ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE (2)

ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE (2) Calcolo della dimensione frattale Modelli di previsione Calcolo degli esponenti di Liapunov C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 1/24

CALCOLO DELLA DIMENSIONE FRATTALE La dimensione d dell attrattore A coincide con quella dell attrattore ricostruito A m. Perciò, se è nota una dimensione di embedding m, d può essere calcolata come dimensione di correlazione, utilizzando la serie temporale z m (t) che definisce l attrattore ricostruito. Ma, in genere, d non è nota a priori e, quindi, neppure, m. Un procedimento empirico, spesso adottato: Calcolare la dimensione di correlazione d (m) per una successione di valori crescenti di m. Per m mmin (dove m min è la minima dimensione di embedding ), d (m) rimane costante al valore corrispondente alla dimensione di correlazione di A. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 2/24

Esempio: esperimento di Couette-Taylor Lo spazio delle uscite ritardate z m (t) per m = 2. Per ogni valore di m tra 2 e 20, viene calcolata la funzione di correlazione C m ( r) = #coppie ( zm ( i), zm ( j) ) t.c. zm ( i) #coppie( z ( i), z ( j) ) m m z m ( j) < r per vari valori di r. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 3/24

C m (r) deve scalare con r secondo la legge log C m ( r) = d log r +α per cui la pendenza log ( r) / log r fornisce la stima di d. C m Il grafico di logc m ( r) / log r in funzione di log r fornisce (in un range intermedio di valori dell ascissa) la stima d 3. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 4/24

Esempio: un esperimento su un laser Lo spazio delle uscite ritardate z m (t) per m = 2. Il grafico di logc m ( r) / log r in funzione di log r fornisce (in un range intermedio di valori dell ascissa) la stima d 1. 5. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 5/24

Esempio: esperimento di Rayleigh-Bénard Un fluido viene riscaldato tra due piastre orizzontali mantenute a differente temperatura ( T l > Tu ). Tl Tu è piccolo, il fluido è fermo e il calore è scambiato per conduzione. T T supera una certa soglia, il fluido si muove e il calore è trasmesso per Se Se l u convezione. Per l Tu T elevato, il movimento del fluido è caotico. L esperimento misura la velocità in un determinato punto dello strato fluido. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 6/24

Dal grafico di logc m ( r) in funzione di log r, si ricava la stima di d calcolando la pendenza. La stima di d tende ad un valore asintotico (pari a circa 2.8) al crescere di m. Per contro, il rumore bianco risulta avere dimensione d = m ( riempie qualsiasi dimensione). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 7/24

MODELLI DI PREVISIONE Data la serie temporale di uscita, registrata fino all istante t : { y y,, y y } Y 0, t = 0, τ L t τ, il problema della previsione consiste nel determinare t una stima ŷ t+ τ del prossimo valore dell uscita ( previsione a un passo ) oppure, più in generale, una stima y ˆt+ τ yˆ t+ 2τ L yˆ t+ kτ dei prossimi valori dell uscita, per un certo numero di passi ( previsione a k - passi ), C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 8/24

Per effettuare la previsione, è necessario ricavare dalla serie temporale un modello (procedura di identificazione ): Poiché ( Y ) y ˆ t+τ = F 0, t x = f ( x y = g x il modello non riproduce perfettamente il sistema ( & ), ( )) che ha generato la serie temporale Y la serie temporale è misurata con precisione finita la previsione ŷ t+ τ sarà differente dal valore effettivo y t+ τ. Il modello di previsione sarà tanto più buono quanto più riuscirà a rendere piccolo l errore di previsione ε t+ τ = ŷ t+ τ yt+ τ C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 9/24

Supponiamo che: La serie temporale Y sia stata ricavata mentre il sistema funzionava su un attrattore n A R. Sia stata determinata una dimensione di embedding m per l attrattore A. Allora il vettore delle uscite ritardate z L t = yt yt τ yt ( m 1)τ ha una dinamica equivalente a quella dello stato è tutta e sola quella che serve per la previsione). x A (=l informazione contenuta in z t Consideriamo perciò modelli di previsione del tipo ( z ) F( y y y ) yˆ L t+ τ = F t = t t τ t ( m 1) τ C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 10/24

Previsione nearest-neighbor Dalla serie temporale (scalare) di uscita Y { y y,, y, y } 0, t 0, τ t τ dapprima la serie (vettoriale) delle uscite ritardate { z, z z }, t 2τ t τ Z = L, = L, si costruisce t t dove z t m = yt yt τ L yt ( m 1) τ R. All istante t, si cerca nella serie Z il vettore z i più vicino a z t, e si effettua la previsione: z z ˆ t+ 1 = i+ 1 da cui segue y ˆ t + 1 = y i + 1. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 11/24

Nota bene: Il metodo di previsione è basato sull ipotesi che due stati correnti vicini diano luogo a due successori vicini (=il flusso di traiettorie è continuo rispetto allo stato). Siccome tutti gli z t vicini ad uno stesso z i daranno luogo alla stessa previsione z ˆ t+ 1 = zi+ 1, ne risulta che il metodo definisce implicitamente un modello y ˆ t+τ = F( z t ) costante a tratti. Una possibile generalizzazione (fra le tante): dato z t, si considerano tutti i vicini z i con z i z t < δ, con δ > 0 (piccolo) prefissato. La previsione è data dalla media dei successori: zˆ t+ 1 = z i + 1 i C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 12/24

Previsione lineare locale Consiste nel determinare un modello di previsione lineare, valido localmente nell intorno m di zt R : yˆ t + τ = azt + b = a1 yt + a2 yt τ + L + am yt ( m 1) τ + b I coefficienti ( a, b) vengono determinati minimizzando l errore (quadratico medio) di previsione: ε 2 ( yˆ y ) = ( az + b y ) 2 i+ τ = i+ τ i+ τ i z I i δ 2 i+ τ dove I δ è l insieme dei vettori z i vicini a z t, cioè prefissato. z z < δ, con > 0 i t δ (piccolo) C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 13/24

Nota bene: Ad ogni istante, quando è disponibile il nuovo t ricalcolato. z, il modello (, b) a deve essere Il problema di minimizzazione ha soluzione esplicita ( minimi quadrati ), e quindi è molto rapido computazionalmente. Concettualmente, il metodo equivale a determinare uno sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine del modello (incognito ) ( z ) F( y y y ) y L t+ τ = F t = t t τ t ( m 1) τ All istante t, la previsione a k -passi si ottiene utilizzando ricorsivamente le previsioni precedentemente ottenute: yˆ t + τ = a1 yt + a2 yt τ + L + am yt ( m 1) τ + b yˆ a y + a y + L + a y b t + 2τ = 1 ˆt+ τ 2 t m t ( m 1) τ + τ + t + 3τ = a1 yˆ t+ 2τ + a2 yˆ t+ τ + + am yt ( m 1) τ + 2τ + yˆ L M b C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 14/24

Esempio: mappa di Ikeda x( t y( t + 1) = R + + 1) = C 2 C2( x( t)cosγ ( t) y( t)sin γ ( t) ) ( x( t)sin γ ( t) + y( t)cosγ ( t) ) ( 2 2 ) con γ = C C + x + 1 3 1 y Un previsore lineare locale è stato stimato da una serie temporale di 5000 punti generata dal modello, a cui è stato sovrapposto rumore. ( ): previsione a 1 passo ŷ t ( ): valore effettivo y t C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 15/24

Modelli di previsione globali Un modello globale è determinato sulla base dell intera serie temporale Y, ed è quindi valido in tutte le regioni visitate dall attrattore A. In generale, è un modello del tipo ( z ) F ( y y y ) yˆ L t+ τ = Fp t = p t t τ t ( m 1) τ dove F p è una funzione prefissata, dipendente da alcuni parametri p = p1 p2 L pr. I parametri previsione: p vengono determinati minimizzando l errore (quadratico medio) di 2 ε i+ τ = + 2 ( yˆ i+ τ yi+ τ ) = ( Fp ( zi ) yi τ ) z i 2 dove la sommatoria è estesa a tutta la serie di dati disponibili. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 16/24

Nota bene: Se si ipotizza che la serie temporale sia stata generata da un sistema non lineare, ovviamente F p si sceglierà non lineare rispetto a z t. Tipiche scelte sono: funzioni polinomiali rbf (radial basis functions) reti neurali F p è lineare rispetto ai parametri p (p.e. polinomi, rbf) il problema di minimizzazione ha comunque soluzione esplicita ( minimi quadrati ), computazionalmente rapida e robusta. Se Poiché il modello è stato ricavato dalla serie temporale relativa al funzionamento sull attrattore A, il modello (anche se globale ) non potrà replicare il funzionamento del sistema al di fuori di A (p.e., transitorio di avvicinamento ad A). C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 17/24

Esempio: sistema di Lorenz La tipica performance di un modello globale per la previsione a k -passi: ( ): previsione a k -passi ( ): valore effettivo y t La previsione è buona fino a circa 90 passi. Aumentando l orizzonte, il comportamento previsto è comunque qualitativamente simile a quello effettivo. L errore di previsione (media quadratica rispetto a vari esperimenti) cresce al crescere dell orizzonte di previsione. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 18/24

CALCOLO DEGLI ESPONENTI DI LIAPUNOV Il calcolo del primo (=massimo) esponente di Liapunov L 1 associato ad una serie temporale è particolarmente informativo, poiché L 1 caratterizza la dinamica del sistema è computazionalmente molto più conveniente e affidabile del calcolo dell intero spettro degli esponenti di Liapunov. Data la serie temporale (scalare) di uscita Y { L, y( t τ ), y( t), y( + τ ),L} = t e determinata una dimensione di embedding m, si costruisce la serie Z dei vettori (m-dimensionali) delle uscite ritardate: Z { L, z ( t τ ), z ( t), z ( + τ ),L} = t dove ( t) = y( t) y( t τ ) y( t ( m 1) τ ) z m L. m m m C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 19/24

Fissato un vettore z m (i), si cerca nella serie Z un vettore z m ( j) molto vicino a (i) cioè tale che la distanza ( 0) = z ( i) z ( j) m possa essere considerata infinitesimale. m z m, Quindi, dalla serie Z si estrae la funzione ( t) = z ( i + t) z ( j t) m m + che rappresenta l evoluzione nel tempo della distanza tra i due punti considerati. In media, ci si aspetta che, per t piccolo, (t) ( t) = (0) exp( L1t ), dove L 1 è il primo esponente di Liapunov. evolva secondo la legge C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 20/24

In pratica, per ogni vettore z m ( i) Z si deve calcolare ( ) z ( i + t) z ( j t i, m, ε ( t) = ln m m + per t = 0,1, L j q ) dove la media è estesa a tutti gli z m ( j) tali che z ( i) z ( j) < ε j m m (ε piccolo). Poi q i, m, ε ( t) deve essere mediato su tutti gli (i) z m che compongono la serie Z : Q ( t) m, ε ( t) = qi, m, ε i Q m ε ( ) dovrebbe crescere linearmente con t (almeno in un certo range di t ), cioè, t Ponendo in un grafico, ( t) grafico stesso. Q m, ) 1 ε ( t = L t +α Q m ε in funzione di t, si ricava quindi 1 L come pendenza del C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 21/24

Esempio: dati da un esperimento su un laser a CO 2 In un range intermedio di t, la pendenza (media) delle curve (ottenute al variare di alcuni parametri di calcolo) è circa pari a L 007. 1 0. Q m ε, ( t) t C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 22/24

Calcolare tutti gli esponenti di Liapunov Rispetto al calcolo del solo L 1, molto più critico è il calcolo di tutti gli esponenti di Liapunov ( L1 L2 L Ln): il più delle volte, n non è noto: scegliendo una dimensione di embedding (come avviene di solito) si introducono m n esponenti spuri (=non presenti nel sistema originale) che possono non essere facilmente isolabili (non sono tra i primi + d che entrano nella formula di Kaplan-Yorke); il calcolo degli esponenti richiede di stimare le matrici Jacobiane (=modelli lineari locali) lungo la traiettoria ricostruita, un compito numericamente piuttosto delicato: poiché la serie temporale Y è registrata mentre il sistema funziona sull attrattore A, le differenze finite coinvolgono solo direzioni non trasversali all attrattore; ciò rende difficilmente stimabili alcuni esponenti negativi (quelli che governano il transitorio di avvicinamento ad A) perché non eccitati. Comunemente, si considerano stimabili solo gli esponenti positivi, o al più quelli che + entrano nella formula di Kaplan-Yorke (i primi d ). m > n C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 23/24

In pratica, due sono gli approcci generalmente adottati: per ogni vettore delle uscite ritardate (t) stima del modello lineare locale; z m, determinare lo Jacobiano mediante dalla serie temporale, stimare un modello non lineare (differenziabile) globale (p.e. polinomiale, razionale, rbf), per cui lo Jacobiano risulta disponibile in forma analitica. Esempio: calcolo dei primi 3 esponenti da dati relativi a un esperimento su laser (k =numero punti utilizzati per la stima del modello lineare locale) L uso di modelli globali sembra meno sensibile ai parametri computazionali. C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano - 28/12/2009 24/24