Come si eç visto, esistono numerosi sistemi di coordinate celesti che diæeriscono

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1 G6. Trasformazioni di coordinate Generalitaç Come si eç visto, esistono numerosi sistemi di coordinate celesti che diæeriscono o per la diversa posizione dell'origine, o per il diverso orientamento, o per entrambe le cose. Ognuno di questi ha una sua speciæca utilitaç a seconda del problema in esame, ma solo raramente si puoç trattare il problema utilizzando un solo SC. Per fare un esempio, si voglia determinare se, a un certo istante, un pianeta sia ben visibile da una data localitaç. Tralasciando per ora molti dettagli pure importanti, per prima cosa occorreraç determinare la posizione del pianeta nel sistema solare: per questo scopo il SC piuç naturale eç quello eclittico eliocentrico. Successivamente si dovraç passare a un SC geocentrico e poi topocentrico; inæne, per rispondere alla domanda che ci siamo posti, le coordinate da usare saranno quelle orizzontali. Vedremo poi che la trasformazione da coordinate eclittiche a orizzontali richiede, almeno concettualmente, di passare per le coordinate equatoriali. In un contesto del tutto diverso, ci si puoç porre il problema di come siano distribuiti nello spazio gli ammassi globulari che si osservano sulla sfera celeste e di cui, per qualche via, si sia potuta determinare la distanza. In questo caso il dato osservativo eç riferito in modo naturale al SC di catalogo delle stelle di campo ètipicamente equatoriali equinoziali a un'epoca standardè, mentre la distribuzione che interessa saraç meglio riferita a un SC galattiche e galattocentriche. Bastano questi pochi accenni per capire che il problema delle trasformazioni di coordinate eç essenziale in astronomia: senza voler essere del tutto esaurienti, aæronteremo questo problema nella sua generalitaç, mostreremo qualche trasformazione rilevante e concluderemo con qualche applicazione pratica. Nella presente trattazione non si faraç alcun uso della trigonometria sferica cioeç della trigonometria che si applica ai triangoli costruiti su una superæcie sferica com'eç tradizionale nell'astronomia classica. Preferiremo l'uso di strumenti piuç consueti nella æsica èvettori, traslazioni, rotazioniè, anche in considerazione del fatto che in questo modo la traduzione in algoritmi per un calcolatore eç di gran lunga sempliæcata. In ogni caso, per comoditaç del lettore, alla æne del capitolo riportiamo le piuç utili relazioni della trigonometria sferica. Fissato un certo punto di osservazione,æ O èorigine del SCè la posizione P di un oggetto eç individuata dal vettore ~r = OP, eventualmente descritto in termini delle sue componenti cartesiane x, y, z, quando si siano deænite le direzioni di una terna di assi ortogonali, ovvero dei tre versori di base. Se ci limitiamo alla descrizione della sfera celeste, ogni posizione, riferita al punto di osservazione ècentro della sferaè, eç individuata da un versore; come si eç detto al Cap. G, G6í

2 in questo caso la distanza dell'oggetto considerato non eç nota, o comunque non interessa. E ç per noi interessante la relazione tra le coordinate sferiche del punto P e le componenti del vettore ~r; anche percheç, come si eç visto sopra, i vari SC diæeriscono per l'orientamento. Per ogni SC verranno dunque æssati gli assi x e z; l'asse y risulteraç deænito di conseguenza, trattandosi in ogni caso di terne destrorse. Nota: Nelle espressioni seguenti ci limiteremo ai punti della sfera celeste èdi raggio unitarioè, cioeç alle componenti dei versori. A. Coordinate Altazimutali èod Orizzontaliè: A; h Assi: x verso Sud, z verso lo Zenit è y verso Est èsi noti che l'asse x punta in verso opposto all'origine degli azimutè. x =, cos h cos A y = cos h sin A z = sin h: èg6.è M. Coordinate Equatoriali Meridiane: H; æ Assi: x verso il Mezzocielo superiore, z verso il Polo Nord Celeste è y verso Est. x = cos æ cos H y =, cos æ sin H èg6.2è z = sin æ: E. Coordinate Equatoriali Equinoziali: æ; æ Assi: x verso V, z verso il Polo Nord Celeste. x = cos æ cos æ y = cos æ sin æ z = sin æ: C. Coordinate Eclittiche: ç; æ Assi: x verso V, z verso il Polo Nord Eclittico. x = cos æ cos ç y = cos æ sin ç z = sin æ: G6í2

3 G. Coordinate Galattiche: l; b Assi: x verso il centro della Galassia, z verso il polo Nord galattico. x = cos b cos l y = cos b sin l z = sin b: Abbiamo giaç accennato al fatto che le scelte dell'origine delle coordinate e dell'orientazione di queste sono indipendenti. Parlando di trasformazioni di coordinate manteniamo questa distinzione, dal momento che un cambiamento di origine, nell'ambito dello stesso SC, si realizza mediante una traslazione, mentre la trasformazione da un SC a un altro avente lo stesso centro corrisponde a una rotazione. Traslazioni Ci limiteremo a trattare brevemente due situazioni frequenti: la trasformazione da coordinate eliocentriche a geocentriche e quella da coordinate geocentriche a topocentriche èoltre che, naturalmente, le rispettive inverseè. Detti ~r e e ~r g ivettori che individuano la posizione di un oggetto nei due riferimenti, eliocentrico e geocentrico rispettivamente, occorre ancora conoscere la posizione della Terra rispetto al Sole, descritta dal vettore ~è. La trasformazione saraç allora: ~r e = ~è +~r g : èg6.3è Si vede che il calcolo di ~r g richiede di conoscere dell'orbita della Terra; di conseguenza ~r g dipende dal tempo attraverso ~è. In modo assolutamente analogo si passa dal sistema geocentrico a quello topocentrico, quando sia noto il vettore ~è 0 che deænisce la posizione della localitaç considerata rispetto al centro della Terra: ~r g = ~è 0 +~r t : èg6.4è Qui ~r t dipende ancora dal tempo, a causa della rotazione terrestre, a meno che non si lavori in un SC solidale alla Terra èaltazimutali o equatoriali meridianeè. Inoltre il calcolo di ~r t richiede la conoscenza della forma della Terra, delle coordinate geograæche del luogo, e della sua altitudine. Rotazioni Fissiamo adesso il centro di osservazione, scegliendo ad esempio sistemi geocentrici, e vediamo come si trasformano le coordinate da un sistema all'altro. In tutti i casi si tratta di una rotazione e dunque puoç essere descritta mediante una matrice 3 æ 3, ma non sempre eç ovvio individuare l'asse e l'angolo G6í3

4 di rotazione. E ç peroç sempre possibile ridurre una trasformazione alla composizione di piuç trasformazioni successive: se per queste eç possibile scrivere le corrispondenti matrici, la trasformazione richiesta saraç data dal prodotto di quelle matrici. Ci limiteremo ai tre casi piuç frequenti di trasformazione di coordinate: è A! M èda Altazimutali a Equatoriali Meridianeè: Rotazione attorno all'asse y di un angolo pari alla colatitudine del luogo ' 0 = ç=2, '. M MA = sin ' 0 cos ' 0 0, cos ' 0 sin ' 2è M! E èda Equatoriali Meridiane a Equatoriali Equinozialiè: A : èg6.5è Rotazione attorno all'asse z di un angolo æ pari a Hèæè èangolo orario del punto æè, dipendente dall'istante cui ci si riferisce. Si tratta del tempo siderale giaç introdotto nel cap. prec. M EM = cos æ, sin æ 0 sin æ cos æ 0A : 0 0 3è E! C èda Equatoriali Equinoziali a Eclitticheè: Rotazione attorno all'asse x di un angolo pari all'obliquitaç dell'eclittica ". 0 M CE cos " sin " A : 0, sin " cos " Come esempio si consideri una stella di cui si siano misurate le coordinate altazimutali A, h e di cui si vogliano determinare le coordinate equatoriali meridiane H, æ. Dette x A, y A, z A le componenti del versore che individua la direzione della stella nel sistema altazimutale, basta applicare ad esse la matrice èg6.5è per ottenere le componenti x M, y M, z M del medesimo versore nel SC equatoriale meridiano: sin ' 0 cos ' A 0 0 A@ x A y A A : z A x M y M z M x M = y M =, cos ' 0 sin ' x A sin ' + z A cos ' y A z M =,x A cos ' + z A sin ':

5 ha: Esplicitando in termini delle coordinate polari tramite le èg6.è, èg6.2è si ricavando inæne: cos æ cos H =, cos h cos A sin ' + sin h cos ' cos æ sin H =, cos h sin A sin æ = cos h cos A cos ' + sin h sin ' æ = arcsinècos h cos A cos ' + sin h sin 'è ç ç H = arcsin, cos h sin A : cos æ èg6.6è Si noti che nell'inversione delle funzioni trigonometriche relative alla coordinata ciclica èh in questo casoè sorge sempre il problema della corretta determinazione del quadrante; questo eç uno motivi che inducono a preferire l'uso delle coordinate cartesiane, in modo da dover passare a coordinate polari solo alla æne del calcolo. Prendendo ad esempio le coordinate eclittiche, mostriamo in dettaglio come si opera a partire dalle componenti cartesiane x C, y C, z C. Detta è la lunghezza della proiezione del versore sul piano dell'eclittica, potremo scrivere q è = x 2 C + y2 C æ = arcsin z C è ç = arctg y C x C : Nella determinazione di ç il quadrante verraç poi æssato analizzando i segni di x C e y C. Negli altri casi si procede in modo analogo, facendo attenzione all'origine e al verso della coordinata ciclica: ad esempio, nelle coordinate orizzontali l'origine eç æssata a Nord èverso negativo del corrispondente asse xè e il verso eç orario. Le relazioni fondamentali della trigonometria sferica Invertendo l'ordine storico e la tradizione, possiamo usare le formule di trasformazione viste sopra, per es. quelle da altazimutali a equatoriali meridiane, per ricavare le relazioni base della trigonometria sferica. Consideriamo infatti la æg. G6í, dove sivedono: una stella S, lo zenit Z e il polo nord celeste P. Questi tre punti costituiscono il cosiddetto triangolo fondamentale. Nella ægura sono anche indicati i lati del triangolo èarchi della sfera celesteè e due degli angoli: come si puoç vedere, i lati sono rispettivamente i complementi ' 0, æ 0, h 0 della latitudine del luogo, della declinazione della stella e della sua altezza; l'angolo in Z vale A 0 =2ç,A, e quello in P coincide con H. G6í5

6 Tenendo conto di tutto cioç, le èg6.6è si scrivono: sin æ 0 cos H =, sin h 0 cos A 0 cos ' 0 + cos h 0 sin ' 0 sin æ 0 sin H = sin h 0 sin A 0 cos æ 0 = sin h 0 cos A 0 sin ' 0 + cos h 0 cos ' 0 : èg6.7è Ovviamente la validitaç delle èg6.7è non dipende dal signiæcato di lati e angoli come coordinate celesti; se quindi sostituiamo i nomi P, S, Z con dei generici A, B, C, designiamo i lati opposti con le corrispondenti lettere minuscole, e gli angoli con æ, æ, æ, otteniamo: N P ϕ δ O Z h S h M c S ^ P=H δ S sin c cos æ = cos a sin b, sin a cos b cos æ sin c sin æ = sin a sin æ cos c = cos a cos b + sin a sin b cos æ: èg6.8è Fig. G6- Le èg6.8è esprimono i tre teoremi base della trigonometria sferica: la prima eç il teorema delle proiezioni, la seconda il teorema dei seni e la terza il teorema del coseno. Non eç diæcile veriæcare che se a; b; c ç, ossia se il triangolo sferico puoç essere confuso con un triangolo piano, le èg6.8è divengono le omonime formule della trigonometria piana, il che giustiæca i nomi. E ç spesso utile avere presente il caso particolare di un triangolo rettangolo. Sia ad es. æ = ç=2 èæg. G6í2è: si ha allora sin c cos æ = cos a sin b sin c sin æ = sin a cos c = cos a cos b e dividendo la prima per la terza: a β c γ α b γ =π/2 tg b =tgccos æ èg6.9è mentre dividendo la seconda per la prima: Fig. G6-2 tg a = sin b tg æ: èg6.0è G6í6