La retta. y 5 x ; 5y. Esercizio 6. 6 x 3. y x. Essendo ;,, i tre punti sono allineati.
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- Giuditta Scala
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1 La retta Esercizi Esercizio eterminare l equazione della retta passante per ; 7 e parallela alla retta. 7 ( ) ; 7 ;. Esercizio eterminare l equazione della retta passante per 7 e perpendicolare alla retta. 7 ( - ) ; 7 7 ; 6. Esercizio eterminare il coefficiente angolare della retta passante per i punti e. 6 m Esercizio eterminare l equazione della retta passante per i punti P ( ; -) e P (- ; ). 6 6 ; 6 8 ; 6 8 ; 6 7 ; 6 7. Esercizio Stabilire se i tre punti P (- ; -), P ( ; ), P ( ; ) sono allineati. 6 Essendo,, i tre punti sono allineati. Esercizio 6 eterminare l equazione segmentaria della retta passante per i punti ( ; 0) e B (0 ; ). L equazione della retta richiesta è. La Retta
2 La Retta Esercizio 7 eterminare il quarto vertice di un parallelogramma, i cui primi tre hanno coordinate (-; -), B (; ), (; ) ed essendo il vertice opposto al vertice B. Soluzione Il quarto vertice del parallelogramma è il punto di incontro delle rette e. La retta non è altro che la retta passante per il punto (-; -) e parallela alla retta B. Il coefficiente angolare della retta B è: B m La retta ha pertanto equazione: ) ( m B ) (. La retta non è altro che la retta passante per il punto (; ) e parallela alla retta B. Il coefficiente angolare della retta B è: B m La retta ha pertanto equazione: ) ( m B ) ( 0 Le coordinate del quarto vertice del parallelogramma sono date da: 6 6 Le coordinate del quarto vertice sono (; -). Soluzione Le coordinate del quarto vertice del parallelogramma possono essere determinate con le formule: B B Le coordinate del quarto vertice sono (; -). O B
3 Esercizio 8 eterminare la distanza del punto P (; ) dalla retta r: + 0. r Soluzione Per calcolare la distanza del punto P dalla retta r è necessario conoscere, oltre le H coordinate del punto P, le coordinate del punto H, piede della perpendicolare condotta dal punto P alla retta r. Il punto H è il punto di intersezione delle due rette PH ed r. alcoliamo pertanto l equazione della retta PH: a Il coefficiente angolare della retta r è m r b L equazione della retta PH (retta passante per il punto P e perpendicolare alla retta r) è: P ( P ) ; ( ) ( ) ; ; m r O P (; -) Le coordinate del punto H si ottengono risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle rette PH ed r: alcoliamo la misura dell altezza H: PH H 9 ; Soluzione La distanza del punto P dalla retta r si può calcolare velocemente con la formula: PH a b a b c ( ) (-) La Retta
4 Esercizio 9 eterminare l area del triangolo di vertici (; ), B ( ; ) e ( 6; ). Soluzione onsiderando il lato B come base del triangolo e il segmento H come la relativa altezza. L area del triangolo è data da: S B B H. alcoliamo la misura della base B: B Per calcolare la misura dell altezza H è necessario conoscere le coordinate del punto H. Il punto H è il punto di intersezione delle due rette B e H. alcoliamo pertanto le equazioni delle rette B e H. 6 6 L equazione della retta B è: ; avente coefficiente angolare. ; m B 6 L equazione della retta H è: m m B ;. Le coordinate del punto H si ottengono risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle rette B e H: 6 alcoliamo la misura dell altezza H: H 0 In definitiva l area del triangolo è S B Soluzione L area del triangolo può essere calcolata anche con la formula: S 7 ( 9 ) (-) B H (6, ) 7 9 H O H ( ( ; ) B (; -) 0 ) La Retta
5 Esercizio 0 eterminare il baricentro del triangolo avente vertici in ( ; ), B ( ; ), (0 ; ). Soluzione Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane. eterminiamo le coordinate del punto medio M del lato B: B c M 0 H (- ; ) B c M eterminiamo l equazione della mediana M: ; eterminiamo le coordinate del punto medio N del lato : c 0 N ; c N N eterminiamo l equazione della mediana BN: ( ) ( ) ; ; ; 0 eterminiamo le coordinate del baricentro G, punto incontro delle due mediane: 0 ( ) Il baricentro pertanto ha coordinate: G 8. B (-; ) M G (; ) N (0; ) Soluzione Le coordinate del baricentro possono essere calcolate anche con le formule: G 0 0 G 8 La Retta
6 Esercizio eterminare l ortocentro del triangolo avente vertici in ( ; ), B ( ; ), (0 ; ). Soluzione L ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre altezze. eterminiamo il coefficiente angolare della retta B: B (-; ) m B 0 eterminiamo l equazione dell altezza H: H ( ) ; ( ) ;. mb eterminiamo il coefficiente angolare della retta : m. 0 eterminiamo l equazione dell altezza BK: 7 B ( B ) ; ( ) ; m eterminiamo le coordinate dell ortocentro T, punto di incontro delle due altezze: L ortocentro ha pertanto coordinate: T. T (; ) K (0; ) Esercizio eterminare il circocentro del triangolo avente vertici in ( ; ), B ( ; ), (0 ; ). Soluzione Il circocentro di un triangolo è il punto di incontro dei tre assi. eterminiamo il punto medio M del lato B: B c M 0 B (-; ) B c M H (- ; ) M eterminiamo il coefficiente angolare della retta B: m B 0 eterminiamo l equazione dell asse del lato B: M ( M ) ; ( ) ; ;. mb eterminiamo il punto medio N del lato : c N 0 ; c N N S (; ) N (0; ) La Retta 6
7 eterminiamo il coefficiente angolare della retta : m. 0 eterminiamo l equazione dell asse del lato : N ( N ) ; m 6 eterminiamo le coordinate del circocentro S, punto incontro dei due assi: Il circocentro ha pertanto coordinate: S. 8 Esercizio L incentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre bisettrici. La Retta 7
8 Esercizi da svolgere Esercizio In ogni triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti, una delle quali è doppia dell altra. Verifica tale proprietà per il triangolo di vertici (-; -), B (; 6), (; ). Esercizio In ogni triangolo il baricentro, il circocentro e l ortocentro sono allineati. Verifica tale proprietà per il triangolo di vertici (; -), B (; ), (6; ). Esercizio In ogni triangolo il baricentro G, il circocentro E e l ortocentro H sono tali che HG GE. Verifica tale proprietà per il triangolo di vertici (-; -), B (; ), (6; ). Esercizio In ogni triangolo il segmento congiungente i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà. Verifica tale proprietà per il triangolo di vertici (-; 0), B (; ), (6; ). Esercizio In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente alla metà dell ipotenusa. Verifica tale proprietà per il triangolo di vertici (0; 0), B (; 6), (; -8). Esercizio 6 In ogni trapezio la congiungente i punti medi dei lati non paralleli è parallela alle basi e congruente alla loro semisomma. Verifica tale proprietà per il trapezio di vertici (0; 0), B (; 6), (; 0), (; -8). Esercizio 7 In ogni parallelogramma la somma dei quadrati delle lunghezze dei quattro lati è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze delle sue diagonali. Esercizio 8 etermina l area del triangolo individuato dalle rette di equazione 0, 0, + 0. Esercizio 9 ati tre vertici consecutivi di un parallelogramma (; ), B (; ), (7; 7), determina il quarto, 8 ] vertice, il perimetro e l area del parallelogramma. [ ( ; ), La Retta 8
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