Spazi vettoriali Definizione Un insieme (V, +, ) dotato delle due operazioni: - + somma di elementi v V, v V ; - prodotto per uno scalare λ K, (K campo); e chiuso rispetto ad esse, è uno spazio vettoriale su K se le operazioni godono delle proprietà: proprietà della somma: associativa, commutativa, elemento neutro (vettore nullo), elemento inverso (vettore opposto); proprietà del prodotto per scalare: associativa, elemento neutro (scalare unitario), distributiva rispetto alla somma. Esercizio. Stabilire quali dei seguenti insiemi sono spazi vettoriali (su R): a. insieme dei polinomi nella variabile x, a coefficienti in R, di grado al più n; b. insieme dei polinomi nella variabile x, a coefficienti in R, di grado uguale ad n; c. insieme delle funzioni f : I R R, che hanno una derivata prima; d. insieme delle funzioni f : I R R, la cui derivata prima è una data funzione h. Soluzione. a. L insieme dato è n R n x := {p(x) = a + a x + a x + + a n x n = a j x j, tali che a j R}. j= La somma di due polinomi di grado minore o uguale a n: p(x) + q(x) = j a j x j + j b j x j := j (a j + b j )x j è ancora un polinomio di grado non maggiore di n; le proprietà associativa e commutativa si verificano agevolmente, l elemento opposto di p(x) è il polinomio p(x), l elemento neutro è il polinomio nullo p(x) =. Il prodotto per scalare: λp(x) := j (λa j )x j, λ R,
è anch esso un polinomio di grado minore o uguale ad n e valgono tutte le proprietà. R n x è uno spazio vettoriale. b. L insieme V = R n x \ R n x := {p(x) di grado pari ad n} non è uno spazio vettoriale. Infatti la somma dei due elementi di V : n p(x) = a n x n n + a j x j ; q(x) = a n x n + b j x j dà il polinomio n (a j + b j )x j, di grado n, quindi non in V. c. L insieme dato è V = {f : I R R f }; verifichiamo la chiusura e le proprietà delle operazioni di campo: - somma: f, g V f + g V, infatti (f + g) = f + g, esiste; inoltre valgono tutte le proprietà (elemento neutro f, elemento inverso di f: f); - prodotto per scalare: λf V, infatti (λf) = λf, esiste λ R, e valgono tutte le proprietà. V è uno spazio vettoriale. d. L insieme V = {f : I R R f = h, per una h data} non è uno spazio vettoriale; infatti f, g V f + g V, poiché (f + g) = f + g = h + h h. Sottospazi vettoriali Definizione Un sottoinsieme (non vuoto) di uno spazio vettoriale = W V ne è un sottospazio se è chiuso rispetto alle operazioni di spazio. Si scrive anche W V. Condizione necessaria: W V W, (un sottoinsieme di V che ne sia sottospazio contiene necessariamente il vettore nullo).
Esercizio. Stabilire quali insiemi sono sottospazi: a. W = {ax + bx + c R x a + b = } R x; b. W = {(x, y) R y = x } R ; c. W = {(x, y) R y = 3x} R ; d. W = {(x, y) R y = 3x + } R. Soluzione. a. La condizione necessaria è soddisfatta: il polinomio nullo p(x) = x + x + W, essendo a + b = ; verifichiamo la chiusura rispetto alle operazioni di spazio vettoriale: ax + bx + c W dx + ex + f W (a + d)x + (b + e)x + (c + f) W infatti: (a + d) + (b + e) = (a + b) + (d + e) =. Analogamente si verifica la chiusura rispetto al prodotto. Quindi W R x. b. La parabola y = x non è un sottospazio, pur verificando la condizione necessaria (cioè il passaggio per l origine): (, ) W, essendo vero per l origine y = x, poiché = ; ma sommando due punti P (x P, y P ) = (x P, x P ) e Q(x Q, y Q ) = (x Q, x Q ) sulla parabola non se ne trova un terzo sulla parabola: (x P + x Q ) (y P + y Q ) = x P + x Q. c, d. Le rette del piano sono sottospazi se e soltanto se passano per l origine: W = {(x, y) R y = ax + b} R contiene il vettore nullo (, ) (condizione necessaria per essere un sottospazio) se vale = a + b b =, cioè W = {y = ax}, retta per l origine. Di facile verifica la chiusura di ogni retta per l origine rispetto alle operazioni di spazio. Combinazioni lineari. Indipendenza lineare Definizione 3 Una combinazione lineare di elementi di uno spazio vettoriale su K è un vettore w dello spazio vettoriale della forma: w = a v + + a n v n, v j V, con a j K. Gli a j si dicono coefficienti della combinazione lineare. 3
Definizione 4 I vettori v,, v n V sono linearmente indipendenti se a v + + a n v n = a = a = = a n =, (l unica combinazione lineare che dia il vettore nullo è quella tutta nulla). Altrimenti i vettori sono linearmente dipendenti. Esercizio. Per quali valori di k R le seguenti matrici sono linearmente dipendenti? A = k B = k C = k Soluzione. A, B, C sono linearmente dipendenti (x, y, z) (,, ) tale che xa + yb + zc =, cioè kx x x x + ky + z kz z equazione di matrici che equivale al sistema: kx + z = x + kz = x + ky z = x = =, che ammette la soluzione non banale (, y, ) con y, se e solo se k =. Base e dimensione Definizione 5 B V è un generatore di V se v V si ha: v = a w + + a n w n, con w j B, (ogni elemento di V è combinazione lineare di elementi di B). Si dice che V è generato da B: V = L(B). B è una base di V se, inoltre, i suoi elementi sono linearmente indipendenti. Definizione 6 Data una base B di V, si chiama dimensione di numero di elementi di B (cardinalità): V il dim V = card(b). 4
Esercizio. Consideriamo l insieme B = {v, v, v 3, v 4 } R 3, con v = (, 5, ) v = (3,, ) v 3 = (, 9, ) v 4 = (, 4, ); a. qual è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in B? b. determinare il sottoinsieme massimale di vettori l.i. in B, cioè estrarre da B il massimo numero possibile di vettori l.i.; c. possiamo considerare B un generatore di R 3? Se no, B è generatore di quale sottospazio di R 3? Soluzione. a. In ogni spazio vettoriale non si possono trovare vettori linearmente indipendenti in numero maggiore della dimensione dello spazio. Dunque in B ci saranno non più di 3 = dim R 3 vettori l.i. Potrebbero però essercene di meno: per stabilirlo possiamo procedere così: disponiamo i vettori di B sulle righe di una matrice: 5 3 9 4 Riduciamo a scala con Gauss: operando sulle righe, stiamo eseguendo delle combinazioni lineari degli elementi di B. Giungiamo, ad esempio, alla matrice: 3 4 3 4 9, 3 4 che diventa a scala scambiando semplicemente la terza con la prima riga, ma risulta comunque che le sue righe - che sono un sottoinsieme di L(B) - contengono il massimo numero di vettori l.i. in B, cioè. b. Nel punto precedente, riducendo a scala per righe abbiamo individuato due vettori l.i. che appartengono allo spazio generato da B, ma non figurano tra i quattro vettori dell insieme B (almeno, non entrambi...). Per individuare invece due vettori l.i. tra i quattro dati, possiamo sfruttare ancora una volta l algoritmo di Gauss, ma disponendo i vettori sulle colonne: A = 3 5 9 4 5
Otteniamo, per esempio, la matrice a scala 3 S = 3 3 3 in cui compaiono due pivot, nella prima e seconda colonna. I vettori del sottoinsieme massimale l.i. di B li troviamo sulle corrispondenti colonne della matrice di partenza A, e sono dunque v = (, 5, ) e v = (3,, ). c. Lo spazio generato da B ha dimensione, quindi B non può generare R 3. Si ha invece: L(B) = {v R 3 v = a 9 + b 3, con a, b reali } 4 = {v R 3 v = a 5 + b che è un piano (equazione in forma parametrica). 3, con a, b reali } Esercizio. a. Verificare che, t R, L(B) = R 3, con B = {u, v, w} =, t, t. b. Rappresentare il vettore q = (,, ) T R 3 sulla base B. Soluzione. a. Affinché i tre elementi di B possano generare R 3, la cui dimensione è 3, B deve essere una base, cioè i suoi vettori devono essere l.i. In altre parole, l equazione xu + yv + zw = deve ammettere l unica soluzione (x, y, z) = (,, ). Verifichiamo allora che per ogni valore di t R il seguente sistema ha soltanto la soluzione banale (il vettore nullo): x + ty = x + y + tz = y z = 6
Usiamo l algoritmo di Gauss per ridurre a scala la matrice associata al sistema, che ha per colonne i vettori di B: t t giungiamo a t t t + Se t, col passaggio R 3 + t R, otteniamo t t t + t x = ty ty = (t + )z t z = che ha come unica soluzione il vettore nullo, qualsiasi sia t. Se invece t =, la matrice di partenza è già ridotta a scala: x = y = x z = y e ammette anch essa solo la soluzione banale. b. Si tratta di individuare la giusta terna di coefficienti (x, y, z) tali che xu + yv + zw = q, cioè la soluzione del sistema: La matrice associata è: x + ty = x + y + tz = y z = t t Procedendo come al punto a, per ogni t, si giunge alla forma a scala: t t t + t t mentre se t = si ha: x = t y = t z = t 7
x = y = z = Dunque, per ogni t R, si ha la rappresentazione di q sulla base B: q = ( t )u + tv + (t )w. Esercizio. Dati gli insiemi: V = {v = (x, y, z) x + y z = } R 3 W = {w = (x, y, z) y = x, y + z = } R 3, a. verificare che sono sottospazi; b. determinarne dimensione e base. Soluzione. a. Il vettore nullo (,, ) V, W. Inoltre entrambi gli insiemi sono chiusi rispetto alle operazioni, infatti: - v, v V x + y z = x + y z = - analogamente per W. (ax + bx) + (ay + by) (az + bz) = cioè av + bv V b. v V v = (x, y, z = x + y), cioè: v = x(,, ) T + y(,, ) T, con x, y R; quindi V = L({(,, ) T, (,, ) T }), e i due elementi del generatore di V sono l.i (verificare). Dunque dim V = (infatti V è definito dall equazione di un piano). w W w = (x, y = x, z = y = x), cioè: w = x(,, ) T ); quindi W = L({(,, ) T }), e dim W = (è una retta). Esercizio. Consideriamo, in R 3, i sottospazi: V = L({v, v }) = L({(,, ), (,, )}) U = L({u}) = L({(,, )}) a. l intersezione V U = {w R 3 w V w U} è sottospazio? 8
b. se sì, determinarne la dimensione e una base. Soluzione. a. V U, poiché V ed U sono sottospazi, quindi contengono entrambi lo zero. Inoltre, se w e w sono elementi di V U allora lo sarà anche una loro combinazione lineare, per la chiusura di V ed U. b. Determiniamo prima le dimensioni di V e di U, considerando le cardinalità dei rispettivi generatori: - dim U =, - dim V =, (si verifica facilmente la lineare indipendenza di v e v ). Ora possono verificarsi alternativamente due casi:. o U V : allora sarebbe V U = U e dim(v U) = dim U = ;. oppure U V : in questo caso V U, essendo necessariamente sottoinsieme di entrambi, sarà anche sottospazio di entrambi. Pertanto, la sua dimensione sarà strettamente minore della dimensione sia di V sia U: dim(v U) < dim(v U) =, cioè V U = {}. Si avrà U V se e soltanto se il vettore che lo genera u L({v, v }), cioè se u = av + bv, per qualche a, b R. Cerchiamo allora le eventuali soluzioni del sistema: a + b = a = b = che sono (a, b) = (, ); dunque u = v + v V. Quindi V U = U, e ha dimensione e base {u}. 9