Geometria BAER I canale Foglio esercizi 3 Esercizio. Discutere le soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite,, z al variare del parametro k. 3 + kz = k k + 3z = k k + z = Soluzione: Il determinante della matrice dei coefficienti è k(k 2 9), quindi la matrice dei coefficienti ha rango 3 per k / 0, 3, 3}. Per k = 0 la matrice dei coefficienti ha rango 2 mentre quella comleta ha rango 3 quindi il sistema è incompatibile. Per k = 3 entrambe le matrici hanno rango 2, quindi abbiamo soluzioni. Per k = 3 Abbiamo ancora un sistema incompatibile. Per tutti gli altri valori di k la soluzione è unica. Esercizio 2. Si considerino le matrici (a) Calcolare il rango di A e A. 2 2 4 A = 3 2 A = 5 3 2 0 5 4 5 4 2 (b) Si scriva la terza colonna di A come combinazione lineare delle altre due (se possibile). (c) Si scriva la terza riga di A come combinazione lineare delle prime due (se possibile). Soluzione: Entrambe hanno rango 2, infatti C 3 = 2C + 3C 3. c) R 3 = 5 3 R 4 3 R 2 Esercizio 3. Si discutano le soluzioni del sistema dipendente da un parametro k (k 2) + 2 + 3 3 = 0 (k 2) 2 + 2 3 = 0 2 + (k ) 3 = 0 7 2 + 2 3 + 4 = 0 Soluzione: Il sistema è omogeneo, quindi sempre compatibile. Il determinante della matrice dei coefficienti é (k 2)(k 2 3k) quindi la soluzione non é unica (quindi esistono autosoluzioni) se k = 0, 2, 3. Si verifica che in questi tre casi la matrice dei coefficienti ha rango 3 quindi si hanno soluzioni. Esercizio 4. Si consideri il sistema omogeneo
e si denoti con A la sua matrice dei coefficienti. + 3 + 4 = 0 S : + 2 2 3 + 3 4 = 0 2 + 3 2 3 + 5 4 = 0 (a) Si dimostri che il rango di A è 2 calcolando i determinanti dei minori orlati del minore µ 2;2. (b) Si scriva una serie di operazioni elementari di riga che trasformano la matrice A in una matrice equivalente per righe in cui le prime due righe sono le stesse di A, mentre l ultima riga è nulla. (c) In questo modo si è dimostrato che S è equivalente al sistema S + 3 + 4 = 0 : + 2 2 3 + 3 4 = 0 Si trovino le soluzioni di S (che sono anche quelle di S). (d) Si trovi un vettore b R 3, diverso dal vettore nullo, tale che il sistema A = b abbia infinite soluzioni dipendenti da due parametri, ed un vettore c R 3 tale che il sistema A = c sia incompatibile. Soluzione: a) µ 23;23 = 0, µ 23;24 = 0 b) R 3 R 3 2 R, R 3 R 3 3 2 R 2 c) = (t + s), 2 = t s, 3 = t, 4 = s. d) Affinchè il sistema sia compatibile dobbiamo avere che le componenti di b, verifichino b 3 = 2 b 3 2 b 2, altrimenti con le operazioni di riga della parte b) otterremmo un pivot sulla colonna dei termini noti nella terza riga. Se il sistema è compatibile, ancora una volta il sistema è equivalente al sistema formato dalle prime due equazioni quindi abbiamo 2 soluzioni. Esercizio 5. 2 Si considerino i vettori u =, v = 2 R 3. 0 0 (a) Si mostri che sono linearmente indipendenti (b) Si determini l insieme di tutti i vettori R 3 tali che non è combinazione lineare di u e v. Soluzione: a) Il rango della matrice 3 2 con colonne u, v è 2. 2 b) Sono i vettori R 3 tali che la matrice 2 ha rango 3, ossia determinante non nullo. z 0 0 z Sviluppando lungo l ultima riga vediamo che si deve avere z 0. Esercizio 6. k 0 Si considerino i seguenti vettori di R 3 : v = 0, v 2 = k, v 3 = k (a) Per quali valori di k R i tre vettori sono linearmente indipendenti? (b) Posto k = 0, si scriva se possibile v 3 come combinazione lineare di v e v 2. (c) Posto k = 2, si scriva se possibile v 3 come combinazione lineare di v e v 2.
Soluzione: a) Calcolando il determinante di Mat(v, v 2, v 3 ), si vede che questo si annulla per k = 0, 2, 2. Quindi i vettori sono linearmente dipendenti solo per questi tre valori di k. b) non è possibile. c) v 3 = 2 (v + v 2 ). Esercizio 7. 2 4 2k Si considerino i seguenti vettori di R 3 : v =, v 2 = 4, v 3 = 2 k 0 (a) Per quali valori di k R i tre vettori sono linearmente indipendenti? (b) Si scriva, per i k per cui è possibile, v 3 come combinazione lineare di v e v 2. Soluzione: a) Il determinante di Mat(v, v 2, v 3 ) è sempre 0, quindi i vettori sono linearmente dipendenti per ogni k R. b) Risolvendo il sistema v + v 2 = v 3 troviamo la soluzione (unica) = 2 k, =. Esercizio 8. Consideriamo la matrice 2 3 2 A = 2 2 4 3 4 e i due sistemi di equazioni S o : A = 0, S : A = (3,, 4) t. (a) Si determino tutte le soluzioni di S o. (b) Si verifichi che s = (,, 0, 0) t è una soluzione di S. (c) Si verifichi che se σ è il vettore le cui componenti sono la soluzione (eventualmente) parametrica di S o, s + σ è la soluzione parametrica di S. Soluzione: a) ( 47 76 45k, 45 k, 5 9k, k). b) è una semplice verifica c) In effetti A(s + σ) = As + Aσ = (3,, 4) t + 0 visto che s è soluzione di S e σ è la soluzione generale di S o - Esercizio 9. Sia A una matrice, b un vettore tali che S : A = b sia un sistema non omogeneo compatibile, s, s 2 soluzioni di S. (a) Si dimostri che s 2 s è soluzione del sistema omogeneo S o : A = 0. (b) Si usi la parte precedente per mostrare che ogni soluzione di S si può scrivere come s + σ, dove σ é una soluzione di S o. Soluzione: Abbiamo A(s 2 s ) = As 2 As = b b poichè s, s 2 sono soluzioni di S; per la parte b), sia s una soluzione di S, per quanto visto prima σ = s s è soluzione del sistema omogeneo e s = s + σ. Esercizio 0. 2 Si considerino i vettori u =, v = 2 R 3. 0 0
(a) Si mostri che sono linearmente indipendenti (b) Si determini l insieme di tutti i vettori R 3 tali che non è combinazione lineare di u e v. Soluzione: a) Il rango della matrice 3 2 con colonne u, v è 2. 2 b) Sono i vettori R 3 tali che la matrice 2 ha rango 3, ossia determinante non nullo. z 0 0 z Sviluppando lungo l ultima riga vediamo che si deve avere z 0. Esercizio. Sia V l insieme r R : r > 0}, definiamo le seguenti operazioni su V : q r = qr; q r = r q Verificare se V con queste operazioni sia uno spazio vettoriale. Soluzione: Le operazioni sono ben definite (il prodotto di due numeri reali strettamente positivi è strettamente positivo, e anche qualsiasi potenza di un reale strettamente positivo é strettamente positiva). L operazione è chiaramente associativa e commutativa (la moltiplicazione dei reali lo è); l elemento neutro 0 è, e l inverso di r rispetto a é r che esiste sempre visto che r > 0 per ogni r V. Inoltre r = r per ogni r, p (q r) = (qr) p = q p r p = p q p r e (p + q) r = r p+q = r p r q = p r q r. Infine (pq) r = r pq = r qp = (r q ) p = p (q r) Esercizio 2. Si dica, motivando brevemente la risposta (ovvero indicando una proprietà degli spazi vettoriali che non è verificata se non si tratta di spazi, o un risultato che implica che siano spazi vettoriali) quali dei seguenti sottoinsiemi di R 2 sono spazi vettoriali. E = R 2 : = 2}, E 2 = R 2 : = 2 e 2 = }, E 3 = R 2 : = 0}, E 4 = R 2 : 0 e 0} Soluzione: E, E 2 sono spazi, gli altri due no. Esercizio 3. Siano v, v 2, v 3, v 4 vettori di R 3, e supponiamo che si abbia v = v 2 + 3v 4 (a) Si trovi una combinazione lineare di a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 = 0 con almeno uno dei coefficienti a i non nullo. (b) Dire se i vettori v 2, v 3, v 4 sono linearmente indipendenti motivando la risposta. (Attenzione: la risposta può essere: si, no, non ci sono abbastanza informazioni; nei primi due casi dare una dimostrazione, nell ultimo caso trovare quattro vettori di R 3 t.c. v = v 2 +3v 4 e v 2, v 3, v 4 sono linearmente indipendenti e quattro vettori di R 3 v = v 2 + 3v 4 e v 2, v 3, v 4 sono linearmente dipendenti). Soluzione: a) v + v 2 + 0v 3 + 3v 4 = 0. b) Non ci sono abbastanza informazioni. infatti se consideriamo i vettori 4 2, 0 2, 0, 0 il primo 0 è uguale alla somma del secondo e tre volte il quarto e gli ultimi tre vettori sono linearmente indipendenti, 4 2 ma se consideriamo (per esempio) 2, 2, 4, 0 gli ultimi tre sono linearmente dipendenti. 2 0
Esercizio 4. Siano u = ( u u 2 ), v = ( v u + v, u v sono linearmente indipendenti. v 2 ) R 2 vettori linearmente indipendenti. Si mostri che i vettori Soluzione: Dimostriamo che la matrice u + v u v u 2 + v 2 u 2 v 2 ha rango 2.applicando alla sua trasposta le t u v operazioni elementari R R + R 2, R /2R, R 2 R 2 R, R 2 R 2 otteniamo che u 2 v 2 (u + v ) + (u v ) = 0 ha rango 2 per ipotesi. Alternativamente, dobbiamo considerare il sistema (u 2 + v 2 ) + (u 2 v 2 ) = 0. u ( + ) + v ( ) = 0 Raccogliendo i termini in modo diverso, il sistema si scrive u 2 ( + ) + v 2 ( ) = 0. u v Siccome u e v sono linearmente indipendenti, la matrice è invertibile, quindi il sistema (nelle u 2 v 2 incognite ( + ), ( )) è Crameriano e dobbiamo avere ( + ) = 0 e ( ) = 0 ossia = = 0.