ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA CALCOLO VETTORIALE - DEFINIZIONE DI VETTORE - COMPONENTI DI UN VETTORE - SOMMA E DIFFERENZA - PRODOTTO SCALARE - PRODOTTO VETTORIALE - VETTORE GRADIENTE - FLUSSO DI UN VETTORE Lucidi del Prof. D. Scannicchio
VETTORE caratterizzato da 3 dati modulo v direzione verso v modulo v, v direzione verso punto di applicazione (lettera v in grassetto ) esempi spostamento s velocità v accelerazione a s = 6.4 m v = 3.7 m s a = 9.8 m s
COMPONENTE DI UN VETTORE (lungo una direzione) direzione x v y = v cos α v x = v sen α o v x α v y v y v y + v x = = v cos α + v sen α = = v (cos α + sen α) = = v
Un vettore e individuato da un insieme di tre numeri, ad esempio le 3 coordinate cartesiane V x, V y e V z del punto estremo del vettore (quello col simbolo di freccia), avendo posizionato l altro estremo all origine (punto O) del sistema di riferimento cartesiano (costituito dai tre assi X,Y,Z). V x, V y e V z vengono indicate come le componenti o proiezioni del vettore lungo i tre assi coordinati. z x 0 V y V V z V x y V=(V x,v y,v z ) 3
Esempio Il vettore con componenti V x = V y = e V z =0 si indica cosi : ed e un vettore che giace sul piano X,Y (vedi figura) V =,,0 ( ) z 0 V z =0 V x = y x V y = V Il modulo del vettore e V = V x +V y +V z = + + 0 = + =.4 4
Esempio Il vettore con componenti V x = V y = e V z = si indica cosi : (vedi figura) V =,, ( ) z V V z = x 0 V y = V x = y Il modulo del vettore e V = V x +V y +V z = + + = ++ 4 = 6.45 5
VERSORE n n = v v direzione e verso modulo = direzione v verso v esempio: componente di un vettore n prodotto scalare fra il vettore forza F e il versore n F n = F n = F cos θ F n = F cos ϑ ΔS F n ϑ 6 F
SOMMA DI VETTORI regola del parallelogramma (metodo grafico) v v v 3 v + = v 7
SOMMA DI VETTORI metodo per componenti (metodo quantitativo) y v y v x = v x + v x y = v y + v y y o v y v x α v x v x x = tg α = y x x + y 3 dimensioni: componente asse z 8
Somma dei vettori: Esempio 3 V =,,0 V =,, ( ) ( ) V 3 = V + V ( ) = ( V x +V x,v y +V y,v z +V ) z = V 3x,V 3y,V 3z ( ) = (,,) = +,+,0 + Il modulo del vettore somma e V 3 = V 3x +V 3y +V 3z = + + = 4 + 4 + 4 = 3.46
y Somma di N vettori Dati i vettori a, a,..., a N il vettore somma b = a +a +... +a N si calcola nel modo seguente: si costruisce la spezzata formata dai vettori a, a,..., a N si congiungono i due estremi liberi di tale spezzata a a a3 b a 4 0 x
DIFFERENZA DI VETTORI regola del parallelogramma (metodo grafico) v v = v v v v v + = v v 3
Differenza di due vettori La differenza a - b si calcola sommando al vettore a il vettore -b, opposto del vettore b y c = a - b -b a b 0 x
DIFFERENZA DI VETTORI metodo per componenti (metodo quantitativo) y v y v v x v o 3x v x v y y α v x v x v x = x v y v y = y = v 3x + v 3y tg α = y x 3 dimensioni: componente asse z 3
Differenza dei vettori: Esempio 4 V =,,0 V =,, ( ) ( ) V 4 = V V ( ) = ( V x V x,v y V y,v z V ) z = V 4 x,v 4 y,v 4 z ( ) = ( 0,0, ) =,,0 Il modulo del vettore differenza e V 4 = V 4 x +V 4 y +V 4z = 0 + 0 + ( ) = 0 + 0 + 4 = 4 =
PRODOTTO SCALARE φ v v Prodotto fra vettori il cui risultato e uno scalare! v v = v v cos φ v v = v x v x + v y v y * v v = v v proprietà commutativa v (v + ) = v v + v proprietà associativa 3 dimensioni: componente asse z * + v z v z 5
PRODOTTO SCALARE v φ v v v = v v cos φ φ = 0 v v v v = v v cos φ = v v φ = 90 φ = 80 v v v v v v = v v cos φ = 0 v v = v v cos φ = v v 6
Prodotto scalare fra i vettori: Esempio 5 V =,,0 V =,, ( ) ( ) V V = V x V x +V y V y +V z V z = + + 0 =++ 0 = Poiche il prodotto scalare puo anche essere espresso come il prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell angolo α fra essi compreso, conoscendo il prodotto scalare e conoscendo i moduli dei vettori (vedi esempi e ) si puo determinare cosα e quindi α. V V = V V cosα cosα = α = arccos cosα ( ) = arccos V V = V V 6 0.577 V V = arccos(0.577) 0.956 rad 54.8 V V
y z x φ PRODOTTO VETTORIALE v v Prodotto fra vettori il cui risultato e un vettore! v v Notazione alternativa: V V = V 3 = modulo = v v sen φ direzione v, v verso : avanzamento vite che ruota sovrapponendo v su v 8
PRODOTTO VETTORIALE 3 dimensioni: componente asse z z = v x v y v x v y y z x φ v v v v = 9
Prodotto vettoriale In generale il prodotto vettoriale fra due vettori: V e V e un vettore V 6 = V V con componenti cartesiane: V 6 = V V = ( V 6x,V 6y,V ) 6z V 6x = V y V z V z V y V 6y = V z V x V x V z V 6z = V x V y V y V x
Esempio 6 Prodotto vettoriale fra i vettori: ( ) ( ) V =,,0 V =,, Conoscendo i moduli dei vettori e l angolo α fra di essi (vedi esempi, e 5) si puo determinare il modulo del prodotto vettoriale. V 6 = V V 6 = V V V sinα = 6 sin(54.8 ).83 Il prodotto vettoriale e in generale un vettore con componenti: V 6 = V V = ( V 6x,V 6y,V 6z ) = (,,0) V 6x = V y V z V z V y = 0 = V 6y = V z V x V x V z = 0 = V 6z = V x V y V y V x = = 0
La regola della mano destra Prima formulazione Si dispone il pollice lungo il primo vettore Si dispone l indice lungo il secondo vettore Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale Seconda formulazione Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l angolo θ di rotazione sia minore di 80 Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale a b b a b b a a
Proprietà del prodotto vettoriale Il modulo del prodotto vettoriale è pari all area del parallelogramma individuato dai due vettori Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli (θ=0) Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa: b θ a
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esempio MOMENTO DI UNA FORZA M = OA F = r F OA = r = cm F = 000 N φ = 63 M modulo F r sen φ = 000 N x cm sen 63 = = 7.8 N m direzione verso r, F avanzamento vite che ruota sovrapponendo r su F 5