Rappreseazioe geomerica dei dai mulidimesioali l veore è ua m-upla ordiaa di umeri reali che esprime u blocco di iformazioi: x i,x i,,x im se e usao (umero di uià rilevae). L isieme delle rilevazioi forma la marice dei dai X. ( ) che iclude le rilevazioi sulle variabili effeuae sulla i-esima uià. Di ali veori Esempio Membri del Mercosur. Popolazioe residee, prodoo ierro lordo por-capie e saldo della bilacia dei pagamei. Dai al 995 Pop. Pil.pc Sbp.6 8..65 Argeia 55.9.5. Brasile.8.85.675 Paraguay X. 5.56.76 Uruguay 8. 8.6. Bolivia..79.7 ile Ogi elemeo della marice è u umero (o ecessariamee usao come ale) X ij i,,; j,,,m è il valore riscorao per la j-esima variabile sulla i-esima uià. La marice dei dai è la base empirica delle osre elaborazioi. Le relazioi saisiche soo i geere mulidimesioali ovvero su ogi uià di idagie si acquisisce ua pluralià di iformazioi, di aura qualiaiva e quaiaiva che servoo per dare u quadro compleo dell uià rispeo alle caraerisiche rieue opporue da sudiare. Per varie ragioi le iformazioi qualiaive soo espresse co umeri ache se soo effeuabili solo comparazioi del ipo uguali/diverse e, al più, degli ordiamei del ipo: basso, medio, alro. Nel caso i esempio però le iformazioi soo ue su scala merica cioè si possoo assimilare a dei pui ello spazio e calcolare ua disaza ra di essi. Tue le iformazioi acquisie i ua rilevazioe vegoo orgaizzae i ua marice o abella che prevede, per ogi riga, ui valori rilevai su di ua sessa uià e, i ogi coloa ui i valori rilevai el campioe per ua sessa variabile. La rappreseazioe i D avviee a mezzo dei veori coordiae formai da zero e da u valore uo i ua posizioe specifica L Argeia è così rappreseaa }.6 8..6.65 + 8. +.65 ; e i l' uo è i posizioe "i"
Spazio delle variabili e delle uià. Le aalisi saisiche della marice dei dai soo alvola diree alle relazioi ra le variabili ed i queso caso la si cosidera u aggregao di m coloe Ogi x i è il veore coloa formao dalle osservazioi per la i-esima variabile su ue le uià icluse ella rilevazioe. Si dice che i quesa aalisi ci si muove ello spazio delle variabili che è u sooisieme di R m. aleraiva l agolaura di sudio porebbe puare di più sulle relazioi ra le uià ed i queso caso lamarice dei dai è cosideraa u aggregao di righe Ogi u i è è il veore riga formao dalle rilevazioi effeuae su ue le m variabili rispeo alla i-ma uià. Si dice che i quese aalisi ci si muove ello spazio delle uià, soisieme di R. Esempio La disposizioe dei pui dallo spazio (dalle variabili o delle uià) è la sruura che deve essere spiegaa e semplificaa. L aalisi mulivariaa può fare riferimeo sia ad al umero di uià che al umero di variabili m ed a secoda della scela si richiamao cere eciche e o alre. U puo i comue è che, sia el caso delle uià che el caso delle variabili, le dimesioi effeivamee i gioco o soo o m, ma dei valori iferiori.
La maledizioe della dimesioalià La qualià di ua ecica di aalisi mulivariaa è i geere misuraa sul rapporo: dimesioi ecessarie/dimesioi oali e sul rapporo variabilià ello spazio effeivo/variabilià ello spazio oale. l problema della iperdimesioalià (o della maledizioe della dimesioalià) è che ma mao che aumeao le dimesioi i pui diveao sempre più sparsi ed è più difficile idividuare relazioi sigificaive. osideriamo l ipercubo [-a,a] m che abbia iscria ua ipersfera di raggio ra. La quoa pare di ipervolume coeua ella sfera è q m ipervolume sfera ipervolume cubo m π m m Γ( m ) ( ) è la fuzioe gamma che è simile al faoriale cioè se m/ è iero vale Γ( m /) (m )! dove Γ. Se m è piccolo il cero dell ipercubo è impor-ae come le alre zoe. All aumeare di m si ha però lim q m m
ioè il volume dell ipercubo ede sempre più a cocerarsi sugli agoli co cosegueze molo serie per le osre aalisi: se i osri pui soo aalizzai co ua griglia regolare, la maggior pare delle ipercelle risulerà vuoa. Dimesioi dello spazio m 5 6 7 quoa pare di ipervolume q m.785.5.8.6.8.7
Norme di veori La orma di u veore è ua fuzioe defiia i R m ed a valori i R + f : R m R + Tale che ( ) x ( ) x R m ( ) f ( x) + f ( y) x,y R m ( ) α f ( x) α R,x R m ( ) f ( y) f ( x y) x,y R m f x f x f x + y f αx f x U imporae classe di orme è quella di Mikowsky: m x p p x i i p p Tale classe iclude diversi casi speciali iy block : x x i Euclidea x x i ( ) x x { } Tchebycheff : x max i m x i Se ella orma o è idicao l idice si iede quella euclidea. Tue le orme soo equivalei dao che rispodoo ad u preciso ordiameo umerico: x p x p+ e quidi se x p y p z p x q y q z q idipedeemee dal valore assegao ad p e da q (purché p,q alrimei o si raa di orme) a) Le orme di Mikowsky verificao la disuguagliaza di Holder x y x p y q per p + q che ha come caso speciale la diseguagliaza auchy-schwarz per p x y x y
b) Ogi veore o ullo può essere rasformao (riscalao) i modo da avere orma uiaria. y x x y x x x x Esempio 6 x 6 7 x x x 6 + 9 + 7 y 7 7 c) Rappreseazioe geomerica del veore. veori possoo essere raai come eià geomeriche. ome mosra la figura, u veore può essere rapprreseao come ua freccia che si dipare dall origie per raggiugere u puo co coordiae forie dagli elemei del veore. OP è il veore P x P x P co orma P x P + x P (i base al eorema di Piagora) P x P + x P x P e + x P e d) La legge dei cosei (eorema di aro) veori posso differire per lughezza, per l agolo formao co gli assi o per erambi. Rispeo all agolo θ ra i veori P e P possiamo sabilire u uile eorema. d aseθ X acosθ OX è la proiezioe di P su P d può essere viso come la disaza perpedicolare ra P e P Ne cosegue che: c d + ( b X) d + b bx + X a seθ + b abcosθ + a cos θ [ ] + b abcosθ a se θ + cos θ
poiché se θ + cos θ oeiamo: c a + b abcosθ (la legge di aro) Rispeo ai veori si ha: c P P ; a P ; b P e quidi P P P + P P P cosθ Se i due veori fossero orogoali e cioè se θ π 9 allora cos(θ) e la disaza ra i due pui veori sarebbe P P P + P Queso succede quado i pui si rovao sugli assi di u sisema ed ogi puo su di u diverso asse e) erpreazioe geomerica del prodoo scalare l prodoo scalare (o iero) di due veori P x ; P x x dipede dalla lughezza dei veori (cioè dalla loro orma) e dall agolo che essi formao. x
Dal eorema di aro sappiamo che P P OP + OP OP OP cosθ segmei possoo essere espressi come disaze euclidee (al quadrao) ( ) + x ( x ) x ( + x ) + x ( + x ) x x + x x P P x x ( ) Poiché ( ) ; OP ( x + x ) OP x + x Si ha: E quidi: ( ) OP OP cosθ x x + x x ( x x + x x ) x + x cosθ x x + x x ( + x ) x + x ( ) x ( ) x ( + x ) P P P P P P cosθ P P Ne cosegue che il prodoo scalare è pari al prodoo delle lughezze dei due veori per il coseo dell agolo da essi formao. P P P P cosθ Dai due veori oi, ovuque essi siao, possiamo deermiare l agolo ra essi compreso. Se i veori soo ormalizzai P + P, P + P P P il prodoo scalare è pari al coseo: P + P + cosθ P + P +
f) Trasformazioi orogoali (roazioe degli assi) È spesso ecessaria o opporua la rasformazioe del piao caresiao: roazioi, corazioi, dilaazioi, deformazioi, ec. allo scopo di semplificare il problema raao. Ogi rasformazioe del piao può essere descria algebricamee co delle equazioi che collegao il piao caresiao origiale co il uovo sisema di coordiae. osideriamo u sisema di assi orogoali x e x ed u puo P(x,x ). Guardiamo queso puo ache co u alro sisema di assi orogoali y e y che è ruoao di u agolo θ rispeo al piao (x,x ) co riferimeo all origie. Quesa è ua roazioe orogoale cioè il movimeo del piao è rigido e solidale e ogi uovo asse forma co il corrispodee vecchio asse lo sesso agolo (roazioe i seso aiorario. Moo rigido co pero sull origie). l veore P può essere scrio i erambi i sisemi come: ( ) sisema ( y y ) sisema x x P x e + x e P y e * * + y e dove e,e,e *,e * soo dei veori ormalizzai ed orogoali (ovvero veori coordiae) ali che e T * i e j d ij e i e * j d ij d ij dela di Kroecker d ij se i j se i j Nel sisema (x, x ) effeuiamo il prodoo scalare: * e * ( x e + x e ) e * P x e * e + x e e Lo ripeiamo el sisema (y, y ) per oeere: * e y e * * * ( + y e ) e * P y e e * * + y e e * y + y y e quidi, eguagliado i due risulai, si avrà x e * e + x e * e y
Allo sesso modo, effeuado il prodoo scalare per il secodo veore per P, si oiee e * P x e * e + x e * e ; Si arriva perao al sisema: y x e * e + x e * e y x e * e + x e * e erchiamo di scoprire la aura geomerica del paricolare prodoo scalare e i * e j. aziuo: * e i e j e i * e j e * dao che e * i e j i e j l rapporo ra il prodoo scalare ed il prodoo delle orme dei veori, come si è viso, è pari al coseo dell agolo ra i due veori e i * e j e i * e j cosθ θ arcos e i * e i * e j e j Ad ogi prodoo scalare del sisema di rasformazioe può essere applicaa la relazioe co il coseo (euo coo del giuso agolo) * e * e cosθ ; e e cos( θ + 9) se( θ) * e * e cos( 9 θ) seθ ; e e cosθ l sisema di rasformazioe può quidi essere riespresso come y x cosθ x seθ y x seθ + x cosθ y y cosθ +seθ x cosθ seθ x + x seθ cosθ seθ cosθ x oazioe mariciale compaa si ha: YXQ dove Q è ua marice orogoale dea di roazioe. Tale marice è ache oroormale cioè orogoale e co orma uiaria di righe e di coloe.
cosθ seθ Q Q QQ cosθ seθ +seθ cosθ seθ cosθ cos θ + se θ cos θ + se θ Esempio Suppoiamo che θ e deermiiamo la corrispodee marice di roazioe. cos( θ) ; se( θ) + Q l puo P rimae fermo. È il sisema degli assi che ruoa. Se P(,) el sisema (x,x ) el uovo sisema (y,y ) diveerà + + ( ) ( ) Laddove el vecchio sisema di assi, le coordiae del puo avevao lo sesso valore, el uovo sisema i rappori cambiao e ua delle coordiae divea maggiore dell alra. Queso, come poremo accerare, o è privo di sigificao. g)riduzioe delle dimesioi osideriamo i pui: ; ; 6 6 pui soo perfeamee allieai lugo la rea x x. Noa ua coordiaa l alra si deermia i modo auomaico. Si vuole ora sposare l asse x i modo da farlo coicidere co la rea di equazioe x x.
La marice di roazioe ecessaria per ale operazioe è θ π cos π se π + se π cos π La roazioe avviee i seso orario per cui si ivere il sego degli elemei fuori diagoale. pui rasformai soo perciò 6 6 6 L aggregao dei pui elle coordiae origiali era: 6 6 Nelle uove coordiae divea ivece: 6 6 e quidi, di fao, è saa elimiaa ua dimesioe che era solo u duplicao dell alra: basa u solo asse per rappreseare i re pui dai. È chiaro che ella realà i pui o soo mai perfeamee allieai, pure ua opporua roazioe degli assi cosee di rascurare dimesioi poco iformaive. h)roazioe degli assi e disaze. Le roazioi orogoali maegoo ialeraa la disaza euclidea ra i pui. osideriamo la rasformazioe YRX dove R cos θ se θ ( ) +se( θ) ( ) cos( θ) N.B. La roazioe ora àè i seso aiorario. dichiamo i uovi pui el sisema ruoao co Q RP e Q RP
La disaza euclidea ra i duepui elle uove coordiae è daa da Q Q ( Q Q ) ( Q Q ) Q Q Q Q Q Q + Q Q P R ( R)P P R ( R)P P R ( R)P + Q ( R R)Q P P P P P P + P P ( P P ) ( P P ) P P Quidi la disaza ra i pui P e P è la sessa ei due sisemi di assi purché la roazioe sia orogoale. Le proprieà delle roazioi orogoali si applicao olre che al piao ache allo spazio m dimesioale: ache se qui soo meo immediae le relazioi ra gli elemei della marice di roazioe e le fuzioi rigoomeriche degli agoli che i veori formao co gli assi. geerale, ogi rasformazioe orogoale corrispode ad ua roazioe degli assi (ioro all origie) di u dao agolo. Le disaze ra i pui resao comuque ivariae. L uguagliaza delle orme soo roazioe orogoale o implica che gli elemei dei veori abbiao lo sesso peso all iero dei veori i relazioe agli alri elemei. Esempio osideriamo il puo P(, ) ed effeuiamo ua roazioe degli assi di (π/6) 5 Dal sisema y y si ruoa a x x l ruolo delle dimesioi è diverso ei due sisemi. Nei due sisemi, la orma al quadrao oché i pesi degli elemei (ell ambio del veore ormalizzao) soo Sisema x, x ( ) Sisema ( y, y ) + 5 ( ) + ( ) 7 7 8 + 5 8 6 8 + 8 Nel secodo sisema il peso delle dimesioi si ivere e l asse più rilevae o prefereziale è y e o più x. È chiaro che a secoda della posizioe del puo e dell agolo di roazioe del sisema si può fare i modo da precosiuire l ordiameo dei pesi desiderao.
i) Scela del pero (pivo) di roazioe Tue le roazioi fi qui propose soo sae riferie all origie. Tale scela è correa se si vuole sabilire il peso più rilevae per u solo puo, ma se i pui soo più di uo ci si deve dare u crierio per idividuare il pero di roazioe più appropriao. La sola roazioe o basa ad alerare sigificaivamee il sisema dei pesi degli assi. fai, per i pui P (,5) e P (5,7) Si ha 5 5 7 6 pui soo allieai, ma la semplice roazioe ioro all origie o lo evidezia. Per superare queso problema, gli assi debboo essere sposai sul puo cerale ra quelli dai: P (,6). ale puo è oeuo come media arimeica dei valori. Le uove coordiae si oegoo come scari dalla media: x x e x x La marice degli scari è che, ruoaa di 5, produce che fialmee chiarisce il umero vero di dimesioi ecessarie per rappreseare i pui dai ell esempio (ua e o due come sembrava all iizio). l cerameo dei pui (misurazioe come scaro dalle medie) cosee di idividuare le relazioi lieari perfee azzerado ua o più dimesioi. j) erameo della marice dei dai Per varie ragioi è opporuo cerare la maricedei dai e cioè è più praico operare co ua marice di scari piuoso che co la marice dei valori origiali. x ˆ µ, x ˆ µ x m ˆ µ m X ˆ x ˆ µ x ˆ µ x m ˆ µ m dove x ˆ µ x ˆ µ x m ˆ µ m ^ µ x j j
oviee iolre esprimere la marice degli scari i esplicia oazioe mariciale: e è la cosiddea marice di cerameo. Ecco u esempio La marice di cerameo è idempoee e simmerica La marice di deviaze-codeviaze èfacilmee oeua dal prodoo mariciale La marice di variaze-covariaze X X dove ˆ [ ] -vole,,, ( ) 7 6 ˆ,, ˆ ; 5 x µ 7 6 5 8 8 8 8 5 5 ( ) + + e ˆ X ˆ X X X X X V
W V X X X X Si oiee dal prodoo di marici rasformae Y X Y Y W Esempio Y Y Y 7 6 5 W 5 67 6 7 5 Quesi risulai giusificao l adozioe della rasformazioe lieare ˆ X X l cui effeo è di sposare l origie degli assi sul ceroide della marice dei dai µ ( µ,µ,,µ m ) La dispersioe dei pui rimae uavia ivariaa. E imporae o perdere di visa il risulao oeuo: il coeuo iformaivo della marice dei dai può essere fao cofluire ella marice di variaze-covariaze. Almeo quello esseziale, viso che comuque u iformazioe si perde: la differeza ra le medie delle variabili origiarie che è pari a zero i ue le variabili cebrae.