Prodotto libero di gruppi

Prodotto libero di gruppi 24 aprile 2014 Siano (A 1, +) e (A 2, +) gruppi abeliani. Sul prodotto cartesiano A 1 A 2 definiamo l operazione (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Provvisto di questa operazione il prodotto cartesiano diventa un gruppo abeliano che si indica con il simbolo A 1 A 2 e si chiama somma diretta di A 1 e A 2. Siano ϕ i : A i A i morfismi (x) = (x, 0) e (y) = (0, y). Proposizione 1. Dati due gruppi abeliani A 1 e A 2 la loro somma diretta gode della seguente proprietà universale: se B è un qualsiasi gruppo abeliano e ψ i : A i B, i = 1, 2 sono due morfismi qualsiasi, allora esiste un unico morfismo f : A 1 A 2 B tale che il diagramma A 1 A 1 A 2 f B A 2 commuti ossia tale che fϕ i = ψ i per i = 1, 2. Dimostrazione. Definiamo f(x, y) := (x) + ψ 2 (y). È evidente che f fa commutare il diagramma. Basta verificare che è un morfismo. Siano (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) A 1 A 2. Allora f ( (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) ) = f(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = (x 1 + x 2 ) + ψ 2 (y 1 + y 2 ) = = (x 1 ) + (x 2 ) + ψ 2 (y 1 ) + ψ 2 (y 2 ) = = (x 1 ) + ψ 2 (y 1 ) + (x 2 ) + ψ 2 (y 2 ) = f(x 1, y 1 ) + f(x 2, y 2 ). N.B. Abbiamo sfruttato il fatto che B è abeliano! 1

Esercizio 1. Verificare che f è unica. Ora vediamo che la proprietà universale caratterizza la somma diretta a meno di isomorfismo. Proposizione 2. Sia A un gruppo abeliano e siano ϕ i : A i A due morfismi con la seguente proprietà: per ogni gruppo abeliano B e per ogni coppia di morfismi ψ i : A i B, i = 1, 2 esiste un unico morfismo g : A B tale che il diagramma A 1 ϕ 1 A g B ϕ 2 ψ 2 commuti. Allora A = A1 A 2. A 2 Dimostrazione. Applichiamo la proprietà con B = A 1 A 2 e ψ i = ϕ i otteniamo un morfismo g : A A 1 A 2 tale che gϕ i = ϕ i. Viceversa, se applichiamo la Proposizione 1 con B = A e ψ i = ϕ i. otteniamo un morfismo f : A 1 A 2 A tale che fϕ i = ϕ i. Segue dunque che gfϕ i = gϕ i = ϕ i. Pertanto sia gf che id A1 A 2 fanno commutare il diagramma A 1 gf A 1 A 2 A 1 A 2. id A 1 A 2 A 2 Siccome il morfismo che fa commutare il diagramma è unico (per la Prop. 1) concludiamo che gf = id A1 A 2. Se invece consideriamo fg e id A, osserviamo 2

che entrambe fanno commutare questo diagramma: A 1 ϕ 1 ϕ 1 fg A A id A ϕ 2 ϕ 2 A 2 Per ipotesi il morfismo che fa commutare questo diagramma è unico, dunque fg = id A. Pertanto f è un isomorfismo. 3. Il significato di questa proposizione è che la proprietà universale caratterizza la somma diretta. Osserviamo che l isomorfismo f : A 1 A 2 A è canonico, nel senso che dipende solo dai dati di partenza, cioè A 1, A 2, A, ϕ 1 e ϕ 2. Inoltre ha la proprietà che fϕ i = ϕ i e questa proprietà lo caratterizza. 4. Se G 1 e G 2 sono gruppi non abeliani (notazione moltiplicativa!), è possibile definire il loro prodotto diretto (esterno) G 1 G 2 in modo analogo a quanto fatto per i gruppi abeliani. Quindi è lecito chiedersi se il discorso appena fatto continua a valere per i gruppi non abeliani. Effettivamente nella dimostrazione della Prop. 1 sarebbe sufficiente supporre che B sia abeliano. Questa assunzione è essenziale affinché l applicazione f sia un morfismo. Tuttavia nell ultima proposizione è necessario che A sia abeliano. Siccome la conclusione è che A è isomorfo al prodotto diretto di A 1 e A 2, è necessario assume sin dall inizio che tutti i gruppi siano abeliani. Si potrebbe anche pensare che con una dimostrazione diversa si possa estendere la Prop. 1 a gruppi non abeliani. Ma questo è impossibile in generale. Infatti nella notazione moltiplicativa ϕ i : G i G := G 1 G 2 diventano (x) = (x, 1) e (y) = (1, y). Si verifica immediatamente che (G 1 ) e (G 2 ) commutano. Ora supponiamo che H sia un terzo gruppo e 3

che ψ i : G i H ed f : G H siano morfismi tali che il diagramma G 1 G f H G 2 commuti. Siccome (G 1 ) e (G 2 ) commutano, anche le loro immagini tramite f commutano. Ma queste immagini sono ψ i (G i ) = fϕ i (G i ). In generale se H non è commutativo, esistono morfismi ψ i tali che (G 1 ) non commuta con ψ 2 (G 2 ). Per esempio, prendiamo G 1 = Z/2, G 2 = Z/3, H = S 3. Indichiamo con x ed y due elementi di S 3 rispettivamente di ordine 3 e 2 (p.e. x = (123) e y = (12)). Sia : G 1 S 3 tale che ([1] 2 ) = y e sia ψ 2 : G 2 S 3 tale che ([1] 3 ) = x. Allora (G 1 ) e ψ 2 (G 2 ) non commutano. Dunque non esiste un morfismo f che fa commutare il seguente diagramma: G 1 = Z/2 G 1 G 2 = Z/6 S3. f G 2 = Z/3 Per questo motivo, l oggetto caratterizzato dalla proprietà universale per morfismi verso gruppi H qualsiasi (anche non abeliani) è diverso dal prodotto diretto ed è qualcosa di nuovo. Si noti che nell esempio appena visto i G i sono abeliani. Dunque anche per gruppi abeliani, se richiediamo la proprietà universale per gruppi H non abeliani, il prodotto diretto non basta e ci vuole un nuovo oggetto. Questo nuovo oggetto è il prodotto libero. Definizione 5. Siano G 1 e G 2 due gruppi (in notazione moltiplicativa). Una terna (G,, ) dove G è un terzo gruppo e ϕ i : G i G è un morfismo (per i = 1, 2) è un prodotto libero di G 1 G 2, se vale la seguente proprietà: 4

per ogni gruppo H e per ogni coppia di morfismi ψ i : G i H, i = 1, 2 esiste un unico morfismo f : G H tale che il diagramma G 1 ϕ 1 G f H (0.1) ϕ 2 G 2 ψ 2 commuti. Proposizione 6. Se (G,, ) e (G, ϕ 1, ϕ 2) sono due prodotti liberi di G 1 e G 2, allora esiste un unico isomorfismo f : G = G tale che fϕ i = ϕ i. Dimostrazione. La dimostrazione è identica a quella della Prop. 2: basta applicare la proprietà universale prima di (G, ϕ i ) e poi di (G, ϕ i) per costruire f e g : G G. Quindi l unicità assicura che gf ed fg sono le applicazioni identiche. Per dimostrare che il prodotto libero esiste bisogna fare una costruzione un po lunga. Fissiamo G 1 e G 2. Usiamo sempre la notazione moltiplicativa e indichiamo con 1 G l elemento neutro del gruppo G. Quando non c è rischio di confondersi scriviamo semplicemente 1. Sostituendo eventualemente G 2 con un altro gruppo a lui isomorfo possiamo supporre che gli insiemi G 1 {1} e G 2 {1} siano disgiunti. Poniamo A := (G 1 {1}) (G 1 {1}) e A := A {1}. Chiamiamo A alfabeto e chiamiamo lettere is suoi elementi. Una parola nell alfabeto A è una successione {x n } n N di elementi di A che è definitivamente uguale ad 1, cioè che per un certo k si ha x n = 1 per ogni n > k. Il k minimo con questa proprietà si chiama lunghezza della parola. Se k = 0 la successione {x n } è tale che x n = 1 per ogni n 1. Questa successione si chiama parola vuota o parola di lunghezza 0 e si indica con 1. Se invece k > 0 la parola è una successione {x n } n N, tale che x n = 1 per n > k e x k 1. Una parola di lunghezza k è identificata dai suoi primi k termini, per cui la possiamo scrivere nel modo seguente w = x 1 x k. 5

Sia w = x 1 x k una parola di lunghezza k > 0. Supponiamo che valga la condizione seguente: a) x n 1 per ogni n, 1 n k. Segue che per ogni per ogni n, 1 n k, esiste un indice i n {1, 2} tale che x n G in {1}. Definizione 7. Una parola w = x 1 x k di lunghezza k > 0 è ridotta se vale (a) e b) i n i n+1 per ogni n, 1 n k 1. Inoltre consideriamo per definizione la parola vuota come una parola ridotta. Indichiamo con G 1 G 2 l insieme formato da tutte le parole ridotte (inclusa la parola vuota). Vogliamo definire su G 1 G 2 una struttura di gruppo sfruttando la giustapposizione di parole. In generale se w 1 = x 1 x k e w 2 = y 1 y l, non è detto che la successione x 1 x n y 1 y l sia una parola ridotta. Può succedere per esempio che x n e y 1 stiano entrambi in G 1. Quindi la concatenazione pura e semplice non definisce una operazione su G 1 G 2. Procediamo invece come segue. Innanzitutto poniamo 1 w = w 1 := w per ogni w G 1 G 2. Quindi definiamo il prodotto di parole ricorsivamente. Supponiamo di sapere moltiplicare due parole rispettivamente di lunghezza n < n e m < m. Date w = x 1 x n e w = y 1 y m poniamo x 1 x n y 1 y m se x n e y 1 non stanno nello stesso gruppo w w x 1 x n 1 (x n y 1 )y 2 y m := se x n e y 1 stanno nello stesso gruppo e x n y1 1 (x 1 x n 1 ) (y 2 y m ) se x n e y 1 stanno nello stesso gruppo e x n = y 1 1. (0.2) Nei primi due casi otteniamo una parola ridotta (verificare!). Nel terzo caso ci riconduciamo a calcolare il prodotto di due parole di lunghezza rispettivamente n 1 ed m 1. Osserviamo che c è una applicazione naturale che associa alla lettera a A la parola ridotta w = a. In questo modo otteniamo una mappa iniettiva ϕ : A G 1 G 2 che ha per immagine l insieme delle parole di lunghezza 1. Il più delle volte identificheremo a A con la parola ϕ(a). 6

Teorema 8. (G 1 G 2, ) è un gruppo. Dimostrazione. Per costruzione la parola vuota 1 è un elemento neutro bilatero. L inverso della parola ridotta x 1 x n è la parola ridotta x 1 n x 1 1. Questo si può dimostrare per induzione su k sfruttando la definizione 0.2 (ci si trova sempre nel terzo caso). L unica cosa che resta da verificare è l associatività. Procediamo nel modo seguente, detto trucco di van der Waerden. Sia H l insieme di tutte le applicazioni biunivoche di G 1 G 2 in sé stesso. H è un gruppo rispetto alla composizione. Data una lettera x A, sia L x : G 1 G 2 G 1 G 2 l applicazione definita dalla formula L x (w) := x w dove il prodotto x w è quello appeno definito in G 1 G 2. Vogliamo verificare che L x 1 L x = id G1 G 2. Infatti scriviamo w = z 1 z k. Come al solito dobbiamo distinguere 3 casi. Nel primo caso x e z 1 appartengono allo stesso gruppo e xz 1 1, nel secondo caso x e z 1 appartengono allo stesso gruppo e xz 1 = 1, nel terzo caso x e z 1 appartengono a gruppi diversi. Nel primo caso, cioè se x e z 1 appartengono allo stesso gruppo G s e xz 1 1, si ha x w = (xz 1 )z 2 z k (qui (xz 1 ) è un elemento di G s e pertanto è una lettera) e dunque (L x 1 L x )(w) = x 1 (x w) = x 1 (xz 1 )z 2 z k = = (x 1 xz 1 )z 2 z k = z 1 z 2 z k = w. Una verifica analoga dimostra che anche negli altri due casi si ha (L x 1 L x )(w) = w. Pertanto L x 1 L x = id G1 G 2. Allo stesso modo L x L x 1 = id G1 G 2, dunque L x H e L x 1 = (L x ) 1 =. Abbiamo così definito una mappa L : A H, x L x. Ora estendiamo L a G 1 G 2. Se w = x 1 x n G 1 G 2, poniamo L w := L x1 L xn. Vogliamo dimostrare che date due parole ridotte w, w G 1 G 2 si ha L w L w = L w w. Procediamo per induzione sulla lunghezza di w e w. Se una delle due parole ha lunghezza 0 è ovvio. Supponiamo w = x 1 x k e w = y 1 y m con k, m > 0. Allora L w L w = (L x1 L xk 1 ) (L xk L y1 ) (L y2 L ym ). Come al solito distinguiamo 3 casi a seconda di cosa combinano x k e y 1. Se x k e y 1 stanno in gruppi distinti, la parola x 1 x k y 1 y m è ridotta ed è uguale a w w. Pertanto L w L w = L w w. Se invece x k e y 1 stanno nello 7

stesso gruppo e x k y 1 1, è sufficiente provare che L xk L y1 = L (xk y 1 ). Questa verifica è simile a tutte le altre già fatte e viene lasciata come esercizio. Infine, se x k e y 1 stanno nello stesso gruppo e x k y 1 = 1, basta sfruttare il fatto che L xk L y1 = id G1 G 2. Date w, w, w G si ha (w w ) w = L w w (w ) = L w (L w (w )) = w (w w ). Ciò prova che l operazione di G 1 G 2 è associativa. In sostanza il trucco di van der Waerden permettedi provare l associatività direttamente solo nel caso (più semplice) delle parole di lunghezza 1. Indichiamo con ϕ i : G i G 1 G 2 la mappa che manda 1 in 1 e che su G i {1} coincide con ϕ. In altre parole se x G i {1}, allora ϕ i (x) è la parola di lunghezza 1 formata dalla sola lettera x. ϕ i è un morfismo iniettivo di gruppi e G 1 G 2 è generato da (G 1 ) (G 2 ) = ϕ(a) {1} (dimostrare!). Possiamo finalmente dimostrare che il prodotto libero esiste. Teorema 9. Dati due gruppi G 1 e G 2 la terna (G 1 G 2,, ) è un prodotto libero di G 1 e G 2. Dimostrazione. Sia H un gruppo e siano ψ i : G i H morfismi qualsiasi. Dobbiamo provare che esiste un morfismo f che rende commutativo il diagramma (0.1). Definiamo f nel modo seguente. Se w = x 1 x k G 1 G 2 con x n G in per n = 1,..., k, poniamo f(w) := ψ i1 (x 1 ) ψ ik (x k ). Sfruttando ancora una volta la definizione (0.2) si verifica che f è un morfismo. Evidentemente f fa commutare il diagramma. Infine se f è un altro morfismo che fa commutare il diagramma, allora f (w) = f(w) per ogni parola w (G 1 ) (G 2 ). Ma siccome quest ultimo insieme genera G 1 G 2, segue f = f. Dunque f è unico. Per approfondire si può consultare [1, p. 64 sgg.], [4, VIII, 3], [3, Ch. III] e [2]. Osserviamo che la tecnica per costruire G 1 G 2 non è unica. Quindi in alcuni testi si trovano strategia alternative. 8

Riferimenti bibliografici [1] T. W. Hungerford. Algebra, volume 73 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1980. Reprint of the 1974 original. [2] M. Manetti. Topologia. Springer. xii, 297 p., 2008. [3] W. S. Massey. Algebraic topology: an introduction. Springer-Verlag, New York, 1977. Reprint of the 1967 edition, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 56. [4] G. Zappa. Fondamenti di teoria dei gruppi. Vol. II, volume 18 of Consiglio Nazionale delle Ricerche Monografie Matematiche. Edizioni Cremonese, Rome, 1970. 9