Verifiche sperimentali legge di Coulomb c a p i t o l o 3
Fino a che punto si può aver fiducia nella legge di Coulomb?
Era noto che: Una buccia sferica omogenea di materia dà, al suo interno, un contributo nullo al campo gravitazionale. L effetto è troppo piccolo per poter essere verificato sperimentalmente nel caso delle interazioni gravitazionali. Tuttavia Il verificare una tale fenomenologia per le interazioni elettrostatiche, aveva fatto immediatamente supporre che: La legge di forza tra cariche elettriche dovesse avere identica struttura di quella gravitazionale
Supponiamo di avere una buccia perfettamente sferica di materiale conduttore e di depositare su di essa una carica elettrica la carica fluirà e, per motivi di simmetria, la densità di carica sarà uniforme su tutta la buccia S Q R P D3 Q R D3 R Calcoliamo il campo elettrico presente in un generico punto p interno alla buccia. Occorrerà dividere la superficie della buccia in tante superficiette infinitesime, calcolare il singolo contributo e sommare i vari risultati.
S Q R P D3 Q R D3 R I contributi dovuti alle cariche presenti nei due elementi di superficie saranno opposti in direzione. Valutiamone i moduli de1 ( p ) = 1 σ ds1 4πε 0 r12 + ε de2 ( p ) = 1 σ ds2 4πε 0 r22 + ε Quale dei due sarà maggiore? ds2 ds1 2+ε 2+ε r2 r1
S Avremo: Q R P D3 D3 dω r12 ds1 = cos (θ1 ) dω r22 ds2 = cos (θ 2 ) R de1 ( p ) = R 1 4πε 0 1 de2 ( p ) = 4πε 0 Q σ dω r1ε cos (θ1 ) σ dω r2ε cos (θ 2 ) Se la superficie è sferica il triangolo in figura è isoscele e quindi i due angoli sono uguali, per cui: de1 ( p ) = 1 σ 1 dω ε 4πε 0 cos (θ ) r1 de2 ( p ) = 1 σ 1 dω ε 4πε 0 cos (θ ) r2
Se ε > 0 S Q R P D3 D3 R R Q Se invece ε=0 prevale il contributo della superficie vicina Se ε < 0 prevale il contributo della superficie lontana i due contributi sono esattamente uguali ed opposti In questo ultimo caso, sommando tutti i contributi delle coppie opposte, troveremo all interno campo elettrico nullo
In cosa consisterà quindi la verifica sperimentale? Prendere una sfera metallica, depositarvi quanta più carica possibile e verificare se, al suo interno, appaiono tracce misurabili di campo elettrico È un esempio di misura di Zero
Se vale la legge dell inverso del quadrato della distanza, la massa a riposo del fotone è nulla
Come è possibile ottenere le valutazioni in tabella? Una sfera non sarà mai perfetta, quindi: La densità di carica non sarà uniforme Il triangolo non sarà realmente isoscele
Esperimento di Williams, Faller e Hill Schema dell apparato sperimentale
Occorre svincolarsi da qualunque ipotesi su forme geometriche Quello che potremmo scegliere è solo il materiale, tenendo conto che avremo a che fare con materiali reali Un isolante non sarà mai un perfetto isolante Un conduttore non sarà mai un perfetto conduttore In un conduttore non perfetto le cariche non saranno veramente libere di muoversi. Su di esse si eserciteranno delle forze viscose Il sistema si evolve nel tempo e tende a portarsi Effetto degli nella configurazione di di attriti equilibrio, caratterizzata dal minimo per l energia potenziale
All equilibrio la forza totale sulla particella è nulla % % All interno il campo elettrico è ovunque nullo Sulla superficie qe + Rv = 0 All interno saranno nulle pure tutte le derivate del campo Sulla superficie la derivata del campo normale alla superficie è diversa da zero E = 0 E 0
La legge di Gauss dice che : ρ E = ε0 Quindi, se è vera, all equilibrio dovremmo avere: Internamente al conduttore ρ=0 In altri termini, se la legge di Coulomb è vera, tutta la carica fornita ad un conduttore dovrà trovarsi, all equilibrio sulla superficie.
La carica depositata su di un conduttore si trova sulla superficie Il campo elettrico interno è nullo Immediatamente fuori del conduttore il campo è finito Come dipende il campo esterno dalla densità di carica può esser considerata superficiale? come una superficie piana σ ds Φ S ( E ) = E ds = ε0 σ E= ε0 È il doppio del campo elettrico generato da una lastra piana Come mai? N % S
Una lastra avrà uno spessore finito Se lo trascuriamo, per densità di carica intenderemo la somma delle densità di carica che si trovano sulle due facce S S Il campo esterno, espresso in termini di detta somma, conterrà quindi il fattore 2 a denominatore
Per verificare la legge di Coulomb occorrerà vedere che non vi sia carica all interno di un conduttore carico. Occorrerà praticare una cavità all interno del conduttore in modo da posizionarvi gli strumenti Quello che è accessibile sperimentalmente sarà la densità di carica sulla superficie interna ed il campo elettrico presente nella cavità
Se pratichiamo una cavità, avremo due superfici: l interna e l esterna Come abbiamo carica sulla superficie esterna potremmo averne anche sull interna? Superficie chiusa che racchiude la cavità passando all interno del conduttore ΦS E = 0 ( ) Qint = 0
G Il valore nullo per la carica totale potrebbe derivare da compensazioni Se la situazione fosse come quella descritta in figura avremmo un campo all interno della cavità: Dato poi che all interno del conduttore il campo è nullo ci aspetteremo: E dl 0 γ In contrasto con le leggi dell elettrostatica.
Quindi, se vale la legge di Coulomb, la densità di carica sulla superficie interna deve essere nulla, come nullo deve essere il campo elettrico all interno della cavità Di queste grandezze ne verificheremo il valore nullo Se la carica penetrasse all interno, essa dovrebbe essere rivelata dall elettroscopio
Un conduttore cavo divide lo spazio in due regioni: l interna e l esterna S 3 3 S S 3 Il flusso del campo elettrico è nullo quindi: S 3 Che relazione esisterà tra i valori dei campi all equilibrio, eventualmente presenti nelle due regioni? 3 S S 3 Q2 = Q3
S 3 Indicando con Qext 3 S S 3 la carica complessiva del conduttore esterno Q1 = Qext Q2 = Qext + Q3 Primo caso particolare: Q1 = 0 ; σ 1 = 0 Il campo sarà presente solo nella cavità, sarà nullo esternamente alla superficie interna e nel conduttore interno Le linee di campo saranno inoltre normali alle due superfici S3 ed S2
S 3 3 S Supponiamo di aver risolto il caso in cui la carica sul conduttore interno valga S 3 Q3 = σ 3ds3 = α Coulomb Q2 = σ 2 ds2 = α Coulomb S3 ed, ovviamente: S2 Domandiamoci quale sarà la soluzione nel caso in cui si depositi sulle due superfici una carica totale di diverso valore Q3' = σ 3'ds2 = ξ α Coulomb Q2' = σ 2' ds2 = ξ α Coulomb S3 S2
Una semplice soluzione sarebbe: σ 3' = ξ σ 3 σ 2' = ξ σ 2 Il campo da essa generato vale: ' E =ξe Ha identiche direzioni e versi del precedente È nullo ove il precedente era nullo Si vede che essa è la soluzione corretta, in quanto: 1) la soluzione per un sistema di equazioni per la divergenza ed il rotore di un campo è unica, una volta stabilite le condizioni al contorno 2) i campi generati dalle nuove densità, a causa della loro additività, rispettano le condizioni al contorno
Secondo caso particolare: S 3 3 S S 3 Q2 = 0 ; σ 2 = 0 Q3 = 0 ; σ 3 = 0 Il campo sarà presente solo all esterno del conduttore Le linee di campo saranno inoltre normali alla superficie S1 Analogamente a prima, se si Q1 = σ 1ds1 = β Coulomb conosce la densità in un caso S particolare sarà la densità nel ' ' ' Q = σ 1 S 1ds1 = χ β Coulomb σ 1 = χ σ 1 caso che la carica depositata valga 1 1
Caso generale: sono presenti cariche su tutte e tre le superfici I campi generati da una distribuzione del tipo: σ = χ σ 1 ( β ) + ξ (σ 2 (α ) + σ 3 (α )) Rispetta le condizioni al contorno dei campi Nulli all interno degli oggetti, normali alle superfici, zero all infinito Tramite opportuna scelta delle costanti può descrivere la situazione per qualunque valore delle cariche presenti sui due oggetti Qint = ξ α ξ= Coulomb Qext = Q1 + Q2 = χ β ξ α Coulomb Qint α χ= Qext +Qint β
S 3 3 S S 3 Ovviamente le densità di carica sulle due superfici interne cambieranno Cosa accadrà ai campi se si sposta il conduttore interno alla cavità? * σ int = ξ (σ 2* (α ) + σ 3* (α )) Cambierà pure σ 1?
S 3 3 S S 3 Quali saranno i campi σ * = χ σ 1 ( β ) + ξ σ 2* (α ) + σ 3* (α ) generati da ( * * E = χ Eext ( β ) + ξ Eint (α ) ) Che rispetta le condizioni al contorno Quindi: I campi esterno ed interno sono tra loro indipendenti Ad esempio, se portassi il conduttore interno a toccare la superficie interna, neutralizzando così entrambe, il campo esterno resterebbe invariato