CAPITOLO 2 ESERCIZI. a) A(2, 4) [y =4ex =2] d) D(3/2, 1) [y =1ex =3/2]

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1 CAPITOLO 2 ESERCIZI Rette parallele agli assi Es. 1 Scrivere l equazione del luogo dei punti aventi ordinata uguale a 5. [y =5] Es. 2 Scrivere l equazione del luogo dei punti aventi ascissa uguale a 3. [x = 3] Es. 3 Per ciascuno dei seguenti punti, scrivere le equazioni delle rette parallele all asse delle ascisse e all asse delle ordinate, e disegnare tali rette: a) A(2, 4) [y =4ex =2] b) B( 3, 0) [y =0ex = 3] c) C( 4, 2) [y = 2 ex = 4] d) D(3/2, 1) [y =1ex =3/2] e) E(0, 2) [y = 2 ex =0] f) F ( 2, 5/3) [y =5/3 ex = 2] g) G( 3, 2) [y = 2ex = 3] h) H(1, 7) [y = 7ex =1] Es. 4 Sia r la parallela all asse y passante per A(3/4, 2) e sia s la parallela all asse x passante per B(2/5, 4/3). Detto P il punto di intersezione tra le rette r ed s, determinare la distanza tra C ed O, origine del sistema di riferimento. [OC = 337/12] Es. 5 Verificare che i punti A( 1, 3), B(3, 3), C(5, 1), D( 1, 1) individuano un trapezio rettangolo, di cui si richiedono le equazioni delle rette contenenti le basi del trapezio. Calcolare quindi l area di detto trapezio. [y = 3, y =1A =5( 3 1)] Retta passante per l origine Es. 1 Per ciascuno dei seguenti punti, scrivere l equazione della retta passante per l origine e per il punto assegnato, e disegnare tali rette: a) A(2, 4) [y =2x] b) B( 3, 0) [y =0]

2 88 capitolo 2 c) C( 4, 2) [y = x/2] d) D(3/2, 1) [y =2x/3] e) E(0, 2) [x =0] f) F ( 2, 5/3) [y = 5x/6] g) G( 3, 2) [y = 2/3x] h) H(0, 2) [x =0] Es. 2 Determinare l equazione del luogo dei punti del piano aventi ordinata tripla dell ascissa e rappresentarlo graficamente. [y =3x] Es. 3 Determinare l equazione del luogo dei punti del piano aventi ascissa doppia dell opposto dell ordinata e rappresentarlo graficamente. [y = x/2] Es. 4 Scrivere l equazione della retta passante per l origine e che forma un angolo di 30 con l asse delle ascisse. [y = x/ 3] Es. 5 Scrivere l equazione della retta passante per l origine e che forma un angolo di 60 con l asse delle ascisse. [y = 3x] Es. 6 Scrivere l equazione della retta passante per l origine e che forma un angolo di 120 con l asse delle ascisse. [y = 3x] Es. 7 Scrivere l equazione della retta passante per l origine e che forma un angolo di 150 con l asse delle ascisse. [y = x/ 3] Es. 8 Una retta r passa per l origine e forma un angolo di 135 con l asse delle ascisse. Determinare l equazione della retta orizzontale e passante per il punto di ascissa 2 della retta r. [y = 2] Es. 9 Determinare, per ciascuna delle rette dell esercizio 1, l equazione della retta simmetrica rispetto all asse y e rispetto all asse x. [Applicare le trasformazioni di Tabella ] Es. 10 Determinare l ordinata del punto A di ascissa 3 appartenente alla retta passante per l origine e avente coefficiente angolare uguale a 2/5. [ 6/5] Es. 11 Verificare che il punti A(3, 2) e B( 1/3, 2/9) sono allineati con l origine O. [Trovare la retta per O e A e verificare che... ] Es. 12 Il triangolo isoscele OAB, dibaseao, hailverticeo coincidente con l origine del sistema di assi; si ha inoltre che A(6, 0) e che B appartiene alla retta di equazione y =4. Dopoavere determinato le coordinate di B, scrivere l equazione della retta passante per O eperb.[4x 3y =0] Es. 13 Determinare sulla retta di equazione y =2x un punto P tale che OP =4 5. [P ( 4, 8) P (4, 8)] Es. 14 Determinare sulla retta di equazione y =3x/4 un punto P tale che, detta H la sua proiezione ortogonale sull asse y, l area del triangolo OP H sia 24. [P (8, 6) P ( 8, 6)] Grafici

3 esercizi 89 Es. 1 In un sistema di assi cartesiani ortogonali tracciare il grafico delle seguenti funzioni: a) 3x 2y +5=0 ; y =2x 4 ; 2y 3x +1=0 b) 2x +3y 2=0 ; y = 3x +4 ; 2x y =0 c) y = 5x ; y = 2 ; y = x 3 d) 7x 3y +2=0 ; x = y +2 ; x y =4 e) y = x/2+ 2 ; y = x/ 3 1 ; 2x + 3y =1 Es. 2 In un sistema di assi cartesiani ortogonali tracciare il grafico delle seguenti funzioni: a) y = x ; y = x 2 ; y = x 2 b) y =2 x 1 ; y =3 x 2 +1 ; y = 2 x c) y = x + x ; y =1 2 x ; y =3 x +2 d) y = x + x 1 ; y = x 3 x +1 ; y = 2 x +1 x e) y = x /x ; y =(x +2)/ x +2 ; y = x +3x 2 f) x = y 1 ; x = y y ; y = x/ x g) y = x 2 /(x + x ) ; y =( x 2x)/x ; x =1+3 y /y Es. 3 In un sistema di assi cartesiani ortogonali tracciare il grafico delle seguenti funzioni: a) y = { x +1 perx>1 x per x 1 { x +1 perx>1 b) y = 2x per 1 <x 1 3 per x 1 { x +2 per x > 1 c) y = x per x 1 x per x>1 d) y = x 1 per 1 <x 1 1 per x 1 e) y = { 3x per x<0 2 per 0 x<3 x per x 3 ; y = { 2x per x>2 x 3 per x 2 { 3 per x 0 ; y = x per 0 <x<2 2 per x 2 { 3 per x < 2 ; y = 3 per x 2 { 3 per x 2 ; y = x +4 perx< 2 ; y = { 5 per x 2 2x +1 per x < 2

4 90 capitolo 2 Coefficiente angolare della retta Es. 1 Determinare il coefficiente angolare della retta passante per i due punti indicati: a) A(1, 1) ; B(4, 4) [m =1] b) A(2, 1) ; B( 7, 4) [m = 5/9] c) A(3, 4) ; B( 1, 0) [m =1] d) A( 2, 5) ; B(0, 2) [m =3/2] e) A( 1, 0) ; B(3, 2) [m =1/2] f) A( 4, 7) ; B(0, 8) [m =1/4] g) A(1, 4) ; B(1, 8) [m = ] h) A(1, 4) ; B( 2, 4) [m =0] i) A( 3, 1) ; B( 2, 1) [m = 2( 3+ 2)] l) A( 3, 5) ; B(1 + 3, 2 5) [m =3 5] Es. 2 Calcolare il coefficiente angolare delle seguenti rette: a) x + y +5=0 [m = 1] b) 3x y +8=0 [m =3] c) 2y =3x 4 [m =3/2] d) 3x +5y =0 [m = 3/5] e) 4x 8y 1=0 [m =1/2] f) y +3=0 [m =0] g) 2x = 6y 2 [m = 1/3] h) x 4=0 [m = ] Es. 3 Determinare l angolo formato da ciascuna delle seguenti rette con la direzione positiva dell asse x: a) x + y =0 [135 ] b) y = 3x [60 ] c) x + 3y =0 [150 ] d) 2y 5=0 [0 ] e) 2x +3=0 [90 ]

5 esercizi 91 Distanza tra due punti (seconda formula) Es. 1 Date le due curve calcolare l ascissa dei punti di intersezione A, B e, applicando la (8.21), determinare la distanza AB tra tali intersezioni: 2x + y 1=0 e xy y 2 +3x 1=0 [x A =1/3, x B =1, AB =2 5/3] Es. 2 Date le due curve calcolare l ascissa dei punti di intersezione A, B e, applicando la (8.21), determinare la distanza AB tra tali intersezioni: x + y 3=0 e x 4 + y 4 =17 [x A =1, x B =2, AB = 2] Es. 3 Date le due curve calcolare l ascissa dei punti di intersezione A, B e, applicando la (8.21), determinare la distanza AB tra tali intersezioni: x y =1 e x 2 + y 2 +3x 11 = 0 [x A =2, x B = 5/2, AB =9 2/2] Es. 4 Detti A, B i punti di intersezione tra le due curve date, applicando la (8.21) determinare la distanza AB: 2x 3y =0 e x 2 y 7=0 [AB =16 13/9] Es. 5 Detti A, B i punti di intersezione tra le due curve date, applicando la (8.21) determinare la distanza AB: y = x +1 e x 2 +3y 2 x y 2=0 [AB = 2] Es. 6 Detti A, B i punti di intersezione tra le due curve date, applicando la (8.21) determinare la distanza AB: y = 3x 1 e 5x 2 y 2 + x +1=0 [AB =4 3+2] Equazione della retta in forma implicita Es. 1 Per ciascuna delle seguenti rette poste in forma implicita determinare il coefficiente angolare e l ordinata dell intersezione della retta con l asse delle y; disegnare quindi il grafico: a) x +2y 3=0 [m = 1/2, q =3/2] b) 2x y 2=0 [m = 2, q = 2] c) 3x 2y 1=0 [m =3/2, q = 1/2] d) 3x 2y + 2=0 [m = 3/2, q = 2/2] e) x/2 3y/4+2=0 [m =2/3, q =8/3]

6 92 capitolo 2 Es. 2 Tracciare il grafico della retta 2x y 3 = 0 e verificare che la retta passa per P (1, 1) e non passa per Q(2, 8). Es. 3 Tracciare il grafico della retta x 4y + 1 = 0 e verificare che la retta passa per P (3, 1) e non passa per Q(1, 4). Es. 4 Tracciare il grafico della retta 2x 3y 2 = 0 e verificare che la retta passa per P ( 3, 2 2/ 3) e non passa per Q(0, 2). Es. 5 Tracciare il grafico della retta x + 3y 1 = 0 e verificare che la retta passa per P (0, 1/ 3) e non passa per Q(2, 0). Es. 6 Tracciare il grafico della retta x + 3 = 0 e verificare che la retta passa per P ( 3, 1) e non passa per Q(4, 3). Es. 7 Tracciare il grafico della retta y + 3 = 0 e verificare che la retta passa per P ( 3, 3) e non passa per Q( 2, 5). Condizioni di parallelismo e perpendicolarità Es. 1 Per ciascuna delle seguenti coppie di rette stabilire, analizzando i coefficienti angolari, se sono parallele, perpendicolari o incidenti non perpendicolari: a) 2x 3y +1=0 ; 4x 6y + 5 = 0 [parall.] b) x 3y =0 ; 3x y = 0 [incid.] c) y = 4x +5 ; 4y x = 0 [perpend.] d) x +3y 1=0 ; 2x 3y + 2 = 0 [incid.] e) x +2y +7=0 ; 3x +6y + 1 = 0 [parall.] f) x +2y 5=0 ; 2x y 7 = 0 [perpend.] g) x 2=0 ; y + 3 = 0 [perpend.] h) 2x + 3y +1=0 ; 2x + 6y 4 = 0 [parall.] Es. 2 Assegnati il punto A e la retta r, scrivere l equazione della perpendicolare ad r passante per A:

7 esercizi 93 a) A(1, 5) ; r : x 4y =0 [4x + y 9=0] b) A( 7, 2) ; r : x =3 [y =2] c) A(0, 0) ; r : x 2y =0 [2x + y =0] d) A(4, 6) ; r : y =2x [y = x/2+8] e) A( 5, 8) ; r : x + 5=0 [y =8] f) A(3, 4) ; r :3x +2y 1=0 [2x 3y 18 = 0] g) A( 3/4, 1/3) ; r : x +6y =0 [36x 6y +29=0] h) A(0, 0) ; r : x 3y +1=0 [y = 3x] i) A( 1, 3) ; r : 2x + y +1=0 [x 2y 3 2+1=0] l) A( 4, 5) ; r : y 2=0 [x +4=0] Es. 3 Per il punto (2, 1) condurre la retta parallela alla congiungente i punti (2, 3) e (3, 0). [y = 3x +5] Es. 4 Per il punto ( 1, 0) condurre la retta parallela alla congiungente i punti (3, 1) e ( 2, 3). [4x 5y +4=0] Es. 5 Verificare che la retta passante per i punti (2, 3) e ( 4, 1) è perpendicolare alla retta 3x 2y +8=0. Es. 6 Calcolare l ortocentro del triangolo di vertici ( 7, 7), ( 1, 1), (5, 11). [( 3, 5)] Es. 7 Calcolare l ortocentro del triangolo di vertici ( 4, 3), (1, 8), (1, 2). [(0, 3)] Es. 8 Assegnati il punto A e la retta r, scrivere l equazione della parallela ad r passante per A: a) A(1, 2) ; r : x 4y +5=0 [x 4y +7=0] b) A(0, 4) ; r : x =5 [x =0] c) A(1, 2) ; r : y =7 [y =2] d) A( 1, 4) ; r : y = x [x y 3=0] e) A(3, 4) ; r : y = 4x +9 [y = 4x + 16] f) A(5, 5) ; r : x +6y 2=0 [x +6y 35 = 0] g) A( 2, 1) ; r : 2x 3y =0 [ 2x 3y 5=0] h) A( 1/2, 1/2) ; r :4x + y 2=0 [8x +2y +5=0] Posizione reciproca tra due rette Es. 1 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date:

8 94 capitolo 2 r : y +2=0 ; s : x + y =0 [P (2, 2)] Es. 2 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r : x =1 ; s : x +2y +1=0 [P (1, 1)] Es. 3 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r : x 3y +4=0 ; s :2x =6y 7 [le rette sono parallele... ] Es. 4 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r : x = y +5 ; s :11x 9y +45=0 [P (0, 5)] Es. 5 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r : x + 3y 2=0 ; s : 5x 2y 2 5=0 [P (2, 0)] Es. 6 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r : 3x +2y 3=0 ; s :2x 3y +5 3=0 [P ( 3, 3)] Es. 7 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r : x =2y/5 3/5 ; s :10x 4y + 6 = 0 [le rette coincidono... ] Es. 8 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r :2x 5y +1=0 ; s : 5x 2y =0 [P (2, 5)] Es. 9 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r :2x 3y =0 ; s : x + y +5=0 [P ( 3, 2)] Es. 10 Calcolare le coordinate del punto di intersezione P tra le rette r ed s date: r : 3x y =0 ; s : 3x + y 6=0 [P ( 2/2, 6/2)] Fascidirette Es. 1 Dato il punto A(1, 2) e la retta r : y =2x + 3, scrivere l equazione del fascio di rette F : y y 0 = m(x x 0 )passantipera; tra le rette del fascio determinare quindi le equazioni della retta s parallela ad r e della retta t perpendicolare ad r. [F : y 2=m(x 1), s : y =2x, t : x +2y 5=0]

9 esercizi 95 Es. 2 Dato il punto A( 1, 3) e la retta r : x 3y 3 = 0, scrivere l equazione del fascio di rette F : y y 0 = m(x x 0 ) passanti per A; tra le rette del fascio determinare quindi le equazioni della retta s parallela ad r e della retta t perpendicolare ad r. [F : y +3=m(x +1), s : x 3y 8=0, t :3x + y +6=0] Es. 3 Dato il punto A(0, 2) e la retta r : x + y 4 = 0, scrivere l equazione del fascio di rette F : y y 0 = m(x x 0 ) passanti per A; tra le rette del fascio determinare quindi le equazioni della retta s parallela ad r e della retta t perpendicolare ad r. [F : y +2=mx, x + y +2=0, t : x y 2=0] Es. 4 Dato il punto A( 1/2, 3/2) e la retta r : x 2y + 2 = 0, scrivere l equazione del fascio di rette F : y y 0 = m(x x 0 )passantipera; tra le rette del fascio determinare quindi le equazioni della retta s parallela ad r e della retta t perpendicolare ad r. [F : y 3/2 =m(x +1/2), s :2x 4y +7=0, t :4x +2y 1=0] Es. 5 Dato il fascio di rette di equazione: (k +2)x +(k 1)y 3=0 determinare i valori del parametro reale k cui corrisponde una retta: a) passante per il punto A( 1, 2); [k =7] b) parallela all asse y; [k = 1] c) parallela all asse x. [k = 2] Es. 6 Dato il fascio di rette di equazione: y = 2 a 2a x + 1 a 2a con a 0 determinare i valori del parametro reale a cui corrisponde una retta: a) passante per il punto A(1, 2); [a =1/2] b) parallela all asse y; [nessun valore di a] c) parallela all asse x; [a = 2] d) formante con l asse x un angolo di 45 ; [a =2/3] e) formante con l asse x un angolo di 135. [a = 2] Es. 7 Dato il fascio di rette di equazione: y = 1 k x + k +2 conk 0 k determinare i valori del parametro reale k cui corrisponde una retta:

10 96 capitolo 2 a) passante per il punto A(0, 2); [nessun valore di k] b) passante per il punto B(1, 1); [nessun valore di k] c) passante per il punto C(0, 3); [k =1] d) passante per il punto D(3, 3); [k =1 k =3] e) formante con l asse x un angolo acuto; [0 < k < 1] f) parallela alla retta x 5y +13=0; [k =5/6] g) perpendicolare alla retta 3x 2y +1=0; [k =3] Es. 8 Dato il fascio di rette di equazione: (k 1)x + y + k 2=0 determinare i valori del parametro reale k cui corrisponde una retta: a) verticale; [nessun valore di k] b) orizzontale; [k =1] c) passante per l origine degli assi; [k =2] d) passante per il punto A(1, 2); [k =1/2] e) non passante per il punto B( 2, 3); [k 3] f) passante per il punto C( 1, 3); [nessun valore di k] g) passante per il punto D( 1, 1). [ k] Es. 9 Dato il fascio di rette di equazione: (k 1)x (k 2)y +1 2k =0 determinare i valori del parametro reale k cui corrisponde una retta: a) passante per il punto A( 2, 0); [k = 2/2] b) intersecante l asse y in punti di ordinata positiva; [1/2 <k<2] c) intersecante l asse x in punti di ascissa negativa o nulla. [1/2 k < 1] Es. 10 Dato il fascio di rette di equazione: (k 2)x +(1 2k)y +1=0 determinare i valori del parametro reale k cui corrisponde una retta:

11 esercizi 97 a) parallela alla retta y =2x 3; [k =0] b) perpendicolare alla retta 3x y +4=0; [k =7/5] c) parallela alla bisettrice del I e III quadrante; [k = 1] d) parallela alla retta x 2y + 6 = 0; [nessun valore di k] e) perpendicolare alla retta (2 + 3k)x + y 1=0. [k =1± 2] Es. 11 Dato il fascio di rette di equazione: y = kx + k 2 determinare i valori del parametro reale k cui corrisponde una retta: a) parallela alla retta y = 3x +1; [k = 3] b) perpendicolare alla retta 2x y +2=0; [k = 1/2] c) formante con l asse x un angolo ottuso; [k < 0] d) formante con l asse x un angolo compreso tra 30 e45. [ 3/3 <k<1] Es. 12 Dato il fascio di rette di equazione: (2 + k)x +(1 2k)y +3k =0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: a) il centro C del fascio; [C( 3/5, 6/5)] b) la retta del fascio perpendicolare alla retta y = x; [5x +5y 3=0] c) le rette del fascio che distano 1/5 dal punto (1, 1). [5y 6=0 16x +63y 66 = 0] Es. 13 Dato il fascio di rette di equazione: (2 k)x +3(2 k)y +3k =0 conk 2 dopo avere verificato che si tratta di un fascio improprio, determinare: a) le rette del fascio che distano 10 dal punto (2, 0); [x +3y +8=0 x +3y 12 = 0] b) se la retta x +3y 5 = 0 appartiene al fascio. [Sì] Es. 14 Dato il fascio di rette di equazione: (k 3)x 2ky +5 k =0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare:

12 98 capitolo 2 a) le generatrici del fascio; [x 2y 1=0, 3x 5=0] b) il centro del fascio; [(5/3, 1/3)] c) la retta del fascio passante per l origine; [x 5y =0] d) la retta del fascio parallela alla retta y = x; [3x 3y 4=0] e) la retta del fascio perpendicolare alla retta x 4y =0. [4x + y 7=0] Es. 15 Dato il fascio di rette di equazione: kx +3(2 k)y +1 k =0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: a) le generatrici del fascio; [x 3y 1 = 0, 6y + 1 = 0] b) il centro del fascio; [(1/2, 1/6)] c) la retta del fascio passante per ( 2, 1); [7x +15y 1=0] d) la retta del fascio parallela alla retta 2x + y +4=0; [12x +6y 5=0] e) la retta del fascio perpendicolare alla retta y = x/3; [9x 3y 5=0] f) le rette del fascio che staccano sull asse y un segmento di lunghezza 4/3. [9x +3y 4=0 7x 3y 4=0] Es. 16 Dopo avere scritto l equazione del fascio proprio individuato dalle rette di equazione 3x y +1=0 e x + y +4=0 determinare: a) le rette del fascio parallele agli assi; [x = 5/4, y = 11/4] b) la retta del fascio passante per (5, 5); [31x 25y 30 = 0] c) la retta del fascio parallela alla retta 7x y +1=0. [7x y +6=0] Es. 17 Date le rette r :(a 1)x + y a +2=0 e s : ax +(2a 1)y +2=0 determinare per quali valori del paramentro reale a: a) r ed s sono parallele; [a =(2± 2)/2] b) r èorizzontale; [a =1]

13 esercizi 99 c) s èverticale; [a =1/2] d) r ed s si intersecano in un punto della retta x =1. [a =3] Es. 18 La retta kx + y + k 5 = 0 interseca l asse x nel punto A e l asse y in B. Determinare k R in modo tale che la misura dell area del triangolo OAB sia 8. [k =1 k = 25] Es. 19 La retta (3k 4)x +(2k 1)y 2 5k = 0 interseca l asse x nel punto A e l asse y in B. Determinare k R in modo tale che la misura dell area del triangolo OAB sia 12. [k =2 k =46/119] Es. 20 Date le rette r : ax +(a +1)y 2(a +2)=0 e s :3ax (3a +1)y (5a +4)=0 determinare per quali valori del parametro: a) r ed s sono parallele; [a =0 a =1/3] b) r ed s sono perpendicolari. [a = 1/2] Es. 21 Date le rette r :(a 1)x + ay +3=0 e s : ax +(a +2)y 4=0 determinare per quali valori del parametro: a) r ed s sono parallele; [a =2] b) r ed s sono perpendicolari. [a =0 a = 1/2] Es. 22 Determinare il valore di k per il quale le due rette x + ky 5=0e2x 3y 1=0nonsi intersecano. [k = 3/2] Es. 23 Determinare i valori di k per i quali le due rette kx +5y 5=0e5x + ky 1=0sono incidenti. [k ±5] Es. 24 Determinare i valori di k, h per i quali le due rette x 3y 5=0ekx + hy 10 = 0 hanno infiniti punti in comune. [k =2, h = 6] Es. 25 Date le rette r :(2a 1)x + y 3a =0 e s :3ax 2y + a 1=0 determinare per quali valori del parametro: a) r ed s sono parallele; [a =2/7] b) r ed s sono incidenti. [a 2/7]

14 100 capitolo 2 Es. 26 Determinare i valori di k, h per i quali l equazione (k 2h+1)x+(4k 5h 2)y +5k 6 =0 non rappresenta una retta. [k =3, h =2] Es. 27 Discutere, al variare di k, la posizione reciproca delle rette (3k +1)x (6k +1)y 6k =0 e (1 k)x 3ky + k 1=0 [k = 1/3: coincidenti; k = 1/5: parallele; k 1/3, 1/5: incidenti] Es. 28 Determinare i valori di k per i quali l equazione (k 2 6k +5)x +(k 2 1)y +2k =0non rappresenta una retta. [k =1] Es. 29 Determinare i valori di k per i quali le due rette di equazioni 2(k +1)x + y 3 k =0e x 2(1 k)y 2k 1 = 0 si incontrano un un punto della retta di equazione y = x +4. [k =3/2 k = 4/5] Es. 30 Determinare l equazione della retta passante per ( 1, 2) e di coefficiente angolare 2. 1 [y =2x +4] Es. 31 Scrivere l equazione della retta passante per il punto di intersezione delle rette x 2y +5 = 0 e5x + y + 3 = 0 e parallela alla retta 3x + y 1=0. [3x + y +1=0] Es. 32 Scrivere l equazione della retta passante per il punto di intersezione delle rette 3x y +1 = 0 e x +2y 8 = 0 e perpendicolare alla retta 2x + y 10 = 0. [7x 14y +44=0] Es. 33 Per il punto ( 5, 3) condurre la perpendicolare alla retta 2x + y 5=0etrovarele coordinate del piede della perpendicolare. [x 2y +11=0, ( 1/5, 27/5)] Es. 34 Trovare le coordinate della proiezione del punto ( 3, 4) sulla retta 2x 3y 8=0. [(1, 2)] Es. 35 Scrivere l equazione del fascio (improprio) F di rette parallele alla retta data e l equazione del fascio (improprio) G di rette perpendicolari alla retta data: a) x +2y 5=0 [F : x +2y + k =0, G :2x y + k =0] b) 4x y +5=0 [F :4x y + k =0, G : y = x/4+k] c) x + y +5=0 [F : x + y + k =0, G : x y + k =0] d) y = x/7+2 [F : y = x/7+k, G : y = 7x + k] e) 2x +3y +9=0 [F :2x +3y + k =0, G :3x 2y + k =0] f) 3x 3y 5=0 [F : 3x y + k =0, G : x + 3y + k =0] g) y =1/5 [F : y = k, G : x = k] Es. 36 Dato il fascio di rette generato dalle rette: r : x +4y 5=0 e t : x 5y +4=0 1 Svolgere questo esercizio ed i seguenti quattro preferibilmente utilizzando il metodo dei fasci di rette.

15 esercizi 101 determinare: a) il centro C del fascio; [C(1, 1)] b) la retta r 1 del fascio perpendicolare ad s; [4x y 3=0] c) l area del triangolo ABC, dovea è l intersezione di r con l asse x e B l intersezione di r 1 con l asse y; [A = 17/2] d) le rette del fascio che intersecano AB. [k(x +4y 5) + x 5y +4=0, k 19/17] Retta per due punti Es. 1 Scrivere l equazione della retta passante per le seguenti coppie di punti (risolvere l esercizio applicando due metodi... ): a) A( 2, 3) ; B(2, 1) [x + y 1=0] b) A( 1, 3) ; B( 1, 4) [x +1=0] c) A(2, 3) ; B( 3, 0) [3x +( 3 2)y 3 3=0] d) A( 1, 1/2) ; B(2/3, 5/4) [9x +20y +19=0] e) A(3, 2) ; B( 4, 2) [y +2=0] Es. 2 Stabilire se i punti A( 2, 1), B(3, 0), C(2, 3) sono allineati o no. Es. 3 Stabilire se i punti A( 2, 5), B( 4, 7), C( 2, 5) sono allineati o no. Es. 4 Stabilire se i punti A(1, 1), B(2, 2), C(3, 3) sono allineati o no. [No] [Sì] [No] Es. 5 Stabilire per quali valori di k i punti A(1, 3), B( 1/2, 0), C(k 1,k+ 3) sono allineati. [k =4] Es. 6 Determinare il baricentro del triangolo di vertici A(1, 8), B(3, 1), C( 4, 3). [(0, 2)] Es. 7 Determinare il baricentro del triangolo di vertici A(5, 0), B(1, 2), C( 3, 2). [(1, 4/3)] Es. 8 Determinare il baricentro del triangolo di vertici A(0, 1/3), B(1, 2), C(4, 1). [(5/3, 8/9)] Distanza di un punto da una retta Es. 1 Calcolare la distanza del punto A dalla retta r dati:

16 102 capitolo 2 a) A(3, 2) ; r : y = x 3 [d = 2] b) A( 1, 0) ; r : y =2x 4 [d =6 5/5] c) A(2, 2) ; r : y = x 2 [d = 2] d) A(1, 2) ; r : y = 2x/3 5/3 [d = 13/13] e) A( 2+1, 1) ; r : y = x/ 2+2/ 2 [d = 3] Es. 2 Calcolare la distanza del punto A dalla retta r dati: a) A(1, 1) ; r :2x 3y 17 = 0 [d =18 13/13] b) A(0, 4) ; r :3x +4y 7=0 [d =23/5] c) A(0, 0) ; r :4x 7y +5=0 [d = 65/13] d) A(1/3, 2/3) ; r :3x 6y +1=0 [d =2 /15] e) A(0, 0) ; r :4x +3y +1=0 [d =1/5] f) A(3/5, 4) ; r :5x +3y +9=0 [d =0] g) A( 1, 7) ; r : x =4 [d =5] h) A( 11/5, 7) ; r : y = 1 [d =8] Es. 3 Dato il fascio di rette di equazione: (1 + 2k)x +(k 2)y +4+k =0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: a) le rette del fascio parallele agli assi; [x = 6/5, y = 7/5] b) le rette del fascio che distano 2/5 dall origine O; [75x +40y +34=0, 3x +4y 2=0] c) la retta del fascio passante per P (2, 4); [13x 16y +38=0] d) l area del triangolo OCP, dovec è il centro del fascio. [19/5] Es. 4 Determinare l area dei triangoli ABC dati: a) A(2, 2) ; B(6, 1) ; C( 4, 3) [7] b) A(0, 6) ; B(1/2, 2) ; C(4, 4) [15/2] c) A(4/3, 5) ; B( 4, 6) ; C(7, 0) [21/2] Es. 5 Determinare l area dei triangoli di cui sono date le equazioni dei lati: a) x +2y 3=0 ; 3x + y 2=0 ; y = x [3/10] b) y = 3 ; y = x ; y =2x +1 [25/3] c) y = 4x ; x + y 4=0 ; x y = 4 [256/15]

17 esercizi 103 Es. 6 Determinare i punti dell asse x aventi distanza 2 53 dalla retta di equazione 7x +2y 1=0. [( 15, 0) (107/7, 0)] Es. 7 Determinare i punti della retta 5x + y +4=0chedistano3/ 2 dalla retta x + y 3=0. [( 5/2, 17/2) ( 1, 1)] Es. 8 Determinare la distanza tra le rette parallele di equazioni 2y = x 4e3x 6y +4=0. [d =16/(3 5)] Es. 9 Determinare le rette parallele alla retta r : x 7y + 1 = 0 e che distano da r 2. [x 7y 9=0, x 7y +11=0] Es. 10 Determinare i punti (2,k) equidistanti dalle rette 3x +4y 2=0e4x +3y +1=0. [(2, 5) (2, 13/7)] Es. 11 Dato il fascio di rette di centro C generato dalle rette: r : x + y 4=0 e s :3x y 4=0 a) scrivere l equazione della retta p r ; [y = x] b) scrivere l equazione della retta t s e passante per O; [y = 3x] c) determinare l area del trapezio OCDF, doved è il punto di intersezione tra t ed r, ef il punto di intersezione tra s e l asse x; [10/3] d) stabilire se il triangolo OCD è inscrittibile in una semicirconferenza e, in caso affermativo, determinarne centro e raggio; [centro: (1/2, 3/2); r= 10/2] e) determinare circocentro e ortocentro del triangolo OCF; [(2/3, 4/3); (2, 2/3)] f) determinare le rette del fascio che distano meno di 1 da O. Asse di un segmento Es. 1 Scrivere l equazione dell asse del segmento avente come estremi i punti A( 2, 1) e B(3, 1). [10x 4y 5=0] Es. 2 Scrivere l equazione dell asse del segmento avente come estremi i punti A(1/2, 1) e B(1, 1). [4x +16y 3=0] Es. 3 Scrivere l equazione dell asse del segmento avente come estremi i punti A( 2, 1) e B( 2, 5). [y =3] Es. 4 Scrivere l equazione dell asse del segmento avente come estremi i punti A(3, 1) e B(7, 1). [x =5] Es. 5 Determinare il circocentro del triangolo di vertici A(6, 4), B(5, 1), C(2, 2). [(4, 3)] Es. 6 Determinare il circocentro del triangolo di vertici A(1, 0), B(4, 0), C(3, 2). [(5/2, 1/2)] Es. 7 Determinare il perimetro, l area ed il circocentro K del triangolo di vertici A(2, 0), B(0, 4), C( 2, 2). [2P =2( 2+2 5), A =6, K(1/3, 5/3)]

18 104 capitolo 2 Es. 8 Determinare il circocentro del triangolo di vertici A( 2, 0), B(3, 4), C(4, 1). [(31/38, 61/38)] Es. 9 Determinare un punto equidistante dai punti A(0, 1), B(1, 0), C(3, 3). [(17/10, 17/10)] Es. 10 Determinare un punto sull asse y equidistante dai punti A(2, 3) e B(5, 1). [(0, 13/4)] Es. 11 Determinare sulla retta 2x y + 1 = 0 un punto equidistante dai punti A(5, 0) e B(2, 1). [(9/5, 23/5)] Es. 12 Determinare sulla retta 3x + y 5 = 0 un punto equidistante dai punti A( 3, 1) e B(5, 1). [( 1, 8)] Es. 13 Il triangolo isoscele ABC ha il vertice C sulla retta x +2y 10 = 0 e gli estremi della base nei punti A( 2, 1) e B(4, 2). Determinare il circocentro del triangolo. [(23/16, 3/8)] Es. 14 I vertici di un triangolo sono A(2, 1), B(5, 2), C(k, 1); si sa inoltre che il circocentro ha ordinata nulla. Determinare l ascissa di C. [x C =2 x C =6] Es. 15 Determinare perimetro, area, baricentro G, ortocentroh e circocentro K del triangolo di vertici A(1, 1), B(3, 2), C( 1, 5). [2P = , A =9, G(1, 2), H(10/3, 19/9), K( 1/6, 35/18)] Bisettrice di un angolo Es. 1 Determinare le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette r ed s date: a) r :8x 15y 7=0 ; s :3x +4y 2=0 [91x 7y 69 = 0, 11x + 143y +1=0] b) r : x +3y 6=0 ; s :2x 6y +5=0 [12y 17 = 0, 4x 7=0] c) r :3y 4x 1=0 ; s : x =0 [x +3y 1=0, 9x 3y +1=0] d) r :4x 3y 7=0 ; s : y +1=0 [x 2y 3=0, 2x + y 1=0] Es. 2 Determinare le coordinate dell incentro del triangolo di vertici A(4, 5/2), B(6, 1), C(2, 1). [(4, 5/3)] Es. 3 Dato il fascio di rette di equazione: (k 1)x (k 2)y + k =0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: a) il centro del fascio; [( 2, 1)] b) la retta r del fascio passante per l origine; [x 2y =0] c) la retta s del fascio passante per A(0, 3); [2x y +3=0] d) le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r ed s; [x + y +3=0, x y +1=0] e) le rette del fascio che hanno distanza 1 dall origine. [y = 1, 4x 3y +5=0]

19 esercizi 105 Es. 4 Dato il fascio di rette di equazione: (4k +3)x (k 1)y 3k 4=0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: a) la retta r del fascio passante per (5, 4); [3x 4y +1=0] b) la retta s del fascio perpendicolare ad r; [4x +3y 7=0] c) le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r ed s. [x +7y 8=0, 7x y 6=0] Es. 5 Dato il fascio di rette di equazione: (2 + k)x 3ky +1=0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: a) le generatrici e il centro del fascio; [2x + 1 = 0, x 3y = 0, ( 1/2, 1/6)] b) la retta r del fascio parallela alla bisettrice del I e III quadrante; [3x 3y +1=0] c) le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r e dall asse y; [3(1± 2)x 3y +1=0] d) dati i punti A(3, 0) e B(0, 1), un punto D su r in modo che l area del triangolo ABD sia 4. [D 1 (5/2, 17/6), D 2 ( 3/2, 7/6)] Es. 6 Dato il fascio di rette di equazione: (2k +1)x 4ky +3+2k =0 dopo avere verificato che si tratta di un fascio proprio, determinare: a) il centro del fascio; [( 3, 1)] b) la retta r del fascio parallela alla bisettrice del II e IV quadrante; [x y +2=0] c) detto H l intersezione tra le rette del precedente punto (b), determinare l area del triangolo CHO,dove O è l origine del sistema; [2] d) i valori di k per i quali le rette del fascio intersecano il segmento HO; [k 3/2, k 1/2] e) le bisettrici degli angoli formati dalle rette CO e CH. [( 5 ± 1)x ( 5 ± 3)y +2 5=0] Es. 7 Dato il fascio di rette di centro C generato dalle rette: determinare: r : x +3y 4=0 e t :2x y 1=0

20 106 capitolo 2 a) l equazione della retta s perpendicolare a r; [3x y 2=0] b) le equazioni delle bisettrici degli angoli formati da r edas; [x 2y +1=0, 2x + y 3=0] c) l area del triangolo CB 1 B 2,doveB 1 e B 2 sono le intersezioni delle bisettrici con l asse y, eil centro K della circonferenza circoscritta a tale triangolo; [A = 5/4, K(0, 7/4)] d) le equazioni delle rette parallele a r eaventidistanza1dar. [x +3y 4 ± 10 = 0] Equazioni parametriche di un luogo Es. 1 Porre in forma parametrica le rette di cui sono date le equazioni: a) x +2y 3=0 [x = t, y =(3 t)/2] b) x 6y +2=0 [x = t, y =(t +2)/6] c) 3x 2y 1=0 [x = t, y =(3t 1)/2] d) 2x + y 2=0 [x = t, y =2t +2] e) x + 2y 4=0 [x = t, y =(4 t)/ 2] Es. 2 Porre in forma cartesiana i luoghi geometrici assegnati in forma parametrica: a) b) c) { x = t 2 y = t 2 + t { x = t 1 y =2t +3 { x =(2t +3)/5 y = 2t 9 [y = x 2 +5x +6] [y =2x +5] [5x + y +6=0] Es. 3 Scrivere l equazione del luogo dei punti di intersezione delle rette di equazione kx +(k + 1)y +1=0e(1 k)x +(2 k)y +2=0. [x +3y +3=0] Es. 4 Scrivere l equazione del luogo dei punti medi dei segmenti AP,doveA ha coordinate (2, 3) e P appartiene alla retta 4x y +4=0. [8x 2y 1=0] Es. 5 Dati i punti A(1, 3) e B(4, 5), si consideri un punto C appartenente alla retta x = 0. Determinare il luogo dei baricentri del triangolo ABC. [3x 5 = 0] Es. 6 Dati i punti A(4, 1) e B(10, 3), si consideri un punto C appartenente alla retta x y +5=0. Determinare il luogo dei baricentri del triangolo ABC. [3x 3y 5 = 0]

21 esercizi 107 Problemi sulla retta Es. 1 Detto C il punto in cui l asse del segmento di estremi A( 3, 3) e B(1, 5) incontra l asse x, calcolare le coordinate del punto D equidistante da A, B e C. Determinare quindi il rapporto R traleareedeitriangolibcd e ABD. [D( 1/4, 5/2), R =5/6] Es. 2 Dati i due punti A( 1, 1) e B(2, 2), scrivere l equazione del luogo dei punti C per i quali risulta 6 l area del triangolo ABC. [x + y ± 4=0] Es. 3 I punti A(2, 1), B(4, 6), C( 1, 4), D( 3, 1) sono i vertici di un rombo. Verificare che i quattro lati sono uguali, che i lati opposti sono paralleli, che le diagonali sono perpendicolari e si dimezzano. Es. 4 Dal punto A( 1, 4) si conduca la retta passante per l origine, e dal punto B(4, 1) si conduca la retta parallela alla bisettrice del I e III quadrante, indicando con C il punto che le suddette rette hanno in comune. Detto D il punto posto, sul prolungamento del segmento BC, oltrec e alla distanza 8 2/5 dac, siverifichichelarettaad è parallela all asse y e si calcoli l area A del trinagolo ABD. [A = 20] Es. 5 Verificare che i punti A( 1, 2), B( 2, 3), C(4, 1) sono i vertici di un triangolo rettangolo isoscele, e che l altezza h, relativa all ipotenusa i, è uguale alla metà dell ipotenusa stessa. [i =2 13, h = 13] Es. 6 Sull asse x è dato il punto A e sull asse y è dato il punto B, inmodotalecheoa =3OB. Determinare l equazione della retta AB sapendo che passa per il punto C( 1, 2). [x 3y +7=0 x +3y 5=0] Es. 7 Date le rette di equazioni 2x +(k 1)y 3=0e3x (k 2)y + 1 = 0, determinare k in modo che i triangoli che ciascuna di esse forma con gli assi cartesiani siano equivalenti. [k =52/25 k =56/29] Es. 8 La retta r :2x + y 2 = 0 interseca l asse x in A; la retta s, parallela ad r epassanteper P ( 1, 8), interseca l asse x in B. Determinare l equazione della retta passante per l origine e che interseca r in D e s in C, in modo che il trapezio ABCD sia isoscele. [4x 3y =0] Es. 9 Nel triangolo ABC il vertice C appartiene al semiasse positivo delle Y e gli altri due vertici sono A( 2, 1) e B(4, 3). Determinare le coordinate di C sapendo che la mediana relativa ad AB misura 17 e trovare le equazioni delle mediane relative agli altri due lati. [(0, 6), x+10y 34 = 0, 7x +8y +22=0] Es. 10 Determinare sulla bisettrice del I e III quadrante un punto C sapendo che è equidistante da A(6, 0 e da B(2, 2); calcolare l area del triangolo ABC. [C(7, 7), area = 15] Es. 11 Condurre per il punto di intersezione delle rette 3x +4y 8=0ex +3y 1 = 0 le parallele alle rette x+y =0ey 2x = 0: determinare che tipo di triangolo è quello che tali parallele formano con la retta 2y x = 0. [isoscele] Es. 12 I punti A( 1, 2) e B(1, 2) sono vertici consecutivi di un rombo; determinare la misura dell area A del rombo, sapendo che la diagonale maggiore AC sta su una retta di coefficiente angolare 1. [A = 12]

22 108 capitolo 2 Es. 13 Determinare sull asse del segmento di estremi A( 3, 3) e B(1, 1) un punto equidistante dalle rette di equazione 4x +3y +1=0e24x +7y 5=0. [( 13/2, 9/2) ( 2/3, 4/3)] Es. 14 Il triangolo isoscele ABC ha il vertice C sulla retta y = 7 e gli estremi della base nei punti A(0, 2) e B(4, 0). Condurre per C la perpendicolare alla retta AC che incontra in D l asse x e calcolare il rapporto R traleareedeitriangoliabc e BDC. [C(5, 7), R =15/28] Es. 15 Determinare sull asse y un punto P in modo che una retta passante per P edicoefficiente angolare 1/2 formi con le rette di equazione x y =0ey + x 4 = 0 un triangolo di area 12. [P (0, 2) P (0, 4)] Es. 16 Nel triangolo di vertici A(k, 0), B(3k, 2), C(7, 5) il baricentro G appartiene alla retta x + y 6 = 0. Verificare che il triangolo è isoscele, e che la distanza tra baricentro e circocentro K è AB/6. [k =2, G(5, 1), K(16/3, 5/3)] Es. 17 La base AB del triangolo isoscele ABC sta sulla retta di equazione x 2y +12=0 eil vertice A sta sull asse y. Determinare le coordinate dei vertici del triangolo sapendo che il baricentro è G(4, 11/2) e calcolare perimetro e area del triangolo. [(0, 6), (6, 9), (6, 3/2), 2P =3(5+ 5), A =45/2] Es. 18 Una retta di coefficiente angolare m passa per P (3, 0) e incontra il semiasse negativo delle orinate in C. Condotta per l origine O la retta r parallela a PC e preso su r un punto A avente stessa ascissa di P, determinare m elamisuradelperimetrodeltrapeziooabc, rettangolo in A e B, sapendo che B appartiene alla retta di equazione x + y 6=0. [m =1, 2P =3(3 2+1)] Es. 19 Scrivere l equazione del luogo dei punti P del piano per i quali si ha PA 2 PB 2 = 25, dove A(1, 5) e B(2, 3). [x 2y 6=0] Es. 20 Scrivere l equazione del luogo dei punti del piano per i quali la distanza dall asse x supera di 5 il triplo della distanza dall asse y, e disegnare il luogo in questione. [ y = x ] Es. 21 Un triangolo ha per vertici i punti T (k 2, 3k +5), A(4k +5, 2), S( 5 3k,2k). Determinare k in modo che il baricentro del triangolo appartenga alla retta 2x +3y 1 = 0. Per tale valore di k, determinare le equazioni della perpendicolare ad AT in T e della perpendicolare ad AS in S, e determinare inoltre le coordinate del punto di intersezione tra tali perpendicolari. [k =2, x+3y +7=0, 2x + y 6=0] Es. 22 Determinare sotto quali condizioni i punti A(k +1, 2k), B(4, 7), C(2k 2, 4k) sono vertici di un triangolo. Trovare quindi il luogo del baricentro al variare di k. [k 3, 6x 3y +1=0] Es. 23 Dal punto P (2, 1) si conduca la retta r di coefficiente angolare 2 e la retta s perpendicolare a r. Determinare una parallela all asse x che intercetti con r ed s un segmento di misura 1/2. [y =4/5 y =6/5] Es. 24 Il punto A(2, 1) è il vertice dell angolo retto del triangolo rettangolo isoscele ABC. Determinare i vertici B e C sapendo che il lato BC appartiene alla retta y = 2x +8. [(13/5, 14/5), (19/5, 2/5)] Es. 25 Sia AH altezza del triangolo ABC. Sapendo che H(5/2, 1), che y A =2,chex C =4, che il coefficiente angolare della retta BC è 1/2 e che l area del triangolo è 15/8, determinare le coordinate di B. [(1, 7/4) (7, 5/4)]

23 esercizi 109 Es. 26 Sia H(1, 2) l ortocentro del triangolo ABC; sapendo che le rette cui appartengono i lati AC e CB sono rispettivamente 2x y +1=0ex + y 1 = 0, determinare l area del triangolo. [30] Es. 27 In un triangolo ABC il vertice C appartiene alla retta di equazione 2x y + 1 = 0; sapendo che A(1, 1), B(3, 3) e che l area del triangolo è 3, determinare le coordinate di C. [( 4, 7) (2, 5)] Es. 28 In un triangolo ABC i vertici A e B stanno sulla retta x 2y 1 = 0; il vertice C ha ascissa opposta al doppio di quella di A ed ha ordinata opposta a quella di B, ed il baricentro del triangolo è G(2, 3). Determinare le coordinate dei vertici. [A( 17, 9), B( 11, 6), C(34, 6)] Es. 29 Nel triangolo ABC il vertice C è il centro del fascio di equazione (k 1)x +(k 2)y +3 = 0, e il vertice A sta sulla retta del fascio parallela alla bisettrice del I e III quadrante. L altezza uscente da B passa per ( 2, 1) ed il baricentro è G(1/2, 7/2). Determinare i vertici del triangolo. [A( 6, 0), B(21/2, 27/2), C( 3, 3)] Es. 30 Nel fascio di rette parallele alla bisettrice del II e IV quadrante determinare le rette che intercettano con quelle di equazione y = x e y =2x un triangolo di area 3. [y = x ± 6] Es. 31 Determinare la retta comune ai due fasci di equazione 4x +(k 1)y 9=0e2x(k 1) + 18y + 27 = 0. Determinare la simmetrica di tale retta rispetto all asse delle ascisse e la misura dell area del triangolo formato dalle due rette trovate e dall asse delle ordinate. [4x 6y 9=0, 4x +6y 9=0, 27/8] Es. 32 Assegnate le rette 5x y =0,x y =0ex+y 1 = 0, determinare i vertici ed il baricentro G del triangolo da tali rette individuato. [(0, 0), (1/2, 1/2), (1/6, 5/6), G(2/9, 4/9)] Es. 33 Determinare i punti A(3,k 5) che distano 4 2 dalla retta x y =0. [A 1 (3, 5) A 2 (3, 11)] Es. 34 Dati i punti A( 2, 1) e C(2, 3) determinare il punto D sulla retta r :3x y +12 = 0 equidistante da A edac e il punto B della retta s :4x+y 6 =0equidistantedaA e C. Verificare che ABCD è un rombo, di cui si chiede l area. [D( 2, 6), B(2, 2), A = 20] Es. 35 Verificato che il triangolo di vertici A(6, 1), B(2, 3), C(7, 8) è isoscele sulla base AB, determinare: a) il perimetro e il baricentro; [2P = , (5, 4)] b) il circocentro K e il raggio r della circonfernza circoscritta al triangolo; [K(16/3, 14/3), r = 5 5/3] c) le equazioni dei lati; [x y +1=0, 7x y 41 = 0, x+2y 4=0] d) il punto P dell asse x equidistante da A e B. [P (3, 0)] Es. 36 Dopo avere determinato le coordinate del punto C equidistante da A(8, 1) e da B(6, 4) e appartenente alla retta 3x 2y 6 = 0, determinare l area del triangolo ABC. [C(1, 3/2), A = 13]

24 110 capitolo 2 Es. 37 Determinare i vertici dei triangoli isosceli di area 5 e di base AB, dovea(2, 2) e B(6, 4). [(5, 1) (3, 5)] Es. 38 Dopo avere dimostrato che il quadrilatero di vertici A(1, 2), B(5, 2), C(8, 1), D(6, 7) è un trapezio rettangolo, determinarne il perimetro e l area. Considerato il triangolo formato dalla base minore e dai prolungamenti del lato obliquo e del lato perpendicolare alle basi, trovare le equazioni degli assi e verificare che il circocentro è il punto medio dell ipotenusa di tale triangolo. [2P = , A =32, x y 6=0, x+ y 13 = 0, x+3y 20 = 0, (19/2, 7/2)] Es. 39 Dimostrare che il quadrilatero di vertici A(1, 1), B(4, 1), C(9/4, 2), D(3/4, 1) èuntrapezio isoscele. Detto E il punto di intersezione delle rette AD e BC, verificare che E appartiene all asse del segmento AB e determinare le aree del triangolo EDC e del trapezio ABCD. [E(1/2, 3), A(EDC) =13/8, A(ABCD) =39/8] Es. 40 Date le rette AB : x y +4=0 BC : x + y =0 AC : x +4y +4=0 verificare che il triangolo ABC è rettangolo in B e determinare: a) l area e il circocentro; [A = 20/3] b) i punti che distano 2 dall asse x e2 2 dal punto A. [( 2, 2), ( 6, 2), ( 2, 2), ( 6, 2)] Es. 41 Verificato che i punti A(1, 2), B( 2, 1), C(0, 2) non sono allineati e quindi individuano il triangolo ABC, di tale triangolo determinare: a) il perimetro e l area; [2P = , A =11/2] b) il circocentro K; [K( 1/22, 3/22)] c) le equazioni dei lati; [x 3y +5=0, 4x y 2=0, 3x +2y +4=0] d) le equazioni delle parallele ai lati condotte dai vertici opposti. [3x +2y 7=0, x 3y 6= 0, 4x y +9=0] Es. 42 Dati i punti A(1, 0) e B(0, 2), sia C il punto in cui l asse del segmento AB incontra l asse x; relativamente al triangolo ABC determinare: a) il perimetro e l area; [2P =5+ 5, A =5/2] b) il circocentro K, il baricentro G e l ortocentro H; [K( 1/4, 5/8), G( 1/6, 2/3), H(0, 3/4)] c) verificare che C, H, K, G sono allineati. Es. 43 Dati i punti A(1, 2) e B(3, 4), determinare: a) l equazione dell asse del segmento AB; [x + 3y 5 = 0] b) l equazione della retta r parallela ad AB e passante per C( 1, 0); [3x y +3=0]

25 esercizi 111 c) la distanza d tra la retta r ed AB; [d =4 10/5] d) i puntic e D dell asse x dai quali si veda il segmento AB sotto un angolo retto;[c( 1, 0), D(5, 0)] e) l area del quadrilatero ADBC. [18] Es. 44 Sapendo che i punti A(3, 1), B(1, 1), C(7, 2) sono i tre vertici consecutivi del parallelogrammo ABCD, determinare: a) le coordinate di D; [D(9, 4)] b) il perimetro e l area del parallelogrammo; [2P = , A =6] c) le coordinate di E, simmetrico di C rispetto ad AB. [E(4, 5)] Es. 45 Detti O(0, 0), A(2, 4) e B(10, 0) i tre vertici consecutivi del parallelogrammo OCBA, si determinino le coordinate di C esiverifichicheoacb è un rettangolo. Determinare il quarto vertice E del parallelogrammo di diagonale AO e vertici E,O,C,A, verificando che tale parallelogrammo è equivalente al rettangolo OCBA. [C(8, 4), E( 6, 8)] Es. 46 Dati i punti A(4, 1/3), B(5, 1), C( 4, 8/3): a) determinare l equazione della retta r passante per A e B e le equazioni delle rette s, parallela a r, ep, perpendicolare a r, entrambre passanti per C; [r :4x +3y 17 = 0, 4x +3y +8=0, 9x 12y +68=0] b) determinare le distanza d e d di r edisdall origine, e la distanza d tra r ed s; [d =17/5, d =8/5,d =5] c) detto D il punto di intersezione tra r e p, E ed F i punti in cui s incontra rispettivamente gli assi x ed y, edm il punto medio del segmento AD, verificare che i quadrilateri DEFM e EFAM sono parallelogrammi equivalenti, e calcolarne l area; [D(0, 17/3), M(2, 3), E( 2, 0), F(0, 8/3), A =50/3] d) determinare le rette del fascio di centro B aventi dall origine distanza pari a 2. [y +1=( 5 ± 2 22)(x 5)/21] Es. 47 I punti A(4, 4), B( 2, 2), C(2, 4) sono i vertici di un triangolo di cui si chiede l ortocentro H. Determinare inoltre i punti della retta AB aventi distanza pari a 8 dalla retta y = x. [H(2/11, 16/11), (4 ± 12 2, 4 ± 4 2)] Es. 48 Tra tutti i triangoli ABC di base AB con A(2, 0) B(0, 2) e area 16, considerare quelli per i qualiilterzoverticec appartiene alla retta y =2x. DeterminareC. [C 1 (6, 12), C 2 ( 14/3, 28/3)] Es. 49 Dati i punti A( 4, 2) e B(2, 6), determinare il punto C della retta di equazione 2x y 5 = 0 equidistante da A e B. Dopo avere verificato che il triangolo ABC è rettangolo isoscele,

26 112 capitolo 2 determinare il quarto vertice D del quadrato ACBD. Trovare inoltre le rette parallele alla retta AB aventi distanza 1 da essa. [C(3, 1), D( 5, 5), 4x +3y +15=0, 4x +3y +5=0] Es. 50 Dopo avere determinato l equazione della retta r passante per A( 2, 1/2) e B(0, 1/2), determinare: a) l equazione della retta n passante per C(0, 3) e perpendicolare a r; [y +2x 3=0] b) il punto D di intersezione tra r ed n; [D(1, 1)] c) l area del triangolo ADC; [15/4] d) il quarto vertice E del rettangolo ADCE. [E( 3, 3/2)] Es. 51 Dati i punti A( 2, 2) e B(0, 2), determinare sulla retta y + x = 0 i punti C tali che il triangolo ABC sia un triangolo rettangolo di ipotenusa AB. [C 1 ( 2, 2), C 2 (1, 1)] Es. 52 Dati i punti A( 1, 4) e B(3, 0), determinare il punto P appartenente alla retta r :3x y+3 = 0 ed equidistante da A e B. Determinare i punti Q, sulla retta s : x + y 6=0talichevalgala relazione 17QA 2 9QB 2 = 0 e indicare con Q 1 quello di ascissa positiva. Determinare l area del trapezio rettangolo AQ 1 BP. [P ( 1, 0), Q 1 (2, 4), Q 2 ( 10, 16), A = 14] Es. 53 Dopo avere verificato che il triangolo di vertici A( 2, 1), B(1, 4), C(2, 3) è triangolo rettangolo di area 12, determinare: a) il centro D e il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo; [D(3/2, 1/2), r =5 2/2] b) le equazioni dei lati; [x y +3=0, x+ y +1=0, 7x + y 11 = 0] c) il baricentro G e la retta s passante per G e parallela a BC; [G(1/3, 2/3), 7x + y 3=0] d) il punto P di AB che divide AB in due parti tali che PB =3PA. [P ( 5/4, 7/4)] Es. 53 Una retta r interseca i semiassi positivi determinando segmenti uguali. Determinare l equazione di tale retta, sapendo che l area del triangolo formato da r con gli assi è8. [x + y 4=0] Es. 54 I punti A(1, 2) e B(0, 3) sono i vertici di un triangolo equilatero il cui terzo vertice C ènel I quadrante. Determinare le rette dei lati. [x + y 3=0, x (2 3)y =0, x (2 + 3)y +3(2+ 3) = 0] Es. 55 I punti A(1, 2) e B(0, 3) sono i vertici di un triangolo equilatero il cui terzo vertice C appartiene alla retta di equazione 2x + y 2 = 0. Determinare le coordinate del terzo vertice C. [C 1 ( 1, 4) C 2 (25/7, 36/7)] Es. 56 Le rette 3x + y =0ex 3y = 0 sono le equazioni dei lati di un triangolo isoscele; sapendo che il punto (5, 0) appartiene alla base del triangolo, determinarne area e perimetro. [A =20, 2P =4( )] Es. 57 I punti A(0, 4), B(3, 0), C(0, 6) sono i vertici di un triangolo. Trovare la distanza tra il punto C e la bisettrice dell angolo BÂC. [ 10]

27 esercizi 113 Es. 58 Determinare il valore di k in modo tale che la retta 2x +3y + k = 0 individui con gli assi coordinati un triangolo di area 27. [k = ±18] Es. 59 Determinare le coordinate dei vertici dei due triangoli isosceli di base AB, cona(1, 0) e B(5, 2), e per area 5. [C 1 (4, 1) C 2 (2, 3)] Es. 60 Sulla retta 2x y + 5 = 0 determinare il punto P la cui distanza dall asse x sia uguale ai 3/5 della sua distanza dall asse y. [P 1 ( 25/7, 15/7) P 2 ( 25/13, 15/13)] Es. 61 Dati i due punti A( 4, 0) e B(0, 6), determinare la retta passante per il punto medio del segmento AB e che intercetta sull asse x un segmento doppio di quello intercettato sull asse y. [x +2y 4=0, x 2y +8=0] Es. 62 Due rette tra loro perpendicolari e uscenti dall origine formano un triangolo isoscele con la retta 2x + y 5 = 0. Determinare l area di questo triangolo. [5]