Parte I Identificazione di modelli dinamici. 6: Teoria della stima e caratteristiche degli stimatori. Parte I 6, 1

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Martina Vecchio
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1 Parte I 6, 1 Parte I Identificazione di modelli dinamici 6: Teoria della stima e caratteristiche degli stimatori

2 Generalita` Parte I 6, 2 In generale abbiamo: dove sono i dati osservati e` la quantita` da stimare e` l esito dell esperimento casuale Lo stimatore e` una funzione: Lo stimatore e` variabile aleatoria in quanto il suo valore dipende dall esito dell esperimento casuale

3 Polarizzazione Parte I 6, 3 In generale lo stimatore se si dice non polarizzato La non polarizzazione di uno stimatore e` evidentemente una proprieta` che bisogna cercare di assicurare. Nel caso in figura gli stimatori sono ambedue polarizzati ma lo stimatore ha una polarizzazione minore.

4 Minima varianza Parte I 6, 4 La non polarizzazione (o correttezza) non e` l unico criterio con cui valutare la qualita` di uno stimatore. Nel caso in figura gli stimatori sono ambedue non polarizzati. Pero` Quindi lo stimatore ha probabilita` maggiore di produrre valori della stima vicini al valore vero rispetto allo stimatore Si vuole quindi che la varianza dello stimatore sia la piu` piccola possibile.

5 Parte I 6, 5 In generale, a parita` di caratteristiche di polarizzazione, diremo che lo stimatore e` migliore dello stimatore se ovvero se la matrice ( puo` essere un vettore) Ricordiamo che Quindi dove rappresentano le componenti -esime dei vettori

6 Parte I 6, 6 Confidenza della stima Consideriamo uno stimatore : Area = Si dice che la stima e` entro l intervallo attorno a con confidenza

7 Caratteristiche asintotiche Parte I 6, 7 Se il numero di dati a disposizione cresce nel tempo aumenta l informazione a disposizione per effettuare la stima diminuisce l incertezza Da questo punto di vista uno stimatore e` buono se

8 Parte I 6, 8 Un altra caratterizzazione della bonta` di uno stimatore in cui la stima viene determinata in base ad un numero di dati crescente nel tempo e` Se vale la si dice che la stima converge in media quadratica a Osserviamo che e` un vettore casuale, e` un vettore costante e e` una variabile aleatoria scalare per cui l operazione valore atteso e` perfettamente legittima

9 Convergenza quasi certa Parte I 6, 9 Ricordiamo che lo stimatore basato su dati e` Fissato, si avra` una sequenza Potrebbe allora succedere che:

10 Parte I 6, 10 Introduciamo l insieme di esiti Se Se e Convergenza certa Convergenza quasi-certa Notiamo che se la misura dell insieme e` nulla cio` implica e quindi convergenza quasi-certa Evidentemente Convergenza certa Convergenza quasi-certa Uno stimatore per cui si abbia convergenza quasi-certa si dice consistente

11 Esempio 1 Parte I 6, 11 Si considerino dati scalari tali che Si supponga che i dati siano mutuamente scorrelati, cioe` Si consideri lo stimatore Stimatore a media campionaria

12 Polarizzazione: Parte I 6, 12 Varianza: lo stimatore non e` polarizzato Se (i termini misti sono nulli per l ipotesi di dati mutuamente scorrelati) lo stimatore converge in media quadratica

13 Esempio 2 Parte I 6, 13 Si considerino dati scalari tali che Si supponga che i dati siano mutuamente scorrelati, cioe` Si consideri lo stimatore

14 Parte I 6, 14 Polarizzazione: lo stimatore non e` polarizzato N.B. Nel caso precedente per cui e` soddisfatta La condizione e` un vincolo da soddisfare affinche` lo stimatore non sia polarizzato e caratterizza una classe di infiniti stimatori possibili

15 Parte I 6, 15 Determiniamo lo stimatore migliore tra quelli non polarizzati (quindi che soddisfano il vincolo ) andando a scegliere quello di minima varianza dati scorrelati Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

16 Parte I 6, 16 Imponendo il vincolo di non polarizzazione con Quindi viene scelto inversamente proporzionale alla varianza del dato : piu` e` grande e meno peso gli viene associato.

17 Parte I 6, 17 Calcoliamo ora la varianza dello stimatore: Se lo stimatore converge in media quadratica

18 Generalizzazione Parte I 6, 18 Nel caso in cui le quantita` da stimare siano varianti nel tempo e` necessario modificare gli indici di bonta` degli stimatori Si indichi con la stima di in base ai dati fino all istante Evidentemente, siccome varia nel tempo, non e` sensato parlare di convergenza asintotica rispetto alla disponibilita` di dati in quanto i dati nel passato possono non essere piu` significativi. Un criterio tipico e` dove e` una costante ragionevolmente piccola Non si chiede convergenza ma si chiede non divergenza

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