UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Corso di Economia e Organizzazione Aziendale Allievi Meccanici Stefano Pedrini, PhD
Sommario della lezione Matematica finanziaria Valore temporale e costo opportunità del capitale Valore futuro e composizione degli interessi Attualizzazione a valore attuale Annuity e Perpetuity Piano di ammortamento del debito Tassi nominali vs Tassi reali Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Overview tecniche di valutazione degli investimenti pagina 2
Matematica finanziaria Valore temporale del capitale 1 di oggi vale più, meno o come 1 tra un anno? Valore temporale del capitale: tiene conto del fatto che 1 disponibile oggi può essere investito per generare nel futuro un ritorno positivo; pertanto è valutato più di 1 disponibile domani. Esempio: se è possibile investire 100 al 10% annuo, 100 oggi diventano 110 tra un anno. Al 10%, 110 tra un anno hanno lo stesso valore di 100 oggi! Se r è il tasso di interesse annuo e C il capitale, l investimento cresce di 1 + r per ogni investito. In formule: C ---> C (1 + r) pagina 3
Matematica finanziaria Costo opportunità del capitale Costo opportunità del capitale: definito come il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato un investimento. Esempio: vi propongono due opportunità di investimento: Investire 100.000 oggi in un progetto per avere tra un anno un ritorno atteso di 110.000 Investire in titoli di stato al tasso annuo del 3% Investendo nel progetto avete un rendimento atteso del 10%, ma rinunciate al rendimento offerto dall impiego alternativo del capitale (3%), che pertanto costituisce il vostro costo opportunità del capitale. Nella realtà, con diverse opportunità di investimento, il confronto deve essere effettuato tra investimenti caratterizzati dal medesimo profilo di rischio. pagina 4
Matematica finanziaria Valore futuro (FV) Valore Futuro (FV): Il Valore Futuro è l ammontare raggiunto da una somma di denaro, come conseguenza della maturazione di interessi in un determinato periodo. Esempio: Singolo Periodo Investite 1.000 al 12% annuo. Qual è il valore futuro tra un anno? FV = 1.000 x (1 + 0.12) = 1.120 determinato dalla somma iniziale di 1.000 più 120 di interessi [12%( 1000) = 120] pagina 5
Matematica finanziaria Composizione degli interessi Composizione degli interessi Qual è il Valore Futuro di 1,000 investiti per 2 anni al 12% annuo? Dopo un anno avete 1.120 [ 1.000 x (1 + 0.12)] Questa somma viene investita per un altro anno, sempre al 12%. Alla fine del secondo anno avete pertanto: FV = 1.120 x 1,12 = 1.000 x 1,12 x 1,12 = 1.254,4 Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a 1.254,4 1.120 = 134,4 Così composto: 12% sulla somma iniziale ( 1.000): 120,0 12% sugli interessi del primo anno ( 120): 14,4 134,4 pagina 6
Matematica finanziaria Composizione degli interessi Composizione degli interessi Il calcolo egli interessi viene effettuato anche sugli interessi maturati nei periodi precedenti: Se si investe ad un tasso annuo r per t anni, il valore futuro di ogni investito è pari a: (1 +r) x (1 + r) x. x (1 + r) = (1 +r) t Esempio: a. Interesse composto - t periodi Il valore futuro di 1.000 investiti al 12% annuo per 6 anni è: FV = 1.000 x (1,12) 6 = 1.973,8 b. Interesse semplice gli interessi vengono calcolati solamente sulla somma iniziale FV = 1.000 x (1+0.12*6) = 1.720 pagina 7
Matematica finanziaria Composizione degli interessi Interesse composto: (1 +r) x. x (1 + r) = (1 +r) t Interessi su 1000 dopo t anni ( ) r t= 1 t= 5 t= 10 t= 20 10% 100 610.5 1,583.7 5,727.5 20% 200 1,488.0 5,191.7 37,337.6 2x 2.4x 3.3x 6.5x 40000 30000 20000 r=10% r=20% 10000 0 0 5 10 15 20 25 pagina 8
Matematica finanziaria Valore Attuale (VA) Attualizzazione e Valore Attuale (VA) Qual è il valore oggi di 2.000 tra 5 anni, all 11% annuo? Esempio: Attualizzazione - 1 periodo Quanto si deve investire oggi con un tasso annuo dell 11% per ottenere 2.000 tra un anno? La risposta a questa domanda è il Valore Attuale di 2.000 tra un anno all 11% Sappiamo dalle formule del valore futuro che VA x 1.11 = 2.000 pertanto VA = 2.000 = 1.801,8 1,11 Esempio: Attualizzazione - t periodi per ottenere 2.000 tra 5 anni? VA x (1,11) 5 = 2.000 VA = 2.000/ (1,11) 5 = 1.186,9 pagina 9
Matematica finanziaria Valore Attuale (VA) Attualizzazione e Valore Attuale (VA) VF = VA (1 + r) t Quattro variabili: VF, VA, r, t Date 3 qualsiasi di esse è possibile risolvere per la quarta r = [VF/VA] 1/t 1 t = lnvf lnva = ln (VF/VA) ln(1 + r) ln(1 + r) VA = VF (1 + r)t pagina 10
Matematica finanziaria Valore Attuale (VA) Attualizzazione e Valore Attuale (VA) PV = FV / (1 + r) t Esempio: Se il vostro investimento raddoppia in 5 anni, qual è il tasso annuo? r= (2/1) 1/5 1 = 0,1487 = 14,87% Ad un tasso del 30% quanto tempo ci vuole affinché l investimento raddoppi? t= ln(2/1) / ln(1,3)= 2,64 years pagina 11
PV Factor FV Factor Matematica finanziaria Future Value (FV) e Valore Attuale (VA) 10.00 Future Value (FV) 8.00 r = 15% 6.00 4.00 r = 10% 2.00 r = 5% 0.00 0 5 10 15 Time 1.00 0.80 Valore Attuale (VA) 0.60 r = 5% 0.40 r = 10% 0.20 0.00 r = 15% 0 5 10 15 Time pagina 12
Matematica finanziaria Flussi di cassa multipli Flussi di cassa multipli Esempio: r = 9% con flussi di cassa alla fine del periodo Anno 1 4 6 Flusso ( ) 2.500 900 3.600 Qual è il VA della serie e qual è il VF dopo sette anni? VA (PV) = 2.500 + 900 + 3.600 = 5.077,7 (1,09) 1 (1,09) 4 (1,09) 6 VF (FV) = 2.500 (1,09) 6 + 900 (1,09) 3 + 3.600 (1.09) 1 = 9.282,3 = PV (1 + r) t = 5.077,7 (1,09) 7 = 9.282,3 pagina 13
Matematica finanziaria Annuity Annuity: Serie di flussi di cassa regolari e costanti in un periodo. Qual è il VA di una serie di flussi costanti C per t anni al tasso r? VA = C + C + C + + C + C (1 +r) 1 (1 +r) 2 (1 +r) 3 (1 +r) t-1 (1 +r) t (1) moltiplicando per (1+r): (1+r) VA = C + C + C + + C + C (2) (1 +r) 1 (1 +r) 2 (1 +r) t-2 (1 +r) t-1 sottraendo la (1) dalla (2) si ottiene: r VA = C C/(1+r) t VA = C {1 [1/(1+r) t ]} r pagina 14
1 1 * 1 * 1 1 1 * FV (lump sum) 1 * FV 1 1 1 * t t t t t r r C r r r C r PV r r C PV Matematica finanziaria Annuity Annuity: VA = C {1 [1/(1+r)t]} r pagina 15
Matematica finanziaria Annuity Annuity: Numero di pagamenti / flussi di cassa C FV * r FV * r 1 C ln t 1 r t 1 r t *ln1 r t 1 r FV r * ln 1 C ln1 r 1 t ln 1 FV * r C pagina 16
Matematica finanziaria Annuity Annuity: PV Present Value C r * 1 1 1 r t FV Future Value C r * 1 r 1 t Number of payments t FV r * ln 1 C ln1 r C Cash flow FV 1 r * r t 1 pagina 17
Matematica finanziaria Annuity Annuity: Esempio Qual è il VA di un annuity della durata di 6 anni con pagamenti di 4.000 al tasso: r = 8%? PV = C x {1 [1/(1+r) t ] } /r = 4.000 x {1 [1/(1.08) 6 ] } /0,08 = 18.491,5 Prendete a prestito 30.000 oggi al tasso del 12% e scegliete di ripagarlo con un annuity di 10 anni. Qual è il pagamento annuale? 30.000 = C x {1 [1/(1,12) 10 ] } /0,12 C = 30.000/5,65 = 5.309,5 pagina 18
Matematica finanziaria Annuity Esempio: Valore attuale dei rimborsi Miss Smart accetta di ripagare il suo prestito bancario in 24 rate mensili da 500 ciascuna. Se il tasso di interesse applicato dalla banca è dello 0,75% su base mensile, qual è il valore attuale della serie di pagamenti? r= 0,75%, CF= 500, t=24 PV = C x {1 [1/(1+r) t ]}/r PV 24 =500 x {1-[1/(1,0075) 24 ]}/0,0075= 10.944,57 pagina 19
Matematica finanziaria Perpetuity Perpetuity si tratta di un annuity con flussi di cassa che continuano all infinito VA = C + C + C + (1 +r) 1 ( 1 +r) 2 (1 +r) 3 (1) moltiplicando per (1+r) si ottiene: (1+r) VA = C + C + C + (1 +r) 1 (1 +r) 2 (2) sottraendo la (1) dalla (2) otteniamo: r VA = C VA = C/r Se i flussi crescono ad un tasso g costante VA = C/(r-g) pagina 20
Matematica finanziaria Piano di ammortamento del debito Piano di ammortamento del debito Suddivide ciascun pagamento nella componente di rimborso del capitale e nella componente di interessi. Esempio: Rimborso a rate costanti Il signor Rossi prende a prestito 1.000 che decide di rimborsare in cinque rate annuali costanti a partire dalla fine del prossimo anno. A quanto ammonta ciascuna rata se il tasso di interesse applicato dalla banca e pari al 10% annuo? pagina 21
Matematica finanziaria Piano di ammortamento del debito Esempio: Rimborso a rate costanti VA= 1.000, t=5, r=10%, rata annuale? PV C r * 1 1 1 r t C PV * r 1 (1 r) t C 1,000*10% 1 (1 10%) 5 263.8 pagina 22
Matematica finanziaria Piano di ammortamento del debito Piano di ammortamento del debito Example Constant Payment Mortgage Loan amount 1.000 Term: 5 Interest rate: 10% 12.000 Payment: 264 Year Beg. Bal. Principal Interest payment End Bal. 10.000 1 1000,0 163,8 100,0 263,8 836,2 8.000 2 836,2 180,2 83,6 263,8 656,0 3 656,0 198,2 65,6 263,8 457,8 6.000 4 457,8 218,0 45,8 263,8 239,8 4.000 5 239,8 239,8 24,0 263,8 0,0 Payment Interest Principal 2.000 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 pagina 23
Matematica finanziaria TAN vs TAEG Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAEG) I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua (TAN), ma il calcolo degli interessi può avvenire più di una volta all anno. Esempio: Investendo 100 per un anno ad un tasso del 10%, si ottiene con: Composizione annuale 100 x (1,1) 1 = 110 10 interest Composizione semestrale 100 x (1 +0,1/2) 2 = 110,25 10,25 interest Composizione mensile 100 x (1 +0,1/12) 12 = 110,47 10,47 interest pagina 24
Matematica finanziaria TAN vs TAEG Tasso Annuo Effettivo (TAE) Il tasso annuo effettivo corrispondente ad un tasso nominale del 10% è: Compounding period semiannual monthly weekly TAE 10.25% 10.47% 10.51% Componendo m volte all anno con un TAN pari a r, TAE = (1 + r/m) m 1 r = m x [ (1 + TAE) 1/m - 1 ] Investendo una somma C per t anni ad un tasso annuo nominale r, con m composizioni degli interessi all anno, il valore futuro sarà: FV = C (1 +r/m) m x t pagina 25
Matematica finanziaria TAN vs TAEG Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAE) TAE = (1 + r/m) m 1 TAN = r = m x [ (1 + TAE) 1/m - 1 ] Esempio: Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo con rimborsi su base semestrale? Il tasso semestrale è pari a TAN/2, cioè 8%. TAE = (1 + r/m) m 1= (1,08)x(1,08)-1=0,1664 o 16,64% pagina 26
Matematica finanziaria Esempio Qual è il valore futuro di 25 investiti alla fine di ognuno dei prossimi tre anni se il tasso di interesse di riferimento è pari al 9% composto annualmente? Un annuity di 25 su tre anni al 9% può essere illustrata in questo modo: pagina 27
Matematica finanziaria Esempio (cont.) Come cambia il risultato se il tasso annuale (9%) viene composto mensilmente? Il totale di 82,26 dato dalle tre somme è maggiore del valore di 81,95 prima calcolato per l annuity con composizione annuale perchè la composizione degli interessi all interno dei periodi aumenta il tasso effettivo dell investimento. pagina 28
Matematica finanziaria Tassi nominali vs Tassi reali Tassi di interesse non costanti Esempio: Se si investe 100 e si ottiene l 11% durante il primo anno, il 9% durante il secondo anno e il 13% durante il terzo, quale sarà il valore futuro dopo 3 anni? FV = 100 x (1,11) x (1,09) x (1,13) = 136,72 Qual è il VA di 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono l 8% (year 1), il 12% (year 2), il 6% (year 3) e il 13% (year 4)? PV = 100 = 69,02 (1,08) x (1,12) x (1,06) x (1,13) pagina 29
Matematica finanziaria Tassi nominali vs Tassi reali Tasso di interesse Reale vs Nominale Tasso di interesse nominale = tasso di mercato Investendo 100 per un anno al 10% 110 Cosa succede se l inflazione annuale è pari al 7%? Avete bisogno di 107 all fine dell anno per mantenere inalterato il potere d acquisto dell investimento iniziale. Qual è il vostro real return? (1+10%)/(1+7%) = The real return is 2.8%. Attualizzare i flussi di cassa reali con tassi reali! Attualizzare i flussi di cassa nominali con tassi nominali! pagina 30
Matematica finanziaria Tassi nominali vs Tassi reali Tasso di interesse Reale vs Nominale Siano r il tasso di sconto reale, p il tasso di inflazione, i il tasso di sconto nominale. Il legame tra r e i è dato dalla Relazione di Fisher: (1+i) = (1+r) x (1+p) È possibile utilizzare questa equazione per convertire tassi di interesse nominali in reali e viceversa. pagina 31
Matematica finanziaria Tassi nominali vs Tassi reali Tasso di interesse Reale vs Nominale (1+i) = (1+r) x (1+p) Esempio: Si consideri una perpetuity che stacca il primo pagamento di 100 (nominali) al periodo 4. Si supponga che i flussi di cassa crescano in termini reali del 2% (r) per periodo e che il tasso di inflazione (p) sia pari al 5%. Qual è il VA con un tasso di sconto del 10%? Soluzione Il tasso di crescita nominale è (1,05) x (1,02) 1 = 0,071 PV C 1.10 i 0.071 3 100 0.029 0.7513 2,591 pagina 32
ANALISI degli INVESTIMENTI pagina 33
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa I metodi per la valutazione degli investimenti devono essere in grado di fornire risposte alla seguenti domande: 1. Il progetto aumenterà il valore dell impresa? 2. Il ritorno dell investimento compensa adeguatamente per il rischio da sostenere? 3. Qual è la sensitività del progetto ai cambiamenti in ciascuno degli elementi di costo? 4. Le misure di profittabilità sono un buon indicatore del valore di un investimento? 5. I principi su cui si fonda l analisi sono economicamente validi? pagina 34
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Come si può valutare un progetto di investimento? 1. Calcolare i flussi di cassa incrementali attesi dall investimento; 2. Calcolare gli incrementi nelle imposte associati all attuazione del progetto; 3. Calcolare i flussi di cassa attesi after tax ; 4. Individuare il tasso di attualizzazione appropriato; 5. Attualizzare i flussi utilizzando il tasso individuato. pagina 35
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Calcolo dei flussi di cassa incrementali I flussi di cassa incrementali sono quei flussi che si rilevano esclusivamente in seguito all accettazione del progetto. Sono questi flussi che determinano il valore del progetto stesso. I flussi di cassa incrementali vengono rilevati seguendo una logica di tipo if then. Se l investimento viene effetuato, come cambieranno in ogni anno i flussi di cassa dell impresa lungo tutta la vita utile del progetto? La valutazione di un progetto deve prevedere la stima dei flussi di cassa su base incrementale pagina 36
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Calcolo dei flussi di cassa incrementali: i costi Gli attributi che una voce di costo deve possedere per essere classificata come incrementale sono: 1. Innanzitutto deve essere strettamente attinente all obiettivo del business, che coincide, nei private sector, con la massimizzazione del benessere degli azionisti. Pertanto, per essere incrementale, il costo deve avere un impatto sul benessere. 2. In secondo luogo un costo incrementale deve variare a seguito di decisioni che riguardano il futuro dell impresa. Secondo questo principio, le spese passate sono irrilevanti, in quanto il loro ammontare non cambia qualunque siano le decisioni prese per il futuro. pagina 37
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Sunk cost Col termine sunk cost (costi affondati) si fa riferimento ai costi sostenuti dall impresa nel passato e non più recuperabili. Sono la conseguenza di decisioni irrevocabili prese nel passato dall impresa. Inoltre, i sunk cost non possono essere considerati costi incrementali ai fini della valutazione di un investimento, in quanto non è possibile decidere se sostenerli o meno. Ai fini delle decisioni presenti, devono essere considerate solamente le conseguenze future associate alle diverse alternative, ovvero ciò che può essere influenzato dai comportamenti presenti. Pertanto, i sunk costs devono essere ignorati. pagina 38
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Opportunity cost Il costo opportunità può essere definito come il valore, in termini monetari, dell essere privati della migliore opportunità alternativa al raggiungimento di un particolare obiettivo. In altre parole, il costo opportunità è il valore di una risorsa nel suo migliore uso alternativo. Nell analisi finanziaria il costo opportunità di un input è sempre il suo prezzo di mercato. Nell analisi economica il costo opportunità di un input è il valore marginale prodotto nel suo migliore uso alternativo al di fuori del progetto per i beni intermedi ed i servizi, o il suo valore in uso (misurato dalla disponibilità a pagare) se si tratta di un bene finale. Il costo opportunità di ognuna delle risorse impiegate in un progetto deve essere incluso nell analisi. pagina 39
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Esempio (Dati - 1/3): All impresa Y è stato chiesto di determinare il costo di un progetto speciale che richiederà una settimana per essere portato a termine. Le informazioni relative all assorbimento di lavoro da parte del progetto sono riportate nella seguente tabella: Tipo di lavoro Ore richieste Costo orario Skilled 21 9 Semi-skilled 14 7 Unskilled 19 5.50 Una scarsità di skilled labour comporta che questo debba essere reperito da altri lavori (che pertanto si dovrebbero fermare) che stanno attualmente fornendo un contributo di 9,25 all ora ed assorbono materiali per 7 all ora. pagina 40
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Esempio (Dati - 2/3): Il semi-skilled labour sta attualmente svolgendo attività di tipo unskilled al costo orario di 7. Se questi lavoratori verranno impiegati nel progetto dovrà essere assunto personale non qualificato per rimpiazzarli durante la settimana. Infine, l impresa dovrà impiegare 19 ore di unskilled labour per lavorare esclusivamente sul progetto. Si stima che gli overheads cresceranno di 270 a seguito dell inizio del progetto speciale. Tale progetto richiederà l utilizzo di macchinari specifici. L impresa è già in possesso di questi asset, ammortizzati ad un tasso di 100 alla settimana, ed attualmente utilizzati da un altro progetto che genera introiti pari a 160 a settimana. 3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi pagina 41
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Esempio (Dati - 3/3): Per effettuare tutte le stime, l impresa ha speso 1.250 in materiale specifico (documenti, disegni). Nel caso il progetto non venga portato avanti, tale materiale può essere rivenduto per 250. Una stima della quota di affitto per la settimana è pari a 190. Analizzare e calcolare i costi incrementali associati a ciascuna delle seguenti voci come conseguenza del nuovo progetto: a. Skilled labour b. Semi-skilled labour c. Unskilled labour d. Overhead di produzione e. Macchinari f. Materiale specifico g. Affitto 3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi pagina 42
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Esempio (Soluzione 1/2): a. Skilled labour I costi incrementali associati al lavoro qualificato sono nulli, in quanto i lavoratori saranno impiegati e retribuiti a prescindere dal progetto. Ma, se il progetto viene approvato, l impresa perderà la produzione generata nell attività alternativa. Il costo effettivo di questa perdita sarà dato dai ricavi delle vendite perse, a cui va dedotto il risparmio nei costi dovuto al non utilizzo dei materiali. Il costo che ne deriva è pertanto: b. Semi-skilled labour 2.25 (=9.25-7.00) (opportunity cost) x 21 hours = 47,25 Viene impiegato a prescindere dal progetto. Pertanto il relativo compenso non costituisce un costo incrementale. Il costo addizionale legato a questa voce è dato dalla retribuzione dei lavoratori non qualificati assunti per sostituire lo staff impegnato nel progetto. Pertanto: c. Unskilled labour 5.50 for unskilled labour x 14 hours = 77 Il lavoro non qualificato impiegato specificamente nel progetto costituisce un costo incrementale da considerare. Pertanto: 5.50 hourly rate for unskilled staff * 19 hours = 104.50 3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi pagina 43
Analisi degli investimenti Valutazione dei flussi di cassa Esempio (Soluzione 2/2): d. Overhead di produzione L incremento dei costi generali generato dal nuovo progetto è dato da: 270 e. Ammortamento Non costituisce un costo incrementale, in quanto il macchinario viene ammortizzato indipendente dal proprio utilizzo. La componente da considerare è il costo opportunità dato dagli introiti generati dall impiego alternativo: 160 f. Materiale specifico Gli 1.250 già spesi per il materiale costituiscono un costo affondato (sunk cost). La componente da considerare è data dalla possibilità di rivendita del materiale: 250 g. Affitto I costi di affitto non devono essere considerati, in quanto sostenuti a prescindere dallo svolgimento del progetto. Totale dei Costi Incrementali: 908,75 Questo valore può essere considerato come il prezzo minimo del progetto 3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi pagina 44
Alcuni punti da ricordare Il Valore Futuro è l ammontare raggiunto da un investimento lungo un periodo di tempo. Il processo di calcolo del VF è chiamato composizione. Il Valore Attuale esprime il valore di un investimento in termini presenti, mediante l attualizzazione dei flussi di cassa rilevanti. Il legame tra VF e VA è dato dalla relazione VF = VA (1 + r)t Annuity e Perpetuity costituiscono particolari conformazioni di flussi di cassa. Relazione di Fisher : (1+i) = (1+r) x (1+p) I sunk costs di un investimento non devono essere inclusi nell analisi. Il costo opportunità di ognuna delle risorse impiegate in un progetto deve essere incluso nell analisi. 3.1 Analisi degli Investimenti: Concetti introduttivi pagina 45