Macerata 9 dicembre 04 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI SOLUZIONE QUESITO In un riferimento cartesiano ortogonale è dato il fascio di rette: k + x k y + k + = 0. Determina il centro C del fascio. C( ; ) ( ) ( ) ( ) Sviluppando l equazione del fascio si ottiene x y k ( x y ) soluzione del sistema + + + + = 0 il centro è dato dalla + y + = 0. Il modo più immediato per trovare la soluzione consiste nel x y + = 0 C ;. sommare membro a membro; si ha ( ) Trova la retta r che corrisponde a k = 0 e la retta s cui non corrisponde alcun valore di k. r) x + y + = 0 s) x y + = 0 Ponendo k = 0 nell equazione del fascio x y k ( x y ) x y + = 0 + + + + = 0 si ottiene la retta r. La retta s è Determina per quali valori di k le rette del fascio formano con la direzione positiva dell asse delle x un angolo α tale che 0 < α < 45. < k < Se l angolo deve essere 0 < α < 45, allora il coefficiente angolare m delle rette del fascio deve k + > 0 k + k essere 0 < m <. m =, bisogna quindi risolvere il sistema di disequazioni. La k k + < k soluzione è < k <. Sia A il punto in cui la retta r incontra l asse delle ordinate; determina l equazione della retta t passante per A e parallela alla retta s. Sia B il punto in cui t interseca l asse delle ascisse. A(0, ) t) x y = 0 B = ; 0 + y + = 0 Le coordinate del punto A= da cui A(0, ). Il coefficiente angolare della retta s è, quindi x = 0 y + = x 0 ossia t) x y = 0. Le coordinate di B si l equazione della retta t si ricava da ( ) ottengono dalla soluzione del sistema x y = 0 B= y = 0 da cui B = ; 0.
Trova il baricentro G del triangolo ABC. 4 G = ; 6 Le coordinate del baricentro G ( x ; y ) x x + x + x 0 + 6 = sono date da: G G A B C A B C G = = = e yg y + y + y + 0 4 = = =. Trova quindi i punti A, B e C simmetrici di A, B, C rispetto all origine; dimostra che il quadrilatero AC A C è un parallelogramma e trova l area del triangolo AB C. A' ( 0; ) B' ; 0 C' ( ; ) A ( AB'C ) =
Ricordiamo che il simmetrico rispetto all origine di un punto P ( x; y ) è il punto P' ( x; y). Pertanto: A' ( 0; ), B' ; 0 e C' ( ; ). Un quadrilatero è un parallelogramma se ha i lati opposti paralleli. Si dimostra facilmente che A ' s, B' s e C' t (basta sostituire le coordinate dei punti nelle equazioni delle rette) ed essendo s e t parallele, il lati CA e AC sono paralleli. Facciamo vedere che la retta che passa per A C è parallela ad r. Tale retta ha equazione x + y = 0 che ha lo stesso coefficiente angolare di r e quindi le due rette sono parallele. Quindi anche CA e C A sono paralleli. Per determinare l area del triangolo AB C osserviamo che l altezza h relativa alla base B C, altro non è che la distanza di A dalla retta s. Quindi: ( ) ( ) ( ) 5 B'C = xb' xc + yb' yc = 0 ( ) + 6 h = d ( A, s) = = + 5 Da cui segue che l area è A( AB'C) B'C h = =.
SOLUZIONE QUESITO In un riferimento cartesiano ortogonale è dato il punto A( ; ). Scrivi l equazione del fascio di rette di centro A. L equazione del fascio è data da y y m x x mx y + m = 0 = ( ) y m ( x ) A A Trova l equazione della retta r del fascio che passa per B( 0; ). + = + mx y + m = 0 r) x y + = 0 La retta cercata passa per A e per B, quindi la sua equazione si ricava da: y ya x x = y y x x A B A B A da cui y + x + = + 0 + la retta cercata ha equazione x y + = 0. 4
Trova la retta t, simmetrica della retta r rispetto all asse parallelo all asse x passante per B. t) x + y = 0 ' = x Una simmetria assiale con asse parallelo all asse x, di equazione y = b, è data da: e y ' = b y ' = x quindi le equazioni della trasformazione sono. Se P ( x; y ) è un punto della retta r e y ' = 4 y x' y' il suo simmetrico rispetto a y =, allora, sostituendo in r ad x e y le loro espressioni P' ( ; ) = x ' y = 4 y ' x + y = 0. si ha: x' ( y) 4 + = 0 da cui segue x' + y' = 0 e quindi la retta t ha equazione Determina l equazione della retta s del fascio perpendicolare alla retta t e indica con C il punto di intersezione tra s e t. 4 s) x y = 0 C ; 5 5 La retta del fascio perpendicolare alla retta t ha coefficiente angolare per A, l equazione è quindi y ( x ) + = +, da cui x y = 0. m = e ovviamente passa Scrivi le equazioni delle bisettrici u e u degli angoli formati dalle rette r e s. Sia u quella che intercetta il segmento BC e sia D il punto di intersezione. u ) x y = 0 u ) x + y + = 0 D ; Dalla definizione di bisettrice come luogo geometrico dei punti P ( x; y ) del piano equidistati dalle rette che costituiscono i lati dell angolo, si ha: axp + byp + c x y + a' xp + b' yp + c' x y d ( P,r ) = = e d ( P,s) = = a + b 0 a' + b' 0 Uguagliando: x y + x y = da cui x y + = x y, quindi x y + = ± ( x y ) si 0 0 hanno quindi le due equazioni: x y + = x y x + y + 4 = 0 x + y + = 0 ( ) x y + = x y 4x 4y = 0 x y = 0 La seconda è la bisettrice del primo e terzo quadrante e quindi quella che interseca il segmento BC nel punto D ; le cui coordinate si determinano risolvendo il sistema y = 0. x + y = 0 5
Calcola il rapporto R tra l area del triangolo ADB e ACD. Il modo più semplice è quello di osservare che i due triangoli hanno la stessa altezza AC e quindi AC DB A( ADB) DB R = = = da cui segue: A ( ACD) AC CD CD + 0 ( xd xb ) + ( yd yb ) 5 R = = = =. ( xc xd ) + ( yc yd ) 4 0 + 5 5 0 6