II modo: Potevo calcolare l asse di AB anche considerando il punto medio di AB M (3, 1) = x + 2

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Livia Bernasconi
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1 Problema P. 94 n. 6 A(,) B(,- r: y + 0 Cxy (, ) r: y+ 0 Cx (,x+ 0) a) I modo: dalle condizioni abbiamo che CA CB e quindi C appartiene anche all asse. ( x ) + ( y ) ( x ) + ( y+ x 0x+ + y y+ x+ y + 6y+ 9 8x 8y+ 6 0 y (asse di AB) II modo: Potevo calcolare l asse di AB anche considerando il punto medio di AB M (, ) Calcolando m AB. Da cui il fascio y ym ( x xm ) mab y+ ( x a: y Trovo C come intersezione dell asse e della retta r. + 0 x x 0 C a r: x x 8 x + x + x 4 b) La distanza da trovare è KM CM Dove KM è la distanza tra la retta da trovare ymx+q e la retta AB e CM è la distanza dei due punti CM. La retta da trovare, ymx+q, è parallela ad AB. Quindi per prima cosa calcolo la retta AB. La retta per AB ha equazione. y ym mab( x xm) y+ ( x y 4 q q' q+ 4 d KM m C(-,4) M(,-) CM + 0 Sostituendo ho che q q q da cui q0 e q-8 Scarto la seconda e prendo q0 e allora la retta diventa yx

2 c) per trovarmi la circonferenza inscritta. Basta che faccio l intersezione degli assi dei lati del trapezio. (ne bastano AB e DB per esempio). Per trovare il centro del trapezio isoscele inscritto al cerchio, trovo le coordinate del punto D e E Trovo la retta AC: B(,- C(-,4) D( ; ) m BC y 4 ( x+ ) y x 7 y x D DE CB: 7 x 7x x 0x x y Asse DB: ODOB ( x+ ) + ( x+ ) ( x ) + ( y+ x + x+ + y + y+ x+ y + 6y+ 9 x + + y+ 6y+ 9 0x+ 0y+ 0x+ + 0y+ 60x 40y 48 0 x y 6 0 x y 6 0 x ( x+ ) 6 0 0x y x x 0

3 Pag 94 n. 67. A(,0) e C(,) Area(ABCD)8 ABCD rombo. a) Per simmetria i gli altri vertici si trovano sull asse di AC. ( x ) + ( y 0) ( x + ( y ) x x+ y 6x+ 9+ y 4y+ 4 4x+ 4y 0 x+ y 0 a: y x+ Calcolo B( xy, ) a Cx (, x+ a Per calcolare B e D posso procedere in due modi. A partire dall area del rombo. AC BD Area( ABCD) modo svolto in classe Calcolo l area considerando solo il punto B( xy, ) a B( x, x+ ae il segmento BD lo AC BM calcolo come BDBM Area( ABCD) BM x + m + B M 8 x 8 da cui 8 4 x x da cui x0 e x4 Il segmento BM lo posso calcolare anche come BM ( x x ) + ( y y ) B M B M BM + x+ x+ + x x+ x+ ( ) ( ) x x+ E allora sostituendo all area 8 Da cui 8 6x 64x+ 64 elevando al quadrato ho che x 0 e x 4 6x 64x x 64x 0 Osserviamo che B e D appartengono entrambi all asse e quindi Calcolo B( xy, ) a B( x, x+ a nel calcolare D possiamo fare questo ragionamento considerando il punto medio di AC M (,). xb + xd xm quindi xd M xb 4 x yd ( x+ Da cui Dxy (, ) a D(4 x, x ) a E allora. AC BD x + m x + B D (4 ) 4

4 8 x 4 6 x 4 E allora 8 8 x 4 4 ) x 4 4 x 0 ) x 4 Quindi B(0, D(4,-) b) ortocentri. Osserviamo che gli ortocentri solo l incontro delle tre altezze. Occorre trovare l equazioni dell altezze. Una è l asse y Per trovare l equazione dell altezza AH. Facciamo il fascio di rette per A e perpendicolare alla retta BC. B(0, C(,) m BC y ya ( x xa ) y 0 ( x ) y (Retta AH) 0 m Ortocentro E In modo analogo si calcola F AB x x + x y Per calcolare la distanza dei due ortocentri EF EM EM xe xm + m da cui EF c) PH 6PK dpac (, ) 6 dpbd (, ) Trovo la retta BD: y e la retta AC y ya ( x xa ) y 0 ( x ) AC: y m BD Occorre trovare il punto P(x,y) P y x Px (, x ) tale che PH 6PK dpac (, ) 6 dpbd (, ) xp yp xp yp + 6 x ( x ) xp ( x ) x x x 6 x+ 4 4 x x+ 4 ) 4x x+ 4 8x 4 x y8 7 ) 4x x+ 4 6x 4 x y

5 d) dato che M(,) dobbiamo trovare le rette r : ymx+q 6 parallele a yx tali che dmr (, ) r:yx+q xm ym + q q 6 + q 6 ) q ) ) q 9 r:yx+ r:yx-9. dms (, ) r:y-x+q xm ym + q 4 4 +q + q ) q 8 ) ) q s:y-x+ r:y-x+8.

6 r:yx+ r:yx-9. s:y-x+ r:y-x+8. e) Rinomino I punti A,B,C e D secondo la nuova figura (sotto) x x x + + A 4 + B 4 9 D 4 x + y x + 8 y y y x + 7 y 7 6 Area( ABCD) Area( ABD) Perimetro( ABCD) ( AB + AD) ( + ) AB 9+ AD Oppure l area la possiamo calcolare in questo altro modo. Con distanza punto retta. 6 Area( ABCD) AD BH 8 + xb yb BH d( B, AD)

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