Strumenti di indagine per la valutazione psicologica 5 ANOVA a due fattori between ANOVA a due vie L'ANOVA a più fattori consente di verificare ipotesi su più variabili indipendenti considerate simultaneamente. Nell'ANOVA a due vie le V.I. sono due... anzi tre. Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Y A A B B Università di Cagliari, a.a. 2013/2014 Gli effetti Un esempio Effetti principali Fattore A, fattore B Riflettono l'influenza esercitata dalle variabili, indipendentemente l'una dall'altra. Interazione Fattore A B Effetto congiunto di due o più variabili. L'influenza operata da una variabile cambia a seconda del valore assunto dall'altra variabile. Vogliamo studiare l'effetto dell'adrenalina sull'attività motoria dei ratti in differenti condizioni ambientali. Disegno sperimentale 2 2: Variabile dipendente: Numero di giri di ruota al minuto Variabili indipendenti: A ambientale (Neutra vs Stressante) B (Soluzione fisiologica vs Adrenalina) Tratto da: Ercolani, Areni e Leone (2008). Elementi di statistica per la psicologia. Il Mulino, Bologna
I dati Medie () Sol. fisiologica Adrenalina Sol. fisiologica Adrenalina Neutra Stressante 30 40 70 60 50 70 60 85 92 103 35 72 40 80 123 120 167 131 115 147 Neutra Stressante ŷ 30 40 70 60 50 70 60 85 92 103 35 72 40 80 123 120 167 131 115 147 66 103 La risposta sembra aumentare se ai ratti viene somministrata adrenalina piuttosto ce soluzione fisiologica. Medie () Interpretare gli effetti Neutra Stressante Sol. fisiologica 30 40 70 60 50 70 60 85 92 103 Adrenalina 35 72 40 80 123 120 167 131 115 147 ŷ 60 109 Effetti principali A Differenza fra le medie del fattore. «La condizione stressante porta a una risposta più forte rispetto alla condizione neutra?» B Differenza fra le medie del fattore. La risposta sembra aumentare se i ratti si trovano in condizioni stressanti piuttosto ce in condizioni neutre. «La somministrazione di adrenalina porta a una risposta più forte rispetto alla somministrazione di soluzione fisiologica?»
Medie ( ) Interaction plot ŷ Neutra Stressante Sol. fisiologica Adrenalina 50 70 82 136 L'effetto d'interazione Interpretare gli effetti Effetto d'interazione A B Variazione della differenza fra le medie di un fattore in funzione dei livelli dell'altro fattore. «La differenza fra la risposta in condizione stressante e la risposta in condizione neutra si accentua se viene somministrata adrenalina piuttosto ce una soluzione fisiologica?»
Scomposizione della varianza Notazione between n j (Ȳ j Ȳ ) 2 n Totale n p (Ȳ p Ȳ ) 2 (Y i Ȳ ) 2 Residuo witin p 1 n jp (Y i Ȳ jp) 2 n jp (Ȳ jp Ȳ j Ȳ p +Ȳ ) 2...n...... n j n p n jp n è il numero di osservazioni è il numero di livelli del fattore A - è il numero di livelli del fattore B - Numero di osservazioni del j-esimo livello del fattore A Numero di osservazioni del p-esimo livello del fattore B Numero di osservazioni dell'incrocio tra il j-esimo livello del fattore A e il p-esimo livello del fattore B. Cond Farm Y Ȳ j Ȳ Neutra Fisiol 30 60 84.5-24.5 Neutra Fisiol 40 60 84.5-24.5 Neutra Fisiol 70 60 84.5-24.5 Neutra Fisiol 60 60 84.5-24.5 Neutra Fisiol 50 60 84.5-24.5 Neutra Adren 35 60 84.5-24.5 Neutra Adren 72 60 84.5-24.5 Neutra Adren 40 60 84.5-24.5 Neutra Adren 80 60 84.5-24.5 Neutra Adren 123 60 84.5-24.5 Stress Fisiol 70 109 84.5 24.5 Stress Fisiol 60 109 84.5 24.5 Stress Fisiol 85 109 84.5 24.5 Stress Fisiol 92 109 84.5 24.5 Stress Fisiol 103 109 84.5 24.5 Stress Adren 120 109 84.5 24.5 Stress Adren 167 109 84.5 24.5 Stress Adren 131 109 84.5 24.5 Stress Adren 115 109 84.5 24.5 Stress Adren 147 109 84.5 24.5 n j (Ȳ j Ȳ ) 2 12005 i 1 ŷ neutra 60 ŷ stress 109 ŷ84.5 Cond Farm Y Ȳ p Ȳ Neutra Fisiol 30 66 84.5-18.5 Neutra Fisiol 40 66 84.5-18.5 Neutra Fisiol 70 66 84.5-18.5 Neutra Fisiol 60 66 84.5-18.5 Neutra Fisiol 50 66 84.5-18.5 Neutra Adren 35 103 84.5 18.5 Neutra Adren 72 103 84.5 18.5 Neutra Adren 40 103 84.5 18.5 Neutra Adren 80 103 84.5 18.5 Neutra Adren 123 103 84.5 18.5 Stress Fisiol 70 66 84.5-18.5 Stress Fisiol 60 66 84.5-18.5 Stress Fisiol 85 66 84.5-18.5 Stress Fisiol 92 66 84.5-18.5 Stress Fisiol 103 66 84.5-18.5 Stress Adren 120 103 84.5 18.5 Stress Adren 167 103 84.5 18.5 Stress Adren 131 103 84.5 18.5 Stress Adren 115 103 84.5 18.5 Stress Adren 147 103 84.5 18.5 n j (Ȳ p Ȳ ) 2 6845 i 1 ŷ fisiol 66 ŷ adren 103 ŷ84.5
Cond Farm Y Ȳ jp Ȳ j Ȳ p +Ȳ Neutra Fisiol 30 50-60-66+84.5 8.5 Neutra Fisiol 40 50-60-66+84.5 8.5 Neutra Fisiol 70 50-60-66+84.5 8.5 Neutra Fisiol 60 50-60-66+84.5 8.5 Neutra Fisiol 50 50-60-66+84.5 8.5 Neutra Adren 35 70-60-103+84.5-8.5 Neutra Adren 72 70-60-103+84.5-8.5 Neutra Adren 40 70-60-103+84.5-8.5 Neutra Adren 80 70-60-103+84.5-8.5 Neutra Adren 123 70-60103+84.5-8.5 Stress Fisiol 70 82-109-66+84.5-8.5 Stress Fisiol 60 82-109-66+84.5-8.5 Stress Fisiol 85 82-109-66+84.5-8.5 Stress Fisiol 92 82-109-66+84.5-8.5 Stress Fisiol 103 82-109-66+84.5-8.5 Stress Adren 120 136-109-103+84.5 8.5 Stress Adren 167 136-109-103+84.5 8.5 Stress Adren 131 136-109-103+84.5 8.5 Stress Adren 115 136-109-103+84.5 8.5 Stress Adren 147 136-109-103+84.5 8.5 p 1 n jp (Ȳ jp Ȳ j Ȳ p +Ȳ ) 2 ŷ neutra 60 ŷ stress 109 ŷ fisiol 66 ŷ adren 103 ŷ84.5 1445 Cond Farm Y Ȳ i Ȳ jp Neutra Fisiol 30 30 50-20 Neutra Fisiol 40 40 50-10 Neutra Fisiol 70 70 50 20 Neutra Fisiol 60 60 50 10 Neutra Fisiol 50 50 50 0 Neutra Adren 35 35 70-35 Neutra Adren 72 72 70 2 Neutra Adren 40 40 70-30 Neutra Adren 80 80 70 10 Neutra Adren 123 123 70 53 Stress Fisiol 70 70 82-12 Stress Fisiol 60 60 82-22 Stress Fisiol 85 85 82 3 Stress Fisiol 92 92 82 10 Stress Fisiol 103 103 82 21 Stress Adren 120 120 136-16 Stress Adren 167 167 136 31 Stress Adren 131 131 136-5 Stress Adren 115 115 136-21 Stress Adren 147 147 136 11 Residuo n jp (Y i Ȳ jp) 2 9020 Devianza Varianza Devianza Varianza MS A SS A 1 MS B SS B 1 () () MS A 12005 2 1 12005 12005 1 MS B 6845 2 1 6845 1 6845 MS A B ( 1)( 1) MS Residual j 1 SS A B SS Residual (n jp 1) ( ) 1445 MS A B (2 1)(2 1) 1445 1 1445 9020 MS Residual (5 1)(5 1)(5 1)(5 1) 9020 16 563.75
Valore della statistica F Valore p F A MS A 12005 MS residual 563.75 21.30 F A MS A MS residual 12005 563.75 21.30 p A 0.0002 F B MS B 6845 MS Residual 563.75 12.14 F B MS B 6845 MS Residual 563.75 12.14 p B 0.0031 F A B MS A B MS Residual 1445 563.75 2.56 F A B MS A B MS Residual 1445 563.75 2.56 p A B 0.1292 Dimensione dell'effetto Risultati SS Total S A +SS B +SS A B +SS Residual 29315 η A 2 SS A SS Total 12005 29315 0.41 Df Sum Sq Mean Sq F value p value Eta Sq 1 12005 12005.00 21.30 0.0002 *** 0.41 1 6845 6845.00 12.14 0.0031 ** 0.23 Cond Farm 1 1445 1445.00 2.56 0.1292 0.05 Residuals 16 9020 563.75 η B 2 SS B SS Total 6845 29315 0.23 2 η A B SS A B 1445 SS Total 29315 0.05 η 2 SS A +SS B +SS A B SS Total 0.69 Si osserva una differenza significativa fra le risposte osservate nelle due condizioni (F (1,16) 21.30, p < 0.001, η 2 0.41). Si osserva una differenza significativa fra le risposte ai due farmaci (F (1,16) 12.14, p < 0.01, η 2 0.23). Non si osserva alcun effetto d'interazione tra i fattori (F (1,16) 12.14, p 0.13, η 2 0.05).
Interazione non significativa Quali effetti dovrebbero risultare significativi? La deviazione dal parallelismo osservata non è significativa. Quali effetti dovrebbero risultare significativi? Quali effetti dovrebbero risultare significativi?
Quali effetti dovrebbero risultare significativi? Interazione significativa: pattern esemplificativi Interazione significativa: pattern esemplificativi Interazione significativa: pattern esemplificativi
Interazione significativa: pattern esemplificativi Interazione significativa: pattern esemplificativi Esempio disegno 3 2 Esempio disegno 3 3
Un appunto Il rasoio di Occam In generale, la presenza di un significativo effetto d'interazione rende gli effetti principali di scarso interesse. Per questo motivo, quando si riportano dei risultati, l'effetto d'interazione dovrebbe essere commentato prima degli effetti principali. Modello 1: il fattore A spiega, da solo, il 50% della varianza di Y. Modello 2: se al modello 1 aggiungo ance il fattore B e l'interazione A B, insieme le tre variabili indipendenti spiegano il 51% della varianza di Y. Quale di questi due modelli dovrei preferire? Il rasoio di Occam Non dimenticiamo ce... Linee guida A parità di spiegazione, scegli il modello più semplice. L'aggiunta di un grado di complicazione deve essere giustificato da un sostanziale* incremento di spiegazione. «Ricorda ce tutti i modelli sono sbagliati. Nel concreto, la questione è quanto essi lo siano così da non poter più essere considerati utili.» (George Box, traduzione libera)