INGEGNERIA INFORMATICA FONDAMENTI DI AUTOMATICA 18/07/2017 Prof. Marcello Farina SOLUZIONI Anno Accademico 2016/2017
ESERCIZIO 1 Un padre apre un libretto di risparmio al proprio figlio nel giorno della sua nascita, versando inizialmente 100 e decidendo di versare, all inizio di ogni successivo anno, la stessa cifra. L interesse maturato alla fine di ogni anno è 2% sul capitale presente. Alla fine di ogni anno, inoltre, le spese di gestione ammontano a 10 +0.5% del capitale. A. Si costruisca un modello matematico a tempo discreto che descrive l evoluzione del capitale presente sul libretto di risparmio. Suggerimento: un modello di ordine 1 è adeguato per la descrizione di questo sistema. B. Si calcolino gli autovalori (o l autovalore, nel caso il sistema abbia ordine 1) del sistema. Si determinino le proprietà di stabilità del sistema. C. Si calcoli il capitale totale nel giorno in cui il figlio compie 18 anni (per precisione, quel giorno il padre versa per la 19a e ultima - volta la cifra). D. Supponendo che (a parità di condizioni contrattuali) dopo il giorno in cui il figlio compie 18 anni il padre smetta di versare denaro e il figlio ritiri 200 /anno all inizio di ogni anno (ritira la stessa cifra anche il giorno del suo compleanno), calcolare in quanti anni il capitale presente sul libretto di risparmio si esaurisce (per precisione, può diventare negativo). SOLUZIONE A. Si definisca con la variabile la somma totale presente sul libretto nel giorno in cui il figlio compie k anni (dopo che il padre ha versato la quota). Si definisce la condizione iniziale, che rappresenta la quota versata inizialmente. L evoluzione della variabile è descritta dall equazione alle differenze seguente: B. L autovalore del sistema è. Il sistema risulta dunque instabile. C. La somma cercata è D. Il giorno del diciottesimo compleanno il figlio ritira per la prima volta la cifra di 200. Si può definire, per semplicità, con la variabile la somma presente sul libretto k anni dopo il compimento del diciottesimo anno. La condizione iniziale è dunque, e la sua evoluzione è La soluzione di questa equazione è data da Si cerca ora il valore di k tale per cui. Tale valore si calcola come
cioè Quindi, in 10 anni il capitale si esaurisce. ESERCIZIO 2 Si consideri il seguente schema a blocchi: A. Si calcoli la funzione di trasferimento complessiva tra in ress u(t) e uscita y(t). B. Esiste, nel presente schema, un sistema la cui asintotica stabilità è necessaria per garantire asint tica stabi ità de sistema c mp essiv? C. Si supponga che le funzioni di trasferimento coinvolte siano dove In tre si supp ne che i sin i s tt sistemi c inv ti n n presentin aut va ri nasc sti Si ca c i espressi ne di s stituend e funzi ni di trasferiment ne espressi ne tr vata a punto A e si risponda alle seguenti domande in modo conciso ma esauriente: Qua è rdine de sistema avente c me funzi ne di trasferiment? Quali sono gli autovalori del sistema avente funzione di trasferimento? Quali sono i poli della funzione di trasferimento? Il sistema avente funzione di trasferimento presenta un più aut va ri nasc sti (non raggiungibili e/o non osservabili)? Si determinino i valori di che garantiscono asintotica stabilità del sistema avente funzione di trasferimento. SOLUZIONE A. Lo schema a blocchi in figura può essere semplificato nello schema seguente
dove. In modo standard è possibile calcolare le funzioni di trasferimento tra i segnali e e il segnale di uscita y(t): dove la funzione d anello è pari a Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti e ricordando che ottiene che si da cui si ricava che [La soluzione può essere ricavata anche nel seguente modo alternativo. Si calcola direttamente che Da questa espressione si ricava che soluzione mostrata sopra.], da cui la B. L unica funzione che non è coinvolta in un anello di retroazione è. Dunque, gli autovalori del sistema la cui funzione di trasferimento è saranno autovalori del sistema complessivo. Ciò implica che l asintotica stabilità di è necessaria affinchè l intero sistema sia asintoticamente stabile. C. Si calcola che Si noti che gli ordini dei sistemi aventi funzioni di trasferimento, e sono, rispettivamente, 1, 1 e 0. Perciò l ordine del sistema complessivo sarà. Gli autovalori del sistema complessivo sono (il polo del sistema complessivo) e (l autovalore del sistema avente funzione di trasferimento, come già discusso al punto B).
I p de sistema c mp essiv è. L autovalore risulta nascosto perché non è un polo della funzione di trasferimento. Dato che l autovalore ha parte reale negativa, l asintotica stabilità del sistema complessivo è garantita da ESERCIZIO 3 Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni: A. Analizzare le proprietà di stabilità del sistema al variare dei parametri B. Nel caso, si calcoli la risposta libera del sistema con condizione iniziale. C. Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema per valori dei parametri non specificati. D. Dopo aver verificato che la funzione di trasferimento calcolata al punto C corrisponde con la seguente si individuino le corrispondenze tra le seguenti coppie di parametri a e b e le risposte allo scalino (forzate) disegnate nella figura sottostante, giustificando adeguatamente le risposte. 1.. 2. ; 3. ; 4. ;
A B C D SOLUZIONE Si calcola innanzitutto che A. Il polinomio caratteristico della matrice A è. Da ciò deriva che il parametro non influisce sulla stabilità del sistema, e che se a>0 il sistema è asintoticamente stabile; se a<0 il sistema è instabile; se a=0 gli autovalori sono due immaginari e distinti ( ), per cui il sistema è semplicemente stabile. B. Nel caso Il sistema presenta un autovalore con molteplicità algebrica e molteplicità geometrica. Il sistema non è dunque diagonalizzabile e i suoi modi propri sono e. Il movimento libero del sistema è combinazione lineare dei modi propri del sistema e dunque Si calcola. Inoltre, da cui segue che Risulta che,, da cui
C. Si calcola che D. Si ottengono i risultati seguenti. 1. Nel caso In virtù del teorema della risposta finale si può calcolare che im diagramma compatibile con questo è il diagramma D. 2. Nel caso L unic La risposta cercata è la risposta allo scalino di un sistema del primo ordine avente guadagno unitario e costante di tempo unitaria, cioè quella mostrata nel grafico B. 3. Nel caso La risposta cercata è la risposta allo scalino di un sistema avente guadagno pari a -1 e costante di trasferimento positiva (unitaria), dove quindi si presenta il fenomeno della risposta inversa. La risposta è perciò quella mostrata nel grafico A. 4. Nel caso La risposta cercata è la risposta allo scalino di un sistema del secondo ordine avente guadagno unitario e poli complessi coniugati, cioè quella mostrata nel grafico C. ESERCIZIO 4 Si consideri lo schema di controllo sottostante. dove A. Si determini la funzione di trasferimento R(s) del regolatore stabilizzante in modo tale che a. L err re a transit ri esaurit sia tale che quando sca, n(t)=0 e d(t)= sca.
b. L ampiezza de se na e d err re a transitorio esaurito, sia minore o uguale a quando 0, d(t)=0 e n(t)=sin( ), con rad/s. c. L ampiezza de se na e d err re a transitorio esaurito, sia minore o uguale a quando 0, d(t)=sin( ) e n(t)=0, con rad/s. d. I temp di assestament a % de va re di re ime sia min re di s B. Si calcoli il margine di guadagno del sistema di controllo progettato. C. Si consideri lo schema seguente, dove rappresenta il ritardo dell attuatore dove la funzione di trasferimento del regolatore è quella determinata al punto A. Si calcoli il massimo valore del ritardo tale che le proprietà di stabilità del sistema retroazionato non siano compromesse. SOLUZIONE A. Si considerino le specifiche del testo. Prima di tutto è necessario tradurle in specifiche sulla funzione d ane L(s). a E p ssibi e s ddisfare a specifica richiesta a punt a ponendo, che corrisponde a porre.. In questo caso si sceglie b. La seconda specifica corrisponde a richiedere che db per rad/s. c. La terza specifica corrisponde a richiedere che db per rad/s. d. La quarta specifica richiede una distinzione preliminare: Progetto Se % si ha %, per cui si chiede che rad/s; Se % si ha che %, dove, da cui la richiesta sul tempo di assestamento si traduce in richiedere che. Si mette alla prova il regolatore statico. Dato che la funzione di trasferimento G(s) ha guadagno pari a 1/10 si pone inizialmente per avere. Si ha dunque che la c rrisp ndente funzi ne d ane è I diagrammi di Bode corrispondenti con sono mostrati sotto.
Si ricava che rad/s e, da cui si ottiene che. L unica specifica che n n viene rispettata è la specifica b. Per risolvere il problema, è necessario che il regolatore sia progettato in modo che vi sia un cambio di pendenza negativo in corrispondenza della pulsazione rad/s. Ciò si ottiene, ad esempio, scegliendo Ciò permette di ottenere alla quale corrispondono i diagrammi di Bode seguenti
Si ricava che rad/s e, da cui si ottiene che. Le quattro specifiche sono dunque verificate. [Si noti che è lecito ricavare il valore di direttamente dal diagramma asintotico, da cui risulta che rad/s. Ne segue che, da cui si ottiene che. anche in questo caso le specifiche richieste sono rispettate.] B. Per calcolare il valore assunto dal margine di guadagno è necessario calcolare la pulsazione, in corrispondenza della quale. Si ottiene che rad/s e che, da cui si ottiene che. C. Il massimo ritardo di attuazione accettabile è quello che soddisfa Si calcola quindi che s.