Metodi Numerici con elementi di Programmazione (A.A. 2018-2019) Metodi Numerici Appunti delle lezioni: Integrazione numerica Formule di quadratura
Docente Vittoria Bruni Email: vittoria.bruni@sbai.uniroma1.it Ufficio: Via A. Scarpa, Pal. B, I piano, Stanza n. 16 Tel. 06 49766648 Ricevimento: Consultare la sezione Avvisi nella pagina web dedicata al corso Testi consigliati: Calcolo Numerico, L. Gori, Ed. Kappa, 2006 Esercizi di Calcolo Numerico, L. Gori-M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Ed. Kappa, 2007 Il materiale didattico è disponibile sul sito http://ingaero.uniroma1.it/ nella pagina dedicata al corso Metodi Numerici con elementi di Programmazione 1
Integrazione numerica 2
Esempio 1 L intensità H del campo magnetico in un punto x indotto dalla corrente di intensità I che scorre su un anello cilindrico di raggio r si esprime come segue H(x) = 4Ir r 2 x 2 π/2 0 1 ( x r ) 2 sin 2 (θ)dθ x è la distanza dal centro dell anello in cui si misura il campo e risulta 0 x r. Supponendo noti r, I e x, l integrale può essere risolto o usando opportuni sviluppi in serie oppure usando metodi numerici. L integrale rientra nella famiglia degli integrali ellittici, riferiti al calcolo della lunghezza di un arco di ellisse. 3
Esempio 2 Una macchina da corsa percorre un giro di pista in 84 secondi. La velocità della macchina viene misurata con un radar ogni 6 secondi per tutta la durata del percorso. I valori misurati sono riportati in tabella: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t i 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 v i 124 134 148 156 147 133 121 109 99 85 78 89 104 116 123 Quanto è lunga la pista? Traccia della soluzione. La lunghezza della strada percorsa da una macchina che si muove a velocità v(t) nell intervallo [t 0, t 1 ] è data da L = t 1 t 0 v(t)dt. 4
Altri esempi river cross-section wind blow on a rocket 5
Integrazione numerica Problema: approssimare numericamente integrali definiti I(f) = b a f(x) dx L intervallo di integrazione [a, b] può essere anche illimitato. Si ricorre all integrazione numerica quando: la primitiva di f non può essere espressa in forma chiusa, ad esempio f(x) = sin x x, f(x) = e x2 ; l espressione analitica di I(f) è complicata da calcolare; i valori di f sono noti solo in alcuni nodi x i, i = 0,..., n, ad esempio quando sono il risultato di misure sperimentali. Soluzione: approssimare la funzione integranda f(x) con il polinomio interpolatore p n (x), costruito su un insieme opportuno di nodi x i, i = 0,..., n; quindi approssimare I(f) con I(p n ). 6
Formule di quadratura interpolatorie Formula di interpolazione di Lagrange: f(x) = p n (x) + E n(x) = n i=0 f(x i ) l i (x) + E n (x) b a f(x) dx = b a n i=0 f(x i ) l i (x) + E n (x) dx = = n i=0 b f(x i ) l i(x) dx + a b a E n(x) dx = = n i=0 f(x i ) c i + R n (f) = S n (f) }{{} + R } n(f) {{} Parte approssimante b Errore di troncamento Coefficienti: c i = l i(x) dx o resto a 7
Se consideriamo anche gli errori ε i sui dati si ha n b a f(x) = p n (x) + E n (x) = f(x) dx = n f(x i ) i=0 b a i=0 l i (x) dx + (f(x i ) + ε i ) l i (x) + E n (x) b a E n (x) dx + n b ε i l i (x) dx i=0 a = n f(x i ) c i + i=0 b a E n (x) dx + n i=0 ε i c i = S n (f) + R n (f) + R n(f) }{{} Errore di propagazione I(f) = S n (f) + R n (f) + R n (f) S n (f) = n i=0 f(x i ) c i Parte approssimante c i = b a l i(x) dx Coefficienti R n (f) = b a E n(x) dx = b a π n (x) (n+1)! f (n+1) (ξ(x)) dx Resto R n (f) = n i=0 ε i c i Errore di propagazione 8
Grado di precisione L interpolazione è esatta per ogni polinomio q m (x) di grado m n, quindi E n (x) = 0 = R n (q m ) = 0, cioè la formula di quadratura è esatta per ogni polinomio q m (x) di grado m n. Definizione. Si dice che una formula di quadratura ha grado di precisione ν se è esatta per tutti i polinomi q m (x) di grado m ν, cioè R n (q m ) = I(q m ) S n (q m ) = 0, m ν. In particolare, la formula di quadratura è esatta per i monomi x k, k = 0, 1,..., ν. 9
1. Una formula di quadratura interpolatoria a n + 1 nodi ha grado di precisione almeno n 0. 2. Le formule di quadratura interpolatorie sono esatte almeno per le funzioni costanti. In particolare, se si pone f(x) = 1, si ottiene n i=0 c i = b a 10
3. Per le formule interpolatorie si ha n ν 2n + 1 n 0 dim. Consideriamo il polinomio di grado 2n + 2 Π(x) = ( π n (x) ) 2 = (x x0 ) 2 (x x 1 ) 2 (x x n ) 2 dove x i, i = 0,..., n, sono i nodi della formula di quadratura. I(Π) = b a Π(x) dx > 0 I(Π) = S n (Π) + R n (Π) = n i=0 c i Π(x i ) +R }{{} n (Π) = R n (Π) =0 = R n (Π) > 0: esiste almeno un polinomio di grado 2n+2 per il quale le formule di quadratura interpolatorie non sono esatte, quindi ν < 2n + 2. 11
Esercizio Data la formula di quadratura 1 f(x) dx = 1 f( 1) + Af 1 6 ( 1 5 ) + Bf ( ) 1 5 + 1 f(1) + R(f), 6 1) determinare A e B in modo che la formula abbia grado di precisione non inferiore a 2; 2) dimostrare che la formula di quadratura ottenuta ha grado di precisione 5; 3) dare una maggiorazione dell errore di propagazione se i dati sono affetti da errori ɛ i con ɛ i 10 4. 12
Traccia della soluzione 1) I coefficienti della formula di quadratura si determinano con il metodo dei coefficienti indeterminati, cioé imponendo che la formula sia esatta per f(x) = x k, 0 k 2. Si ottiene il sistema k = 0, f(x) = 1 k = 1, f(x) = x k = 2, f(x) = x 2 1 6 (1) + A(1) + B(1) + 1 1 6 (1) = dx = 2 ( 1 1 6 ( 1) + A 1 ) ( ) 1 + B 5 + 1 1 5 6 (1) = x dx = 0 1 ( ) ( ) 1 1 1 6 (1) + A + B + 16 1 5 5 (1) = 1 x2 dx = 2 3 A + B = 5 3 A + B = 0 5 5 A = B = 5 6 Formula di quadratura 1 1 f(x) dx = 1 6 f( 1) + 5 6 f ( 1 5 ) + A 5 + B 5 = 1 3 + 5 ( ) 1 6 f 5 + 1 f(1) + R(f) 6 13
2) A causa della simmetria dei nodi e dei coeffcienti, la formula è esatta per tutti i monomi di grado dispari x 2n+1, infatti 1 6 ( 1)2n+1 + 5 6 ( 1 5 ) 2n+1 + 5 6 ( 1 5 ) 2n+1 + 1 6 (1)2n+1 = 1 1 x 2n+1 dx = 0 La formula ha grado di precisione 5 se è esatta per tutti i monomi fino al grado 5. Per la simmetria la formula è esatta per x 3 e x 5 ; per x 4 si ha 1 1 x4 dx = 2 5 =1 6 ( 1)4 + 5 6 ( 1 5 ) 4 + 5 6 ( 1 5 ) 4 + 1 6 (1)4 Invece per x 6 si ha 1 1 x6 dx = 2 7 1 6 ( 1)6 + 5 6 ( 1 5 ) 6 + 5 6 ( 1 5 ) 6 + 1 6 (1)6 = 26 75 La formula ha grado di precisione esattamente 5. 14
3) L errore di propagazione è dato da R = 3 i=0 ɛ i c i = 1 6 ɛ 0 + 5 6 ɛ 1 + 5 6 ɛ 2 + 1 6 ɛ 3 R ɛ 3 i=0 c i = 2ɛ = 0.2 10 3 Nota. Poiché i coefficienti sono tutti positivi si ha 3 c i = 3 i=0 i=0 c i = b a = 2 15
Scelta dei nodi nelle formule interpolatorie Differenti distribuzioni di nodi danno origine a differenti formule di quadratura con diverso grado di precisione. Formule di Newton-Cotes Nodi equispaziati: x i = a + ih i = 0, 1,..., n h = b a n Grado di precisione: Formule gaussiane ν = n, n + 1 pari ν = n + 1, n + 1 dispari Nodi gaussiani: zeri di polinomi ortogonali, ad esempio i nodi di Chebyshev; non sono equispaziati e sono interni all intervallo [a, b]. Grado di precisione: ν = 2n + 1 (massimo) 16
Formula del trapezio: n + 1 = 2, ν = 1, f C 2 [a, b] f 1 f 0 p 1 (x) f(x) Si approssima f(x) con un polinomio interpolatore di grado 1 che passa per i punti: (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ) a=x 0 b=x 1 f(x) = f 0 l 0 (x) + f 1 l 1 (x) + π 1(x) f (ξ(x)) = 2! (x x = f 1 ) 0 (x 0 x 1 ) + f (x x 0 ) 1 (x 1 x 0 ) + 1 2 (x x 0)(x x 1 )f (ξ(x)) 17
Parte approssimante: S 1 (f) b (x x = f 1 ) 0 a (x 0 x 1 ) dx + f 1 b a (x x 0 ) (x 1 x 0 ) dx = = 1 2 f 0(x 1 x 0 ) + 1 2 f 1(x 1 x 0 ) = 1 2 (f 0 + f 1 )(b a) = = 1 2 (f 0 + f 1 )h Resto: R 1 (f) = 1 2 b a (x x 0 )(x x 1 ) }{{} segno costante in (a,b) f (ξ(x)) dx }{{} = 1 12 h3 f (τ) τ [a, b] Teorema della media 18
n + 1 = 3, ν = 3, f C 4 [a, b] Si approssima f(x) con una parabola (polinomio di secondo grado) che passa per i punti: (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ). f(x) f 2 p 1 (x) f 1 p 2 (x) f 0 x 1 a=x 0 b=x 2 Parte approssimante: S 2 (f) = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) Resto: R 2 (f) = h5 90 f (4) (τ) τ [a, b] 19
Infatti Parte approssimante: x2 (x x S 2 (f) = f 1 )(x x 2 ) x2 0 x 0 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) dx + f (x x 0 )(x x 2 ) 1 x 0 (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) dx+ x2 (x x +f 0 )(x x 1 ) 2 x 0 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) dx h = b a 2 = (x 2 x 0 ) 2 Resto: R 2 (f) = 1 6 x2 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) x }{{} 0 cambia segno in (a,b) f (ξ(x)) dx In questo caso prima di applicare il teorema della media è necessario integrare per parti 20
Formula dei 3/8 n + 1 = 4, ν = 3, f C 4 [a, b] Si approssima f(x) con un polinomio di terzo grado che passa per i punti: (x 0, f 0 ), (x 1, f 1 ), (x 2, f 2 ), (x 3, f 3 ). Parte approssimante: S 3 (f) = 3h 8 (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + f 3 ) Resto: R 3 (f) = 3h5 80 f (4) (τ) τ [a, b] 21
Esercizio Determinare il grado di precisione delle seguenti formule di quadratura per l approssimazione numerica di I(f) = 1 1 f(x)dx, con f(x) C (R): I 1 (f) = 45 1 (7f( 1) + 32f( 1/2) + 12f(0) + 32f(1/2) + 7f(1)) I 2 (f) = 1 4 (f( 1) + 3f( 1/3) + 3f(1/3) + f(1)) I 3 (f) = 1 6 (f( 1) + 4f( 1/2) + 2f(0) + 4f(1/2) + f(1)) 22
Traccia della soluzione Si osserva che la seconda formula di quadratura è la formula dei 3/8 costruita sui nodi {x 0, x 1, x 2, x 3 } = { 1 1 3, 1 3, 1}, quindi il suo grado di precisione è 3. La prima e la terza formula di quadratura sono costruite su nodi simmetrici rispetto allo 0 e i coefficienti sono simmetrici rispetto al valore centrale. Ne segue che sono esatte per tutti i polinomi di grado dispari. Infatti 1 1 x2k+1 = 0 e I 1 (x 2k+1 ) = 0 I 3 (x 2k+1 ) = 0. 23
E necessario verificare se le due formule sono esatte per i monomi x 2k, k N 1 1 x0 = 2 I 1 (x 0 ) = 90 45 = 2 I 3(x 0 ) = 90 45 = 2 1 1 x2 = 2 3 I 1 (x 2 ) = 2 3 I 3 (x 2 ) = 2 3 1 1 x4 = 2 5 I 1 (x 4 ) = 2 5 I 3 (x 4 ) = 5 12 2 5 1 1 x6 = 2 I(x 6 ) = 1 7 3 2 7 Si conclude che la prima formula di quadratura ha grado di precisione 5 mentre la terza ha grado di precisione 3. 24
Convergenza delle formule di quadratura Convergenza: lim S n n (f) = I(f) lim R n n (f) = 0 Al crescere di n il polinomio interpolatore potrebbe non convergere anche la formula di quadratura potrebbe fornire risultati inaccurati. 1 0.8 p 2 (x) Fenomeno di Runge: f(x) = 1 1 + x 2 x [ 5, 5] 0.6 0.4 0.2 0 0.2 p 4 (x) p 0 (x) f(x) 0.4 5 0 x 5 = Le formule di quadratura interpolatorie convergono in tutti quei casi in cui converge il polinomio interpolatore. 25
Teorema. Sia f C[a, b], [a, b] limitato, sia {S n (f)} una successione di formule di quadratura interpolatorie allora S n (f) = n i=0 c i f(x i ) lim S n n (f) = I(f). tale che n i=0 c i M n, Nota 1. Per le formule di quadratura interpolatorie a coefficienti positivi si ha n n c i = c i = b a i=0 i=0 per cui l ipotesi del Teorema è soddisfatta con M = b a. Ogni successione di formule di quadratura interpolatorie a coefficienti positivi è convergente. Nota 2. I coefficienti delle formule di Newton-Cotes sono tutti positivi se n 7, mentre sono sia positivi che negativi per n > 7. I coefficienti delle formule gaussiane sono tutti positivi per ogni valore di n. 26
Formule di Newton-Cotes generalizzate Per n > 7 i coefficienti c i delle formule di Newton-Cotes hanno segni sia positivi che negativi oltre a non essere garantita la convergenza, si può avere un amplificazione degli errori sui dati, e quindi un instabilità numerica. Per evitare l uso di formule di Newton-Cotes di grado elevato, quando si dispone di un numero elevato di dati {x i, f i }, i = 0,..., n, si divide l intervallo di integrazione in n sottointervalli e si utilizza in ciascun sottointervallo una formula di Newton- Cotes di grado basso (in genere di grado 1 o 2). 1 1 0.8 p 2 (x) 0.8 p 2 (x) 0.6 0.4 p 4 (x) 0.6 0.4 p 4 (x) 0.2 f(x) 0.2 f(x) 0 0.2 p 0 (x) 0 0.2 p 0 (x) 0.4 5 0 5 0.4 5 0 5 x 27
Formula dei trapezi f j+1 f j A j x 0 x j L integrale I(f) viene approssimato con la somma delle aree dei trapezi A j. x j+1 x N I(f) = b n 1 f(x) dx = a j=0 xj+1 x j f(x) dx n 1 j=0 A j = n 1 j=0 h 2 ( fj + f j+1 ) 28
Formula del trapezio: n = 1, ν = 1, f C 2 [a, b] f j+1 f j p 1 (x) f(x) Si approssima localmente f(x) con un polinomio interpolatore di grado n = 1 che passa per i punti: (x j, f j ), (x j+1, f j+1 ) x j x j+1 f(x) = f j l j (x) + f j+1 l j+1 (x) + π 1(x) f (ξ j (x)) = 2! = f j (x x j+1 ) (x j x j+1 ) + f j+1 (x x j ) (x j+1 x j ) + 1 2 (x x j)(x x j+1 )f (ξ j (x)) ξ j (x) [x j, x j+1 ] 29
Parte approssimante: S 1 (f) xj+1 (x x j+1 ) xj+1 = f j x j (x j x j+1 ) dx + f (x x j ) j+1 x j (x j+1 x j ) dx = = 1 2 f j (x j+1 x j ) + 1 2 f j+1(x j+1 x j ) = 1 2 (f j + f j+1 )(x j+1 x j ) = = h 2 (f j + f j+1 ) Resto: R 1 (f) = 1 2 xj+1 x j (x x j )(x x j+1 )f (ξ j (x)) dx = }{{} 1 12 h3 f (τ j ) Teorema della media τ j [x j, x j+1 ] 30
Formula dei trapezi f j+1 f j A j x 0 x j x j+1 x N In ogni sottointervallo [x j, x j+1 ], j = 0,..., n 1, si applica la formula del trapezio con h = b a n. I(f) = b n 1 f(x) dx = a j=0 xj+1 x j f(x) dx = = n 1 j=0 h 2 ( fj + f j+1 ) + n 1 j=0 ( h3 12 ) f (τ j ) τ j [x j, x j+1 ] 31
I(f) = b a f(x) dx = n 1 j=0 xj+1 x j f(x) dx = = n 1 h j=0 2 n 1 ( ) fj + f j+1 + j=0 ( h3 12 ) f (τ j ) = = h 2 (f 0 + f 1 + f 1 + f 2 + f 2 + f 3 + + f n 2 + f n 2 + f n 1 + f n ) = h n 1 ( ) f0 + 2 f j + f n h 3 nf (τ) τ [a, b] 2 12 j=1 ( h 3 12 ) n 1 f (τ j ) = j=0 Formula dei trapezi: T n (f) = h 2 f 0 + 2 n 1 j=1 f j + f n ( ) b a Rn T (f) = h 2 f (τ) τ [a, b] 12 Grado di precisione: ν = 1 32
Formula delle parabole f 2j+1 f(x) p j (x) f 2j f 2(j+1) A j x 0 x 2j x 2(j+1) L integrale I(f) viene approssimato con la somma delle aree al di sotto della parabola p j (x). x N I(f) = b a f(x) dx = n/2 1 j=0 x2(j+1) x 2j f(x) dx n/2 1 j=0 A j = n/2 1 j=0 h 3 ( f2j + 4 f 2j+1 + f 2(j+1) ) 33
Formula di Cavalieri-Simpson n = 2, ν = 3, f C 4 [a, b] Si approssima localmente f(x) con una parabola (polinomio di secondo grado) che passa per i punti: (x 2j, f 2j ), (x 2j+1, f 2j+1 ), (x 2(j+1), f 2(j+1) ) f 2(j+1) p 1 (x) f 2j p 2 (x) f 2j+1 f(x) x 2j x 2j+1 x 2(j+1) 34
f(x) = f 2j l 2j (x) + f 2j+1 l 2j+1 (x) + f 2(j+1) l 2(j+1) (x) + π 2(x) f (3) (ξ j (x)) = 3! = f 2j (x x 2j+1 )(x x 2(j+1) ) (x 2j x 2j+1 )(x 2j x 2(j+1) ) + +f 2j+1 (x x 2j )(x x 2(j+1) ) (x 2j+1 x 2j )(x 2j+1 x 2(j+1) ) + +f 2(j+1) (x x 2j )(x x 2j+1 ) (x 2(j+1) x 2j )(x 2(j+1) x 2j+1 ) + + 1 6 (x x 2j)(x x 2j+1 )(x x 2(j+1) ) f (3) (ξ j (x)) ξ j (x) [x 2j, x 2(j+1) ]
Parte approssimante: S 2 (f) x2(j+1) x2(j+1) = f 2j l 2j (x) dx + f 2j+1 l 2j+1 (x) dx + x 2j x 2j + f 2(j+1) x2(j+1) x 2j l 2(j+1) (x) dx = = f 2j x2(j+1) x 2j (x x 2j+1 )(x x 2(j+1) ) (x 2j x 2j+1 )(x 2j x 2(j+1) ) dx + x2(j+1) (x x 2j )(x x 2(j+1) ) +f 2j+1 x 2j (x 2j+1 x 2j )(x 2j+1 x 2(j+1) ) dx + x2(j+1) (x x 2j )(x x 2j+1 ) +f 2(j+1) x 2j (x 2(j+1) x 2j )(x 2(j+1) x 2j+1 ) dx = = h 3 ( f2j + 4f 2j+1 + f 2(j+1) ) 35
Resto: R 2 (f) = 1 6 x2(j+1) x 2j (x x 2j )(x x 2j+1 )(x x 2(j+1) )f (3) (ξ j (x)) dx = = h5 90 f (4) (τ j ) τ j [x 2j, x 2(j+1) ] 36
Formula delle parabole In ogni sottointervallo [x 2j, x 2(j+1) ], j = 0, 1,..., n/2 1, si applica la formula di Cavalieri-Simpson con h = b a n. I(f) = b a f(x) dx = n/2 1 j=0 x2(j+1) x 2j f(x) dx = = n/2 1 j=0 h 3 ( f2j + 4f 2j+1 + f 2(j+1) ) + n/2 1 j=0 ( h5 90 ) f (4) (τ j ) τ j [x 2j, x 2(j+1) ] 37
I(f) = b a f(x) dx = n/2 1 j=0 x2(j+1) x 2j f(x) dx = = n/2 1 j=0 h 3 n/2 1 ( ) f2j + 4f 2j+1 + f 2(j+1) + j=0 ( h5 90 ) f (4) (τ j ) = = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 + f 2 + 4f 3 + f 4 + f 4 + 4f 5 + f 6 + + f n 2 + f n 2 + 4f n 1 + f n )+ ( h 5 90 Formula delle parabole: ) n/2 1 j=0 f (4) (τ j ) = h f0 + 4 3 P n (f) = h 3 n/2 1 j=0 f 0 + 4 ( b a Rn P (f) = 180 Grado di precisione: ν = 3 f 2j+1 + 2 ) n/2 1 j=0 n/2 1 j=1 ( f 2j + f n h 5 f 2j+1 + 2 n/2 1 j=1 90 h 4 f (4) (τ) τ [a, b] ) n 2 f (4) (τ) f 2j + f n Nota. Per poter usare la formula delle parabole il numero di nodi n + 1 deve essere dispari. 38
Convergenza delle formule dei trapezi e delle parabole Formula dei trapezi: lim n T n(f) = I(f) lim R T n n (f) = 0 Se f C (2) [a, b] lim n RT n (f) }{{} = h= b a n [ lim h 0 RT n (f) = lim h 0 ( b a 12 )] h 2 f (τ) = 0 Formula delle parabole: lim n P n(f) = I(f) lim R P n n (f) = 0 Se f C (4) [a, b] lim n RP n (f) }{{} = h= b a n [ lim h 0 RP n (f) = lim h 0 ( b a 180 )] h 4 f (4) (τ) = 0 39
Esempio 2 (inizio slide) Si può approssimare la lunghezza della pista con una formula di quadratura generalizzata. h = b a n = 84 14 = 6 Formula dei trapezi: L 3 v 0 + 2 13 i=1 Formula delle parabole: L 2 v 0 + 4 9858 v i + v 14 = 9855 6 i=0 v 2i+1 + 2 6 i=1 v 2i + v 15 = 40
Errore di propagazione Assumendo che per l errore sui dati valga la limitazione ε i ε = 0.5, per l errore di propagazione si ottiene la maggiorazione: R n(f) = n i=0 ε i c i n i=0 ε i c i ε n i=0 c i Poiché entrambe le formule di quadratura hanno coefficienti c i positivi si ha R n (f) ε n i=0 c i ε n i=0 c i = ε (b a) = 0.5 84 = 42 41
Esercizio Si stimi il valore del seguente integrale 5 2 0 f(x)dx sapendo che la funzione f assume i valori riportati in tabella x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 f(x) 1.5000 2.0000 2.0000 1.6364 1.2500 0.9565 Soluzione Poichè il numero di punti è pari, è necessario o applicare la formula dei trapezi, oppure suddividere l intervallo opportunamente in due sotto-intervalli in cui applicare due formule di quadrature distinte ma possibilmente aventi precisione comparabile. 42
Per esempio, scegliendo la formula di Cavalieri-Simpson per i primi tre nodi e la formula dei 3/8 per i successivi si ha con 5/2 0 f(x)dx = I 1 + I 2 = 1 5/2 f(x)dx + 0 1 f(x)dx I 1 = h 3 (f 0 + 4f 1 + f 2 ) = 1 11.5 (1.5 + 4 2 + 2) = 6 6 = 1.9167 I 2 = 3h 8 (f 0+3f 1 +3f 2 +f 3 ) = 3 (2+3 1.6364+3 1.25+0.9565) = 2.1779 16 e quindi mentre 5/2 0 f(x)dx 1.9167 + 4.3559 = 4.0946 R(f) = R 1 (f) + R 2 (f) = h5 90 f (IV ) (ξ 1 ) 3h5 80 f (IV ) (ξ 2 ), ξ 1 (0, 1), ξ 2 (1, 2.5) Nota: Confrontare l approssimazione del valore dell integrale con quella ottenuta usando la formula dei trapezi e stabilire se è possibile dare una stima di R(f). 43
Integrazione su intervalli illimitati + 0 Si determini cos 2 (x)e x dx a meno di un errore inferiore a 10 3. Soluzione f(x) = cos 2 (x)e x è integrabile su [0, + ), infatti 0 < + 0 cos 2 (x)e x dx < + 0 e x dx = 1 < + 44
Per poter applicare la formula dei trapezi, si scrive I(f) = + 0 cos 2 (x)e x dx = β 0 cos2 (x)e x dx + + β cos 2 (x)e x dx e si cerca β > 0 tale che + β cos 2 (x)e x dx < 0.5 10 3. In questo modo la formula dei trapezi si applica all integrale β 0 cos2 (x)e x dx 45
Si osserva che + β cos 2 (x)e x dx < + β e x dx = e β 0.5 10 3 β ln(0.5 10 3 ) 7.601. 46
Scegliendo il valore di β più piccolo, cioè β = ln(0.5 10 3 ), si vuole determinare in quanti intervalli di uguale lunghezza è necessario suddividere l intervallo [0, β] affinchè la formula dei trapezi produca una stima dell integrale della funzione in questo intervallo con un errore inferiore a 0.5 10 3. A tal fine consideriamo l espressione dell errore di troncamento della formula dei trapezi, cioè ( ) Rn T b a (f) = h 2 f (τ) τ [a, b] 12 e richiediamo Rn T (f) < 0.5 10 3. 47
Si osserva che b a = β, mentre ( Rn T β (f) = 12 Poichè ) h 2 f (τ) ( β 12 ) h 2 max f (x). x [0,β] f (x) = e x (2sin(2x) + cos 2 (x) 2cos(2x)) allora max x [0, β] f (x) 1.15 48
Da cui cioè R T n (f) < 0.5 10 3 ( β 12 ) h 2 max f (x) < 0.5 10 3 x [0,β] h 2 0.5 10 3 12 max x [0,β] f (x) β = 0.5 10 3 1.15 12 ln(0.5 10 3 ) = 6.86 10 4 e quindi h 0.0262. 49
Se n + 1 è il numero di punti da usare nella formula dei trapezi, allora cioè h = b a n = β n, n ln(0.5 10 3 ) 0.0262 e quindi, essendo n un numero intero, n 291. = 290.11 Quindi, sono necessari almeno 292 punti nella formula dei trapezi per raggiungere la precisione richiesta. Nota: Ripetere l esercizio precedente usando la formula delle parabole e confrontare i risultati. 50
Esercizio Scrivere la funzione Matlab trapezi.m che riceva come parametri di input i valori f i di una funzione valutati su una griglia di punti e- quispaziati nell intervallo [a, b] e approssimi l integrale della funzione f nell intervallo [a, b] usando la formula dei trapezi. Usare la funzione per calcolare l integrale della funzione dell esercizio precedente e confrontare i risultati con lo output della funzione trapz.m predefinita di Matlab. 51
function [int_value] = trapezi(fi,a,b) %[int_value] = trapezi(fi,a,b) % valuta l integrale di una funzione f nell intervallo [a,b] % usando la formula dei trapezi, conoscendo il valore di f in punti % equidistanti nell intervallo [a,b] % % INPUT % % fi = valore della funzione in punti equidistanti dell intervallo [a,b] % a = estremo inferiore dell intervallo di integrazione % b = estremo superiore dell intervallo di integrazione % % int_value = approssimazione dell integrale di f in [a,b] N = length(fi); % numero di punti h = (b-a)/(n-1); % distanza tra i punti % calcolo del valore dell integrale int_value = (fi(1) + 2 * sum (fi(2:n-1)) + fi(n))*h/2; 52
Dal Command Window >> f = @(x)[exp(-x).*((cos(x)).^2 )]; >> xi = linspace(0,-log((.5*10^(-3))),292); >> fi = f(xi); >> int_value = trapezi(fi,0,-log(.5*10^(-3))); >> disp(int_value) 0.59989905470163 >> int_value = trapz(xi,fi); >> disp(int_value) 0.59989905470163 53
Esercizio Si riscriva la funzione dell esercizio precedente. I parametri di input sono: la funzione di cui si vuole calcolare l integrale e il numero di punti N da usare nella formula dei trapezi. Si calcoli l integrale della funzione dell esercizio precedente con N = 100,, 800 e si confrontino i risultati. 54
f = @(x)[exp(-x).*((cos(x)).^2 )]; N = 100:800; for i = 1:length(N) int_value(i) = trapezi2(f,0,-log(.5*10^(-3)),n(i)); end figure, plot(n,int_value) xlabel( numero di punti N ) ylabel( integrale approssimato ) 55
N int_value 282 0.599903 283 0.599903 284 0.599902 285 0.599902 286 0.599901 287 0.599901 288 0.599901 289 0.599900 290 0.599900 291 0.599899 292 0.599899 293 0.599899 294 0.599898 295 0.599898 296 0.599898 297 0.599897 298 0.599897 299 0.599896 300 0.599896 301 0.599896 302 0.599895 56
function [I] = parabole(xnodi,fnodi) % I=parabole(xnodi,fnodi): Approssimazione di un integrale % con la formula delle parabole % % INPUT % xnodi = punti dell intervallo di intergrazione % in cui si conosce il valore della funzione % ynodi = valore della funzione da integrare valutata nei punti xnodi % % OUTPUT % I = approssimazione dell integrale nnodi = length(xnodi); a = xnodi(1); b = xnodi(nnodi); h = (b-a)/(nnodi-1); I = h/3*(fnodi(1)+4*sum(fnodi(2:2:nnodi-1))+... 2*sum(fnodi(3:2:nnodi-2))+fnodi(nnodi)); 57
Usando la formula delle parabole per valutare l integrale dell esercizio precedente si ha >> I = parabole(xi,fi) I = 0.59984121703556 Mentre usando la funzione predefinita di Matlab quad.m (usa la formula di Newton ricorsivamente in modo da ottenere un errore di almeno 10 6 ). >> quad(f,0,-log(.5*10^(-3))) ans = 0.59984217665775 58
Esercizio Calcolare il valore del seguente integrale 1 0 1 1 + x 2dx usando la formula delle parabole e un numero di segmenti N = 20,..., 200 di passo 4. Calcolare le approssimazioni per ogni N e calcolare l errore assoluto E N rispetto al valore esatto dell integrale. Verificare che l errore non decresce come 1 N 4 ma come 1 N 6. 59
Soluzione Il valore esatto dell integrale è I = [arctan(x)] 1 o = π 4. Per il calcolo dell integrale approssimato, si usa la funzione parabole.m opportunamente modificata: 60
function [IN] = parabole_mod(fun,a,b,n) % IN = parabole_mod(fun,a,b,n): Approssimazione di un integrale % con la formula delle parabole % % INPUT % fun: funzione da integrare % a = estremo inferiore dell intervallo di integrazione % b = estremo superiore dell intervallo di integrazione % N : numero di intervalli da usare nella formula di quadratura % % OUTPUT % I = approssimazione dell integrale % Controllo se il numero di nodi dispari if mod(n,2) ~= 0 error( N deve essere un numero pari!!! ) end 61
% calcolo il passo e il numero di nodi h = (b-a)/(n); nnodi = N+1; xi = linspace(a,b,nnodi); f_primo = fun(xi(2:2:nnodi-1)); f_secondo = fun(xi(3:2:nnodi-2)); IN = h/3*(fun(xi(1))+4*sum(f_primo)+ 2*sum(f_secondo)+fun(xi(nnodi))); 62
da cui J = pi/4; N = [20:4:200]; f = @(x) 1./(1+x.^2); for i = 1:length(N) IN(i) = parabole_mod(f,0,1,n(i)); EN(i) = abs(in(i)-j); end 63
figure subplot(2,1,1) plot(n, IN) title( Approx. dell integrale da 0 a 1 di 1/1+x2 ) xlabel( N ) ylabel( valore approssimato ) subplot(2,1,2) plot(n,en) title( Errore dell Approssimazione ) xlabel( N ) figure plot(n,en) hold on, plot(n,.01./n.^6, r: ) hold on, plot(n,.00001./n.^4, k ) title( Errore dell Approssimazione ) xlabel( N ) legend( Errore, 1/N^6, 1/N^4 ) 64
65
L errore di approssimazione decresce come 1 N 6.
Criterio di Runge Nel caso delle formule generalizzate è possibile stimare il resto senza ricorrere al calcolo della derivata. ( ) b a Formula dei trapezi: Rh T (f) = h 2 f (τ) τ [a, b] 12 ( b a Passo h I(f) = T h (f)+rh T (f) = T h(f) 12 ) h 2 f (τ) Passo h 2 I(f) = T h/2 (f)+rt h/2 (f) = T h/2 (f) ( b a 12 Se f (x) varia poco in [a, b] f (τ) f (σ) ( ) b a Rh T (f) = h 2 f (τ) 12 ( b a 12 ) ) ( h 2 h 2 f (σ) = 4R T h/2 (f) ) 2 f (σ) 66
Passo h I(f) T h (f)+4r T h/2 (f) Passo h 2 I(f) = T h/2 (f)+rt h/2 (f) Sottraendo le due formule si ottiene Criterio di Runge (per trapezi): R T h/2 (f) 1 3 (T h/2 (f) T h(f)) ( b a Formula delle parabole: Rh P (f) = 180 ) h 4 f (4) (τ) τ [a, b] ( ) b a Passo h I(f) = P h (f)+rh P (f) = P h(f) h 4 f (4) (τ) 180 Passo h ( ) ( ) 4 b a h 2 I(f) = P h/2(f)+rh/2 P (f) = P h/2(f) f (4) (σ) 180 2 Se f (4) (x) varia poco in [a, b] f (4) (τ) f (4) (σ) ( ) ( ) b a b a Rh P (f) = h 4 f (4) (τ) h 4 f (4) (σ) = 16Rh/2 P 180 180 (f) Criterio di Runge (per parabole): R P h/2 (f) 1 15 (P h/2 (f) P h(f)) 67
Estrapolazione di Richardson Il criterio di Runge permette di stimare il resto tramite le sole parti approssimanti relative ai passi h e h/2. La stima ottenuta può essere utilizzata per ottenere una nuova approssimazione, più accurata, dell integrale. Estrapolazione di Richardson (per trapezi): I(f) = T h/2 (f)+r T h/2 (f) T h/2 (f) + 1 3 (T h/2 (f) T h(f)) Estrapolazione di Richardson (per parabole): I(f) = P h/2 (f)+r P h/2 (f) P h/2 (f) + 1 15 (P h/2 (f) P h(f)) 68
Esempio Determinare l errore che si commette approssimando la lunghezza della pista con la formula dei trapezi. Per stimare l errore si può utilizzare il criterio di Runge utilizzando come approssimazione al passo h/2 l approssimazione con passo h/2 = 6 (si usano tutti i nodi) e come approssimazione al passo h l approssimazione al passo h = 12 (si usano solo gli 8 nodi i = 0, 2, 4,..., 14). Criterio di Runge per trapezi: R 1 (9855 9846) = 3 3 Estrapolazione di Richardson: L 9855 + 1 (9855 9846) = 9858 3 E possibile applicare il criterio di Runge per la formula delle parabole? 69
Esercizio I(e x ) = 1 0 ex dx = e 1 1.7182818 Passo h = 1 2 P 1/2(e x ) = 1 6 (e0 + 4e 0.5 + e 1 ) 1.7188611 I(e x ) P 1/2 (e x ) = 0.58 10 3 Passo h = 1 4 P 1/4(e x ) = 1 12 [e0 + 4(e 0.25 + e 0.75 ) + 2e 0.5 + e 1 ] 1.7183188 I(e x ) P 1/4 (e x ) = 0.37 10 4 Criterio di Runge: R1/4 P 1 15 (P 1/4(e x ) P 1/2 (e x )) = 1 (1.7183188 1.7188611) = 0.36 10 4 15 Estrapolazione di Richardson: I(e x ) P 1/4 (e x ) + 1 15 (P 1/4 (ex ) P 1/2 (e x )) 1.7182826 = A I(f) A = 1.7182818 1.7182826 = 0.8 10 6 70
Esercizio Data la tabella i 0 1 2 3 4 x i -0.5-0.25 0 0.25 0.5 f i 1.64872 1.28402 1.00000 0.77880 0.60653 relativa ai valori, affetti da errore, di una funzione f(x) C (IR), 1.1) approssimare 0.5 f(x)dx usando la formula dei trapezi generalizzata su 5 nodi; 0.5 1.2) dare una stima dell errore di troncamento; 1.3) stabilire se l errore di propagazione può essere trascurato rispetto all errore di troncamento motivando la risposta. 71
Soluzione 1.1 Utilizzando n = 5 nodi nell intervallo [a, b] = [ 0.5, 0.5] si ha un passo h = b a n 1 = 1 4. Dunque, l approssimazione dell integrale è data da: T h (f) = h 2 (f 0 + 2 n 2 i=1 f i + f n 1 ) = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + f 4 ) = = 0.125(1.64872 + 2 1.28402 + 2 1 + 2 0.7788 + 0.60653) = = 1.04761 1.2 Per valutare l errore di troncamento, non avendo informazioni sulla derivata seconda di f, si applica la formula dei trapezi su tre nodi con passo 2 h = 0.5, 72
T 2h (f) = 2 h 2 (f 0 + 2f 2 + f 4 ) = = 0.25(1.64872 + 2 1 + 0.60653) = 1.06381. Sapendo che f(x) C, si può utilizzare il criterio di Runge per la stima dell errore di troncamento e quindi: da cui R h (f) R h (f) T h(f) T 2h (f) 3 1.04761 1.06381 3 = 0.54 10 2 73
Usando l estrapolazione di Richardson, l approssimazione dell integrale migliora come segue I(f) T h + ( 0.54 10 2 ) = 1.04221. 1.3 I valori della funzione nei nodi sono dati con precisione ɛ = 0.5 10 5. Poichè i coefficienti della formula di quadratura sono tutti positivi, risulta che l errore di propagazione R (f) è tale che R (f) ɛ(b a) = 0.5 10 5. Quindi, l errore di propagazione è trascurabile rispetto all errore di troncamento. 74
Riferimenti bibliografici L. Gori, Calcolo Numerico: Cap. 7 7.1, 7.2, 7.3 (escluse formule di Newton-Cotes aperte), 7.4, 7.5 (escluso metodo di Romberg), 7.9 L. Gori, M.L. Lo Cascio, F. Pitolli, Esercizi di Calcolo Numerico: 4.1-4.7, 4.9, 4.10, 4.21, 7.3, 7.8, 7.9, 7.17, 7.23, 7.28, 7.30, 7.42, 7.47, 7.48, 7.71, 7.78, 7.82, 7.84 75
Esercizi d esame 76
ESERCIZIO 1 1.1) Scrivere la formula dei trapezi composta che approssima il valore di 1 1 π = 4 0 1 + z 2 dz con almeno 3 cifre decimali esatte. Si trascuri l errore di propagazione; 1.2) Assumendo che i valori della funzione integranda siano dati con 10 cifre decimali esatte, dare una stima dell errore che si commette nell approssimare π nel caso in cui si utilizzi la formula delle parabole composta con un numero di nodi comparabile con quello individuato al punto precedente per la formula dei trapezi. 77
Soluzione 1.1) L errore di troncamento della formula dei trapezi composta con m + 1 punti è ) ( Rm T b a = h 2 f (τ), τ (a, b), 12 con f funzione integranda, a e b estremi dell intervallo di integrazione, h = b a m. se ( b a 12 ) Rm T < 0.5 10 3 h 2 max x [a,b] f (x) 0.5 10 3, cioè, detto M = max x [a,b] f (x), se m > (b a) 3 M 12 0.5 10 3 = M 12 0.5 10 3. 78
Si verifica facilmente che f (x) = 8x (1+x 2 ) 2 e f (x) = 8(3x2 1) (1+x 2 ) 3. Poiché f (x) è una funzione crescente in [0, 1] e si annulla in x = 1, si ha 3 Quindi M = max{ f (0), f (1) } = max{8, 2} = 8. m > 20 3 36.5, cioè m = 37. 1.2) Poichè nella formula delle parabole il numero di nodi deve essere dispari, si deve scegliere m = 38. Sostituendo m = 38 nella formula dell errore di troncamento relativo alla formula delle parabole composta, si ha Rm P (b a) = 180 m 4f (4) (b a) (τ) 180 m 4 M 4 con M 4 = max x [0,1] f (4) (x), cioè R P m < 96 180 38 4 0.26 10 6 < 0.5 10 6,
essendo f (4) (x) = 96 1 10x2 +5x 4 (1+x 2 ) 5. I valori della funzione nei nodi sono dati con precisione ɛ = 0.5 10 10. Poichè i coefficienti della formula di quadratura sono tutti positivi, l errore di propagazione R (f) è tale che R (f) ɛ(b a) = 0.5 10 10 che è trascurabile rispetto all errore di troncamento.
ESERCIZIO 2 Data la tabella i 0 1 2 3 4 x i -0.5-0.25 0 0.25 0.5 f i 0.64872 0.28402 0.00000-0.22120-0.39347 relativa ai valori, affetti da errore, di una funzione f(x) C (IR), 2.1) approssimare f(x)dx usando la formula dei trapezi generalizzata su 5 nodi; 0.5 0.5 2.2) dare una stima dell errore di troncamento; 2.3) stabilire se l errore di propagazione può essere trascurato rispetto all errore di troncamento motivando la risposta. 79
ESERCIZIO 3 3.1) Scrivere la formula dei trapezi composta che approssima il valore dell integrale I = 1 0 e1+z2 dz con almeno 3 cifre decimali esatte. Si trascuri l errore di propagazione; 3.2) Assumendo che i valori della funzione integranda siano dati con 10 cifre decimali esatte, dare una stima dell errore che si commette nell approssimare I nel caso in cui si utilizzi la formula delle parabole composta con un numero di nodi comparabile con quello individuato al punto precedente per la formula dei trapezi. 80
ESERCIZIO 4 Si consideri la seguente tabella relativa alla funzione f(x), con f C (R) i 0 1 2 3 4 5 x i -2-1 0 1 2 3 f(x i ) -5 1 1 1 7 25 Sapendo che i dati in tabella sono esatti, 4.1) dare una stima dell errore che si commette approssimando I = 3 una opportuna formula delle parabole. 1 f(x)dx con 4.2) calcolare il valore esatto di I usando una opportuna formula di interpolazione. Suggerimento: Usare la formula delle parabole generalizzata prima su tre nodi e poi su 5 e stimare l errore con il criterio di Runge. Costruire la tavola alle differenze divise. 81
ESERCIZIO 5 5.1 Illustrare dettagliatamente il problema della quadratura numerica con particolare riferimento alla stima delle diverse tipologie di errore. 5.2 Stabilire se è possibile usare la seguente tavola alle differenze divise f i f 2 f 3 f 4 f 5 f 1 2.999999993-0.000539915-4.501607328 18.068012364-126464.232604678 1.00011999999971 2.999999950-0.001080108-4.498716446-7.224834157 1.00023999999770 2.999999863-0.001619954-4.499872419 1.00035999999222 2.999999734-0.002159939 1.00047999998157 2.999999561 1.00059999996400 per dare una stima dell errore di troncamento commesso calcolando l integrale I = 0.0002 0.00004 (1 + sin(3x))dx con la formula delle parabole costruita su cinque nodi equidistanti nell intervallo [0.00004, 0.0002]. In caso di riposta negativa, proporre un metodo alternativo di stima dell errore di troncamento. Suggerimento: calcolare la derivata quinta della funzione integranda e confrontarla con la differenza divisa di ordine 5. 82
ESERCIZIO 6 6.1 Illustrare dettagliatamente il problema della quadratura numerica con particolare riferimento alla stima del resto. 6.2 Stabilire quali delle seguenti formule di quadratura forniscono la stima di I(f) = 1 f(x)dx più precisa per ogni scelta del parametro intero positivo n quando 1 f(x) = e 2log(1/(1 x+0.1x2 )) I(f) = 1 6 (f( 1) + 5f( 5/5) + 5f( 5/5) + f(1)) I(f) = 1 (f( 1) + 3f( 1/3) + 3f(1/3) + f(1)) 4 I(f) = 1 (7f( 1) + 32f( 1/2) + 12f(0) + 32f(1/2) + 7f(1)) 45 I(f) = 1 n f( 1) + 2 n 1 n j=1 f( 1 + 2 n j) + 1 n f(1) Suggerimento: Determinare il grado di precisione delle formule di quadratura proposte. 83
ESERCIZIO 7 Si consideri il seguente integrale I = + sin2 (2x)e x dx 7.1 stabilire se e in che modo, trascurando gli errori di arrotondamento, è possibile dare una stima di I con errore inferiore a 10 4 ; 7.2 stabilire se e in che modo è possibile dare una stima di I con errore inferiore a 10 4 sapendo di poter calcolare i valori della funzione integranda con 10 decimali esatti; 7.3 stabilire se è possibile calcolare in modo esatto I usando un polinomio che interpola la funzione integranda in un numero finito di nodi equidistanti. 84
ESERCIZIO 8 Si consideri la seguente tabella di dati esatti e riferiti ad una funzione F (x) C (R) valutata in punti equidistanti x i [0, 3], i = 0, 1,..., 6 x i 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 F (x i ) 0 0.1250 0.5000 1.1250 2.0000 3.1250 4.5000 e gli integrali così definiti I 1 = x K x 0 F (x)dx, I 2 = x H x K+1 F (x)dx, K e H interi nell intervallo [0, 6] I 3 = x6 x H+1 F (x)dx con 8.1 Stabilire come devono essere scelti K e H affinchè l errore che si commette nella stima di I 2, usando delle opportune formule di quadratura, sia inferiore all errore che si commette nella stima di I 1 e I 3. 8.2 Per una scelta particolare di K e H, dare, se possibile, una stima dell errore che si commette su I 2. 8.3 Stabilire se, con un opportuna scelta di formule di quadratura, è possibile dare una stima anche dell errore che si commette su I 1 e I 3. Suggerimento: Poichè F è C, si può scegliere una formula di quadratura per I 2 con grado di precisione maggiore rispetto a quello delle formule di quadratura da usare per approssimare I 1 and I 3. Poichè i nodi sono 7 e gli intervalli di integrazione degli integrali proprosti sono disgiunti, l unica scelta è quella di usare la formula di Cavalieri-Simpson per I 2 e la formula del trapezio per gli altri integrali. 85
ESERCIZIO 9 Si consideri la funzione I(x) = + x 1 2+t2dt, con x [1, 10]. 9.1 Proporre, se possibile, almeno due procedimenti diversi per valutare I(3.5) con almeno due decimali esatti quando si trascurano gli errori di arrotondamento. 9.2 Per il procedimento più conveniente, sapendo che l errore massimo di arrotondamento è pari a 0.5 10 5, dare una stima dell errore di propagazione che si commette nella stima di I(3.5). 9.3 Determinare per quali valori dei parametri reali A, B, C, la seguente formula di quadratura I 1 (f) = Af( 1) + Bf(0) + Cf(1) + R 1 (f) produce una stima di I ( 1 2 ) con almeno 5 decimali esatti. 86
ESERCIZIO 10 Si consideri la seguente formula di quadratura [ ( ) 1 1 f(x)dx = 1 6 f( 1) + af 1 + bf(0) + cf 2 ( ) ] 1 + f(1) + R(f). 2 10.1 Stabilire per quali valori dei parametri reali a, b, c la formula ha grado di precisione pari a 3. 10.2 Stabilire se è possibile stimare l errore di propagazione commesso usando la formula determinata al punto precedente quando i valori della funzione nei nodi sono forniti con 10 decimali esatti. 10.3 Proporre almeno due procedure distinte con cui dare una stima dell errore di troncamento che si commette approssimando 1 log(x + 2)dx con la formula di 1 quadratura determinata al punto 10.1. Scelta una delle due procedure proposte, dare una maggiorazione dell errore di troncamento. 87
Traccia della soluzione La formula di quadratura è costruita su nodi equidistanti di passo h = 1/2 e simmetrici rispetto allo 0; scegliendo a = c = 4 e b = 2, la formula è quella delle parabole generalizzate che ha grado di precisione 3. Poichè i coefficienti della formula sono tutti positivi, l errore di propagazione è Rn (I) = ε(b a), con ε pari all errore massimo sui dati e (b a) pari all ampiezza dell intervallo di integrazione. Per il calcolo dell errore di trocamento è possibile valutare il massimo della derivata quarta della funzione integranda e usare la formula il resto della formula delle parabole generalizzata, oppure è possibile valutare l integrale dato con la formula di quadratura di Cavalieri-Simpson su nodi equidistanti in [ 1, 1] di passo h = 1 e usare il criterio di Runge per la stima dell errore di troncamento. 88
ESERCIZIO 11 Si consideri l integrale I(f) = 1 1 f(x)dx, con f(x) = x4 + 1, x [ 1, 1] 11.1 Stabilire quali delle seguenti formule di quadratura sono adatte ad approssimare I(f) con almeno 5 decimali esatti: I(f) = 1 6 [f( 1) + 4f ( 1 2) + 2f(0) + 4f ( 1 2) + f(1)] + R(f), I(f) = 1 (f( 1) + 3f( 1/3) + 3f(1/3) + f(1)) + R(f) 4 ) ( ) I(f) = ( 1 6 f( 2) + 5 6 f 2 5 + 5 6 f 2 5 + 1 f(2) + R(f), 6 I(f) = 1 n f( 1) + 2 n n 1 j=1 f( 1 + 2 n j) + 1 f(1) + R(f) n 11.2 Indicati con {x i, f(x i )} 1 i n i dati richiesti dalla formula che soddisfa il punto 11.1 con un numero inferiore di nodi, dare una stima dell errore che si commette interpolando {x i, f(x i )} 1 i n sapendo che i valori f(x i ) sono dati con 7 decimali esatti. 89
Suggerimento Le prime due formule sono rispettivamente la formula delle parabole generalizzata costruita su nodi equidistanti di passo h = 1/2 nell intervallo [ 1, 1] e la formula dei 3/8 costruita su nodi equidistanti nello stesso intervallo ma con passo h = 2/3. In entrambi i casi, l intervallo di integrazione coincide con l intervallo su cui sono state costruite le formule. Pertanto, le due formule sono adatte ad approssimare l integrale di un polinomio di quarto grado ed entrambe hanno grado di precisione pari a 3. Per valutare se il resto della formula rispetta la precisione richiesta, è necessario valutare i resti delle due formule considerandone le espressioni, entrambe dipendenti dalla derivata quarta della funzione integranda, che è sicuramente una costante. L ultima formula proposta è quella dei trapezi generalizzata che ha grado di precisione 1; poichè dipende dal parametro n, è possibile scegliere il valore di n per il quale il resto della formula rispetta la condizione richiesta. La terza formula di quadratura è costruita su nodi che appartengono ad un intervallo di integrazione diverso da quello proposto. 90
ESERCIZIO 12 Si consideri il seguente integrale C (R), a, b R. I(f) = b a f(x)dx + b a f 2 (x)dx, con f(x) 12.1 Stabilire se e in che modo, usando la seguente tabella di dati riferita alla funzione f(x), è possibile dare una stima di I(f) con a = 1 e b = 0.98 i 0 1 2 3 4 5 6 x i -1.0000-0.6700-0.3400-0.0100 0.3200 0.6500 0.9800 f i -1.7183-0.9542-0.4049-0.0101 0.2739 0.4780 0.6247 12.2 In caso di risposta affermativa al punto precedente, dare, se possibile, una stima dell errore. 12.3 Sapendo che la tabella al punto 12.1 è stata prodotta risolvendo il problema di Cauchy { f = g(x, f), x [ 2, 1] f( 2) = 6.3891 con il metodo Eulero esplicito, dove g(x, f) C ([ 2, 1] R), stabilire se il passo usato è quello ottimo. 91
ESERCIZIO 13 Si consideri la seguente tabella di dati esatti riferita ad una funzione f(x) C (R) i 0 1 2 3 4 5 6 x i -1.0000-0.6700-0.3400-0.0100 0.3200 0.6500 0.9800 y i -1.7183-0.9542-0.4049-0.0101 0.2739 0.4780 0.6247 13.1 Stabilire se e in che modo è possibile dare una stima di x 5 x 2 f(x)dx usando la formula dei trapezi generalizzata costruita su nodi di passo h = x 1 x 0 nell intervallo 2 [x 2, x 5 ]. 13.2 In caso di risposta affermativa al punto precedente, stabilire se e in che modo è possibile dare una stima del resto. Dare, inoltre, una stima dell errore di propagazione. 13.3 Stabilire se e in che modo è possibile dare una stima di almeno uno zero della funzione f(x) con almeno 5 decimali esatti. 92
ESERCIZIO 14 Si consideri la seguente funzione F (x) = x+δ e t2 dt, con x R e δ parametro reale x positivo. 14.1 Stabilire se e in che modo è possibile dare una stima del valore di F in un generico punto x R. 14.2 Assegnata una distribuzione di nodi x 0,...x n equidistanti di passo h, proporre almeno un metodo di stima per F (x i + h 2 ), i = 1,..., n 1 usando i valori F (x i ), i = 0,..., n e stabilire con quale precisione devono essere dati i valori di F (x i ) affinchè l errore di propagazione che si commette nella stima di F (x i + h 2 ) sia trascurabile. 14.3 Discutere la dipendenza dal parametro δ del risultato ottenuto al punto precedente. 93
ESERCIZIO 15 Si consideri la funzione F (x) = x+δ x δ g(t)dt, con x R, δ parametro reale positivo e g C (R). Siano x 1,..., x n punti equidistanti sull asse reale e tali che x i x i 1 = δ, i = 1, 2,..., n con n N, n 3. Sapendo che g (k) (t) 5(k!), t R, k N, k 2n, indicato con P n (x) il polinomio che interpola {F (x i )} i=1,2,..,n sui nodi {x i } i=1,2,...,n e posto ī = n 2, 15.1 determinare l errore E n (xī δ 2 ) che si commette approssimando F (x ī h 2 ) con P n (xī h 2 ) e confrontarlo con l errore che si commette stimando F (x ī h ) con la 2 formula di Cavalieri-Simpson; 15.2 stabilire come deve essere scelto δ affinchè E n (xī h 2 ) 0.5 10 5 quando i valori F (x i ), i = 1,..., n, sono stimati usando la formula di Cavalieri-Simpson. Si assuma che i valori della funzione integranda non siano affetti da errori. 94
ESERCIZIO 16 16.1 Illustrare il problema della soluzione numerica di integrali definiti, con particolare riferimento al grado di precisione delle formule di quadratura. 16.2 Si consideri la seguente formula di quadratura dipendente dal parametro reale b I(f; b) = 1 3 f( b) + 2 3 f(0) + 1 3 f(b). Stabilire come deve essere scelto b affinchè la formula sia adatta ad approssimare i seguenti integrali 1 1 x 2 dx, 1 2 e risulti di grado di precisione massimo. (x 2 + 1)dx, 1 1 (x 5 + 5)dx 95
ESERCIZIO 17 Si consideri il seguente integrale I(f) = I f(x)dx, con I = I 1 I 2 I 3 e f(x) C(I) : f 1 (x) x I 1 f(x) = f 2 (x) x I 2 f 3 (x) x I 3 dove f 1, f 2 e f 3 sono polinomi algebrici di grado rispettivamente 1, 3 e 1. Sapendo che i valori della funzione f(x) possono essere dati con errore ε 1 = 0.5 10 1, ε 2 = 0.5 10 2 e ε 3 = 0.5 10 5 rispettivamente in I 1, I 2 e I 3, stabilire se è possibile scegliere un passo di discretizzazione h per il quale la formula dei trapezi generalizzata e quella delle parabole generalizzata, se applicate opportunamente, producono una stima di I(f) con almeno un decimale esatto e errore di propagazione trascurabile. Motivare la risposta. 96