U.M.I. - I. T. C. G. Pitagora - Calvosa Castrovillari OLIMPIADI DI MATEMATICA 2011- DISTRETTO DI COSENZA Gara a squadre del 24 Marzo 2011 Istruzioni 1) La prova consiste di 17 problemi divisi in 3 gruppi. 2) Nei quesiti dal numero 1 al numero 12 sono proposte 5 possibili risposte, indicate con le lettere A, B, C, D, E. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale 1 punto. 3) I problemi 13 e 14 richiedono una risposta che è data da un numero intero che va indicato nelle relativa finestrella. Ciascuna delle domande ammette una sola risposta corretta. Ogni risposta esatta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni problema privo di risposta vale 1 punto. 4) I problemi 15, 16 e 17 richiedono, invece, una dimostrazione. Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicoletto. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 10. 5) Il file-soluzioni va inviato entro 15 minuti dalla fine del tempo concesso. Avete 2 ore di tempo. Buon Lavoro! SQUADRA: SCUOLA Indirizzo: Città: CAPITANO: Nome Cognome e-mail Nome e Cognome degli altri Componenti la squadra: 1) 2) 3) 4) Risposte ai primi 14 quesiti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B E B A A A A C C C C D 165 98 PUNTEGGIO (da riempirsi a cura del responsabile) Valutazione esercizi da 1 a 14 esatte senza risposta Valutazione esercizio n.15 Valutazione esercizio n.16 Valutazione esercizio n.17 PUNTEGGIO TOTALE
Problemi a risposta multipla 5 punti 1. Quanti numeri di 5 cifre, tutte diverse, si possono formare con le cifre di A= 1,2,3,4,5,6,7,8,9, formato dai numeri interi da 1 a 9, che contengono 2 cifre pari e 3 dispari? Risposta (B). Tutte le coppie di cifre pari sono: 4 2 =6, tutte le terne di cifre dispari sono 5 =10 e poiché ogni 3 cinquina può comparire in 5! = 120 modi, in totale avremo: 6 10 120 = 7200. 2. In una griglia rettangolare, costituita da 5 righe e 6 colonne, suddivisa in 30 quadrati di lato1, dopo aver individuato i nodi di tutti i percorsi di lunghezza 5, indicare il numero totale dei percorsi minimi che vanno dall origine (0,0) in ciascuno dei nodi. Risposta (E). I nodi dei percorsi di lunghezza 5 sono: (0,5), (5,0), (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) da cui risulta che: 5 0 + 5 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 =2 =32. Formula applicata: +h = +h h. 3. Quali sono le ultime tre cifre del numero: 1! + 2! + 3! +.+ 1998! + 1999! + 2000! Risposta (B). La somma S di dei primi dieci fattoriali: 1! + 2! +..+ 10! = 4037913 ha come penultima cifra 1 e ultima 3, cioè termina per 13. Queste due cifre restano in tale posizione fino a 14! In quanto i fattoriali da sommare ad S terminano tutti con 2 zeri. Da 15! In poi gli zeri sono 3 ed aumenteranno fino a che si perviene a 2000! Pertanto sommando le terzultime cifre da 10! a 14! si ricava ancora 3come terzultima cifra, quindi 313. 4. La successione,,., è tale che, per ogni k tra 1e 100, è uguale alla somma degli altri 99 termini della successione meno k. Quanto vale? Risposta (A). Scritta in formule la successione ha la proprietà che per ogni elemento k si ha: = + + + + + +. Sommando ad entrambi i membri, si ha 2 = cioè = dove S è la somma dei 100 elementi della successione. Pertanto possiamo scrivere S come somma degli, cioè S = 100 (1+2+ +100). Dall equazione =50 = = 5. Quanto vale la somma delle radici del polinomio )= +? si ottiene = Risposta (A). Scriviamo il polinomio come: = 2001 1 + 2001 2 = La somma delle radici è =500. e quindi 6. Un triangolo ha i lati di lunghezza 20, 21, 22. La parallela al suo lato più corto passante per l incentro incontra gli altri due lati in due punti X e Y. Quanto misura il segmento XY? Risposta (A). Chiamiamo ABC il triangolo e BC (di lunghezza secondo le usuali notazioni) il suo lato più corto. Sia X su AB e Y su AC. Notiamo che AXY è simile ad ABC e il rapporto di similitudine tra i due triangoli è dato dal rapporto tra l altezza di ABC, che chiamiamo AH, e quella di AXY, che chiamiamo AZ. ZH ( perpendicolare sia a XY che a BC) ha la stessa lunghezza del raggio della circonferenza inscritta, che, per la nota formula, vale l area di ABC, che chiamiamo S, divisa per il semiperimetro. Pertanto il rapporto sarà dato da: = Possiamo dunque semplificare S e dopo semplici passaggi algebrici otteniamo che il rapporto di similitudine è uguale a,vale a dire, sostituendo i dati del problema = e dunque XY è lungo 20 = 7. Sapendo che,>0,++=13, + =40, quanto vale +? Risposta (A). Ponendo s = x + y e p = xy, si ricava il sistema: (s + p = 13) (sp = 40) che risolto dà s = 5 e p = 8. Essendo simmetrico il sistema si deve avere: (x + y = 8) (xy = 5) che porta all equazione z 2-8z +5= 0 di soluzioni 3, 5, e (x + y = 5) (xy = 8) che porta all equazione z 2-5z +8 = 0 che non ha soluzioni. Pertanto x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = 8 2-2 5= 54. 8. Quanti sono i triangoli rettangoli con i lati interi aventi la misura dell area uguale a quella del perimetro?
Risposta (C). Detti x e y i due cateti e + l ipotenusa, si deve avere: =++ + da cui xy = 2x + 2y + 2 + ; segue che (xy 2x 2y) 2 = 4(x 2 + y 2 ); x 2 y 2 + 4x 2 + 4y 2-4x 2 y 4xy 2 + 8xy = 4x 2 + 4y 2 ; xy(xy 4x 4y + 8) = 0; xy 4x 4y + 8 = 0; xy 4x 4y + 16 = 8; da cui (y 4)(x 4) = 8. Poiché x, y, + devono essere positivi le uniche soluzioni sono (5, 12,13) e (6, 8, 10). 9. Sui lati di un quadrato di lato inscritto in un cerchio, si costruiscono A B esternamente al quadrato quattro semicerchi aventi per diametro il suo lato. Quanto vale l area formata dalle 4 lunule? a O Risposta (C). = + = 2. Area di una lunula = area di un semicerchio meno l area del segmento circolare compreso tra AB e la circonferenza di centro O, cioè tra la corda AB e l arco AB. D C Semicerchio = ; Segmento circolare = = ; Lunula =. 10. Quante sono le coppie di interi che soddisfano la disequazione: + 8? ). Graficamente basta disegnare una circonferenza con centro nell origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio 8 per poi contare i punti a coordinate intere che stanno dentro o sulla frontiera. Diversamente si considera l equazione + +=8 da cui + =8 e al variare di k da 0 a 8 si determinano le coppie (x,y) di interi che la soddisfano. 11. Determinare le somma dei numeri che si possono scrivere utilizzando le cifre 1,2,3,4 una e una sola volta. ). Ogni numero deve essere della forma abcd = a 10 3 + b 10 2 + c 10 + d. Fissato un numero per a, ad esempio 1, per b, c, d si possono avere 3! possibilità quindi 3!x1 + 3!x2 + 3!x3 + 3!x4 = 6 + 12 + 18 + 24 = 60 da cui 60x1000 + 60x100 + 60x10 + 60 = 66.660. 12. Il prof. Abacus deve indovinare il colore degli occhi di 5 ragazze con il volto coperto. Si sa che 2 hanno gli occhi azzurri (mentono sempre) e 3 gli occhi neri (dicono sempre la verità). Può fare solo due domande. Le ragazze sono disposte in fila da 1 a 5 (da sinistra a destra). Abacus chiede alla seconda: Di che colore sono gli occhi della compagna alla tua destra? La risposta è : ha gli occhi azzurri. Pone la stessa domanda alla terza e la risposta è : ha gli occhi neri. A questo punto Abacus è sicuro di sapere di che colore sono gli occhi di ciascuna ragazza, nell ordine da 1 a 5. Ma voi sapreste dire quali sono le due ragazze dagli occhi azzurri? Risposta (D). Quando la prima interrogata risponde: ha gli occhi azzurri Abacus capisce che mente, perché la sua risposta sarebbe dovuta essere : ha gli occhi neri (se mente dice neri, se non mente dice neri). La risposta della seconda interrogata ha gli occhi neri gli dà la certezza che anche questa mente. Pertanto la 2 a e la 3 a hanno gli occhi azzurri, la 1 a, la 4 a e la 5 a neri. Problemi a risposta intera 5 punti 13. Quanti quadrati di lato dispari vedete in una griglia 10x10 formata da 100 quadratini di lato 1? Risposta (165). I quadrati di lato dispari sono: 1 + 9 + 25 + 49 + 81= 165. Essi si ottengono da +1 = 10+1= 3 3 11 10 9):1 2 3=165. Quelli di lato pari sono: da +2 = 10+2=12 11 10):6=220. 3 3 14. Quanti punti a coordinate intere stanno sull iperbole di equazione =2000? Risposta (98). Fattorizzando 2000 e scomponendo il primo membro, otteniamo (x y)(x + y) = 2 8 5 6. Quindi (x y) e (x + y) sono divisori di 2 8 5 6 e ponendo x + y = a si ha x y = ciò si verifichi. Pertanto x = deve essere intero. Perché ed devono essere entrambi pari ( non possono essere entrambi dispari). Perciò = 2 5 con che può valere da 1 a 7 ed da 0 a 6. Abbiamo, quindi, 7 7 = 49 soluzioni positive di che devono essere moltiplicate per 2 per tenere conto anche delle negative. Le soluzioni totali sono in tutto 98.
15. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Dimostrare che: 2 + 6+ 8>0 è sempre divisibile per 18 se 1. (a) Sia = 2 + 6+ 8 per =1 = 2 + 6+ 8=18 è vera. (b) Sia = 2 + 6+1)+ 8 il successivo di, poiché = +18, se facciamo vedere che è divisibile per 18, allora è dimostrato quanto richiesto. (c) Sappiamo che se 0 ) e 0 ) allora 0 ) e viceversa. d)2 + 6+1)+ 8 2 6 8=4 2 + 6 6+6 2 =3 2 + 6= 3 22 +1)=3 2 3=18, quindi è divisibile per 18, essendo stato provato che 018). (e) Infatti 2 +1, essendo 2 una potenza di 2 con esponente dispari (2, 8, 32, ), è divisibile per 3, cioè del tipo 3. Valutazione: (a) punti 1; (b) punti 2; (c) punti 2; (d) punti 3; (e) punti 2. Capitano Nome: Cognome
16. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Si prolunghi una corda di una circonferenza di centro O, di un segmento uguale al raggio. Si unisca C con O e si prolunghi il segmento CO fino ad incontrare la circonferenza in E. Si dimostri che =3. A B E F O C (a) Per costruzione = =, essendo i triangoli AOB e BOC isosceli gli angoli alla base sono uguali cioè = e =. (b) = + è esterno al triangolo AOB e sarà uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti per cui: + = 2, mentre sarà = 2, e sarà uguale a 2. (c) Essendo =2 sarà =, allora 2 + + = da cui = = 2 =3. Valutazione: per la (a) 2 punti; per la (b) 4 punti; per la (c) 4 punti. Capitano Nome: Cognome
17. ESERCIZIO DIMOSTRATIVO Determinare tutte le soluzioni intere dell equazione: +11 = (a) +11 = equivale a 11 = = ) + +). Poiché 11 è primo y - x dovrà assumere uno dei valori 1, 11, 11,11. (b) Se y x = 1 si dovrà avere 11 = + + xy = 3x 2 + 3x +1. Questa equazione non può avere soluzioni intere in quanto l ultimo membro nella divisione per 3 dà resto 1, mentre 11 =9+2) dà resto2. (c) Se y x = 11 si avrà invece y = x + 11, da cui 11 = + + xy = 3x 2 + 3 11x +11 2 e ciò implica x = 0 oppure x = -11, nel primo caso si avrà y = 11, nel secondo y = 0. (d) Se y x = 11 2 da cui y = x + 11 2 si ottiene 11 = + + xy = 3x 2 + 3x 11 2 + 11 4. (1) Si vede allora che x è multiplo di 11, ma allora nella (1) si avrebbe il membro a destra divisibile per 11 2, mentre il primo membro non lo è. (e) Se y x = 11 3 da cui y = x + 11 3, il che significa 1 = + + xy = 3x 2 + 3x 11 3 + 11 6. Questa equazione non ha soluzioni in quanto il suo discriminante 9 11 6-12(11 6-1) è negativo. Pertanto le sole soluzioni sono (0, 11) e (-11, 0). Valutazione: 2 punti per la (a); 2 punti per la (b); 2 punti per la (c); 2 punti per la (d), 2 punti per la (e). Capitano Nome: Cognome