Classicazione dei moduli nitamente generati su un dominio euclideo

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1 Classicazione dei su un dominio euclideo Relatore: Prof. Andrea Loi Candidato: Università degli Studi di Cagliari 31 Marzo 2015 (UniCa) 31 Marzo / 14

2 classicazione dei su un dominio euclideo Obiettivo: Sia M un E -modulo generato. M è somma diretta di ciclici (UniCa) 31 Marzo / 14

3 Schema della presentazione 1 Denizioni e proprietà sui domini 2 Denizioni e proprietà sui 3 classicazione (UniCa) 31 Marzo / 14

4 Prime denizioni e proprietà sui domini D dominio sse D anello commutativo unitario e vale la ldc Data a D, b D a divide b sse c tc ac = b Sia D un dominio e a, b D, c, d D : a associato a b sse a b e b a a primo sse a bc a b a c d =(a, b) MCD sse d a d b ( c)(c a c b c d) (UniCa) 31 Marzo / 14

5 Prime denizioni e proprietà sui domini D dominio sse D anello commutativo unitario e vale la ldc Data a D, b D a divide b sse c tc ac = b Sia D un dominio e a, b D, c, d D : a associato a b sse a b e b a a primo sse a bc a b a c d =(a, b) MCD sse d a d b ( c)(c a c b c d) (UniCa) 31 Marzo / 14

6 Prime denizioni e proprietà sui domini D dominio sse D anello commutativo unitario e vale la ldc Data a D, b D a divide b sse c tc ac = b Sia D un dominio e a, b D, c, d D : a associato a b sse a b e b a a primo sse a bc a b a c d =(a, b) MCD sse d a d b ( c)(c a c b c d) (UniCa) 31 Marzo / 14

7 Prime denizioni e proprietà sui domini D dominio sse D anello commutativo unitario e vale la ldc Data a D, b D a divide b sse c tc ac = b Sia D un dominio e a, b D, c, d D : a associato a b sse a b e b a a primo sse a bc a b a c d =(a, b) MCD sse d a d b ( c)(c a c b c d) (UniCa) 31 Marzo / 14

8 Prime denizioni e proprietà sui domini D dominio sse D anello commutativo unitario e vale la ldc Data a D, b D a divide b sse c tc ac = b Sia D un dominio e a, b D, c, d D : a associato a b sse a b e b a a primo sse a bc a b a c d =(a, b) MCD sse d a d b ( c)(c a c b c d) (UniCa) 31 Marzo / 14

9 Vari tipi di domini e loro proprietà E dominio euclideo sse δ : E N t.c.,dati a, b E : δ(ab) δ(a) q, r t.c. a = qb + r con r = 0 δ(r) < δ(b) Proprietà Dato d E ha scomposizione unica in prodotto di primi Dati a, b E!d E tc d = (a, b)) (UniCa) 31 Marzo / 14

10 Vari tipi di domini e loro proprietà E dominio euclideo sse δ : E N t.c.,dati a, b E : δ(ab) δ(a) q, r t.c. a = qb + r con r = 0 δ(r) < δ(b) Proprietà Dato d E ha scomposizione unica in prodotto di primi Dati a, b E!d E tc d = (a, b)) (UniCa) 31 Marzo / 14

11 Vari tipi di domini e loro proprietà E dominio euclideo sse δ : E N t.c.,dati a, b E : δ(ab) δ(a) q, r t.c. a = qb + r con r = 0 δ(r) < δ(b) Proprietà Dato d E ha scomposizione unica in prodotto di primi Dati a, b E!d E tc d = (a, b)) (UniCa) 31 Marzo / 14

12 Esempi di domini Esempio 1 Z è un dominio euclideo Esempio 2 Z[i] = {a + ib a, b Z} è un dominio euclideo Esempio 3 K[x] è un dominio euclideo (UniCa) 31 Marzo / 14

13 Esempi di domini Esempio 1 Z è un dominio euclideo Esempio 2 Z[i] = {a + ib a, b Z} è un dominio euclideo Esempio 3 K[x] è un dominio euclideo (UniCa) 31 Marzo / 14

14 Esempi di domini Esempio 1 Z è un dominio euclideo Esempio 2 Z[i] = {a + ib a, b Z} è un dominio euclideo Esempio 3 K[x] è un dominio euclideo (UniCa) 31 Marzo / 14

15 di modulo (M, +, ) A - modulo sse (M, +) gruppo abeliano, (A,, ) anello commutativo unitario e : A M M t.c. Dati a, b A e x, y M: 1 a (x + y) = (a x) + (a y) 2 (a b)x = a x + b x 3 a (b x) = (a b) x 4 1 A x = x (UniCa) 31 Marzo / 14

16 Alcune denizioni sui sotto N M sottomodulo sse N è un A-modulo Se x M < x > sottomodulo ciclico Se {N i } i I con I < sotto di M, N i i I sottomodulo generato i I N i somma diretta Se N sottomodulo di M M/N modulo quoziente (UniCa) 31 Marzo / 14

17 Alcune denizioni sui sotto N M sottomodulo sse N è un A-modulo Se x M < x > sottomodulo ciclico Se {N i } i I con I < sotto di M, N i i I sottomodulo generato i I N i somma diretta Se N sottomodulo di M M/N modulo quoziente (UniCa) 31 Marzo / 14

18 Alcune denizioni sui sotto N M sottomodulo sse N è un A-modulo Se x M < x > sottomodulo ciclico Se {N i } i I con I < sotto di M, N i i I sottomodulo generato i I N i somma diretta Se N sottomodulo di M M/N modulo quoziente (UniCa) 31 Marzo / 14

19 Alcune denizioni sui sotto N M sottomodulo sse N è un A-modulo Se x M < x > sottomodulo ciclico Se {N i } i I con I < sotto di M, N i i I sottomodulo generato i I N i somma diretta Se N sottomodulo di M M/N modulo quoziente (UniCa) 31 Marzo / 14

20 Alcune denizioni sui sotto N M sottomodulo sse N è un A-modulo Se x M < x > sottomodulo ciclico Se {N i } i I con I < sotto di M, N i i I sottomodulo generato i I N i somma diretta Se N sottomodulo di M M/N modulo quoziente (UniCa) 31 Marzo / 14

21 Alcune denizioni sugli omomorsmi e sulle basi Dati gli A- M, M, ϕ : M M omomorsmo Sia ϕ Hom(M, M ): Ker(ϕ) nucleo di ϕ Im(ϕ) immagine di ϕ {x i } s M base sse sono linearmente indipendenti e i=1 generano M L libero sse s N t.c. M A s Sia x M 0 : A < x >= 0 : A x = {a A ax = 0} annullatore di x (UniCa) 31 Marzo / 14

22 Alcune denizioni sugli omomorsmi e sulle basi Dati gli A- M, M, ϕ : M M omomorsmo Sia ϕ Hom(M, M ): Ker(ϕ) nucleo di ϕ Im(ϕ) immagine di ϕ {x i } s M base sse sono linearmente indipendenti e i=1 generano M L libero sse s N t.c. M A s Sia x M 0 : A < x >= 0 : A x = {a A ax = 0} annullatore di x (UniCa) 31 Marzo / 14

23 Alcune denizioni sugli omomorsmi e sulle basi Dati gli A- M, M, ϕ : M M omomorsmo Sia ϕ Hom(M, M ): Ker(ϕ) nucleo di ϕ Im(ϕ) immagine di ϕ {x i } s M base sse sono linearmente indipendenti e i=1 generano M L libero sse s N t.c. M A s Sia x M 0 : A < x >= 0 : A x = {a A ax = 0} annullatore di x (UniCa) 31 Marzo / 14

24 Alcune denizioni sugli omomorsmi e sulle basi Dati gli A- M, M, ϕ : M M omomorsmo Sia ϕ Hom(M, M ): Ker(ϕ) nucleo di ϕ Im(ϕ) immagine di ϕ {x i } s M base sse sono linearmente indipendenti e i=1 generano M L libero sse s N t.c. M A s Sia x M 0 : A < x >= 0 : A x = {a A ax = 0} annullatore di x (UniCa) 31 Marzo / 14

25 Alcune denizioni sugli omomorsmi e sulle basi Dati gli A- M, M, ϕ : M M omomorsmo Sia ϕ Hom(M, M ): Ker(ϕ) nucleo di ϕ Im(ϕ) immagine di ϕ {x i } s M base sse sono linearmente indipendenti e i=1 generano M L libero sse s N t.c. M A s Sia x M 0 : A < x >= 0 : A x = {a A ax = 0} annullatore di x (UniCa) 31 Marzo / 14

26 Teoremi su omomorsmi e basi Teorema ϕ Hom(M, M ) M / Ker(ϕ) Im(ϕ) L libero una base {x i } s L tc L = s < x i=1 i=1 i > con 0 : x i = (0) L libero basi equipotenti Se L è un A-modulo libero, rg(l) è la cardinalità delle basi (UniCa) 31 Marzo / 14

27 Teoremi su omomorsmi e basi Teorema ϕ Hom(M, M ) M / Ker(ϕ) Im(ϕ) L libero una base {x i } s L tc L = s < x i=1 i=1 i > con 0 : x i = (0) L libero basi equipotenti Se L è un A-modulo libero, rg(l) è la cardinalità delle basi (UniCa) 31 Marzo / 14

28 Teoremi su omomorsmi e basi Teorema ϕ Hom(M, M ) M / Ker(ϕ) Im(ϕ) L libero una base {x i } s L tc L = s < x i=1 i=1 i > con 0 : x i = (0) L libero basi equipotenti Se L è un A-modulo libero, rg(l) è la cardinalità delle basi (UniCa) 31 Marzo / 14

29 Teoremi su omomorsmi e basi Teorema ϕ Hom(M, M ) M / Ker(ϕ) Im(ϕ) L libero una base {x i } s L tc L = s < x i=1 i=1 i > con 0 : x i = (0) L libero basi equipotenti Se L è un A-modulo libero, rg(l) è la cardinalità delle basi (UniCa) 31 Marzo / 14

30 Esempi di Esempio 1 I gruppi abeliani Esempio 2 E s con E euclideo Esempio 3 Gli spazi vettoriali a dimensione nita (UniCa) 31 Marzo / 14

31 Esempi di Esempio 1 I gruppi abeliani Esempio 2 E s con E euclideo Esempio 3 Gli spazi vettoriali a dimensione nita (UniCa) 31 Marzo / 14

32 Esempi di Esempio 1 I gruppi abeliani Esempio 2 E s con E euclideo Esempio 3 Gli spazi vettoriali a dimensione nita (UniCa) 31 Marzo / 14

33 Ultimi preliminari Teorema delle due basi Siano L un E-modulo t.c. rg(l) = s e N un E -sottomodulo, {v i } s base di L e {d i=1 i} t E tc {d i=1 iv i } t base di N i=1 Teorema Sia L un A-modulo e {e i } s una sua base. i=1 Posto N =< {d i e i } t > con t s e {d i=1 i} t E i=1 Allora L / s N = < e i > con 0 : e i = i=1 { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

34 Ultimi preliminari Teorema delle due basi Siano L un E-modulo t.c. rg(l) = s e N un E -sottomodulo, {v i } s base di L e {d i=1 i} t E tc {d i=1 iv i } t base di N i=1 Teorema Sia L un A-modulo e {e i } s una sua base. i=1 Posto N =< {d i e i } t > con t s e {d i=1 i} t E i=1 Allora L / s N = < e i > con 0 : e i = i=1 { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

35 classicazione dei su un dominio euclideo Teorema M = s i=1 < m i > E -modulo ( {b i } s i=1 )(M = s i=1 < b i >) Dimostrazione 1 ϕ : E s M epimorsmo con ϕ(e i ) = m i, i = 1,..., s 2 E s/ Ker(ϕ) M 3 {d i v i } t base di Ker(ϕ) i=1 4 E s/ Ker(ϕ) = s < v i=1 i > con { (di ) se i t 0 : v i = (0) se i t M = s < ϕ(v i=1 i) > con 0 : ϕ(v i ) = { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

36 classicazione dei su un dominio euclideo Teorema M = s i=1 < m i > E -modulo ( {b i } s i=1 )(M = s i=1 < b i >) Dimostrazione 1 ϕ : E s M epimorsmo con ϕ(e i ) = m i, i = 1,..., s 2 E s/ Ker(ϕ) M 3 {d i v i } t base di Ker(ϕ) i=1 4 E s/ Ker(ϕ) = s < v i=1 i > con { (di ) se i t 0 : v i = (0) se i t M = s < ϕ(v i=1 i) > con 0 : ϕ(v i ) = { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

37 classicazione dei su un dominio euclideo Teorema M = s i=1 < m i > E -modulo ( {b i } s i=1 )(M = s i=1 < b i >) Dimostrazione 1 ϕ : E s M epimorsmo con ϕ(e i ) = m i, i = 1,..., s 2 E s/ Ker(ϕ) M 3 {d i v i } t base di Ker(ϕ) i=1 4 E s/ Ker(ϕ) = s < v i=1 i > con { (di ) se i t 0 : v i = (0) se i t M = s < ϕ(v i=1 i) > con 0 : ϕ(v i ) = { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

38 classicazione dei su un dominio euclideo Teorema M = s i=1 < m i > E -modulo ( {b i } s i=1 )(M = s i=1 < b i >) Dimostrazione 1 ϕ : E s M epimorsmo con ϕ(e i ) = m i, i = 1,..., s 2 E s/ Ker(ϕ) M 3 {d i v i } t base di Ker(ϕ) i=1 4 E s/ Ker(ϕ) = s < v i=1 i > con { (di ) se i t 0 : v i = (0) se i t M = s < ϕ(v i=1 i) > con 0 : ϕ(v i ) = { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

39 classicazione dei su un dominio euclideo Teorema M = s i=1 < m i > E -modulo ( {b i } s i=1 )(M = s i=1 < b i >) Dimostrazione 1 ϕ : E s M epimorsmo con ϕ(e i ) = m i, i = 1,..., s 2 E s/ Ker(ϕ) M 3 {d i v i } t base di Ker(ϕ) i=1 4 E s/ Ker(ϕ) = s < v i=1 i > con { (di ) se i t 0 : v i = (0) se i t M = s < ϕ(v i=1 i) > con 0 : ϕ(v i ) = { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

40 classicazione dei su un dominio euclideo Teorema M = s i=1 < m i > E -modulo ( {b i } s i=1 )(M = s i=1 < b i >) Dimostrazione 1 ϕ : E s M epimorsmo con ϕ(e i ) = m i, i = 1,..., s 2 E s/ Ker(ϕ) M 3 {d i v i } t base di Ker(ϕ) i=1 4 E s/ Ker(ϕ) = s < v i=1 i > con { (di ) se i t 0 : v i = (0) se i t M = s < ϕ(v i=1 i) > con 0 : ϕ(v i ) = { (di ) se i t (0) se i t + 1 (UniCa) 31 Marzo / 14

41 Ultimi teoremi Teorema Se M =< x > è un E -modulo con 0 : x = (ab) e (a, b) = 1 M =< ax > < bx > con 0 : ax = (b) e 0 : bx = (a) Corollario Se M =< x > è un E -modulo con 0 : x = (d) e d = s i=1 pr i i M = s < d i=1 ix > e 0 : d i x = (p r i i ) con d i = d/p r i i Teorema Se M =< x > è un E -modulo t.c. 0 : x = (0) o 0 : x = (p r ) con p primo N 1, N 2 t.c. M = N 1 N 2 (UniCa) 31 Marzo / 14

42 Ultimi teoremi Teorema Se M =< x > è un E -modulo con 0 : x = (ab) e (a, b) = 1 M =< ax > < bx > con 0 : ax = (b) e 0 : bx = (a) Corollario Se M =< x > è un E -modulo con 0 : x = (d) e d = s i=1 pr i i M = s < d i=1 ix > e 0 : d i x = (p r i i ) con d i = d/p r i i Teorema Se M =< x > è un E -modulo t.c. 0 : x = (0) o 0 : x = (p r ) con p primo N 1, N 2 t.c. M = N 1 N 2 (UniCa) 31 Marzo / 14

43 Ultimi teoremi Teorema Se M =< x > è un E -modulo con 0 : x = (ab) e (a, b) = 1 M =< ax > < bx > con 0 : ax = (b) e 0 : bx = (a) Corollario Se M =< x > è un E -modulo con 0 : x = (d) e d = s i=1 pr i i M = s < d i=1 ix > e 0 : d i x = (p r i i ) con d i = d/p r i i Teorema Se M =< x > è un E -modulo t.c. 0 : x = (0) o 0 : x = (p r ) con p primo N 1, N 2 t.c. M = N 1 N 2 (UniCa) 31 Marzo / 14