IL PROBLEMA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE

LEZIONI N 2, 3, 4 IL PROBLEMA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE Il problema della sicurezza è da sempre l argomento centrale della ingegneria delle strutture. Comunque per giungere ad una valutazione quantitativa (istituire una misura) della sicurezza strutturale occorre arrivare al XIX secolo, segnatamente all opera del Navier. Prima di allora le costruzioni erano dimensionate in base a formule empiriche, desunte dalla osservazione del comportamento di opere già realizzate. Sono noti casi di strutture collassate subito dopo la costruzione per insufficienza di stabilità. Tra le formule empiriche più accreditate ricordiamo quella del Séjourné dei primi anni del XX secolo, che fornisce lo spessore della chiave dei ponti ad arco, basata sulla elaborazione statistica dei dati di più di 3000 opere e la tabella delle sezioni ammissibili per le travi di legno, pubblicata nel 1726 da Jakob Leupold nel suo libro sui ponti. Tornando a Navier, l Autore, nel suo celebre testo sulla Resistenza dei Materiali (1a edizione 1826) si propone di fornire i mezzi per valutare la sicurezza delle varie membrature di una costruzione. Egli distingue, con grande chiarezza, tra tensioni effettive, valutate a partire dai carichi agenti e tensioni di rottura, determinabili sperimentalmente. Secondo l Autore allo scopo di garantire la sicurezza non è sufficiente mantenersi semplicemente al di sotto della tensione pericolosa, ma occorre anche mantenersi ad una opportuna distanza da essa. Tale distanza può essere misurata come differenza fra due tensioni: = Rott - eserc oppure, in alternativa, come rapporto = Rott / eserc in cui è il coefficiente di sicurezza. 4

E evidente che è preferibile la seconda formulazione, in quanto secondo essa la distanza dalla condizione di rottura può essere espressa da un unico numero adimensionale, mentre la prima formula richiede necessariamente che vari al variare dei valori delle tensioni in gioco. L Autore non fornisce però una motivazione convincente di questa, peraltro ragionevole, necessità. La motivazione oggi comunemente accettata è che il coefficiente di sicurezza è un numero volto alla neutralizzazione degli effetti delle incertezze e delle fluttuazioni insite inevitabilmente tanto in Rott che in eserc. In sostanza tutte le grandezze in gioco non hanno carattere deterministico, ma, al contrario, aleatorio. La loro modellazione convincente richiede l applicazione dei metodi della teoria della probabilità e della statistica. Pertanto anche la sicurezza non può essere garantita in modo assoluto, deterministico, nel senso che alla domanda: Questa struttura è sicura? non si può dare una risposta assoluta, positiva o negativa. Bisogna accontentarsi del risultato che la sicurezza sia garantita con valore prefissato di probabilità, al punto che la probabilità di rottura può essere considerata essa stessa una misura della sicurezza. La sicurezza è assicurata quando la probabilità di rottura è molto piccola, pur se diversa da zero: P f = Prob evento stato limite p adm Nel caso di stato limite ultimo (rottura) il valore ammissibile della probabilità di rottura è usualmente compreso tra 10-5 e 10-6. La scelta di tale livello di confronto è di natura politica, in quanto essa stabilisce indirettamente la quantità di risorse da impiegare nelle costruzioni: tanto minore è p adm, tanto più è elevato il grado di sicurezza, tanto più costose sono le costruzioni. 5

In questa filosofia generale la procedura di analisi della sicurezza si articola quindi nelle seguenti fasi operative: 1) modellazione probabilistica della domanda di prestazione (azioni), 2) modellazione probabilistica della capacità di prestazione delle sezioni (resistenza), 3) analisi della risposta strutturale, 4) modellazione della/delle condizioni di pericolo che si vogliono evitare (stati limite), 5) calcolo della probabilità che tale/tali condizioni si verifichino, 6) controllo che la probabilità di rottura sia sufficientemente piccola. Modellazione delle incertezze sulla resistenza del materiale Esaminiamo innanzitutto il problema della modellazione delle incertezze sulla resistenza del materiale, considerando un semplicissimo esempio relativo alla resistenza a compressione R del calcestruzzo. Supponiamo di eseguire N prove di rottura di altrettanti provini, uguali fra di loro e prodotti con lo stesso materiale. Per ogni prova si determini il valore R i corrispondente alla resistenza del generico provino i. Si suddivida l asse delle resistenza R in intervalli di ampiezza R. Si calcolino quindi le frequenze relative n i /N come rapporto fra il numero n i delle volte in cui si ottiene R i compreso in uno specifico intervallo e si disegni quindi l istogramma delle frequenze relative. 0.25 n/n (Frequenza relativa) 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 100 200 300 400 500 600 700 R [Kg/cm 2 ] 6

Questo è un istogramma delle frequenze relative di eventi accaduti (realizzati) nel passato. Come è noto di problemi di questo tipo si occupa la Statistica. Come si può notare i valori più elevati delle frequenze relative si presentano nella parte centrale del diagramma, quelli più bassi alle estremità. Il corrispondente modello di previsione considera R come una variabile aleatoria. Con linguaggio non del tutto rigoroso dal punto di vista matematico, ma espressivo e sufficiente per i nostri scopi, possiamo definire una variabile aleatoria come un insieme probabilizzato di numeri. Dello studio dei modelli probabilistici di previsione si occupa la Probabilità. Una variabile aleatoria X è caratterizzata dalla sua funzione densità di probabilità f(x), definita come: obx X x h f( x) lim Pr h 0 h x Pr ob Xx f ( x) dx, di modo che sia: L area complessiva sottesa dalla f(x) è pari ad uno, in quanto che la probabilità che si verifichi un evento certo, e cioè che X sia minore di infinito, è pari ad 1. Un tipo notevole di distribuzione di probabilità è quella Normale o Gaussiana, che è caratterizzata dalla espressione seguente della densità di probabilità (vedi figura): N m, (x) 1 e 2 2 1 xm 2 Tra le proprietà della distribuzione Gaussiana, si osserva che essa è simmetrica intorno al valore medio di X, m = X med = E[X] e che quindi valgono le: Prob( X X med ) = 0.5 Prob( X > X med ) = 0.5 Essa presenta due punti di flesso, posizionati a sinistra e a destra del valore medio, da cui distano uno scarto standard. 7

f(r) PUNTO DI FLESSO R med R L esperienza mostra che tale tipo di distribuzione ben si adatta, per il suo andamento, a modellare i risultati della prova sperimentale che abbiamo descritto poc anzi, come si può vedere osservando la figura seguente. 0.25 n/n (Frequenza relativa) 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 100 200 300 400 500 600 700 R [Kg/cm 2 ] 8

Nel momento di formulare previsioni, si può quindi considerare la resistenza R del calcestruzzo come una v.a. gaussiana. La probabilità che la resistenza R sia minore del valore prefissato r può essere così calcolata come: r Pr ob R r f ( r) dr in cui f(r) = N m, (r). Si perviene così in modo molto semplice alla definizione di resistenza caratteristica di un materiale, R k, che è il frattìle 5 della popolazione statistica delle resistenze, come: Prob (R < R k ) = 0.05 Nel caso del calcestruzzo la resistenza caratteristica viene espressa con il simbolo Rck, Analogamente si può definire la resistenza caratterista dell acciaio, f yk. Un modello simile può essere adottato per modellare le incertezze sul carico o meglio sul suo effetto S. Di nuovo si trova la definizione di carico caratteristico S k come frattile 95 della popolazione statistica dei carichi: Prob (S < S k ) = 0.95 La verifica di sicurezza consiste nel valutare la probabilità che si verifichi la rottura e cioè che sia R < S (condizione di stato limite) e quindi nel controllare che essa sia sufficientemente piccola. 9

Supponiamo in una prima fase che le due variabili aleatorie R ed S siano statisticamente indipendenti. Allora le loro funzioni di distribuzione f(r) ed f(s) possono essere rappresentate sullo stesso piano cartesiano. f(r) f(s) S med S K R K R med S, R Fissato un valore S di S, la probabilità che R sia minore di S e: S Pr ob RS f ( r) dr La probabilità che S valga proprio S è: Pr ob SS f( s) ds Tenuto conto dell ipotesi di indipendenza statistica delle due v.a., la probabilità che simultaneamente R sia minore di S ed S sia uguale ad S è: S Pr ob R S e che S S f ( s ) ds f ( r) dr La probabilità di rottura si ottiene allora mediante integrazione su tutto il campo dei possibili valori di S: Pr ob s RS f (s) f (r)drds Esempio numerico 10

Consideriamo un prisma di calcestruzzo sottoposto a tensioni di compressione. La resistenza del calcestruzzo R è modellato come variabile aleatoria gaussiana avente le seguenti proprietà statistiche: E R 60 N / mm Valore medio: 2 Scarto standard: R 6 N / mm 2 La tensione applicata S è modellata come variabile aleatoria gaussiana avente le seguenti proprietà statistiche: E S 30 N / mm Valore medio: 2 Scarto standard: S 6 N / mm 2 Per le elaborazioni si può utilizza il seguente codice in linguaggio MATLAB: Calcolo della probabilità di rottura Caso di 2 variabili aleatorie Gaussiane statisticamente indipendenti npt =100; delta_n=1; v.a. 1: Parametri statistici Resistenza R mu_r=60; N/mm2 media sig_r=6; N/mm2 scarto standard punti della funzione di Gauss X_R=[1:delta_n:npt]; Y_R = normpdf(x_r,mu_r,sig_r); v.a. 2: Parametri statistici Tensione applicata S (carico esterno) mu_s=30; N/mm2 media sig_s=6; N/mm2 scarto standard punti della funzione di Gauss X_S=[1:delta_n:npt]; Y_S = normpdf(x_s,mu_s,sig_s); plot(x_r,y_r,x_s,y_s) calcolo vettore degli integrali interni S Z=zeros(1,npt); Z = normcdf(x_r,mu_r,sig_r); f () r dr T=Y_S.*Z; [pf] = intdef( X_S,T,1,npt); I risultati ottenuti sono i seguenti: 11

1) Andamento delle funzioni densità di probabilità delle due variabili aleatorie 0.07 0.06 0.05 0.04 S R f(s), f(r) 0.03 0.02 0.01 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 S, R 2) Valore della probabilità di rottura: P f = 2,0348 x 10-4 Consideriamo ora il caso, più generale, in cui le due variabili aleatorie R ed S che governano il problema non siano statisticamente indipendenti. Poiché le due variabili aleatorie non sono statisticamente indipendenti occorre utilizzare la funzione densità di probabilità congiunta delle due v.a.: f(r,s). La condizione di stato limite è esprimibile come: R S o analogamente G = R-S 0 12

R DOMINIO DI SICUREZZA R > S R < S S = R (STATO LIMITE) DOMINIO DI ROTTURA S Con riferimento alla figura il dominio D in cui è soddisfatta la R S è il dominio di rottura e quello D in cui R > S è il dominio di sicurezza. La misura della sicurezza è data dalla probabilità che si verifichi l evento stato limite: G 0: Pr ob( G 0) f ( r, s) da D 13

Secondo la terminologia ricorrente questa procedura viene definita di Livello 3, intendendo con tale termine una trattazione probabilistica completa del problema. Tale procedura diviene rapidamente impraticabile al crescere del numero delle variabili aleatorie in gioco e non di rado una soluzione in forma chiusa è impossibile, per il fatto che spesso la condizione di stato limite non può essere espressa in forma analitica, quanto piuttosto per mezzo di un algoritmo di controllo (caso di taluni fenomeni di danneggiamento, quale ad esempio la fatica, la corrosione, ecc..). In questi casi il problema deve essere affrontato mediante tecniche avanzate, per esempio tecniche di simulazione (p.es il metodo cosiddetto Monte Carlo). 14

Sorge così spontanea l idea di affiancare a quella rigorosa metodologie di analisi semplificate: nascono così i modelli di Livello 2 e di Livello 1. I metodi di Livello 2 si avvalgono come parametro misuratore della sicurezza, del cosiddetto indice di sicurezza, legato alla probabilità di rottura dalla relazione: ( ) 0,1 Pf N x dx in cui (.) è la funzione di ripartizione (integrale della funzione densità di probabilità) della v.a. normale standard, caratterizzata da valore medio nullo e scarto standard unitario. Ricordiamo che una variabile Normale (o gaussiana) ha l espressione: 2 1 xm 2 1 N m, (x) e 2 mentre una variabile Normale standard ha valor medio nullo e scarto standard unitario ed è quindi del tipo: 1 N0,1 ( x) e 2 1 2 x 2 Con riferimento al problema studiato in precedenza, facciamo l ipotesi che tanto S che R siano variabili normali ed indipendenti (n.b. l ipotesi di distribuzione normale è necessaria per poter utilizzare il metodo di livello 2). Allora anche la funzione stato limite G = R - S è normale, in quanto frutto di operazioni lineari su v.a. normali, ed è caratterizzata dalle seguenti proprietà statistiche: E[G] = E[R] - E[S] ; var[g] = var[r] + var[s] od anche, con notazione diversa: 2 2 2 G R S 15

f(g) G Pf = Prob(G<0) E[G] =E[R] - E[S] G Prima di continuare la discussione, ricordiamo, con riferimento ad una variabile aleatoria Normale, avente valor medio E[G] e scarto standard [G], che la probabilità che sia: Pr ob G G, vale: G EG [ ], [ G] Pr ob G G N ( G) dg Allo scopo di eseguire la stessa valutazione impiegando la funzione densità di probabilità della variabile Normale standard, caratterizzata dall avere valor medio nullo e scarto standard unitario, dobbiamo trasformare la variabile aleatoria Normale G in Normale standard G, caratterizzata dall avere anch essa valor medio nullo e scarto standard unitario. Ciò si può fare mediante l operazione: ' G E[ G] G [ G] GE[ G] G ' ' [ G] ' EG [ ], [ G] 0,1. Pr ob G G N ( G) dg Pr ob G G N G ' dg Quindi la probabilità di rottura è: 16

0E[G] [G] 0 Pr obg0 N E[G], [G] G dg N 0,1 G' dg ' E[G] E[R] E[S] [G] 2 2 R S Osservando l equazione precedente possiamo porre: ER [ ] ES [ ] e quindi: 2 2 R S G 2 2 ER [ ] ES [ ] R S G Il prodotto G assume allora il significato fisico notevole di distanza del punto E[G] dall origine del sistema di riferimento, motivo per il quale è anche denominato distanza di sicurezza. Esempio numerico Riprendendo l esempio numerico precedente, si ha: ER [ ] ES [ ] 60 30 3,535 6 6 2 2 2 2 R S Determiniamo, quindi, la probabilità di rottura che corrisponde a 3,535. Utilizziamo le seguenti righe di codice MATLAB per valutare sia che: Pr ob G 0 3,535 calcolo di beta beta=(mu_r-mu_s)/sqrt(sig_r^2 + sig_s^2); calcolo della probabilità corrispondente a beta Pbeta = normcdf(-beta,0,1); Si ottiene P f = 2,0348 x 10-4, valore identico a quello trovato applicando il metodo rigoroso. 17

Nel caso generale di problema multidimensionale, cioè con più di due variabili aleatorie, torna utile studiare il problema anziché nello spazio delle v.a. originarie X, in quello di variabili aleatorie normali standard Y equivalenti. X ed Y sono vettori ad n componenti che raccolgono le variabili interessate. L operazione di proiezione consiste nella applicazione della relazione seguente: Y i X i Xi E Xi Corrispondentemente la funzione di stato limite G(X) = 0 viene proiettata nel nuovo spazio di variabili normali standard ottenendo la: Z(Y) = 0 La nuova condizione di stato limite può essere sviluppata in serie di Taylor, arrestandosi ai termini del 1 ordine (da cui il nome del metodo First Order Second Moment, FOSM) di punto iniziale nell origine: Z ZY ( ) ZY ( ) Y Y 0 0 i 0 Ponendo i Z Y i 0 si giunge alla: ZY ( ) iyi n 0 0 Si nota che questa è l equazione di un iperpiano, tangente alla superficie Z(Y) nel punto di minima distanza dall origine. Tale distanza è proprio il valore di, che rappresenta anche il raggio della sfera tangente alla superficie di stato limite: min n Z y i 2 18

Il punto P in cui si verifica la tangenza tra l iperpiano e la superficie di stato limite è detto punto di progetto. La soluzione del problema di minimo connesso al calcolo di può essere ottenuta per via iterativa. Nel caso, però, in cui la Z(Y) = 0 non sia espressa in forma analitica, non è possibile valutare le derivate parziali di Z rispetto alle variabili normali standard ed il metodo di simulazione diviene obbligatorio. In ulteriori perfezionamenti del metodo presentato è stata rimossa la limitazione che X sia un vettore composto di v.a. normali (metodo FOR), considerando anche la possibilità di v.a. distribuite in modo qualsiasi, anche dipendenti, ricondotte, mediante opportune trasformazioni, a v.a. normali e non correlate equivalenti. 19

I metodi di verifica di Livello 1 sono quelli incorporati nelle normative tecniche moderne. Essi sono metodi cosiddetti semiprobabilistici, in quanto sono basati sui valori caratteristici delle v.a. e sui coefficienti parziali di sicurezza. A Livello 1 il problema della sicurezza si riconduce alla seguente disuguaglianza: S S K R K R in cui S K ed R K sono i valori caratteristici rispettivamente degli effetti delle azioni e delle resistenze e S e R sono i coefficienti parziali di sicurezza sulle azioni e sui materiali. Allo scopo di comprendere meglio il ruolo dei coefficienti parziali di sicurezza, supponiamo di voler garantire la sicurezza alla rottura semplicemente con la relazione: S K R K Calcoliamo la probabilità di rottura P f associata all uso di tale relazione. Dalla definizione di resistenza caratteristica si ha: Prob (R < R k ) = 0.05 e da quella di carico caratteristico: Prob (S < S k ) = 0.95 o anche: Prob (S > S k ) = 0.05 Ipotizzando la indipendenza statistica di S ed R si può allora scrivere: P Pr ob RR eche S S 0.05x0.05 0.0025 f K K 20

Tale valore della probabilità di rottura è troppo grande rispetto a quelli comunemente considerati ammissibili (10-5 -10-6 ). Il ruolo dei coefficienti parziali di sicurezza è allora proprio quello di diminuire il valore della probabilità di rottura che proviene dall uso del calcolo semplificato sopra descritto, basato solo sulle grandezze caratteristiche. In sostanza i coefficienti parziali di sicurezza fanno approssimativamente passare i frattili 5 a frattili 5 per mille ed i frattili 95 a frattili 995 per mille: R k Prob R 0.005; R Prob S S 0.995 S k E quindi la probabilità di rottura diventa: R K Pf Pr obr eche S SSK 0.005x0.0050.000025 2.5x10 R che è un valore ragionevole di probabilità di rottura. 5 A tale scopo i coefficienti parziali di sicurezza vanno opportunamente calibrati utilizzando metodi di analisi di livello superiore (2 o 3). 21