INTEGRATORE E DERIVATORE Oltre le quattro operazioni matematiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) l A.O. è in grado di compiere anche altre operazioni tra le quali parecchio importanti per l elaborazione dei segnali l integrale e la derivata. INTEGRATORE La configurazione dell integratore ideale con A.O. è la seguente: Studio nel dominio del tempo. Le correnti sulla resistenza e sul condensatore, considerando che il punto M è a massa virtuale, valgono: vi ir = R i = i C R Il condensatore man mano che passa la corrente comincia a caricarsi al valore della tensione di ingresso con polarità positiva verso il punto M e all uscita avremo una tensione v u = - v C. Se l ingresso è costante, la tensione sul condensatore è esponenziale. La costante di tempo del circuito RC è: τ = RC mentre il tempo di carica è : T c = 5 τ = 5RC v C v i T C t Fino a un valore pari a τ questa curva può approssimarsi a una rampa che è proprio l integrale di una funzione costante. Se il segnale di ingresso è un onda quadra, durante il semiperiodo positivo si ha in uscita una rampa quando il semiperiodo è al massimo RC, cioè: T RC T RC f RC
Durante il semiperiodo negativo la rampa assume pendenza negativa: v i onda quadra v C onda triangolare positiva v u onda triangolare negativa Studio nel dominio della frequenza Z A = = = Z R R L integrale nel dominio del tempo corrisponde al tratto in cui il diagramma di Bode del guadagno scende con pendenza di 0 db/dec e quello della frequenza vale -90 (+ 90 nella configurazione invertente) Questo dispositivo va però facilmente in saturazione alle basse frequenze, per evitare ciò si inserisce una resistenza in parallelo al condensatore. Questa configurazione prende il nome di integratore reale. Questo dispositivo ha un valore di frequenza, detta frequenza di taglio: = πr C f t e ha un duplice funzionamento: se f < f t è un normale A.O. invertente A = - R/R si comporta da filtro passa basso se f > f t è un integratore.
Studio nel dominio della frequenza R R Z R A = = = = Z j CR R ω + R R R + R + R = R + R DERIVATORE La configurazione del derivatore ideale con A.O. è la seguente: Studio nel dominio del tempo. Il condensatore si trova in parallelo a un generatore di tensione v i poichè M è a massa virtuale. Se v i è un segnale costante si carica fino ad arrivare ad assumere il valore della tensione di ingresso Le correnti sul condensatore e sulla resistenza, considerando che il punto M è a massa virtuale, avranno lo stesso valore: i C = i R Il resistore, man mano che passa la corrente, assume una d.d.p. v R = R i, con polarità positiva verso il punto M e all uscita avremo una tensione v u = - v R. Se l ingresso è costante, la tensione sul condensatore è esponenziale. La costante di tempo del circuito RC è: 3
τ = RC mentre il tempo di carica è : T c = 5 τ = 5RC v C v i T C t Se il tempo di carica è molto piccolo la curva esponenziale è molto ripida, cioè quasi verticale. Nel periodo T C si ha passaggio di corrente su C e su R, mentre passato questo tempo, cioè a condensatore carico, non si avrà più corrente, nè su C, nè su R e quindi non si avrà più tensione nè su R, nè in uscita. A un segnale costante di ingresso corrisponde così in uscita un impulso, che è proprio la derivata della funzione costante. Se il segnale di ingresso è un onda quadra, durante il semiperiodo positivo si v i ha in uscita una rampa ripidissima quando il semiperiodo è molto più grande di RC, cioè: T v C > 0RC T > 0RC f < 0RC v R Durante il semiperiodo negativo la curva assume pendenza negativa. v u Studio nel dominio della frequenza Z R A = = = R Z 4
La derivata nel dominio del tempo corrisponde al tratto in cui il diagramma di Bode del guadagno sale con pendenza di 0 db/dec e quello della frequenza vale 90 (- 90 nella configurazione invertente) Questo dispositivo va però facilmente in saturazione alle alte frequenze, per evitare ciò si inserisce una resistenza in serie al condensatore. Questa configurazione prende il nome di derivatore reale. Questo dispositivo ha un valore di frequenza, detta frequenza di taglio: = πr C f t e ha un duplice funzionamento: se f < f t è un derivatore se f > f t è un normale A.O. invertente A = - R/R si comporta da filtro passa alto Studio nel dominio della frequenza Z R R R A = = = = Z R + R + + R Poichè abbiamo detto che la derivata è l operazione inversa dell integrale, se il segnale di ingresso è un onda triangolare, il segnale di uscita sarà un onda quadra. 5
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