fa = tan β = tanα (5) r cosϑ r tenuto conto anche della (50). Confrontando la (5) con la (7) si vede che per questo tipo di ruote la forza utua che si scabiano i denti risulta aggiore che nel caso delle ruote a denti diritti; inoltre la presenza della spinta assiale obbligherà, nel loro ontaggio, ad opportuni sopporti spingenti oppure a costruire ruote con dentatura a freccia (Chevron)..- Le ruote coniche. Se consideriao una coppia di ruote a denti diritti ingrananti fra loro e, idealente, portiao al finito, in un punto O, il punto di intersezione di tutti gli assi del oto (che pria era all', trattandosi di oto piano), quella coppia di ruote diventerà una coppia di ruote coniche: tutti i piani (di cui si erano considerate le rette intersezione con il piano del oto) si intersecheranno nel punto O, tutti i cilindri (priitivo, fondaentale, troncature) diventeranno coni. In effetti, poiché i cilindri delle ruote piane erano liitati in altezza, a- vreo più concretaente dei tronchi di cono. Per quanto concerne il rapporto di trasissione di una coppia siffatta, vale quanto detto per le corrispondenti ruote di frizione, poiché i coni priitivi attuali corrispondono a quelle. Cerchiao invece le coponenti del- 0 la forza che si sca- Figura

13 6 biano i denti, iaginando, (fig.), per seplicità che il contatto avvenga in cor- xy rispondenza del punto z n C, punto della generatrice di contatto di uno dei coni priitivi corrispondente ad una sua xy x y sezione di raggio r. Ipotizziao un riferiento con origine nel 0 punto O, asse z perpendicolare al piano Figura contenente gli assi del oto delle due ruote, asse x coincidente con l'asse di uno dei coni priitivi, asse y ortogonale ai prii due. Avreo allora un piano B 0 passante per l'asse z e per la generatrice di contatto OC; un piano * passante per OC e tangente ai coni fondaentali, per cui sarà inclinato dell'angolo ϑ rispetto a B 0 ; la OC peraltro fora l'angolo α, seiapertura del cono priitivo, con l'asse y. La norale al contatto dovrà appartenere al piano * e quindi la forza norale che si scabiano i denti avrà le due coponenti: Fxy = Fn senϑ µ (55) F = F cosϑ k z n rispettivaente nel piano xy e secondo l'asse z. A sua volta la F xy, dovendo essere perpendicolare alla OC avrà le coponenti: Fx = Fxy senα i = Fn senϑ senα i (56) F = F cosα j = F senϑ cosα j y xy n Delle tre coponenti trovate, solaente la F z ha oento rispetto all'asse della ruota in quanto le altre due giacciono nel piano contenente proprio quest'asse. Per l'equilibrio della ruota dovrà allora essere: C = Fzr = Fnrcosϑ (57) da cui possiao ricavare: F n = r C cosϑ (58) Sostituendo la (58) nella seconda delle (55) e nelle (56), le copo-

14 6 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA nenti, secondo i tre assi, della forza utua che si scabiano i denti si possono scrivere coe: C Fx = tanϑ senα r C Fy = tanϑ cosα (59) r C Fz = r e si può da queste rilevare, per un verso, l'influenza della geoetria della ruota sull'entità delle forze che si scabiano i denti, e, d'altra parte, coe tali tipi di ruote necessitino, nel ontaggio, di adeguati sopporti che reagiscano, durante il funzionaento, a ciascuna delle coponenti trovate. 5.- Vite senza fine e ruota a denti elicoidali. Questo eccaniso consente la realizzazione di un rapporto di trasissione costante fra assi sghebi, generalente fra assi sghebi ortogonali. E' costituito dall'accoppiaento di una vite e da una ruota dentata piana a denti elicoidali. La vite a filetto trapezoidale (fig.5), è il ebro rigido la cui superficie attiva è ottenuta da un elicoide rigato chiuso a cono direttore, ossia dalla superficie generata da una retta, incidente l'asse di rotazione e forante un angolo ϑ ( 5 ) con il piano norale ad esso, in oto elicoidale attorno allo stesso asse (fig6). La superficie attiva dei filetti è quella contenuta fra due cilindri di raggio r ed r. Indicando con α l'inclinazione dell'elica edia in corrispondenza del raggio edio, r, della vite, e con p e il suo passo, la relazione che lega tali grandezze è data da: a Figura 5

15 6 con: pe tanα = πrr r = r + r (60) Si definisce ancora passo assiale, p a, della vite l'apiezza della traslazione che porta una sezione del filetto a coincidere con la successiva; questo può essere diverso dal passo dell'elica edia se la vite è a più principi ( principi in fig.7). Figura 6 Sarà cioè: p = z p (6) e se con z si indica il nuero dei principi della vite. Il rapporto di trasissione fra i due ebri e si può ricavare considerando ciò che accade nel piano principale a ossia nel piano norale all'asse della ruota e contenente l'asse di rotazione della vite: in tale piano la vite si presenta coe una creagliera (profilo principale) che ibocca con una Figura 7 ruota piana a denti diritti. Ipotizzando, per seplicità, che il contatto fra i due ebri sia in corrispondenza del punto C, in cui la priitiva della ruota, di raggio R, è tangente alla retta che dista di r dall'asse di rotazione della vite, si può osservare che la velocità assoluta del punto C, considerato appartenente al filetto della vite, può essere ricavata osservando che, se la vite ruota con velocità angolare ω, essa copirà un giro copleto in un certo tepo t; sarà cioè: a π = ω t (6) Nello stesso tepo t, per effetto del oto elicoidale, lo stesso punto C si sarà spostato di p e con velocità V; ossia:

16 6 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Dalle (6) e (6) si ricava allora: da cui: p = v t (6) e π ω C = p e vc pe z pa vc = = π ω π ω (6) La stessa velocità v C deve avere il punto C appartenente alla priitiva della ruota la cui velocità angolare sarà ω ; e deve quindi essere: vc = ω R (65) Inoltre, affinché vite e ruota ingranino correttaente, il passo della dentatura della ruota deve essere il edesio del passo assiale della vite e quindi, nella Figura 8 (65), il valore di R deve essere tale per cui: z p = π R (66) a Sostituendo nella (65) si ha quindi: v C zp a = ω π (65') da cui, eguagliandola con la (6), si può ricavare il rapporto di trasissione: ω z τ = = (67) ω z Considerando che un accoppiaento del genere non è reversibile, e che l'eleento otore è la vite, si capisce che risulta possibile realizzare rapporti di trasissione estreaente bassi: con una vite a due principi (z =) ed una ruota elicoidale con 0 denti (z =0), dalla (67) si deduce un rapporto di trasissione τ=:0.

17 65 Supponendo ancora che il contatto sia in C, cerchiao ora le coponenti della forza utua che i due ebri si scabiano durante l'accoppiaento (fig.9). Restando ancora nel piano principale (yz), osserviao che dovrà esistere certaente una coponente F yz di direzione norale, in C, al profilo principale della vite; essendo questo inclinato dell'angolo ϑ, la relazione fra i suoi coponenti lungo gli assi dovrà essere: F = F tanϑ (68) y z Tuttavia né la F y, né la F z, possono avere oento rispetto all asse di rotazione della vite, avendo rette d'azione ad esso incidenti; dovrà quindi esistere anche una coponente F x tale che sia, conteporaneaente: F x C = = Fz tanα (69) r rispettivaente per l'equilibrio della vite, e per dover essere la F xz norale, nel piano (xz), all'elica edia che è inclinata di α. Da quest'ultia si ricava quindi: F F x z C = r C = r tanα e infine, sostituendo opportunaente nella (68): C tanϑ Fy = r tanα (70) (7) ottenendo quindi le tre coponenti della forza norale che, in assenza di attrito, il filetto della vite esercita sul dente della ruota, ed il cui odulo vale quindi: C tan ϑ Fn = Fx + Fy + Fz = + + r tan α tan α y x yz z xz z x y r Figura 9

18 66 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA ossia: F n C = + tan α + tan ϑ = Fz + tan α + tan ϑ r tanα (7) 6.- Rotisi ordinari. Prende il noe generico di rotiso un sistea costituito da ruote dentate che ingranano fra loro e disposte in odo tale che la rotazione di una di esse ponga in rotazione tutte le altre. I rotisi si distinguono fondaentalente in due categorie: i rotisi ordinari, quelli in cui gli assi di rotazione delle ruote siano tutti fissi, ed i rotisi epicicloidali, quelli in cui aleno un asse di rotazione è obile. Nei rotisi ordinari (fig.0), tra la pria ruota (ovente o conduttrice) e l'ultia ruota (cedente o condotta) sono generalente interposti degli alberi interedi su ciascuno dei quali sono calettate per lo più due ruote, solidali fra loro: di queste una ingrana con la ruota precedente di cui quindi sarà la cedente, l'altra con la successiva di cui sarà la ovente. Se su un asse interedio è calettata un unica ruota che ibocca conteporaneaente con la precedente e con la successiva, questa prende il noe di interedia o- ziosa (fig.). Gli assi delle ruote saranno fra loro tutti paralleli oppure no a seconda del tipo di ruote (piane o coniche) che sono calettate su di essi. 5 6 Figura 0 5 Figura

19 67 Consideriao ora un rotiso ordinario costituito da n ruote dentate, disposte secondo lo schea di fig.0, ciascuna delle quali avrà z i denti; in esso si avranno n/ ibocchi per ciascuno dei quali è definibile un rapporto di trasissione τ i. Con riferiento allo schea, avreo: τ ω z ω z ω z5 = = ; τ = = ; τ = = ; (7) ω z ω z ω z Il rapporto di trasissione del rotiso nel suo coplesso sarà dato dal prodotto dei rapporti di trasissione che si hanno nei singoli ibocchi. E' infatti: ω zzz 5 τ = = τττ = (7) ω zzz 6 Si può allora concludere che il rapporto di trasissione di un rotiso ordinario è dato dal rapporto fra il prodotto del nuero dei denti delle ruote conduttrici ed il prodotto del nuero dei denti delle ruote condotte. Dalla stessa (7) si può dedurre anche il verso di rotazione dell'ultia ruota: infatti, considerando che in ogni singolo ibocco si avrà τ i < 0 se l'ibocco è esterno oppure τ i > 0 se l'ibocco è interno, basterà contare il nuero degli ibocchi esterni presenti nel rotiso e concludere che, se sono pari, il verso di rotazione dell'ultia ruota sarà concorde con quello della pria, entre, se sono dispari, i due versi saranno discordi. Se applichiao la (7) al caso dello schea di fig., poiché la quarta ruota è conteporaneaente cedente per la terza e ovente per la quinta (interedia oziosa), avreo: ω zzz zz τ = = = (75) ω zzz zz 5 ossia che il rapporto di trasissione risulta indipendente dalla presenza o eno della interedia oziosa (da qui il noe); la sua interposizione in un rotiso ha solo lo scopo di invertire il verso di rotazione dell'ultia cedente. Un rotiso si dice riduttore se per esso è τ < ; si dice oltiplicatore se risulta τ >. La sua condizione di equilibrio dinaico, in assenza di perdite, è e- spressa dalla relazione: C ω C ω = r n (76) e quindi possiao pure scrivere: 5 6

20 68 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA ωn C τ = = ω C r (77) Si vede allora che un rotiso riduttore è un oltiplicatore di coppia (C r >C ), entre un rotiso oltiplicatore è un riduttore di coppia (C r <C ). Uno dei problei che trovano soluzione utilizzando i rotisi ordinari è quello di riuscire a realizzare più rapporti di trasissione utilizzabili selettivaente in odo da adeguare la potenza otrice a differenti valori della coppia resistente, ossia in odo che risulti rispettata la (76); è ciò che si ottiene attraverso un cabio di velocità. Possiao definire coe cabio di velocità un qualsiasi dispositivo atto a fornire alternativaente aleno due diversi rapporti di trasissione fra un albero di ingresso ed un albero di uscita. In generale la sua realizzazione pratica è ottenuta per ezzo di ruote dentate, quasi sepre piane, oppure con ruote di frizione, con cinghie e coni di pulegge, con cinghie e pulegge a diaetro variabile (variatori continui), o anche con gruppi idraulici. Nel capo delle ruote dentate piane la realizzazione più seplice si potrebbe avere con uno schea coe quello di fig. in cui le ruote z e z sono calettate sull albero otore e le ruote z e z sono ontate sull albero condotto. Quest ultio è però un albero scanalato e ciò costituisce, per le ruote ontate su di esso, un vincolo alla rotazione a non alla traslazione: si coprende che spostando la coppia di ruote z e z verso sinistra ( coe in figura) si ottiene l ibocco fra z e z, entre spostandolo verso destra si ottiene l ibocco fra z e z. Si realizzano così i due rapporti di trasissione τ =z z e τ' = z' z'. Con tale disposizione, tuttavia, non può aversi la coassialità fra l albero di ingresso e l albero di uscita, cosa che invece è spesso auspicabile per otivi di geoetria coplessiva della acchina. Figura

21 69 Quando si voglia ottenere la coassialità degli alberi si può ricorrere ad uno schea coe quello di fig. che rappresenta un cabio con contralbero (o albero secondario) ed una coppia sepre in presa; in tale disposizione i diversi rapporti di trasissione vengono forniti sepre dall ibocco fra quattro ruote di cui due, z e z nello schea di figura, ingranano costanteente fra loro entre è Figura possibile cabiare l ibocco delle altre due. Nello schea, il gruppo di ruote indicate con z e z può essere spostato sull albero scanalato o verso sinistra ottenendo l ibocco fra la z e la z, oppure verso destra ottenendo l ibocco fra la z e la z. I rapporti di trasissione che alternativaente si ottengono sono quindi τ=zz zz e τ' = zz ' zz '. Sia lo schea di fig. che quello di fig., tuttavia, non soddisfano ad un altra esigenza connessa all utilizzo di un cabio di velocità, in particolare se questo è destinato alla trasissione di un autoveicolo: quella di poter cabiare il rapporto di trasissione utilizzato entre gli alberi, ovente e cedente sono in rotazione. E chiaro che il problea sta nel fatto che, poiché a diversi rapporti di trasissione corrispondono velocità angolari diverse dell albero di uscita, le velocità periferiche delle ruote ontate su di esso saranno pure diverse essendo diverso il loro raggio di priitiva: sarà quindi abbastanza iprobabile che, nel passaggio da un ibocco all altro, i denti della ruota ovente trovino il loro posto nei vani della cedente e ciò, inevitabilente, dà luogo ad urti fra i denti (grattata) con conseguente usura, Figura

22 70 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA più o eno iportante, degli stessi. La fig. ostra lo schea di funzionaento di un cabio sincronizzato che si prefigge appunto lo scopo di evitare tale inconveniente. In esso, si vede, le ruote che devono realizzare i diversi rapporti di trasissione sono tutte sepre in presa: quelle che sono ontate sull albero di uscita sono però ontate folli sullo stesso, di odo che esse, di per sé, non sono in grado di porlo in rotazione. D altra parte un tratto dell albero di uscita è realizzato coe albero scanalato e su questo può scorrere l anello del sincronizzatore il quale, spostato a destra o a sinistra realizza il collegaento fra l albero ed una delle due ruote folli. Il collegaento fra la ruota folle e l anello del sincronizzatore avviene per ezzo di particolari risalti, ricavati su una faccia della ruota, che trovano sulla faccia dell anello i corrispondenti vani e che sono sagoati in odo tale che la rotazione stessa favorisca la presa. Tale tipo di collegaento ha subito ovviaente nel tepo la sua evoluzione per cui esistono anche odi diversi per ottenere il edesio risultato. 7.- Rotisi epicicloidali. Coe si è già detto nel precedente, un rotiso viene detto e- picicloidale quando aleno uno degli assi sia in oto durante il funzionaento. Il ebro che consente il oto di tale asse prende il noe di portatreno e satelliti vengono dette le ruote calettate su di esso. Un siffatto eccaniso non ha più un grado di libertà, a avrà un nuero di gradi di libertà in più pari al nuero degli assi obili del sistea. Uno dei odi più seplici in cui può essere realizzato un rotiso e- picicloidale è rappresentato in fig.5, in cui i satelliti sono quelli a cui si fa riferiento con i pedici e ; se una delle ruote che iboccano con i satelliti, è a dentatura interna (fig.6), ad essa si dà il noe di corona, diversaente prende il noe di solare. Figura 5

23 7 Le velocità angolari caratteristiche sono quella della pria ruota, ω, quella dell ultia ruota, ω, e quella del braccio portatreno, Ω. Si coprende che tale eccaniso ha due gradi di libertà, e che pertanto potrà essere Figura 6 utilizzato coe soatore se fatto funzionare con due oventi ed un cedente, o coe differenziale se sarà fatto funzionare con un ovente e due cedenti. In ogni caso, dal punto di vista cineatico, il suo oto non potrà essere univocaente definito se non iponendo il valore di una delle tre velocità angolari, oltre a stabilire la funzione di ciascun ebro (ovente o cedente). Si può ancora osservare che qualora venga iposto proprio il valore Ω=0, il rotiso tornerebbe ad essere un rotiso ordinario. Lo studio cineatico di un rotiso epicicloidale, ossia la deterinazione del suo rapporto di trasissione, diventa seplice se si pone ente al fatto che il suo odo di funzionare non può essere alterato da un cabiaento di riferiento, e quindi se la isura delle velocità in gioco viene fatta in un riferiento obile anziché in quello fisso i oti fra le ruote che lo copongono restano inalterati. Se si sceglie allora coe nuovo riferiento proprio il braccio portatreno, le nuove velocità angolari saranno (ω -Ω) per la pria ruota, (ω -Ω) per l'ultia ruota, (Ω-Ω)=0 per il portatreno che risulterà fero. Si ottiene così quello che prende il noe di rotiso ordinario corrispondente. E' lecito allora scrivere: ω Ω zz k = =± (78) ω Ω zz Questo viene chiaato rapporto costruttivo (o rapporto di Willis) e consente di legare agevolente il rapporto fra il nuero dei denti delle ruote che copongono il rotiso alle velocità angolari in gioco. E' iportante notare, nella (78), la presenza del doppio segno: sta ad indicare che il valore di k potrà essere positivo o negativo. Il cabio di riferiento, che si ottiene, coe visto, sovrapponendo a tutto il sistea una velocità eguale e contraria a quella del braccio portatreno, potrebbe avere coe effetto, a seconda dei casi, una inversione del segno di una

24 7 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA delle ω, e di ciò deve tenersi conto con il segno da attribuire al paraetro k. In altre parole, nel passaggio dal rotiso epicicloidale al rotiso ordinario corrispondente se una delle due differenze che copaiono nella (78) diventa negativa, k sarà negativo. La valutazione di tale circostanza è seplice: basterà iaginare fero il braccio portatreno e valutare se, assegnando ad arbitrio un verso di rotazione alla pria ruota, risulta per l'ultia ruota un verso concorde o discorde con la pria; se i versi sono concordi il segno sarà positivo, sarà negativo nel caso opposto. Definito il valore assunto da k, e noto quali siano gli alberi oventi e quali i cedenti, è possibile ricavare dalla stessa (78) l'espressione del rapporto di trasissione che il rotiso epicicloidale realizza. Infatti sviluppando si ha: k Ω= ω k ω k e da questa, quindi, uno dei tre rapporti: ω Ω τ ( ) = = k k ω ω Ω k ω τ = = ω (79) k ω k Ω k ω τ = = ω k ω k oppure i tre inversi, se si scabiano le funzioni di ingresso ed uscita. Si coprende, allora, la grande versatilità di questo tipo di rotisi: con lo stesso valore di k, ossia con le stesse ruote, possono essere ottenuti rapporti di trasissione diversi con la sola scelta delle funzioni da assegnare agli assi. 8.- Applicazioni. Consideriao il rotiso di fig.7 costituito dalle quattro ruote con nueri di denti z, z, z, z, in cui la ruota è solidale al telaio, entre la e la, solidali fra loro, sono i satelliti calettati sul braccio portatreno. E' la disposizione del rotiso di Pickering o rotiso per contagiri. Calcoliao il rapporto di trasissione nella ipotesi in cui sia ovente il braccio portatreno e cedente la ruota, ossia il valore di τ = ω Ω. Il rapporto costruttivo vale:

25 7 ω Ω zz k = = ω Ω zz ed è positivo in quanto, a portatreno fero, ad una rotazione della ruota, corrisponderebbe una rotazione dello stesso verso della ruota ( ibocchi esterni). Ora, con le ipotesi fatte sulla funzione degli alberi, e tenendo conto che in questo caso è ω =0, il rapporto di trasissione sarà dato dalla stessa (80), di cui il valore di k è stato già calcolato, ed in cui dobbiao porre, appunto, ω =0. Avreo allora: ω Ω ω k = = Ω Ω e quindi, tenendo conto della (80),: ω zz zz τ = = k = Ω zz (80) (8) Si può subito osservare che è facile che la differenza a nueratore risulti olto piccola a fronte del denoinatore: il rotiso risulterà quindi forteente riduttore. Se si avesse z =65, z =85, z =80, e z =70, si avrebbe k=50/595 e τ=75/595 ossia τ 0,6 /8. Un altro tipo di rotiso epicicloidale, di ipiego aeronautico, è quello di cui allo schea di fig.8. Rappresenta il riduttore Farann, costituito da tre ruote coniche, in cui la ruota è solidale al telaio, è ovente la Figura 7 Figura 8

26 7 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA ruota, cedente il portatreno. In questo caso sarà: ω Ω z k = = ω Ω z (8) Non copare il nuero di denti della ruota perché nel rotiso ordinario corrispondente essa è una interedia oziosa, ed il rapporto è negativo in quanto, in quella condizione, risultano di verso opposto le rotazioni della ruota e della ruota (è vero che vi sono due ibocchi e- sterni a la disposizione delle ruote coniche dà luogo ad uno rotazione di π del vettore ω ). Tenendo conto che ω=0, il rapporto di trasissione sarà dato da: Ω k τ = = = ω k z z + z (8) Se z =00 e z =60 sarà k= - 0. e quindi τ=0./. 0,7. La fora che questo rotiso assue globalente, in questa versione o anche in versioni con più satelliti, è il otivo per cui veniva utilizzato in capo aeronautico. Il differenziale per autoveicoli (fig.9), è costituito anch'esso da quattro ruote coniche, a a due a due u- guali. Due di esse, s la e la, fungono da satelliti e coe tali sono calettate al c portatreno che è, l'eleento otore del eccaniso; le altre due, la e la, d sono calettate agli alberi (i seiassi) su cui, all estreità Figura 9 opposta, sono poi calettati i ozzi delle ruote. In tali condizioni il eccaniso ha di fatto due gradi di libertà e quindi, indicando con ω s la velocità angolare della ruota e con ω d quella della ruota, la relazione fra le velocità angolari si scriverà coe: k Ω= ωs ω k k d (8) D'altra parte, l'uguaglianza delle ruote e iplica che il rapporto costruttivo del differenziale è:

27 75 ωs Ω z k = = = ω Ω z d d (85) Ne discende che dalla (8) risulta la relazione cineatica: ωs + ωd Ω= ωs + ωd = (86) il che significa che la velocità angolare del portatreno sarà sepre la edia delle velocità angolari degli alberi di uscita. In particolare, se ω s =ω d =ω (arcia in rettilineo), sarà Ω=ω; la stessa condizione iplica che non vi sarà alcuna rotazione dei satelliti intorno al proprio asse di calettaento: i punti sietrici delle ruote e, a contatto con le ruote adiacenti e, avranno, infatti, la edesia velocità. Consideriao ora (fig.0), un veicolo la cui carreggiata sia d, le cui ruote abbiano un raggio sotto carico pari ad r c, e che stia percorrendo con velocità V 0 una traiettoria di cui sia R il raggio di curvatura. I centri delle ruote percorreranno le loro traiettorie con velocità, rispettivaente per la ruota interna e per l'esterna: V V i e V0 = ( ) R R d V0 = ( ) R R + d per cui le velocità angolari delle stesse ruote, ipotizzando che rotolino senza strisciare, saranno: ω = Vi V e ( ) ω ( ) s d r = 0 rr R d = V V r = 0 rr R+ d c c La (86) si scriverà allora: ωs + ωd V Ω= = ( + + ) = rr R d R d V r c i c c e c c Figura 0 (87)

28 76 ELEMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA e ciò ostra da un canto che la larghezza della carreggiata del veicolo non ha gioco nel funzionaento del differenziale, e dall'altro che il legae fra la velocità di avanzaento del veicolo V 0, e la velocità angolare del portatreno dipende esclusivaente dal raggio sotto carico delle ruote. Consideriao ancora che, dal punto di vista dinaico, in assenza di perdite, deve valere il sistea di equazioni: ωs + ωd Ω = CΩ Csωs Cdωd = 0 (88) C C C = 0 s d in cui copaiono le coppie resistenti C s e C d agenti rispettivaente sul seiasse interno, sul seiasse esterno e la coppia otrice C agente sul portatreno; la seconda equazione rappresenta l'equilibrio delle potenze in assenza di perdite, la terza l'equilibrio delle coppie. Risolvendo il sistea (88) si ottiene dappria: C( ωs + ωd) Csωs Cdωd = 0 C = C + C e poi: da cui: s d ( )( ) C ω + C ω C + C ω + ω = 0 s s d d s d s d ( C C )( ) ω ω = 0 (89) s d d s Si vede allora che anche quando le velocità angolari delle ruote siano diseguali, dovendo essere necessariaente verificata la (89), dovranno essere eguali le coppie alle ruote, entre quando le velocità angolari delle ruote sono eguali le coppie resistenti alle ruote possono anche essere diverse. Ciò iplica che se Ω 0 entre, per es., è nulla sia ω s che C d, si avrà dalla pria delle (88) che è ω d 0; ed allora, essendo ω d ω s, sarà, per la (89), C s =C d =0 con la conseguente ipossibilità di far avanzare il veicolo.