I QUADRATI MAGICI Gruppo B. Riemann * Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero *Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa. Abstract In this paper we show the magic square and some connections with Fibonacci s numbers and other considerations as the number of magic square of an order not counting rotations and reflections. 1
1.QUADRATO MAGICO...7 1.1 PARTIZIONE DI UN INTERO...11 2. REGOLA PER DETERMINARE IL NUMERO DI QUADRATI MAGICI DI UN DATO ORDINE...24 2.1 NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE 4...25 2.2 FORMULA APPROSSIMATIVA PER CALCOLARE IL NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE O 5...27 2.2.1 CONNESSIONI CON I NUMERI DI FIBONACCI...28 3. RIFERIMENTI...30 2
Introduzione Un po di storia sui quadrati magici. Dal Rif. 1 riportiamo: Un po' di storia sui quadrati magici (Simbolismi, credenze e poteri divinatori, ma, fortunatamente, non solo...) La configurazione del quadrato magico Lo Shu è stata considerata un simbolo dell'armonia universale: i numeri da 1 (l'inizio di tutte le cose) a 9 (il completamento), ancora oggi, sono considerati benauguranti, soprattutto il 5 centrale. La costante magica 15 si interpreta come la durata di ciascuno dei 24 cicli dell'anno solare cinese. Nell'antica Cina ci si ispirava a questo quadrato per progettare templi e città suddivise in 3 3 settori. Il quadrato numerico diventò uno dei simboli sacri della Cina e la rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e dell'universo. Quella cinese non è stata l'unica cultura a scorgere l'aspetto mistico del Lo Shu. I quadrati magici in genere erano oggetti spirituali per gli indù, i mussulmani, gli ebrei ed i cristiani. In Turchia ed in India, alle vergini veniva chiesto di ricamare quadrati magici sulle tuniche dei guerrieri. Si credeva che un quadrato magico posto sul ventre di una donna in travaglio facilitasse il parto. Lo-Shu diventò anche forma di ornamento in ampie aree dell'asia, assumendo un valore simbolico e propiziatorio legato alla credenza che un quadrato magico inciso su una piastra di metallo prezioso o nel cuoio, e portato al collo, potesse proteggere da gravi malattie e calamità. Questa tradizione perdura ancora oggi in alcuni paesi dell'oriente, dove questi simboli vengono incisi anche su utensili di uso quotidiano come ciotole e recipienti per la conservazione di erbe o di pozioni medicinali. L' ordine del quadrato Lo Shu (3X3), il più semplice, cominciò ad "espandersi" e fecero la loro prima comparsa quadrati magici di ordine più grande (4X4, 5X5,...10X10,...). Ampliando l'ordine, i quadrati magici aumentavano di complessità combinatoria, ma, al contempo, permettevano di celare "messaggi" e significati ancor più articolati e fantasiosi, pieni di "fascinoso" mistero. 3
Il primo quadrato magico di ordine 4 venne realizzato dall'astrologo indiano Varahamihira nel VI secolo d.c, da lì, l'ordine dei quadrati non ebbe più alcun limite. I quadrati magici erano ben noti ai matematici arabi probabilmente fin dal settimo secolo, quando questi entrarono in contatto con la cultura indiana e quella sud-asiatica. Impararono la matematica e l'astronomia indiane, comprese altre funzioni della Matematica combinatoria. I quadrati magici furono importati in Europa durante il Medioevo e il loro influsso esoterico e la scia di misticismo cinese ed indo-arabo contribuirono ad alimentare teorie e congetture. Sembrava che grazie a queste griglie numeriche si potesse spiegare qualsiasi fenomeno dell'universo sia materiale che umano. Per gli astrologi e gli studiosi di magia, poi, avevano speciali significati; così per Cornelio Agrippa il quadrato magico di ordine 1 simboleggiava l'unità e l'eternità, l'inesistenza del quadrato magico di ordine 2 indicava l'imperfezione dei quattro elementi, mentre i sette quadrati magici degli ordini da 3 a 9 rappresentavano i sette pianeti allora conosciuti (la numerazione è stata assegnata rispettando l'ordine della sequenza planetaria nel sistema magico caldeo: 3 Giove, 4 Saturno, 5 Marte, 6 Sole, 7 Venere, 8 Mercurio, 9 Luna). Durante il rinascimento forte fu il connubio con l'arte e numerosi artisti inserirono nelle loro opere quadrati di ordine diverso; incisioni o rappresentazioni su tela a cui i quadrati davano un alone di simbolismo e misticismo, rendendo l'opera stessa un "pensiero" da decifrare. "E' facile prendersi gioco della predisposizione dei nostri antenati per l'occulto,eppure l'uomo moderno può capire il fascino esercitato dai quadrati magici. Semplice e sottilmente complesso al contempo, un quadrato magico è come un mantra numerico, un oggetto che si può contemplare all'infinito, un'espressione isolata di ordine in un mondo disordinato", scrive Alex Bellos nel suo Il meraviglioso mondo dei numeri (Enaudi). Bisogna attendere il 1300 per avere una prima vera analisi sui quadrati magici da un punto di vista meramente matematico. Analizzando il lavoro dell'arabo Al-Buni, l'erudito bizantino greco Manuel Moschopoulos (circa 1265-1316) scrisse un trattato matematico a proposito dei quadrati magici, andando oltre il 4
misticismo dei suoi predecessori. Si pensa che Moschopoulos fu il primo occidentale ad occuparsi dell'argomento. Intorno alla metà del XV secolo, l'italiano Luca Pacioli studiò queste strutture e raccolse tantissimi esempi. Si cominciava così a dare la giusta interpretazione della struttura logico-matematica di queste griglie di numeri. Nel 1599 Diego Palomino pubblicò a Madrid un'opera sui quadrati magici, ma non indicò alcun procedimento generale per costruirli. Un elegante metodo per trovare quelli di ordine dispari fu pubblicato nel 1612 da C. G. Bachet nei suoi Problèmes plaisant. Quello pubblicato nel 1691 dal De La Loubere non ne differisce in maniera particolare. Un procedimento per la costruzione dei quadrati di ordine pari fu dato da B. Frenicle De Bessy in un'opera pubblicata nel 1693; in essa si trovano elencati gli 880 quadrati magici di ordine 4. Le pubblicazioni sui quadrati magici divennero, poi, sempre più frequenti ed è così che apparvero le Rècrèations di Ozanam, il Traitè des quarrès sublimes di Poignard (Bruxelles, 1704) e varie memorie di L. Eulero. Nel 1838 ci fu l'opera di Violle Traitè complet des carrès magiques pairs et impairs, simplex et composès, a bordures, compartiments, chassis, èquerre, etc., suivi d'un traitè des cubes magiques, in due volumi. Dal 1866 videro la luce diversi studi come quelli di A. H. Frost ed M. Frolow, mentre nel 1894 E. Maillet pubblicò le sue ricerche per una teoria generale dei quadrati magici fondata sulla teoria generale delle sostituzioni di "n" lettere. G. Arnoux pubblicò Les espaces arithmètiques hypermagiques (Parigi, 1894), in cui espose un metodo notevole per la costruzione dei quadrati magici d'ordine primo, poi esteso da A. Margossian in De l'ordonnance des nombres dans les carrès magiques impairs (Parigi, 1908) al caso di ordine composto qualunque. Oggi, grazie anche a Martin Gardner, che ne ha data ampia diffusione nei suoi articoli su "Scientific American" prima e nel suo Enigmi e giochi matematici poi, i quadrati magici sono diventati parte fondamentale di quella branca della Matematica che va sotto il nome di Matematica Ricreativa. Molti giochi, test, quiz ed enigmi matematici sono stati "creati" e molti libri su questi argomenti sono stati scritti, quasi tutti contemplano i quadrati magici o una loro particolare riformulazione, a dimostrazione dell'importante aspetto ludico sì, ma anche logico-didattico, che le griglie numeriche 5
ricoprono. 1 X 15 34 65 111 175 260 399 505 671 870 1105 1372 1695 6
1.QUADRATO MAGICO Riportiamo parzialmente la voce Quadrato magico da Wikipedia, per introdurre l argomento e per poi passare alle tabelle per la distribuzione delle somme magiche fino a 10 n : Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Un quadrato magico perfetto. Il numero magico è 15. Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato. In matematica, una tabella quadrata è detta matrice quadrata. Un quadrato magico di ordine contenente tutti gli interi da 1 a è detto perfetto o normale. La costante magica di questi quadrati è data dalla formula: 7
I primi 15 componenti di questa successione sono: 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695 (successione A006003 dell'oeis).. Per tutto il resto rinviamo alle voci correlate della stessa voce, ai riferimenti ecc. La nostra ricerca della distribuzione riguarda le successive somme magiche Sn indicate nell elenco di cui sopra: TABELLA 1 10^n Somme magiche Sn fino a 10^n (parte intera della stima logaritmica a partire da 13? ) Stima logaritmica Sn ln(10^n)((n-1) Stima F(n) alternati o loro medie (mancano 3 e 8 iniziali) 10^1 3 2,3 3 2 10^2 6 4,60 5 10^3 13 13,81 13 10^4 28 27,63 Media artim. tra 21 e 34 = 27 34481 42 41,79 Media tra 34 e 55 8
=44,5 10^5 47? 46,05 Media tra 34 e 55 =44,5 10^6 70? 69,07 Media tra 55 e 89 = 72 10^7 97? 96,70 Media tra 55 e 144 = 99,5 55 e 144 non consecutivi 10^8 129? 128,94 Media tra 89 e 144 = 116,5 Osservazioni La stima logaritmica Sm (ln(10^n)((n-1) funziona molto bene fino a 34 481, ultimo numero della lista OEIS sotto riportata, e forse meglio della stima con i numeri di Fibonacci anche dopo 34 481, ultimo numero della lista OEIS. Lista OEIS 0, 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695, 2056, 2465, 2925, 3439, 4010, 4641, 5335, 6095, 6924, 7825, 8801, 9855, 10990, 12209, 13515, 14911, 16400, 17985, 19669, 21455, 23346, 25345, 27455, 29679, 32020, 34481 Questa formula vale approssimativamente anche per qualsiasi numero della lista: per esempio, fino a 12 209 ci sono 30 somme 9
magiche, la stima logaritmica dà 28,22 che approssimato all intero superiore dà 29, vicinissimo a 30 valore reale. Infatti 12 209 è di poco superiore a 10 000 = 10^4, quindi consideriamo 4 come n precedente, e quindi n-1 = 3. Essendo ln (12209) = 9,40, la stima che si ottiene è di 9,40*3 = 28, 22 29 30 valore reale. Altro esempio 21 455, fino al quale ci sono 36 somme magiche: ln (21 455)* (4-1) = 9,97*3 = 29,91 30 36, ma se usiamo direttamente 4, abbiamo 39,88, più vicino a 36 Ma anche un valore medio (29 +40) /2 = 34,5 è attendibile, e molto vicino a 34,90 35 36 se, per numeri compresi tra 10^(n-1) e 10^n prendiamo come media [(n -1) +n] /2, in questo caso (3+4) /2 = 3,5, infatti ln (21 455) *3,5 = 34,90 35 36 Quindi una stima logaritmica attendibile per il numero di somme magiche fino ad un qualsiasi inumero N compreso tra 10^(n -1) e 10^n può essere anche Sn ln(n) * [(n -1) +n] /2 Vediamo ora qualche possibile relazione con le partizioni di numeri essendo i numeri di ogni riga, colonna o diagonale di un triangolo magico, un modo per scrivere M(n) come loro somma. Numeri di partizione p(n), oppure anche, parzialmente da Wikipedia: 10
1.1 PARTIZIONE DI UN INTERO Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Una partizione di un intero positivo n è un modo di scrivere n come somma di interi positivi, senza tener conto dell'ordine degli addendi. Formalmente, una partizione di n è una sequenza di interi positivi tali che Spesso si chiede che n sia un intero positivo; talora però risulta opportuno considerare anche come unica partizione dello 0 la sequenza vuota. Esempi Le partizioni di 4 sono le seguenti: 1. 4 2. 3 + 1 3. 2 + 2 4. 2 + 1 + 1 5. 1 + 1 + 1 + 1 Le partizioni di 8 sono invece le seguenti: 1. 8 2. 7 + 1 3. 6 + 2 4. 6 + 1 + 1 5. 5 + 3 6. 5 + 2 + 1 7. 5 + 1 + 1 + 1 8. 4 + 4 9. 4 + 3 + 1 11
10. 4 + 2 + 2 11. 4 + 2 + 1 + 1 12. 4 + 1 + 1 + 1 + 1 13. 3 + 3 + 2 14. 3 + 3 + 1 + 1 15. 3 + 2 + 2 + 1 16. 3 + 2 + 1 + 1 + 1 17. 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 18. 2 + 2 + 2 + 2 19. 2 + 2 + 2 + 1 + 1 20. 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 21. 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 22. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 La funzione di partizione La funzione di partizione indica, per ogni intero positivo n, il numero di partizioni esistenti per n. Per esempio, per quanto mostrato negli esempi, mentre La funzione partizione non è né moltiplicativa né additiva e cresce molto in fretta al crescere di n. Viene solitamente indicata con p(n). I primi valori di p(n), partendo da 0, sono: 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101... (Sequenza A000041 della OEIS-On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). Poiché i numeri di una riga, colonna o diagonale è un modo per scrivere una somma magica M(n) con un gruppo di k numeri tutti diversi, e quindi costituiscono una partizione di M(n) vediamo i casi 12
per n = 3 Premesso che i numeri 4 e 8 hanno entrambi rispettivamente uno e due modi (segnati ora in rosso nella lista delle rispettive partizioni)) di essere scritti rispettivamente come somma di due (k=2) numeri e di tre (k = 3) numeri diversi tra loro, nei quadrati magici vige lo stesso principio: la somma magica deve essere scritta come somma di k numeri tutti diversi tra loro, non essendo ammesse ripetizioni (qualcosa di simile avviene pure nel sudoku). Un quadrato di 3*3 = 9 deve avere gruppi di 3 numeri affinché la somma di due numeri sia 15, che corrispondono alle partizioni di 7, quindi k deve essere un sottoinsieme di 15, e pure i numeri che ne costituiscono la somma. Vediamo il quadrato magico di 3*3 = 9 Abbiamo 8 modi ( 3 righe, 3 colonne e 2 diagonali) quindi 7 + 1= 8 13
= n +1 modi di rappresentare 15 come somme di tre (k=3) numeri, su un totale di p(15) = 176 partizioni di 15 ( modi di scrivere 15 come somma di k numeri minori di 15). Per i quadrati magici servono solo quelli di k=3 numeri ciascuno, e che sono 8 (per esempio 2+7+6 =15 (prima riga), 2+5+8=15 (una delle diagonali), 7+5+3 =15 (seconda colonna) ecc. ecc. Ecco quindi che il meccanismo aritmetico dei quadrati magici si riduce, alla fin fine, ad un problema di partizioni di numeri. (Lo stesso ovviamente vale, in proporzione, per tutti i possibili quadrati magici) La prossima somma magica, 34, si riferisce invece ad un quadrato di 4*4 = 16 caselle. Vediamo ora di fare una tabella con la colonna n e la colonna M(n) delle rispettive somme magiche, per trarne qualche novità matematica: 14
TABELLA 2 n*n = n^2 Somma magica M(n) Relazione matematica M(n)/ n^2 ( 1,618)^(n-1) = 1,27^(n-1) valori reali di 1,27^(n-1) 1*1=1 1 1 2*2=4 5 1,25 1,27 1,27 3*3=9 15 15/9 = 1,666 1,61 4*4=16 34 34/16= 2,125 2,04 5*5=25 65 2,60 2,60 6*6 = 36 111 3,08 3,52 7*7 = 49 175 3,57 3,94 8*8= 64 260 4,06 4,42 9*9 = 81 369 4,55 4,95 10*10=100 505 5,05 5,54 La relazione 1,618)^(n-1) = 1,27^(n-1) vale però fino ad n = 5, poi è più precisa la relazione 2* 1,618)^(n-1) = 2*1,12^(n-1), che da valori più precisi Possiamo dire che una connessione con le radici di Φ =1,618 c è, anche se eventualmente ancora da approfondire. Osserviamo i valori della quarta ed ottava riga della Tab. 2, che abbiamo segnato in rosso. Nella prima colonna i valori sono 16 e 64, nella seconda 34 e 260 e nella terza 2,125 e 4,06. I valori 16 (2 * 8) e 64 (64 = 8 2 ) sono connessi 15
al numero inerente i modi che corrispondono alle vibrazioni fisiche delle superstringhe e cioè l 8, attraverso la seguente equazione modulare di Ramanujan: 8 = 1 3 cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 antilog coshπx 2 πt w' 4 ( ) e φw' itw' 10 + 11 2 10 + 7 log + 4 4 142 2 t w' 2. Le somme magiche 34 e 260 possono essere nuove soluzioni delle equazioni della teoria delle stringhe di tipo E8 X E8; inoltre 34 è un numero di Fibonacci e 260 è dato dalla somma 233 + 21 + 5 + 1, tutti numeri di Fibonacci. Infine, i valori 2,125 e 4,06 sono connessi al rapporto aureo e/o alla sezione aurea: 2,125 = 1,618 + 0,618 = 2,236; 1,618 3 0,618/3 = 4,029. Il problema principale dei quadrati magici è però la formula per stabilire quanti quadrati magici ci sono per ogni quadrato (o matrice n*n), poiché il loro numero cresce esponenzialmente al crescere di n. 16
TABELLA 3 n Quadrati n*n Numero di quadrati magici di ordine n (Qn) Relazione matematica (rapporti successivi grossi numeri di Fibonacci 1 1 1 2 4 0 3 9 1 4 16 880 880/1 = 880 798.5 media tra 610 e 987 5 25 275 305 224 275 305 224/880 = 312 846,84 317 811=28 6 36 stima 1.7754 10 19 = 17754 000 000 000 000 000 numero Fibonacci di 17754 000 000 000 000 000/ 275 305 224= 64 888 423,94 63 245 986 =39 numero Fibonacci Rapporti successivi tra numeri di quadrati ed n^2 880/16 = 55 = numero di Fibonacci 275 305 224/ 25 = 11 012 208, 96. di Circa la media aritmetica tra i due numeri di Fibonacci: 17
35 (7 cifre) : 9 227 465 + 36 (8 cifre) : 14 930 352 24 157 817 /2 = 12 078 908,5 11 012 208,96 Media 17754 000 000 000 000 000/36 = 493 166 666 666 666, 666 72 (15 cifre) : 498 45 4 011 8 79 264 numero di Fibonacci Quindi un altra connessione tra il rapporto tra numero di quadrati di ordine n e d n^2 numeri di Fibonacci oppure loro medie aritmetiche. Ma vediamo i numeretti in blu nella tabella 3: al numero 25 corrisponde il 28 numero di Fibonacci, e 28 =25 +3 al numero 36 corrisponde il 39 numero di Fibonacci, e 39 =36 +3 se questa regola fosse attendibile, per il quadrato 49 del quadrato magico di ordine 7, dovremmo avere 49 + 3 = 52 = 52 numero di Fibonacci come rapporto approssimativo di Q7/Q6 ancora maggiore della stima fatta nelle conclusioni, trattandosi ora del 52 numero di Fibonacci anziché del 50. Per rapporti successivi verticali (Numero di quadrati/numero di quadrati precedente) vedi Tabella 3 quarta colonna 18
Conclusioni Rimane da cercare e trovare la formula generale per calcolare il numero di quadrati magici per ogni n, come si legge nella voce Quadrati magici di Wikipedia: Bernard Frénicle de Bessy (1605-1665), matematico francese amico di Cartesio e di Pierre de Fermat, nel 1663 calcolò il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. Solo grazie al computer si riuscì ad estendere il risultato, nel 1973, agli ordini superiori: i quadrati magici di ordine 5 sono 275.305.224. Non è noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, anche se molti sono impegnati nella sua determinazione. Secondo alcune indagini, il loro numero è nell'ordine di 1.7754 10 19. Resta comunque insoluto il problema più generale di trovare la regola che permetta di determinare il numero di quadrati magici di ordine n. (L evidenza in rosso è nostra) Speriamo che quanto sopra detto possa essere utile a trovare la formula o regola deterministica per risolvere il problema del calcolo del numero di quadrati magici i quadrati magici di ordine n. Considerato che il rapporto di Q6 /Q5 è circa il 39 numero di Fibonacci, e il precedente rapporto Q5/Q4 è circa il 28 numero di Fibonacci, con 39-28 = 11, ci sarebbe da pensare che Q7/Q6 potrebbe essere un numero vicino al 39+11= 50 numero di Fibonacci, e cioè dell ordine di grandezza di 12 586 269 025, da moltiplicare per 19
17754 000 000 000 000 000 per avere all incirca Q7, e quindi Q7 sarà approssimativamente 21 528 256 620 269 850 000 000 000 000, in breve circa 21*10^27 approssimato per difetto. Ma si potrebbe trattare anche del 52 numero di Fibonacci (o media con il 51 o il 53 ) come accennato subito dopo la Tabella 3, e quindi il numero di quadrati magici di ordine 7 sarebbe ancora più grande di quello da noi stimato, Q7 21*10^27 approssimato per difetto. Se questo approccio approssimativo al problema tramite i numeri di Fibonacci come attendibili rapporti Qn/Qn-1 fosse attendibile, lo dirà la formula precisa quando sarà scoperta, paragonando i due risultati: il nostro, Q7 21*10^27 oppure il valore più grande ottenibile col 52 numero di Fibonacci, e quello esatto dell eventuale futura formula o regola risolutiva. Avremmo infatti: 17754 000 000 000 000 000 * 52 numero di Fibonacci = 17754 000 000 000 000 000* 32 951 280 099 (= 52 (11 cifre) numero di Fibonacci) 58 501 562 237 646 000 000 000 000 000 Q7 Applicando questa stima a 880/16 = 55, vediamo però che 55 non è il 20
16 + 3 = 19 numero di Fibonacci, ma il 19/2 = 9,5 10 numero di Fibonacci. Potrebbe però trattarsi di una piccola irregolarità iniziale, che non si ripeterebbe più in seguito, lasciando il posto alla regolarità approssimativa del rapporto Qn/n^2 [(n^2) + 3)] numero di Fibonacci, forse con l eccezione iniziale di Q4 /4^2 = 55 = 10 numero di Fibonacci anziché il 16 + 3 = 19 numero di Fibonacci, che è invece 4181. 21
Si può notare che generalmente LE SOMME MAGICHE SONO VICINE A QUADRATI: TABELLA 4 somme magiche A RADICE QUADRATA B QUADRATO PIU VICINO DIFFERENZA A - c 1 1 1 0 5 2,23 4 1 15 3,87 4 9 16-1 34 5,83 6 25 36-2 65 8,06 64-1 111 10,5 11 121-10 175 13,22 169 6 260 16,12 256 4 399 19,97 20 400-1 505 22,47 484 21 671 25,90 26 676 5 870 29,49 841 29 1105 33,24 1089 16 1372 37,04 1369 3 1695 41,17 1681 14 14911 122,11 14884 27 Notiamo che la differenza tra somme magiche e quadrati più vicini non supera, almeno fino a 870, il 3,33 della somma magica (29/8,70 = 3,33333 ). Questo perché la formula, che contiene n^2 +1, prossima al quadrato n^2, e quindi, nel suo complesso, 22
essa produce le piccole differenze, positive ma più raramente anche negative osservate nella suddetta tabella. Questa osservazione potrebbe essere utile nei futuri studi sui quadrati magici, possibilmente anche nel calcolo dei quadrati magici di ordine n. 23
2. REGOLA PER DETERMINARE IL NUMERO DI QUADRATI MAGICI DI UN DATO ORDINE Il problema più generale, ovvero trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine, rimane da risolvere. Questo numero non deve considerare i quadrati ottenuti con rotazioni e simmetrie. Dalla Tab. 3 vediamo che finora è stato calcolato con l avvento del computer il numero di quadrati magici di ordine 5 che sono 275.305.224. Il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6 invece non è stato ancora calcolato con precisione, ma si ha una stima di circa 1.7754 10 19 per quelli di ordine 6. 24
2.1 NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE 4 Studiamo in dettaglio il caso dei quadrati magici di ordine 4 E stato calcolato che il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali è 880 ottenuti senza rotazioni e simmetrie Questo vuol dire in pratica che bisogna spostare i singoli elementi in modo da mantenere il numero magico 34 1) 1 2 15 16 12 14 3 5 13 7 10 4 8 11 6 9 2) 1 2 15 16 13 14 3 4 12 7 10 5 8 11 6 9 3) 1 2 16 15 13 14 4 3 12 7 9 6 8 11 5 10 1 3 14 16 10 13 4 7 15 6 11 2 8 12 5 9 25
4) 1 3 14 16 12 13 4 5 15 8 9 2 6 10 7 11 5) 1 3 14 16 15 13 4 2 10 6 11 7 8 12 5 9 6) 1 3 14 16 15 13 4 2 12 8 9 5 6 10 7 11 Ora per il calcolo combinatorio il numero totale di quadrati con all interno i 16 numeri da 1 a 16 disposti in 16 posizioni differenti è dato dalla seguente formula: 16 16 = 18.446.744.073.709.551.616 (per curiosità, questo numero 1 è anche il numero totale di chicchi di riso messi su una scacchiera che vengono raddoppiati di casella in casella 2 64 1). E chiaro che per avere dei quadrati magici perfetti non possiamo spostare a caso i numeri all interno di un quadrato magico. Ad esempio fra il quadrato magico 1) e 2) si sono effettuati solo 4 spostamenti e fra il quadrato magico 5) e 6) si sono effettuati 8 spostamenti. Inoltre in questi 2 esempi ogni casella può assumere solo 2 valori diversi e non tutti i possibili 16. 26
Abbiamo quindi delle limitazioni che portano dal valore massimo possibile 18.446.744.073.709.551.616 al valore 880. 2.2 FORMULA APPROSSIMATIVA PER CALCOLARE IL NUMERO DEI QUADRATI MAGICI PERFETTI DI ORDINE O 5 Non è possibile calcolare con una formula il numero esatto di combinazioni che danno luogo a 880 quadrati magici perfetti, però possiamo trovare un valore limite inferiore approssimativo per i quadrati magici di ordine superiore al 4: TAB. 5 Ordine del quadrato magico O Numero di quadrati magici N 3 1 4 880 5 5 12 = 244.140.625 6 6 24 = 4.738.381.338.321.616.896 7 7 36= 2.651.730.845.859.653.471.779.023.381.601 La formula approssimata per O 5 è la seguente N = O 12(O-4) Questa formula deriva dalle seguenti considerazioni: L esponente 12*(O-4) dà il numero medio di spostamenti all interno di un quadrato magico di ordine O, mentre la base coincidente con l ordine O è il numero medio di cambiamenti all interno di una singola casella. Ad esempio per i quadrati magici perfetti di ordine 5 possiamo avere 12 spostamenti medi all interno delle 25 caselle con 5 cambiamenti 27
all interno di una singola casella (se la casella contiene il numero 8, ad esempio, può cambiare il suo valore in media 5 volte). Notiamo che gli esponenti di 5 12 e 6 24, corrispondenti al numero dei quadrati magici N della Tab. 5, sono numeri connessi ai modi corrispondenti alle vibrazioni fisiche delle stringhe bosoniche (24) attraverso la seguente equazione modulare di Ramanujan: cosπtxw' 2 πx w' e dx 0 4 anti log coshπx 2 πt w' 4 ( ) = e φw' itw' 24 10 + 11 2 10 + 7 log + 4 4 142 2 t w' 2. 2.2.1 CONNESSIONI CON I NUMERI DI FIBONACCI 5 12 = 244.140.625 275.305.224 con differenza 31 164 599 11,32% del valore reale 275.305.224, con 31 164 599 media aritmetica tra 37 (8 cifre) : 24157 817 + (37 numero di Fibonacci) 38 (8 cifre) : 39088 169 (38 numero di Fibonacci) 63 245 986/2 = 31622993 31 164 599 Osserviamo che 880 ha 3 cifre, (c=3) 244.140.625 ha 9 cifre (c=9) 4.738.381.338.321.616.896 ha 19 cifre (c= 19) Con 3-1 = 2 numero di Fibonacci 28
9-1 = 8 numero di Fibonacci 19-1 = 18 17 media di (13 + 21)/2 con 13 e 21 numeri di Fibonacci. Il prossimo numero di cifre dovrebbe avere un numero di cifre molto vicino a 34 =35 1. Difatti per i quadrati magici di ordine 7 si ha per difetto che la formula dà 31 cifre ma in realtà sono di più. 29
3. RIFERIMENTI 1) Quadrati Magici, storia, schemi, trucchi e giochi Briciole tra i Numeri sul sito www.marcosroom.it/ 2) La grande avventura matematica dei quadrati e dei cubi magici di Federico Peiretti sul sito areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmls/interventi/a... 3) L equazione da un milione di dollari, libro di Marcus du Satoy, Rizzoli, pagg. 202-205 4) Le serie di Fibonacci I primi 1000 numeri Sul sito www.readme.it/libri/m/m00101.shtml 30