Piano Lauree Scientifiche 2011-2012
«non si può intendere se prima non s impara a intender lingua, e conoscer i caratteri, nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola»
Figure piane e loro proprietà
Un triangolo ha un lato di 6 cm e uno di 10 cm. Quale tra le seguenti non può essere la misura della lunghezza del terzo lato? A. 6,5 cm B. 10 cm C. 15,5 cm D. 17 cm Quesito D3 QUADERNI SNV 2010/2011
I Triangoli. Definizione Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni.
Bisettrici, mediane, altezze Definizione Bisettrice relativa ad un vertice In un triangolo ABC, la bisettrice relativa al vertice A è il segmento di bisettrice dell angolo A che congiunge il vertice con il lato opposto Definizione Mediana relativa a un lato In un triangolo ABC, la mediana relativa a un lato è il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto a quel lato. Definizione Altezza relativa a un lato In un triangolo ABC, l altezza relativa a un lato è il segmento che, partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso( o il suo prolungamento) formando con essi due angoli retti.
La classificazione dei triangoli rispetto ai lati Definizione Triangolo equilatero Definizione Triangolo isoscele Definizione Triangolo scaleno Un triangolo è equilatero quando ha i tre lati congruenti. Un triangolo è isoscele quando ha due lati congruenti. Un triangolo è scaleno se ha i tre lati non congruenti. AB BC AC
Le proprietà del triangolo isoscele Il teorema del triangolo isoscele Condizione necessaria e sufficiente affinchè un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti.
La bisettrice nel triangolo isoscele Teorema Se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell angolo al vertice è anche altezza e mediana rispetto alla base.
La classificazione dei triangoli rispetto agli angoli Definizione Triangolo rettangolo Definizione Triangolo ottusangolo Definizione Triangolo acutangolo Un triangolo rettangolo è un triangolo con un angolo retto. Un triangolo ottusangolo è un triangolo che ha un angolo ottuso. Un triangolo acutangolo è un triangolo con tutti gli angoli acuti.
Le disuguaglianze nei triangoli Teorema dell angolo esterno In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti a esso. Corollario 1 La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto. Corollario 2 Un triangolo non può avere due ( o più) angoli retti, né due ( o più) angoli ottusi, né un angolo retto e uno ottuso, cioè in un triangolo due angoli sono sempre acuti. Corollario 3 Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
Teorema A lato maggiore si oppone angolo maggiore In ogni triangolo non equilatero, a lato maggiore si oppone angolo maggiore. Teorema In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
La congruenza dei triangoli Due triangoli sono congruenti, quando, mediante un movimento rigido, sono sovrapponibili punto a punto.
I criteri di congruenza dei triangoli Teorema Primo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l angolo tra essi compreso, allora sono congruenti.
Teorema Secondo criterio di congruenza Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti congruenti, allora sono congruenti.
Teorema Terzo criterio di congruenza dei triangoli Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora sono congruenti.
I punti notevoli di un triangolo Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo. L incentro è il punto d incontro delle bisettrici degli angoli del triangolo. L excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni con la bisettrice dell angolo interno non adiacenti a esso.
L ortocentro è il punto di incontro delle altezze del triangolo. Il baricentro è il punto d incontro delle mediane del triangolo. Proprietà del baricentro Il baricentro divide ogni mediana in due parti di cui quella contenente il vertice è doppia dell altra.
La diagonale di un quadrato è 9 cm; allora: A. Il lato del quadrato è 4,5 cm B. L area del quadrato è 40,5 cm C. Il raggio della circonferenza inscritta è cm D. Il perimetro del quadrato è cm E. Il raggio della circonferenza circoscritta è cm Quesito n 13 Test iniziale PLSUN 2010/2011
Un foglio rettangolare viene piegato lungo la congiungente i punti medi del lato più lungo, ottenendo così un rettangolo più piccolo. Si osserva che il rapporto fra lato maggiore e lato minore del foglio iniziale è lo stesso che si ha per il foglio piegato. Quanto vale questo rapporto? A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 2 E. 3 Quesito n 20 Test Scienze 9 settembre 2011
I parallelogrammi e i trapezi Definizione Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli. AB DC Teorema Condizioni necessarie Se un quadrilatero è un parallelogramma allora. AD 1. Ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti; 2. i lati opposti sono congruenti; 3. gli angoli opposti sono congruenti; 4. gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari; 5. le diagonali si incontrano nel loro punto medio. BC
Teorema Condizioni sufficienti Se un quadrilatero convesso ha 1. I lati opposti congruenti, oppure 2. gli angoli opposti congruenti, oppure 3. le diagonali che si incontrano nel loro punto medio, oppure 4. due lati opposti congruenti e paralleli, Allora è un parallelogramma.
Parallelogrammi particolari Un rettangolo è un parallelogramma avente quattro angoli retti Le diagonali di un rettangolo sono congruenti. Se in un parallelogramma le diagonali sono congruenti, allora il parallelogramma è un rettangolo ABCD è un parallelogramma ABCD è un rettangolo AC BD
Un rombo è un parallelogramma avente i quattro lati congruenti. In un rombo le diagonali sono: perpendicolari; bisettrici degli angoli. Se in un parallelogramma le diagonali sono perpendicolari, oppure bisettrici degli angoli, Allora il parallelogramma è un rombo ABCD è un parallelogramma ABCD è un rombo AC DB AC bisettrice di A o di C DB bisettrice di B o di D
Un quadrato è un parallelogramma avente i quattro angoli e i quattro lati congruenti. In un quadrato le diagonali sono: congruenti; perpendicolari; bisettrici degli angoli. Se in un parallelogramma le diagonali sono: congruenti e perpendicolari, oppure congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo, Allora il parallelogramma è un quadrato. ABCD è un parallelogramma AC DB AC DB ABCD è quadrato AC bisettrice di A o di C
I trapezi Un trapezio è un quadrilatero avente due soli lati paralleli. Un trapezio isoscele è un trapezio avente i lati obliqui congruenti. Un trapezio isoscele ha gli angoli adiacenti a ciascuna base congruenti. Viceversa, è sufficiente che gli angoli adiacenti a una base siano congruenti affinchè un trapezio sia isoscele. AD A D BC B C Un trapezio rettangolo è un trapezio in cui uno dei lati è perpendicolare alle basi. DA AB DA DC
Le corrispondenze in un fascio di rette parallele Un fascio improprio di rette è l insieme di tutte le rette parallele a una retta data. Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti sull un Corrispondono segmenti congruenti sull altra.
In un triangolo, il segmento con estremi nei punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla metà di esso. In un trapezio, la congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallela alle due basi e congruente alla loro semisomma. AC MB MN AC DM MA MN AB DC NM NB MN = CN NB 1 MN = ABDC 1 AC 2 2
Per recintare un aiuola rettangolare occorrono 18m di filo. Sapendo che l aiuola è equivalente ad una quadrata di area 2 20m, possiamo dire che: A. L aiuola quadrata ha perimetro 4 5m B. La diagonale dell aiuola rettangolare è 41m C. le dimensioni dell aiuola rettangolare sono 4m D. il lato dell aiuola quadrata misura 5m E. la diagonale dell aiuola quadrata è 10m Quesito n 11 Test iniziale PLSUN 2011/2012
L estensione e l equivalenza Il concetto di estensione di una superficie è primitivo. Due superfici si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione. La relazione di equivalenza fra superfici gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. La caratteristica comune alle superfici che appartengono alla stessa classe di equivalenza è detta area della superficie. Le superfici ottenute come somme ( o differenze) di superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti.
Il tangram è costituito da sette tavolette di diverse forme geometriche disposte inizialmente a formare un quadrato: - 5 triangoli - 1 quadrato - 1 parallelogramma. Tutte le figure che si realizzano con le sette tavolette hanno forme geometriche diverse, ma sono equiestese.
L equivalenza di due parallelogrammi Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze, relative a tali basi, allora sono equivalenti. I triangoli e l equivalenza Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà base del triangolo.
L equivalenza fra un triangolo e trapezio Un trapezio è equivalente ad un triangolo che ha altezza congruente all altezza del trapezio e base congruente alla somma delle basi del trapezio. L equivalenza fra triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base Congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza.
In figura sono rappresentati due triangoli rettangoli dei cui lati viene indicata la lunghezza. Sapendo che a = b, indica quanto vale c. (I quadratini identificano gli angoli retti) A. 6 B. 2 5 C. 10 D. 2 3 Quesito n 13 Test Scienze 10 settembre 2008
Quesito D9 QUADERNI SNV 2010/2011
I teoremi di Euclide e di Pitagora Il primo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all ipotenusa e alla proiezione dello stesso cateto sull ipotenusa. Q 1 R 1 Q 2 R 2
Il Teorema di Pitagora In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Q Q Q 3 1 2
Il secondo teorema di Euclide In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Q R
Il Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele intersecato da due trasversali, i segmenti che si formano su una trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti corrispondenti che si formano sull altra trasversale. AB : BC AB ' ': B' C'
Teorema della bisettrice di un angolo interno di un triangolo In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri lati. BE : CE AB : AC
La diagonale di un quadrato è 9cm. Allora: A. Il lato del quadrato è 4,5 cm B. l area del quadrato è 2 40,5 cm C. il raggio della circonferenza inscritta è 3 cm D. il perimetro del quadrato è 12 2 cm E. il raggio della circonferenza circoscritta è 2 3 cm Quesito n 13 Test iniziale PLSUN 2010/2011
L area di un quadrato in una circonferenza è. Allora la metà dell area della differenza tra l area del cerchio e l area del quadrato è: Quesito n 7 Test iniziale PLSUN 2011/2012 2 2m 2 2 2 2 2. 2. 1 2 1. 2. 4 1. 4 2 A m B m C m D m E m
In figura è rappresentato un triangolo ABC i cui vertici sono sui lati di un rettangolo. In riferimento alle misure indicate nella figura, qual è l area del triangolo ABC? A. 8 B. 8,5 C. 9 1 3 D. 9,5 2 3
Un foglio di carta quadrato viene piegato a metà; si ottiene così un rettangolo che ha perimetro 18 cm. Qual è l area del quadrato iniziale, espressa in cm 2? A. 48 B. 64 C. 36 D. 32 E. 16 Quesito n 3 Test Scienze 7 settembre 2010
In figura si vedono due quadrati parzialmente sovrapposti, uno dei quali ha il lato di lunghezza 4 e l altro ha il lato di lunghezza 3. Sapendo che l area dell intersezione dei quadrati è 2, qual è l area della regione coperta dai due quadrati? A. 21 B. 22 C. 24 D. 25 E. 23 Quesito n 9 Test Scienze 7 settembre 2010
Le aree dei poligoni A l 2 A bh A bh A 1 b h 2 1 2 A B bh A d d 1 2 1 2
A pr A pa
Mediante la misura delle aree di rettangoli e quadrati scriviamo le relazioni che esprimono, in un triangolo rettangolo, il Teorema di Pitagora, i due teoremi di Euclide e l area del triangolo. Teorema di Pitagora c c i 2 2 2 1 2 Primo teorema di Euclide c p i 2 1 1 c p i 2 2 2 Secondo teorema di Euclide h 2 p p 1 2 Area del triangolo 2A = c c 1 2 i h
In un triangolo prendo i punti medi dei lati e considero un secondo triangolo che ha questi punti come vertici. Il rapporto fra l area del secondo triangolo e l area del triangolo iniziale A. è B. è C. è 1 3 1 4 1 2 D. dipende dal triangolo che si considera
Avere la stessa forma I due cerchi della figura hanno certamente la stessa forma. I due poligoni hanno gli angoli rispettivamente congruenti, ma non possiamo dire che hanno la stessa forma. I triangoli IKJ e LMJ hanno la stessa forma. Hanno gli angoli rispettivamente congruenti. Inoltre, essendo L il punto medio di IJ e M il punto medio di KJ, i lati di LMJ sono ciascuno la metà dei corrispondenti lati del triangolo IKJ, anche il lato LM che congiunge i punti medi è la metà di KI, per il Teorema di Talete; in definitiva il rapporto tra LM e KI. Tra LJ e IJ, tra MJ e KJ è sempre di 1 a 2; i lati sono quindi in proporzione
Definizione Due poligoni aventi angoli corrispondenti congruenti e lati in proporzione si dicono simili. I due trapezi della figura seguente sono simili, hanno infatti gli angoli congruenti e i lati in proporzione: i lati del primo trapezio sono tutti il doppio dei lati del secondo. Definizione Si chiamano omologhi sia i vertici degli angoli rispettivamente congruenti sia i lati e le diagonali che congiungono i vertici omologhi. Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi.
Primo criterio di similitudine Due triangoli aventi due angoli rispettivamente congruenti sono simili. Ipotesi ' ' Tesi ABC DEF Secondo criterio di similitudine Due triangoli aventi due lati in proporzione e l angolo tra essi compreso congruente sono simili. Ipotesi AC : DF = AB : DE Tesi ABC DEF Terzo criterio di similitudine Due triangoli aventi i lati in proporzione sono simili. Ipotesi AC : A C = AB : A B = BC : B C Te si ABC A B C 1 1 1 1 1 1 1 1 1
In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le rispettive altezze. Ipotesi CH AB ABC A B C Tesi AB : A B CH : C H 1 1 1 1 1 1 1 In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le rispettive mediane. Ipotesi AM MB A M B M ABC A B C Tesi AB : A B CM : C M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 In due triangoli simili il rapporto di due lati omologhi è uguale al rapporto tra le bisettrici uscenti da due vertici omologhi. Ip otesi ABC A B C Tesi AB : A B CG : C G 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Teorema 1 Il rapporto tra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto di similitudine. Ipotesi Tesi AB : A B AC : AC BC : B C 2p : 2p AB : A B ABC A BC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Teorema 2 Il rapporto tra le aree di due triangoli simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine. Ipotesi Tesi AB : A B AC : AC BC : B C Area : Area AB : A B 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC A BC 1 1 1
Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza Teorema delle corde Se due corde di una circonferenza si incontrano in un punto interno al cerchio allora le due corde restano divise in modo che le parti di una siano i medi e le parti dell altra gli estremi della stessa proporzione. Ipotesi AB e CD sono due corde che si intersecano in E Tesi EB : ED = EC: EA
Teorema delle secanti Da un punto esterno a un cerchio si conducono due secanti alla circonferenza, allora un intera secante e la sua parte esterna formano i medi e l altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una stessa proporzione. Ipotesi AB e CD sono due corde che si intersecano in E esterno alla circonferenza Tesi EC : ED = EA : EB
Teorema della secante e della tangente Da un punto esterno a un cerchio si conduce una secante e una tangente alla circonferenza, allora il segmento di tangente è medio proporzionale tra l intera secante e la sua parte esterna alla circonferenza. Ipotesi B punto esterno alla circonferenza BA tangente in A BE secante in D e E. Tesi BE : BA = BA : BD
Il rapporto tra le lunghezze di due circonferenze è uguale al rapporto tra i rispettivi raggi, mentre il rapporto tra le aree dei cerchi è uguale al quadrato del rapporto tra i raggi. C r 2 1 1 S lr r 2 2 2
A r = p abc R = 4 A Indicate con a,b,c le misure dei tre lati di un triangolo e con p quella del semiperimetro,la misura dell area A del triangolo è data dalla formula di Erone: A = p p -a p b p c
Il primo incontro con la sezione aurea in genere avviene in geometria. La sezione aurea di un segmento AB è quella parte di tale segmento che sia media proporzionale tra tutto il segmento e la parte restante. Considerato, cioè, un segmento AB, il segmento AC sarà sua Sezione Aurea se AB AC AC BC Ciò avviene, quindi, quando il rapporto tra l intero segmento e la parte più lunga è uguale al rapporto tra la parte più lunga e la parte più corta.
Cerchiamo il valore di questo rapporto. Posto AB= l e AC= x potremo riscrivere la precedente relazione come: l x l lx x x lx l 0 x l l l l l l x l x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 5 1 5 Consideriamo il valore positivo: 51 x l 2 Quindi risulterà: x 51 0,618033... l 2 A questo punto il rapporto cercato sarà: l x 2 5 1 2 5 1 5 1 1,618033... 5 1 5 1 5 1 2
La sezione aurea nella pittura Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo inoltre scoprì che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare Leonardo incorporò il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L ultima cena e L'Uomo di Vitruvio. Nella Gioconda il rapporto aureo è stato individuato: nella disposizione del quadro nelle dimensioni del viso nell area che va dal collo a sopra le mani in quella che va dalla scollatura dell abito fino a sotto le mani. Ne L Ultima cena, Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo.
TEOREMA. ll lato del decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta.
Detto OA il raggio della circonferenza e AB il lato del decagono regolare, si dimostra che : OA : AB = AB : (OA-AB) Sostituendo alle grandezze le loro misure, chiamando ad esempio r il raggio e l il lato, la proporzione diventa: r : l = l : (r-l) Moltiplichiamo tra loro gli estremi ed i medi 2 2 l r l l 0 Risolvendo l equazione rispetto ad l e tenendo conto che è accettabile solo la lunghezza positiva si ha: l r 51 2
Sia ABC un triangolo isoscele di base BC uguale a 2cm. Sapendo che l angolo in A misura radianti, possiamo dire che: 5 A. L angolo in B è radianti B. L altezza relativa alla base è C. il lato obliquo misura D. il perimetro è 10 21 5cm 5 2 5cm 1 5cm E. l area è 2 5 2 5 cm Quesito n 16 Test iniziale PLSUN 2011/2012
In un triangolo di vertici ABC l angolo in B è di 74. Sappiamo inoltre che la lunghezza del lato AB è u, la lunghezza del lato BC è v, la lunghezza del lato CA è w. Quale delle seguenti relazioni si può dedurre da ciò che sappiamo? A. u v w 2 2 2 B. u v w 2 2 2 C. u + v > w 2 D. u + v < w
aob Sia dato l angolo. Sia P un punto qualsiasi del secondo lato di α. Sia H la proiezione ortogonale di P sulla semiretta a. Se consideriamo sul lato b altri punti P 1, P 2, P 3, ecc. diversi da P aventi per proiezioni ortogonali su a rispettivamente H 1, H 2, H 3, ecc., i triangoli OPH, OP 1 H 1, OP 2 H 2, OP 3 H 3, ecc., sono simili per il primo criterio di similitudine avendo gli angoli congruenti. Pertanto, avranno i lati omologhi in proporzione e sarà quindi: HP OP H P H P HP OP OP OP 1 1 2 2 3 3 1 )... 1 2 3 b OH OP OH OH OH OP OP OP 1 2 3 2 )... 1 2 3 HP OH H P H P HP OH OH OH 1 1 2 2 3 3 3 )... 1 2 3 a Questi rapporti sono pertanto funzioni dell angolo α e sono chiamati funzioni goniometriche dell angolo α; essi sono rispettivamente il seno, il coseno, la tangente dell angolo α. L angolo α costituisce l argomento delle funzioni goniometriche.
Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo. Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli. Triangoli rettangoli sen = rapporto tra il cateto opposto all angolo e l ipotenusa. cos = rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa. x' r ' y' r ' OA' OB' B' A' OB' OA OB BA OB cos sen
LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE Prima relazione fondamentale della goniometria cos 2 + sen 2 = 1 Da cui, se è noto cos, mentre, se è noto sen,,.
LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE Seconda relazione fondamentale della goniometria, y B = sen, x B = cos,.
Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'. Triangolo rettangolo tg = rapporto tra il cateto opposto all angolo e il Un altro significato geometrico Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t. cateto adiacente. tg = ordinata di T.
Il teorema di Pitagora generalizzato Il teorema del coseno è detto anche teorema di Pitagora generalizzato perché, se = 90 o, il triangolo ABC è rettangolo in A e l enunciato a 2 = b 2 + c 2 2bc cos si riduce all enunciato del teorema di Pitagora: a 2 = b 2 + c 2.
La geometria analitica si basa sulla corrispondenza biunivoca tra enti geometrici ed enti algebrici. Il grande matematico e filosofo francese Renè Descartes ( 1596-1650), in italiano Cartesio, è stato l ideatore di tale approccio. Per questo la geometria analitica è anche detta geometria cartesiana. «pensai che per meglio studiare le scienze matematiche, dovevo raffigurarle in forma di linee e per ricordarle e per comprenderne molte insieme, dovevo invece esprimerle con qualche cifra tra le più brevi possibili. In questo modo avrei colto tutto il meglio dell analisi geometrica e dell algebra e corretto i difetti dell una e dell altra.» Cartesio ( in La geometria)
L area del poligono ABCDO in figura è: A. 22.5 B. 28 C. 14 D. 50 E. 20 Quesito n 9 Test iniziale PLSUN 2011/2012
I punti A(-3,-3), B(2,-3), C(2,1), D(-3,1) sono i vertici di un quadrilatero. Qual è l area di tale quadrilatero? A. 20 B. 10 C. 5 D. 4 E. 18 Quesito n 1 Test iniziale PLSUN 2010/2011
I punti A( 3, 1), B(6, 7) e C( 3, 6) sono i vertici del triangolo ombreggiato in figura. Qual è l area di tale triangolo? A. 22,5 B. 23,5 C. 24 D. 23 E. 22 Quesito n 7 Test Scienze 7 settembre 2010
Sono dati i cinque punti in figura. Quale dei seguenti triangoli ha la stessa area del poligono ombreggiato? A. NPL B. LQP C. MNQ D. NQP E. QPM Quesito n 11 Test Scienze 9 settembre 2011
Quesito D18 QUADERNI SNV 2010/2011
In un piano cartesiano si consideri il triangolo di vertici O(0;0), A(0;2), B(2;0). Ricordiamo che il baricentro di un triangolo è il punto in cui si incontrano le mediane del triangolo. Qual è la distanza tra il baricentro del triangolo OAB e l origine O? 2 A. 2 3 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 6 2
Il piano cartesiano Distanza fra due punti I punti hanno la stessa ordinata I punti hanno la stessa ascissa AB x x B A AB y y B A
Caso generale Consideriamo il segmento AB non parallelo agli assi. Per calcolare la distanza fra A e B applichiamo il teorema di Pitagora al Triangolo rettangolo ABH ( figura a lato): 2 2 AB BH AH poichè AH y y e BH x x B A B A otteniamo 2 2 AB x x y x B A B A
La retta di equazione y = 2-3x incontra gli assi cartesiani in due punti A e B. Quanto misura il segmento AB? 2 A. 10 3 2 B. 2 3 1 C. 5 2 1 D. 17 3
Le rette r e s in figura sono perpendicolari. L equazione della retta s è A. 3x 2y 6 = 0 B. 2x 3y 6 = 0 C. 2x + 3y 6 = 0 D. 3x + 2y 9 = 0 E. 3x 2y 9 = 0 Quesito n 7 Test Scienze 9 settembre 2011
Sia r la retta di equazione x + 2y 1 = 0. Quale tra le seguenti è l equazione di una retta perpendicolare a r? 1 A. y = - x 2 B. y = -x C. y = 2x 1 D. y = 2 x E. y = -2x Quesito n 14 Test Scienze 7 settembre 2010
Sia r la retta di equazione 2x-y+1=0. Quale tra le seguenti è una retta parallela ad r? 1 A. y = x 2 B. y = -2x C. y = 2x+3 1 D. y = x 1 2 1 E. y = - x1 2 Quesito n 4 Test iniziale PLSUN 2010/2011
Sia r la retta passante per i punti A(2,5) e B(-1,3). Il punto d intersezione di r con l asse x è: 9. -,0 2 11.,0 2 7.,0 2 11. -,0 4 11. 0, 2 A B C D E Quesito n 1 Test iniziale PLSUN 2011/2012
Considera gli angoli α, β in figura; quale tra la seguenti relazioni è corretta? A. tan cos B. sin cos C. cos cos D. tan tan E. sin sin Quesito n 6 Test Scienze 7 settembre 2010
LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE VARIABILI Un equazione lineare in due variabili x e y è un equazione di primo grado per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma: a x + b y + c = 0 con a, b, c (a e b non entrambi nulli). Una soluzione dell equazione è una coppia (x 0 ; y 0 ) di numeri reali che la soddisfa. ESEMPIO 3x + 2y 6 = 0 con x = 1 3 1 + 2y 6 = 0 cioè 2y = 3 è una soluzione. E nello stesso tempo rappresenta un punto nel piano cartesiano. Inoltre x 0 2 3x + 2 1 6 = 0 y 3 0 + 2y 6 = 0 y = 3 3 2 + 2y 6 = 0 y = 0 1
LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI ESEMPIO Retta parallela all asse x Retta parallela all asse y PROPRIETÀ Equazione di una retta parallela a un asse L equazione di una retta parallela all asse x è y = k. L equazione di una retta parallela all asse y è x = h.
PROPRIETÀ Le equazioni degli assi L equazione dell asse x è y = 0. L equazione dell asse y è x = 0.
Retta non parallela agli assi Condizione di allineamento Consideriamo tre punti P, P 1 e P 2 e le loro proiezioni sugli assi. La condizione perché P (x; y) appartenga alla retta passante per P 1 (x 1 ; y 1 ) e P 2 (x 2 ; y 2 ) è:
TEOREMA A ogni retta del piano cartesiano corrisponde un equazione lineare Retta non parallela agi assi in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano. Due casi particolari dell equazione di una retta
DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA Equazione della retta in forma implicita ESEMPIO a x + b y + c = 0 Equazione della retta in forma esplicita coefficiente angolare ordinata all origine y = m x + q Scriviamo in forma esplicita l equazione 9x + 3y 2 = 0. 3y = 9x + 2 y = x + y = 3x + Il coefficiente angolare è 3 L ordinata all origine è
IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI Se l ascissa aumenta di una certa quantità fissa, l ordinata cresce anch essa di una quantità fissa. Quando l ascissa aumenta di 1 unità, l ordinata aumenta di m.
Il coefficiente angolare fornisce informazioni sull angolo tra la retta e l asse x *, ossia sulla pendenza della retta. * Angolo a tra la semiretta i cui punti hanno ordinata positiva e il semiasse x di verso positivo. Pendenza positiva m = 2 Pendenza positiva m = 1/3 Pendenza negativa m = 2
L EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO Equazione della retta di coefficiente angolare m passante per P (x 1 ; y 1 ): y y 1 = m (x x 1 ) ESEMPIO Troviamo la retta di coefficiente angolare m =, passante per P (1; 2). Equazione di una retta passante per l origine: y = mx y 2 = (x 1)
LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Equazione della retta passante per due punti La condizione di allineamento fornisce l equazione della retta passante per i punti (x 1 ; y 1 ) e (x 2 ; y 2 ): y y1 x x 1 y2 y1 x2 x1. ESEMPIO Determiniamo l equazione della retta r passante per i punti A(-2;5) e B(1;-4) e stabiliamo se i punti C(-1;2) e D(1;3) appartengono alla retta. y 5 = 3x 6 y + 3x + 1 = 0 C( 1;2), y + 3x + 1 = 0 2 + 3 ( 1) + 1 = 0 D(1;3), y + 3x + 1 = 0 3 + 3 1 + 1 0
Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità Teorema Rette parallele Due rette (non parallele all asse y) sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare: m m'.
Teorema Rette perpendicolari Due rette ( non parallele agli assi) sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a -1: mm ' 1.
La distanza di un punto da una retta Consideriamo un punto P(x 0, y 0 ) e una retta r. Esaminiamo due casi: 1. La retta r è parallela all asse x o all asse y. In questo caso la distanza di P da r è il valore assoluto della differenza delle ordinate e delle ascisse di P e H, dove H indica la proiezione ortogonale di P su r.
2. La retta r non è parallela agli assi In generale la distanza di un punto P(x 0 ; y 0 ) da una retta di equazione ax + by + c =0 è data dalla formula: d PH ax by c 0 0 a b 2 2