Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 dei quesiti del questionario. PROBLEMA In un triangolo ABC, l angolo è doppio dell angolo e inoltre è. Dette BH e CL, rispettivamente, le altezze del triangolo uscenti dai vertici B e C, si consideri il rapporto: espresso in funzione di ABˆ C.. Si studi la funzione f() così ottenuta e si tracci il suo grafico γ nell intervallo, mettendo in evidenza poi la parte di grafico compatibile con i dati del problema.. Si dimostri che γ è simmetrica rispetto alla retta. 4. Si calcoli il valore medio della funzione f() nell intervallo. PROBLEMA Sia data la funzione: f ) (. Si verifichi che la curva che la rappresenta è simmetrica rispetto all origine.. Si studi tale funzione e se ne tracci il grafico γ, su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oy.. Si verifichi che F ( ) log è una funzione primitiva di f(). 4. Si calcoli l errore che si commette approssimando l area racchiusa dalla curva γ, dall asse e dalle rette e con l area del trapezio ABCD, essendo A(, ), B(, ), C(, f()) e D(, f()).
Sessione straordinaria - a.s. 9- QUESTIONARIO. Due osservatori si trovano ai lati opposti di un grattacielo, a livello del suolo. La cima dell edificio dista 6 metri dal primo osservatore, che la vede con un angolo di elevazione di 5. Se il secondo individuo si trova a 65 metri dalla cima del grattacielo, quale è la distanza tra i due osservatori ( non tenendo conto dell ostacolo grattacielo)?. Si calcoli il limite della funzione ctg ( tg) quando tende a.. In quanti modi persone possono disporsi su dieci sedili allineati? E attorno ad un tavolo circolare? 4. Si dimostri che ogni funzione f ( ) a b c d dove a, b, c, d sono valori reali con a, ha un massimo e un minimo relativi oppure non ha estremanti. 5. Si calcoli il volume del solido generato da una rotazione completa attorno all asse del triangolo di vertici A(, ), B(6, 4), C(6, 6) 6. Si dica se esistono numeri reali per i quali vale la seguente uguaglianza: 4 4 sen cos 6sen cos 7. Sia P un punto del piano di coordinate t, t. Al variare di t ( t ), P descrive un t t luogo geometrico del quale si chiede l equazione cartesiana e il grafico. 8. Si dimostri che il perimetro di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza di raggio r, quando si fa tendere n all infinito, tende alla lunghezza della circonferenza. 9. Si calcoli il valore medio della funzione f ( ) cos nell intervallo.. Si dimostri che se le diagonali di un quadrilatero sono perpendicolari, la somma dei quadrati di due lati opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Durata massima della prova: 6 ore. E consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è ammesso lasciare l aula degli esami prima che siano trascorse tre ore dalla dettatura del tema.
Sessione straordinaria - a.s. 9- PROBLEMA Punto Consideriamo la figura sottostante. Si ha: BH CL f ( ) a a cos sin ( ) sin ( ) BH CL a Punto cos cos ( ) sin sin ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos( ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) cos cos Studiamo la funzione ( ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) f in [,] Dominio: [,]; Intersezione asse ascisse: f ( ) cos( ) ( ( )) ( ( ) ) [ ] > cos cos, cos ( ) Intersezione asse ordinate: f( ) Simmetrie: la funzione è periodica di periodo ( ) T e pari in quanto ( cos( ) ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) f Positività: ( ) > cos( ) > cos( ) < (,) f ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata; f ( ) ;
Sessione straordinaria - a.s. 9- Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la funzione è periodica e limitata; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è f ' ( ) sin( ) cos( ) sin ( ) sin poi valutiamo il segno della derivata prima: ( ) cos( ) 4 ; studiamo il segno dei singoli fattori e sin cos ( ) > < < 4 4 4 ( ) > < < arccos arccos < < Di conseguenza: f ' 4 4 ( ) > < < arccos < < arccos Di seguito il quadro dei segni in cui α arccos, β arccos 4 4 sin ( ) ( ) cos 4 α β Dal quadro soprastante deduciamo che la 5 5 e due massimi relativi in M α,,m β, ; 6 6 m (,) funzione presenta un minimo relativo in Concavità e convessità: la derivata seconda è ( ) ( ) 8cos ( ) cos( ) cos cos 4 f ''( ) cos( ) 4cos ( ) per cui f '' ( ) > cos( ) < cos( ) < < arccos 8 arccos 8 > 8 8 arccos < < arccos 8 8 < <
Sessione straordinaria - a.s. 9- Quindi la funzione presenta concavità verso l alto in, arccos 8 arccos 8 arccos, 8, arccos 8 e presenta quattro flessi a tangente obliqua in arccos 8 5,6, arccos 47,5, 8 arccos,5, arccos 8 8 Il grafico è di seguito presentato nell intervallo [,]: 6,4 Se consideriamo i limiti geometrici, dobbiamo imporre che l angolo al vertice BÂC deve essere compreso tra e, cioè < < < <. Di seguito il grafico per < < :
Sessione straordinaria - a.s. 9- Punto Una funzione è simmetrica rispetto alla retta k se f( ) f( k ). Nel caso in esame ( ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) ( cos( ) ) f( ) per cui ( ) f simmetrica rispetto alla retta Punto 4. f è Il valor medio di una funzione f ( ) in [ b] V M cos cos PROBLEMA Punto ( ) cos ( ) cos( ) cos( ) ( ) cos( ) sin( ) sin( ) d d 4 b a, è VM f( )d. Nel caso in esame b a a d Per dimostrare la simmetria rispetto all origine bisogna provare che f( ) f( ) ( ) ( ) f ( ) f Punto ( ).. In effetti
Sessione straordinaria - a.s. 9- Studiamo la funzione f ( ) Dominio: ± (, ) (,) (, ) ; Intersezione asse ascisse: f ( ) Intersezione asse ordinate: f( ) Simmetrie: la funzione è dispari come dimostrato al Punto Positività: f > > > < > ( ) > < < > Asintoti verticali: ( ), lim f( ), lim f( ), lim f( ) f lim per cui le rette di equazione ± sono asintoti verticali; Asintoti orizzontali: non esistono in quanto f( ) ± lim ; ± Asintoti obliqui: se esistono hanno equazione y m q con ( ) f m lim q [ f( ) m], lim ; nel caso in esame ± ± ( ) f m lim lim, lim lim q ± ± ± ± l asintoto obliquo ha equazione y ; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ( ) ( ) ' ( ) per cui ( ) ( ) f ; studiamo il segno dei singoli fattori e poi valutiamo il segno della derivata prima: > R > < { } > ( ) > R{ ± } - - - - - -
Sessione straordinaria - a.s. 9- Di conseguenza: '( ) > (, ) (, ) f per cui c è un massimo in M, ed un minimo in m, ; Concavità e convessità: la derivata seconda è 4 ( ) ( 4 6) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) f '' per cui, la funzione presenta concavità verso l alto in (,) (, ) e verso il basso in (, ) (,) funzione presenta un flesso a tangente orizzontale in F (,). Di seguito il grafico: ; la Punto Le primitive della funzione ( ) f sono f ( ) d d d d ln c e una di esse la ricaviamo per Punto 4 c ed è F ( ) ln
Sessione straordinaria - a.s. 9- L area della regione racchiusa dalla curva γ, dall asse e dalle rette e è pari a: S f( ) d ln 9 ln8 ln 5 8 ln L area del trapezio rettangolo è, invece, pari a S T ( B B ) h [ f( ) f( ) ] ( ) m M 45 5 8 5 8 ln ln 48 non approssimato è ε 48,% 5 8 5 8 ln ln QUESTIONARIO Quesito 8 7 8 45. L errore commesso rispetto al valore 48 Si consideri la figura seguente rappresentante la geometria del problema. Bisogna calcolare la distanza AB ; posto AB ed applicando il teorema di Carnot al triangolo AOB si ha AB AO AB AO cos( OÂB) OB 6 8 4 ; sostituendo i valori l equazione diventa 6 cos 4 6 ( 5 ) 65 ( 6 65 ) ( 6 ) 75 4( 6 ) ± 6( 8 4 ) ( 6 ) ± 5( 56 4) 4( 6 ) ± 5 56 4 5 8 6 8 56 4 ± 46,49 m 44,47 m 75
Sessione straordinaria - a.s. 9- Poiché i due osservatori si trovano ai lati opposti del grattacielo, la soluzione accettabile è AB 46,49 m. Quesito Posto tan, se allora t, per cui il limite sarà: t lim t cot an ( tan ) lim e t t Quesito E' un problema classico del calcolo combinatorio. Nei tanti modi in cui le persone possono sedersi conta l'ordine quindi stiamo parlando di disposizioni. Poiché devo fare gruppi ordinati di persone disponendo proprio persone stiamo parlando di permutazioni. La soluzione è data da D,! 9 8 688 Consideriamo ora il caso in cui debbano sedersi in cerchio. Per ciascuno dei modi sedersi esistono altri nove modi del tutto equivalenti ottenuti ruotando tutti i posti allo stesso modo. In sostanza i possibili modi possono essere raggruppati a a quindi i possibili modi di sedersi in cerchio sono D,! 9! 9 8 688 Quesito 4 La cubica di equazione y a b c d ha come derivata prima la parabola y ' a b c. L equazione y ' presenta le seguenti soluzioni: soluzioni reali distinte soluzioni reali coincidenti, soluzioni complesse coniugate b± b ac se b ac> ; a b se b ac ; a,, b± i b ac se b ac<. a Nel caso in cui le soluzioni fossero reali e distinte, la funzione sarebbe:
Sessione straordinaria - a.s. 9- se a > o crescente in b b ac b b ac,, a a o decrescente in b b a ac b, b ac a se a < o decrescente in b b ac b b ac,, a a o crescente in b b ac b, a b ac a Nel caso a > la cubica presenterebbe quindi un massimo relativo all ascissa b b ac e un minimo relativo all ascissa a b b ac, mentre se a < un a minimo relativo all ascissa b b ac e un massimo relativo all ascissa a b b ac. In questi casi la funzione presenterebbe, oltre ai due estremanti suddetti, a b anche un flesso a tangente obliqua all ascissa F. a Se le due soluzioni fossero reali e coincidenti o complesse coniugate, la funzione sarebbe strettamente crescente in tutto il dominio R, per cui non vi sarebbero estremanti in questi casi; in particolare in presenza di soluzioni reali la funzione presenterebbe solo un flesso a tangente b orizzontale all ascissa F mentre in presenza di soluzioni complesse coniugate la funzione a presenterebbe solo un flesso a tangente obliqua all ascissa Quesito 5 Si consideri la figura sottostante: b F. a
Sessione straordinaria - a.s. 9- Il volume richiesto è dato dalla differenza tra i volumi dei tronchi di cono AA C C e AA B B: V ( R r Rr) h ( R' r' R' ') h r 8 4 Quesito 6 96 ( 6 4 ) 4 ( 6 4 8) L equazione può essere così riscritta: 4 4 [ sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) ] 4sin ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) Poiché > R sin ( ). Quesito 7 sin, l equazione sin ( ) ( ) sin ( ) non ha soluzioni in R in quanto
Sessione straordinaria - a.s. 9- Poniamo t t. Sommando e sottraendo membro a membro si ha: y t t y t y t da cui, eliminando il parametro t, ricaviamo y y 4; il luogo è, quindi, una y iperbole equilatera con asintoti le bisettrici di equazione Quesito 8 y ±. Si consideri la figura sottostante di un poligono inscritto in una circonferenza di centro O e raggio r. A O H B Il perimetro del poligono è pari a n volte la lunghezza del segmento AB, p n n AB; se i lati del poligono sono n l angolo A ÔB misura per cui n A ÔH BÔH. La lunghezza del lato AB è n pari al doppio di quella del segmento AH poiché AOB è isoscele per cui applicando il teorema dei triangoli rettangoli si ha Calcoliamo tale perimetro quando lim p n n sin n r lim n n AB AH r sin. Il perimetro sarà quindi p n rn sin. n n n : sin n lim rn sin lim r n n n n t n ( t) ( t) sin r lim r t cioè il perimetro, al tendere all infinito del numero dei lati, tende alla lunghezza della circonferenza circoscritta ad esso.
Sessione straordinaria - a.s. 9- Quesito 9 Il valor medio di una funzione f ( ) in [ b] b a, è VM f( )d. Nel caso in esame b a a V M sin cos [ ] d sin( ) ( ) d cos( ) cos( ) sin ( ) ( ) 4 Quesito Consideriamo la figura sottostante. B A E C Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli AED, BEC, AEB e EDC si ha: AD BC AB DC AE BE AE DE ED EC EB EC ( ) ( ) ( ) ( 4) Sommando membro a membro le prime due e le ultime due si ha: D AD AB BC DC AE AE ED ED BE EB EC EC cioè la somma dei quadrati di due lati opposti coincide.