Caos: comportamento aperiodico duraturo nel tempo delle traiettorie di un sistema deterministico che presenta dipendenza sensibile dalle condizioni

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1 Circuito di Chua 1

2 Caos: comportamento aperiodico duraturo nel tempo delle traiettorie di un sistema deterministico che presenta dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali per le quali non raggiungono punti di equilibrio e non si chiudono in cicli limite, ma continuano a muoversi nello spazio di stato presentando oscillazioni non periodiche non determinabili a priori. Questo comportamento non è dovuto a fattori forzanti esterni, ma è una proprietà intrinseca del sistema. Il caos rappresenta quindi una forma ordinata del disordine. 2

3 Il circuito di Chua è un semplice oscillatore che mostra una varietà di comportamenti dinamici. Matsumoto nel 1984 mostrò che il circuito di Chua simulato al computer mostrava un attrattore double scroll. Zhong et al. ebbero conferma sperimentale nel Presenta i 3 requisiti minimi per la presenza di caos: 1. Dinamica almeno del terzo ordine, quindi almeno tre componenti dinamici indipendenti. 2. Almeno un componente non lineare 3. Almeno un componente attivo Tutti i resistori reali sono eventualmente passivi per v o i sufficientemente grandi la potenza assorbita è positiva caratteristica nel I e III quadrante. 3

4 NC realizzazione - I stadio I=-V/ 3 I=(V-E sat )/ 1 4

5 LKC LKV (partitore di tensione) V V V 0 V Uscita variabile con l ingresso Se 2 = 1 Se 3 è piccola rispetto alla tensione applicata l op amp non è in grado di rispondere correttamente alla richiesta di corrente. Una volta in saturazione la tensione all uscita del operazionale rimane fissata alla tensione di saturazione e la corrente nel dipolo non lineare sarà pari a I=(V-E sat )/ 1 che non è niente altro che la caratteristica tensione-corrente di una resistenza positiva traslata. 5

6 NC realizzazione - Due stadi in parallelo II stadio I stadio 6

7 Entrambi in zona attiva (due resistori in parallelo) Quando uno satura La conduttanza vista in ingresso sarà pari a Se entrambi saturano I V

8 ealizzare il II stadio del diodo di Chua e visualizzare la caratteristica i,v e la tensione in uscita rispetto alla tensione in ingresso. DC sweep Start value -3 End value +3 Increment 0.01 ealizzare il I stadio del diodo di Chua e visualizzare la caratteristica i,v e la tensione in uscita rispetto alla tensione in ingresso. DC sweep Start value -10 End value +10 Increment 0.01 ealizzare il diodo di Chua ealizzare il circuito di Chua e visualizzare v c1 e v c2 al variare del tempo ed il ritratto di fase nel piano v c1 v c2 al variare della resistenza scelta come parametro di biforcazione. Transient Final time 0.3 Step ceiling 10-5 Indicare con 1 il nodo a cui è connesso C1 e con 2 il nodo a cui è connesso C2 =2k equilibrio =1.88k orbita periodica che esegue un solo giro intorno al punto di equilibrio instabile (Ciclo limite 1 ) =1.85k l orbita di esegue 2 giri attorno alla instabilità (Ciclo limite 2 - biforcazione di duplicazione del periodo ). I cicli diventano poi 4, 8, 16, 32 e così via fino a raggiungere, al limite, infiniti cicli dell orbita. Questa situazione corrisponde ad uno strano attrattore, detto Strano attrattore a spirale di Chua con =1.79k. Esso rappresenta l esempio più semplice nello spazio delle fasi di un regime caotico. =1.74k l orbita esegue un fissato numero di giri attorno al suo punto instabile poi passa nella zona interna della linearità dell elemento non lineare dove compie a sua volta una spirale attorno alla sua instabilità per poi ritornare nella zona di partenza. Le due spirali si uniranno pertanto nel formare questo nuovo tipo di attrattore chiamato Attrattore Double Scroll. =1.49k Attrattore Double Scroll =1.3k largo ciclo limite 8

9 itratto delle fasi al variare di Equilibrio Ciclo limite Ciclo limite Ciclo limite Attrattore a spirale Double scroll Double scroll Ciclo limite 9

10 Pspice Librerie port.slb per GND_EATH eval.slb per ua741 (terra) (opamp) Convenzioni Pspice usa la convenzione degli utilizzatori (anche per i generatori). La sonda di corrente misura la corrente entrante nel morsetto in cui si trova la sonda. Cursor assignment Left-click the analog trace symbol. Associate the first cursor with the selected trace. ight-click the analog trace symbol. Associate the second cursor with the selected trace. Cursor movement Left-click in the display area. Move the first cursor to the closest trace segment at the X position (da tastiera oppure ). ight-click in the display area. Move the second cursor to the closest trace segment at the X position (da tastiera shift oppure ) 10

11 TL082 ma741 11