1. DENSITÀ Per il nostro studio assumeremo che valga la semplice schematizzazione secondo cui gran parte delle sostanze può assumere tre differenti stati di aggregazione (o fasi): la fase solida, nella quale esse hanno una forma ed un volume proprio, la fase liquida, nella quale hanno un volume proprio ma assumono la forma del recipiente, e la fase aeriforme, nella quale le sostanze, se disposte in un contenitore ove sia stato fatto il vuoto, tendono ad occupare integralmente lo spazio disponibile assumendo la forma ed il volume del contenitore. Le sostanze che si trovano negli stati di aggregazione liquida ed aeriforme si dicono fluidi. FSI DELLE SOSTNZE PURE SOLID venti forma e volume propri LIQUID vente solo volume proprio, assume la forma del contenitore ERIFORME né forma né volume propri, si espande fino ad occupare tutto lo spazio disponibile FLUIDI Questa schematizzazione è di guida all intuizione, ma non ha un carattere assoluto: vi sono anche solidi che possono assumere la forma del contenitore (si pensi ad un sale che sia pressato entro un vaso fino compattarsi assumendone la forma) e vi sono liquidi che in certe condizioni hanno una forma propria (ad esempio l acqua od il mercurio si dividono in goccioline ellissoidali, che diverrebbero sferiche in assenza di gravità). Dato che, per individuare la massa di un fluido, è indispensabile far riferimento al volume V occupato, è pratico servirsi di una grandezza che esprima la massa di un unità di volume. Conviene quindi definire la densità di una sostanza, come rapporto fra la massa m di un certo quantitativo ed il volume V che esso occupa. Indicando con la lettera greca ρ (rho) questo rapporto, si ha: m = V ρ Kg/m da cui m= ρv Qualsiasi rapporto può essere letto come il quantitativo del numeratore associabile ad una unità del denominatore: ad esempio se acquisto Kg di mele per 5 euro, il numero 5 è il prezzo di un chilo di mele, cioè quanto del numeratore (gli euro) è associato ad un unità del denominatore (un chilo). nalogamente il rapporto 5 è quanto del numeratore (i chili di mele) si associa ad un unità del denominatore (un euro), vale a dire quanti chili di mele si comprano con un euro 1. Quindi la densità rappresenta la massa di un metro cubo di sostanza, ed in modo simile si potrebbe definire il volume specifico V m come volume (al numeratore) occupato da un chilo di sostanza (associato ad una unità del denominatore). 1 Un famoso quesito ipotizza che un anello attorno all equatore, perfettamente aderente al terreno, venga allargato di un metro. Il problema è calcolare quanto spazio si crea fra la superficie terrestre e l anello. La risposta è immediata se si perimetro legge nel modo suggerito sopra il rapporto π = : ad ogni pezzo lungo.14 m sulla circonferenza diametro corrisponde un tratto di 1m sul diametro. Quindi allungando di un metro la circonferenza il diametro cresce di 1 = 0.m e pertanto fra anello e superficie si crea uno spazio di circa 16 cm. Il risultato non cambia se invece.14 della terra si considera un oggetto molto più piccolo come un arancia. 1
titolo di esempio abbiamo: ρ = 1000 acqua Kg/m ρ = 1.9 Kg/m (livello del mare) aria Calcoliamo ad esempio la massa di aria contenuta in un frigorifero di dimensioni 1.0 m 0.60m 0.70m : ( )( ) m= 1.9 Kg/ m 0.4m = 0.54 Kg la densità si estende naturalmente anche alle fasi solide, ad esempio ρ = 1900 Kg/m. oro. L PRESSIONE IDROSTTIC Poniamo su di un tavolo un blocco avente la forma di un parallelepipedo con tre facce differenti: sappiamo che l equilibrio richiede che il piano d appoggio eserciti una forza verso l alto, uguale e contraria alla gravità. nche se è comodo riferirsi alla gravità come ad un unica forza, applicata nel baricentro dell oggetto, essa è il risultato dell azione combinata delle attrazioni che la Terra esercita su ciascuna delle particelle costituenti il blocco. nalogamente, anche la forza normale che proviene dal tavolo è un modo conveniente di rappresentare la somma delle spinte elementari che il piano esercita sulle piccolissime porzioni in cui possiamo immaginare suddivisa l intera superficie di contatto. Indipendentemente da quale sia la faccia che poggia, la somma delle spinte elementari deve comunque eguagliare il peso mg del blocco, e quindi la forza complessiva proveniente dal piano d appoggio si può distribuire, a seconda dei casi, su di un area più o meno estesa. Se quindi dividiamo la forza totale mg per l area della faccia otteniamo valori assai differenti della forza per unità di superficie, il maggiore dei quali sarà relativo alla faccia più piccola. E necessario introdurre una grandezza fisica nuova, anche se già disponiamo della forza? Quando si esercita su di un area una forza F, definiamo pressione il rapporto fra l intensità F n della componente di forza normale alla superficie e l estensione della superficie stessa: mg F n P= N/m Ricordando che un rapporto può essere letto come il quantitativo del numeratore associabile ad una unità del denominatore, la pressione rappresenta quanta forza normale è esercitata su di un metro quadrato di superficie. La pressione è una grandezza fisica che contiene informazioni differenti rispetto a quelle fornite dalla forza: sul parallelepipedo poggiato alternativamente sulla base larga o su quella più stretta agisce la medesima forza normale, ma una pressione differente. Se ponessimo una striscia di gomma sotto al blocco, questa si assottiglierebbe molto di più sotto alla faccia stretta che non sotto alla faccia larga, nonostante la forza complessiva sia la stessa. Per motivi analoghi si foggiano a punta gli oggetti che devono penetrare, come spilli, chiodi e viti, così che la forza esercitata si concentri su di una superficie molto piccola, producendo pressioni elevate. L unità di misura della pressione, che ha le dimensioni di N/m, ha un nome proprio nel Sistema Internazionale, il Pascal Pa.
La pressione è esercitata dal blocco o dal piano? norma del terzo principio della dinamica, il blocco esercita sul piano una forza uguale e contraria a quella che il piano esercita sul blocco, che, come abbiamo visto, deve essere pari al peso mg per garantire l equilibrio. Diremo allora, indifferentemente, che il blocco esercita una pressione P sul piano, oppure che il piano esercita una pressione P sul blocco. P Come si estende il concetto di pressione alle sostanze in fase fluida (liquida od aeriforme)? E più pratico descrivere la dinamica di sostanze in fase liquida od aeriforme attraverso la pressione piuttosto che tramite un vettore applicato come la forza. Quest ultima grandezza infatti, richiede che si individui il punto di applicazione, cosa tutt altro che facile se l oggetto non ha un propria forma, ma muta continuamente di geometria a seconda delle circostanze. Per inquadrare il problema si immagini di intingere un dito nell acqua e si dica in che punto la forza è stata applicata. Con il termine pressione nei fluidi intendiamo, in modo del tutto analogo al caso dei solidi, il rapporto fra la forza esercitata dal fluido (o sul fluido) perpendicolarmente ad una qualunque porzione piana di superficie e l area della superficie stessa. Così la pressione atmosferica al livello del mare sarà il rapporto fra il peso della colonna d aria sovrastante e la superficie della base della colonna, mentre la pressione in fondo all oceano sarà la forza per unità di superficie esercitata dalla colonna d acqua sommata a quella dovuta alla colonna d aria. Quali differenze di comportamento si osservano, rispetto ad un solido, quando si comprime un liquido? Immaginiamo di porre, fra il blocco ed il piano precedentemente considerati, prima una lastra di vetro e poi uno strato d acqua. La differenza fra il comportamento delle due sostanze è assai evidente: mentre il vetro non subisce deformazioni apprezzabili, l acqua schizza via lateralmente lasciando solo uno strato sottilissimo di liquido fra il blocco ed il tavolino. Quest accelerazione dell acqua in direzione orizzontale può sorprendere se si pensa che le forze in gioco il peso del blocco e la reazione del piano agiscono tutte verticalmente. Ma, come si è visto, al contrario di quelle di un soldo, le molecole di un fluido sono libere di scorrere le une sulle altre così che la repulsione reciproca fra particelle vicine trasforma il peso del blocco in un azione orizzontale. Lo stesso farebbero una serie di strati di palline da ping pong, spostando lateralmente le sottostanti per farsi largo qualora venisse adagiato un peso sopra di esse. In un fluido, quindi, ad una forza esercitata verticalmente si accompagna un azione in direzione orizzontale. Quale legge regola questo comportamento dei liquidi? Semplici osservazioni permettono di intuire che sopra ad ogni superficie, comunque orientata, posta a contatto con un liquido in condizioni statiche, si esercita una forza proporzionale all estensione della superficie e diretta perpendicolarmente ad essa. In altri termini la forza orizzontale osservata prima, sull acqua schiacciata dal blocco, in realtà agisce in qualunque direzione. Riempiamo d acqua un cilindro cavo dotato di un pistone perfettamente aderente, e di un apertura laterale in un punto in basso. Se non si provvede ad esercitare col dito una pressione sul foro, l acqua tende ad uscire, il che implica che sul liquido sta agendo una forza orizzontale. Dato che la posizione dell apertura non ha nulla di particolare, dobbiamo concludere che un azione analoga si eserciti in qualunque altro punto a contatto con le pareti del cilindro e venga da queste controbilanciata. Se ora chiudiamo il foro con una membrana elastica a contatto col fluido, questa si deforma assumendo la geometria di una porzione di sfera. nalogamente, un palloncino sferico, bloccato forzatamente sott acqua, mantiene la propria geometria restringendosi ugualmente in tutte le direzioni senza divenire ovale. La grande simmetria di queste deformazioni è spiegabile solo con l azione di una forza che sia in ogni punto di pari intensità e perpendicolare alla membrana. Osservazioni e misure più dettagliate mostrano infatti la validità del principio seguente, che si deve allo scienziato e filosofo francese Blaise Pascal (16-166):
PRINCIPIO DI PSCL In ogni punto di una superficie piana a contatto con un liquido, in condizioni statiche, agisce una forza normale alla superficie e proporzionale alla sua area. Essendo la forza proporzionale all area, il rapporto F si mantiene inalterato, trasmettendosi a tutte le superfici a contatto con il liquido, anche internamente. Il valore assunto da questo rapporto si chiama pressione idrostatica. Quindi la pressione nei fluidi non ha una propria direzione? E proprio così, la pressione si esercita perpendicolarmente a qualunque superficie interna al liquido. Che poi, su ogni porzione di liquido, spinga da tutte le direzioni una pressione di pari intensità è confermato dall assenza di movimenti all interno del liquido stesso. Non è dunque possibile espandere o comprimere un liquido in una data direzione senza che si osservino variazioni che compensino nelle altre due direzioni spaziali da essa indipendenti. E questo il modo in cui i liquidi riescono a riempire qualunque contenitore assumendone la forma. Nell esempio del cilindro, pertanto, la pressione esercitata alla base del blocco, p= mg si trasmette inalterata fino al foro, che per essere chiuso richiede quindi una forza ps, dove S ne è la sezione. La perpendicolarità della forza alla superficie di contatto viene anche espressa dicendo che in un qualunque liquido in condizioni statiche sono assenti sforzi di taglio. Osserviamo infine che il principio di Pascal non si applica ai solidi, come facilmente si intuisce immaginando il cilindro riempito, ad esempio, con un blocco di legno: in questo caso il vincolo che le molecole hanno di oscillare attorno a posizioni fisse origina relazioni molto complesse fra le capacità di deformarsi nelle varie direzioni. Come funziona il torchio idraulico? Il fatto che la pressione in un fluido si trasmetta inalterata a qualunque superficie di contatto trova una notevole F 1 applicazione nel meccanismo detto torchio idraulico, usato fra l altro per moltiplicare la forza che esercitiamo sul pedale dei freni a disco e per sollevare le vetture. Il fluido che tocca la y 1 y superficie grande 1, vi esercita la medesima pressione p con cui preme sulla superficie piccola. In questo modo, è solo l estensione dell area di contatto a determinare f l intensità della spinta complessiva: come già si è visto, infatti, il principio di Pascal prevede che la forza sia proporzionale alla superficie. 1) Situazione statica E possibile equilibrare una grande forza F tramite una piccola forza f se le due stanno in rapporto fra loro come le aree di applicazione. Essendoci un unico valore di pressione p su tutto il liquido, si ha infatti: F f 1 p= = F= f 1 ) Situazione dinamica Quando poi si utilizza il torchio idraulico per spostare il punto di applicazione della forza F (ad esempio se si vuole sollevare un auto), l incompressibilità del fluido impone che sia uguale il volume trasferito da una colonna all altra: 1 y1= y y1= y quindi il tratto y1 lungo cui viene spostato il punto di applicazione di F è molto più breve del tratto di cui y1 viene spostato il punto di applicazione di f. In effetti il rapporto è esattamente il reciproco del y 1 rapporto F f, il che esprime il fatto che il torchio idraulico non crea energia ma, come una leva meccanica, 4
trasforma l applicazione di una piccola forza per un lungo tratto, nell applicazione di una grande forza per un breve tratto, in modo però che entrambe compiano lo stesso lavoro L: L= F y1= f y Nel calcolo della pressione idrostatica non dovremmo tenere conto anche del peso del liquido? Se abbiamo a che fare con recipienti dalle dimensioni contenute, come una bottiglia od un becker da laboratorio, il peso del liquido fornisce soltanto un contributo trascurabile, e così, in ogni punto viene applicato un unico valore p di pressione idrostatica. Ma se consideriamo colonne di liquido molto alte, come quando scendiamo in fondo al mare, il ruolo della gravità diventa determinante. In questi casi il fluido sovrastante esercita una considerevole forza verso il basso, producendo una pressione che cresce con la profondità. lla base di un cilindro di sezione ed altezza y, riempito di acqua, graveranno sia la pressione P 0 che l atmosfera esercita sul pelo libero del liquido, sia la forza per unità di superficie dovuta al peso mg della colonna di fluido: mg P= P0+ y P 0 Essendo m= ρv, e V= y, l espressione della pressione sul fondo del cilindro diviene: relazione che va sotto il nome di: ρvg ρyg P= P0+ = P0+ LEGGE DI STEVINO In una colonna di liquido alta y, se P 0 è la forza per unità di superficie che insiste sul pelo libero alla sommità, e ρ la densità della sostanza, la pressione alla base vale: P= P + ρgy 0 Quali conseguenze comporta la legge di Stevino sull equlibrio di un liquido in due vasi comunicanti? Il fatto che la pressione in un fluido dipenda solo dall altezza dà origine ad alcuni sorprendenti paradossi idrostatici, come quello qui a fianco dei vasi comunicanti. Quando si ha a che fare con un tubo ad U, il fluido che si trova nella sezione orizzontale viene spinto verso destra e verso sinistra con una pressione pari a quella che le due colonne esercitano verticalmente sul fondale, in quanto la direzione non influisce sul valore della pressione. Di conseguenza la parte orizzontale sarà in equilibrio solo se il pelo libero delle due colonne si trova alla stessa altezza y. Se le pareti sono verticali basta che la forza per unità di superficie alla base sia la stessa perché la colonna a destra possa sostenere la maggiore grande massa d acqua nel vaso a sinistra - ed in genere il peso di una colonna di qualunque sezione. Nel caso di pareti inclinate invece, queste forniscono un contributo importante all equilibrio. Pa Pa Pb y P y b 5
Cosa accade nel caso in cui il contenitore abbia delle rientranze? nche la pressione sul fondo di due contenitori come quelli qui a fianco è la medesima, dato che in entrambi i casi il pelo libero del liquido si tova alla stessa distanza y dalla base. Si potrebbe erroneamente pensare che la pressione sul fondo del contenitore a sinistra sia minore, dato che il peso del liquido sovrastante è inferiore rispetto al contenitore di y destra, ma la superficie della base è in entrambi i casi uguale ad 1. In realtà, nel contenitore di sinistra, è lecito calcolare la pressione come rapporto fra il peso del fluido (oltre y 1 all atmosfera) e l area, soltanto sul fondo della colonnina centrale di sezione. Fuori da questa regione,infatti, non 1 vi è soltanto il peso a gravare. Come richiesto dal pricipio di Pascal, sulla superficie sporgente di estensione 1, a causa del contatto con il liquido, spinge una pressione esattamente uguale a quella che preme dove finisce la colonnina di sezione, cioè P + ρg( y y). Per la terza legge della dinamica, un eguale forza per unità di superficie viene esercitata 0 1 dalla parete orizzontale del recipiente sul fluido, ed essa causa nella regione a sezione larga, 1, la stessa compressione che nel contenitore a destra si deve al peso del liquido sovrastante. Esercizio Un tubo ad U è riempito di acqua ( ρ = 1000 Kg/m delle due colonne si trova uno strato alto ( ρ = 806 Kg/m et nelle due colonne. a ), ma su una d= 10.0cmdi alcool etilico ). Calcola la differenza fra i livelli del pelo libero y 1 d y Il problema richiede di calcolare la differenza y y1. ffinché la sezione orizzontale sia in equilibrio dev essere P1 = P. Risulta: P1 P P = P + ρy 1 at a 1 P = Pat + ρetd+ ρa ( y d ) da cui uguagliando le due pressioni per l equilibrio: ρ + ρetd+ ρa ( y d ) Pat + ay1= Pat ρ( y y) = ρd ρ d a 1 a et ρa ρet 1000 806 y y1= d= 0.100= 0.0194 m = 1.94cm ρ 1000 a Cap XIV assegnare: Stevino e Pascal p 47 n6 (svolto), p45 n 14,16,18, 0 6