APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA ALESSANDRO BOCCONI

Indice 1 La Geometria analitica: la retta 1.1 Introduzione......................................... 1. Il piano cartesiano..................................... 3 1.3 Il punto nel piano cartesiano............................... 4 1.4 Il punto medio di due punti e il baricentro........................ 5 1.5 La distanza fra due punti................................. 8 1.6 Il reticolo.......................................... 9 1.7 La retta e le equazioni di primo grado (facoltativo)................... 13 1.8 L equazione della retta in forma esplicita......................... 14 1.8.1 Rappresentare una retta sul piano cartesiano nota la sua equazione...... 14 1.8. Appartenenza di un punto ad una retta..................... 16 1.9 Il coefficiente angolare................................... 17 1.9.1 Il termine noto................................... 18 1.9. Equazione generica di una retta in forma esplicita............... 19 1.10 Il fascio di rette per un punto............................... 19 1.10.1 La condizione di parallelismo........................... 0 1.10. La condizione di perpendicolarità......................... 1 1.11 La retta per due punti................................... 1.1 L intersezione fra due rette................................ 4 1.13 Dimostrazione che due rette perpendicolari fra loro hanno il prodotto dei coefficienti angolari uguale a 1 (facoltativo)............................. 6 1.14 Esercizi........................................... 7 1

Capitolo 1 La Geometria analitica: la retta 1.1 Introduzione La geometria così come siamo stati abituati a studiarla fino ad ora, si occupa di alcune proprietà delle figure che sono indipendenti dalla loro posizione nel piano. Se ad esempio dobbiamo stabilire se un triangolo è isoscele non importa come è posizionato detto triangolo (figura 1.1). A tal proposito è illuminante la definizione di uguaglianza fra figure (congruenza per gli autori più pignoli): due figure sono uguali se possono essere perfettamente sovrapposte tramite movimenti rigidi. Questa definizione, in parole povere, significa che, prendendo sempre ad esempio la figura 1.1, quei triangoli sono uguali se, ritagliandone uno, si può far combaciare su entrambi gli altri. Movimento rigido significa che, una volta ritagliato il triangolo, non si può nè tirare nè piegare. L indistinguibilità di queste figure rispetto alla loro posizione è dovuta all assenza di un sistema di riferimento. In effetti se noi fossimo in un infinita pianura sempre uguale e in totale assenza di punti di riferimento (anche al di fuori di tale pianura come il sole o le stelle), variare la nostra posizione cambierebbe ben poco: rimarrebbero soltanto le caratteristiche del nostro corpo come ad esempio il peso e l altezza che ovviamente non dipendono da dove siamo all interno di questa infinita pianura. Fu un filosofo e matematico francese, René Descartes italianizzato in Cartesio, vissuto nella prima metà del 1600, che ebbe un approcciò geometrico profondamente diverso: egli utilizzava metodi algebrici, prima di tutto le equazioni, per stabilire relazioni fra le varie grandezze presenti in un problema geometrico. Figura 1.1: Essendo uguali tali triangoli o sono entrambi isosceli o non lo è nessuno

Alessandro Bocconi 3 U - -1 0 1 1,874536... Figura 1.: Retta orientata (la freccia che indica il verso), in cui è definita un unità di misura e ad ogni punto corrisponde un numero reale Dai suoi studi alla geometria analitica come la conosciamo oggi e come ci apprestiamo a studiare nelle prossime pagine, il passo non è affatto breve. Ma è innegabile che Cartesio fu il precursore di una nuova concezione del problema geometrico e, in suo onore, il piano sul quale collocheremo tutti i nostri enti geometrici, si chiama piano cartesiano. 1. Il piano cartesiano Ricordiamo che una retta si dice orientata se al suo interno è definito un verso che stabilisce, presa una qualunque sua coppia di punti, chi precede l altro. Graficamente la retta orientata è rappresentata con una freccia ad una sua estremità (quella in cui cresce). Nella prima parte di Appunti di Matematica abbiamo sottolineato che esiste una corrispondenza biunivoca fra punti della retta e numeri reali (cioè ad ogni punto della retta corrisponde uno ed un solo numero reale). Per questo possiamo parlare di retta dei numeri reali. Su una retta orientata possiamo definire un unità di misura, ovvero la lunghezza del segmento avente come estremi numeri interi consecutivi. D ora in poi quando parleremo di rette orientate sottointenderemo che su di esse è stata definita un unità di misura (vedi figura 1.). Definizione di piano cartesiano. Un piano con due rette orientate fra loro perpendicolari si dice piano cartesiano. Osservazione. Generalmente le due rette orientate hanno la stessa unità di misura, ma non è affatto obbligatorio che sia sempre così. Definizione di assi cartesiani e di origine. Le rette orientate del piano cartesiano si chiamano assi cartesiani. In particolare l asse orizzontale viene detto asse delle ascisse e si indica con la lettera x, mentre l asse verticale viene detto asse delle ordinate e si indica con la lettera y. Il punto di intersezione degli assi si chiama origine e viene indicato con la lettera O(figura 1.3).

Alessandro Bocconi 4 y O x Figura 1.3: Il piano cartesiano 1.3 Il punto nel piano cartesiano Il punto è un concetto primitivo (cioè non si può né definire né spiegare meglio di come lo immaginiamo intuitivamente) ed è considerato l entità geometrica più semplice. Nel piano cartesiano, per individuare un punto, sono necessarie due coordinate (cioè due numeri). Convenzionalmente il primo dei due numeri identifica uno spostamento sull asse delle x, mentre il secondo uno spostamento sull asse delle y. Chiariamo quanto detto con un esempio: Esempio Individuare sul piano cartesiano i punti A di coordinate 3 e (più brevemente scriveremo A(3; )); B( ; 5 ); C(0; 4); D( 4 3 ; ) e E(0; 0) Cominciamo col punto A(3; ): abbiamo detto che per convenzione la prima coordinata si riferisce allo spostamento sull asse delle x. Partendo dall origine ci spostiamo sull asse delle x di 3 unità a destra (perché il numero 3 è positivo e quindi si va nel senso della freccia dell asse x). Da dove siamo arrivati ci spostiamo di unità nella direzione dell asse y verso l alto (perché il numero è positivo e quindi si va nel senso della freccia dell asse y). Abbiamo così individuato il punto A(3; ) come mostrato in figura 1.4 Individuiamo adesso il punto B( ; 5 ): sempre partendo dall origine ci spostiamo sull asse delle x di unità a sinistra (perché il numero è negativo e quindi si va nel senso opposto della freccia dell asse x). Da dove siamo arrivati ci spostiamo di 5 unità nella direzione dell asse y verso l alto (perché il numero 5 è positivo e quindi si va nel senso della freccia dell asse y). Abbiamo così individuato il punto B( ; 5 ) come mostrato in figura 1.4 Individuiamo adesso il punto C(0; 4): partiamo dall origine ma lo spostamento sull asse delle x è 0 (perché 0 è la prima coordinata) e quindi rimaniamo fermi nell origine. Dall origine ci spostiamo di 4 unità nella direzione dell asse y verso il basso (perché il numero 4 è negativo e quindi si va nel senso opposto della freccia dell asse y). Abbiamo così individuato il punto C(0; 4) come mostrato in figura 1.4 Lasciamo per esercizio l individuazione del punto D e individuiamo il punto E(0; 0): partiamo dall origine ma lo spostamento sull asse delle x è ancora una volta 0 e quindi rimaniamo fermi nell origine. Dall origine ci dovremmo spostare in alto o in basso sull asse y ma anche lo spostamento su questo asse è zero perché zero è la seconda coordinata di E. Quindi E coincide con l origine.

Alessandro Bocconi 5 y B 5/ A - -4/3 O 3 x D - -4 C Figura 1.4: YB B YM M K YA A H XA XM XB Figura 1.5: M divide il segmento AB in due parti uguali Osservazione. Dall ultimo esempio segue che il punto O, l origine, ha coordinate (0; 0). Convenzione. I punti sono sempre indicati con una lettera maiuscola. 1.4 Il punto medio di due punti e il baricentro Definizione. Siano A e B due punti nel piano cartesiano. Per punto medio di A e B si intende un punto, generalmente chiamato M, che divide il segmento di estremi A e B in due segmenti uguali. Il problema da risolvere è quindi come determinare le coordinate di M note le coordinate del punto A e del punto B. Supponiamo allora di avere un punto A di coordinate (x A ; y A ) e un punto B di coordinate (x B ; y B ). Dobbiamo determinare le coordinate (x M ; y M ) del loro punto medio M. Disegniamo quindi nel piano cartesiano i punti A e B, il segmento che li congiunge e prendiamo M in modo tale che AM = MB. Dal punto A tracciamo una linea orizzontale, dal punto B una linea verticale, e dal punto M una linea orizzontale e verticale (figura 1.5).

Alessandro Bocconi 6 I triangoli AHM e M KB sono uguali (si potrebbe dimostrare col secondo criterio di congruenza). Quindi risulta che AH = MK da cui x M x A = x B x M. In altre parole x M è il valor medio fra x A e x B. Inoltre, sempre dall uguaglianza dei due triangoli risulta che HM = KB da cui y M y A = y B y M. In altre parole y M è il valor medio fra y A e y B. Dal momento che il valor medio fra due numeri si trova dividendo per la somma di tali numeri, le coordinate del punto medio M si ottengono: x M = x A + x B y M = y A + y B Esempi Determinare il punto medio fra i punti A(1; 4) e B(3; 3) Si applicano le formule appena scritte: x M = x A + x B = 1 + 3 Pertanto il punto medio M ha coordinate (; 7 ) = y M = y A + y B Determinare il punto medio fra i punti A(1; ) e B( 1; 4) Si applicano le formule: x M = x A + x B = 1 1 Pertanto il punto medio M ha coordinate (0; 1) = 0 y M = y A + y B Determinare il punto medio fra i punti A( 1 ; 1) e B( 3 5 ; 1) x M = x A + x B = 1 + 3 5 = 5+6 10 = 11 0 Pertanto il punto medio M ha coordinate ( 11 0 ; 1) = 4 + 3 = + 4 y M = y A + y B = 7 = = 1 = 1 1 = 1 Sia A(5; 1). Determinare il punto B affinché M(3; ) sia il punto medio fra A e B. Si applicano le solite formule ma stavolta conosciamo x M e y M e non conosciamo x B e y B : x M = x A + x B 3 = 5 + x B 6 = 5 + x B x B = 1 y M = y A + y B = 1 + y B Pertanto il punto B ha coordinate (1; 3) 4 = 1 + y B y B = 3 Il concetto di punto medio fra punti si estende facilmente a quello di punto medio fra 3 o più punti come si vede facilmente dali seguenti: Esempi Determinare il punto medio fra i punti A(1; 1), B( 4; 1) e C(0; 3) Il problema si risolve calcolando la media delle ascisse e delle ordinate di questi 3 punti: x M = x A + x B + x C 3 = 1 4 + 0 3 = 3 3 = 1 y M = y A + y B + y C 3 = 1 1 + 3 3 = 1 3

Alessandro Bocconi 7 y D C M B E O A x Figura 1.6: Il baricentro del pentagono coincide col suo punto medio Pertanto il punto medio M ha coordinate ( 1; 1 3 ) Determinare il punto medio fra i punti A(1; 1), B( 4; 1), C(0; 3) e D( ; 7) Il problema si risolve calcolando la media delle ascisse e delle ordinate di questi 4 punti: x M = x A + x B + x C + x D 4 y M = y A + y B + y C + y D 4 Pertanto il punto medio M ha coordinate ( 5 4 ; ) = 1 4 + 0 = 5 4 4 = 5 4 = 1 1 + 3 + 7 = 8 4 4 = Dobbiamo però osservare che la definizione di punto medio fra punti perde significato nel caso i punti siano più di due. Per dare un significato al punto medio fra più punti premettiamo la seguente: Definizione fisica di baricentro di un poligono (sperimentale). Supponiamo di avere un poligono convesso (cioè che non ha rientranze ) ritagliato di materiale rigido e di avere una colonna estremamente sottile fissata a terra. Il baricentro del poligono è l unico punto che va appoggiato sulla colonna affinché il poligono resti in equilibrio su di essa. Consideriamo allora i punti di cui bisogna trovare il punto medio come vertici di un poligono: se sono tre si tratterà di un triangolo, se sono 4 di un quadrilatero e così via. Vale il seguente: Teorema. Il punto medio dei vertici di un poligono convesso corrisponde al baricentro del poligono. Esempio Rappresenta sul piano cartesiano il poligono di vertici A(; 1), B(5; ), C(1; 3), D( 1; 3) e E( ; 1) e determina il suo baricentro. Rappresentiamo i punti sul piano cartesiano e costruiamo il poligono (figura 1.6). Il baricentro corrisponde al punto medio dei vertici quindi: x M = x A + x B + x C + x D + x E 5 y M = y A + y B + y C + y D + y E 5 Pertanto il baricentro ha coordinate (1; 6 5 ) = + 5 + 1 1 = 5 5 5 = 1 = 1 + + 3 + 3 1 = 6 5 5

Alessandro Bocconi 8 YB B YA A H XA XB Figura 1.7: Per determinare la distanza fra A e B si usa il teorema di Pitagora 1.5 La distanza fra due punti Definizione. Per distanza fra due punti A e B si intende la lunghezza del segmento avente come estremi A e B. Per determinare la distanza fra due punti si usa il teorema di Pitagora. Supponiamo infatti di dover determinare la distanza fra il punto A di coordinate (x A ; y A ) e il punto B di coordinate (x B ; y B ). Disegniamo nel piano cartesiano i punti A e B e il segmento che li congiunge. Dal punto A tracciamo una linea orizzontale e dal punto B una linea verticale e sia H il punto di incontro fra queste due linee (figura 1.7). Il triangolo AHB è un triangolo rettangolo e quindi possiamo applicare il Teorema di Pitagora (nella sua versione algebrica): AB = AH + HB ma risulta che: pertanto AH = x B x A HB = y B y A AB = AH + HB = (x B x A ) + (y B y A ) Esempi Determinare la distanza fra i punti A(1; 6) e B(4; ). Usando la formula appena trovata: AB = (x B x A ) + (y B y A ) = (4 1) + ( 6) = 3 + ( 4) = 9 + 16 = 5 = 5 Pertanto la distanza fra A e B è 5. Determinare la distanza fra i punti A(1; ) e B( 5; 10). Usando la formula appena trovata: AB = (x B x A ) + (y B y A ) = ( 5 1) + ( 10 + ) = ( 6) + ( 8) = 36 + 64 = 100 = 10 Pertanto la distanza fra A e B è 10. Determinare la distanza fra i punti A(1; ) e B(4; ).

Alessandro Bocconi 9 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Figura a 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Figura b Figura 1.8: Figura a: la cella identificata dalle coordinate (6; 4). Figura b: la striscia verticale di celle aventi prima coordinata 7 Osserviamo che A e B hanno uguale la seconda coordinata. Pertanto per ottenere la loro distanza basta fare la differenza delle ascisse: AB = 4 1 = 3 Osserviamo comunque che avremmo ottenuto lo stesso risultato utilizzando la formula della distanza fra due punti: AB = (x B x A ) + (y B y A ) = (4 1) + ( ) = 3 + 0 = 9 = 3 Pertanto la distanza fra A e B è 3. 1.6 Il reticolo Si consideri il reticolo di figura 1.8 lettera a. Ogni cella è identificata da due numeri (chiamati coordinate): il primo indica di quante celle ci spostiamo a destra e il secondo di quante celle ci spostiamo in alto (ovviamente il punto di partenza è la cella in basso a sinistra). Quindi nella figura la casella annerita è identificata dalla coppia di numeri (6; 4). Come per il piano cartesiano indichiamo la prima coordinata con la lettera x e la seconda con la lettera y.

Alessandro Bocconi 10 Il lettore si sarà accorto delle somiglianze con il piano cartesiano. Evidenziamo adesso le differenze fra il reticolo e il piano cartesiano: 1. Nel piano cartesiano possono esserci le coordinate negative, mentre i numeri che individuano le celle del reticolo sono sempre positivi.. Nel reticolo ci possiamo spostare di un numero finito di celle sia a sinistra che in alto, mentre le rette del piano cartesiano hanno, come tutte le rette, lunghezza infinita. 3. (la più importante). Nel piano cartesiano le coordinate possono essere anche numeri decimali mentre nel reticolo le coordinate sono sempre intere. Questo implica che ha senso parlare di due celle adiacenti (ad esempio la cella (5; 1) e la cella (6; 1) sono accanto e non c è nessun altra cella in mezzo) mentre non ha senso parlare di due punti adiacenti nel piano cartesiano, infatti o due punti coincidono (quindi sono lo stesso punto) oppure fra qualunque coppia di punti distinti ne esistono sempre infiniti altri. Questa situazione si rappresenta dicendo che il piano cartesiano è continuo mentre il reticolo è discreto. Nonostante queste importanti differenze è istruttivo introdurre alcuni concetti validi per il piano cartesiano tramite il reticolo. Consideriamo adesso l insieme di tutte le celle del reticolo che hanno la prima coordinata uguale, per fare un esempio, a sette. Dal momento che la prima coordinata è indicata tramite la lettera x, possiamo chiamare tale insieme tramite l equazione: x = 7 anneriamo tutte le celle di questo insieme (1.8 lettera b) e osserviamo che si è formata una striscia verticale. Osserviamo che nella striscia ci sono tutte le celle del reticolo che hanno x = 7 e che nessuna cella avente x diversa ci appartiene. Avessimo scelto una x diversa avremmo trovato un altra striscia sempre verticale e con le caratteristiche appena descritte. Se adesso invece consideriamo l insieme di tutte le celle del reticolo che hanno la seconda coordinata uguale, per esempio, a cinque. Dal momento che la seconda coordinata è indicata tramite la lettera y, possiamo chiamare tale insieme tramite l equazione: y = 5 anneriamo tutte le celle di questo insieme (1.9 lettera a). e osserviamo che si è formata una striscia orizzontale e che valgono le stesse caratteristiche evidenziate in precedenza. Consideriamo adesso l insieme di tutte le celle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima aumentata di uno, come ad esempio (1; ), (; 3) ecc. Dal momento che la caratteristica delle celle di questo insieme è che hanno la seconda coordinata uguale alla prima coordinata più uno, passando in simboli matematici si ottiene: y = x + 1 e osserviamo che si è formata una striscia obliqua (1.9 lettera b). Osserviamo che nella striscia nera ci sono tutte le celle del reticolo che hanno la coordinata y uguale alla coordinata x aumentata di 1 e che nessuna cella che non ha tale caratteristica appartiene alla striscia. Consideriamo adesso le celle che hanno la seconda coordinata uguale al doppio della prima meno uno. In simboli y = x 1 e anneriamo le celle che hanno tale caratteristica (1.10 lettera a)

Alessandro Bocconi 11 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Figura a 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Figura b Figura 1.9: Figura a: la striscia orizzontale di celle aventi seconda coordinata 5. Figura b: La striscia obliqua di celle aventi seconda cordinata uguale alla prima aumentata di 1 A differenza di prima non possiamo parlare di una striscia ma di celle fra loro staccate. Si osserva facilmente però che è possibile disegnare una retta che le attraversi tutte: in altre parole tali celle giacciono sulla stessa retta. Tale proprietà non è invece verificata se consideriamo le celle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima elevata al quadrato. In simboli: y = x e anneriamo le celle che hanno tale caratteristica (1.10 lettera b). Nonostante dobbiamo fermarci a sole 4 celle (la quinta avrebbe come seconda coordinata 5 e uscirebbe dal reticolo) è immediato osservare che non esiste una retta che le attraversi tutte. È giusto quindi chiedersi che differenza c è fra l ultimo esempio (y = x ) rispetto ai precedenti per i quali è verificata la proprietà che tutte le celle stanno su una retta. La risposta è molto semplice: tutti gli esempi precedenti avevano come caratteristica che l equazione che legava le coordinate delle celle era di primo grado, mentre nell ultimo esempio no. Se adesso noi infittissimo le celle (cioè nello stesso spazio invece di un reticolo 0 per 0 mettessimo un reticolo ad esempio 000 per 000) la striscia di celle (ad esempio quella di 1.8 lettera b) si assottiglierebe fino ad assomigliare sempre di più ad un segmento. Se poi aumentassimo a dismisura le dimensioni del reticolo, il segmento diventerebbe una retta (effettuare queste operazioni significa trasformare il reticolo in piano cartesiano).

Alessandro Bocconi 1 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Figura a 0 19 18 17 16 15 14 13 1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Figura b Figura 1.10: Figura a: le celle non sono a contatto una con l altra ma giacciono su un unica retta. Figura b: Non esiste una retta che attraversi tutte le celle annerite Quindi passando da un reticolo al piano cartesiano, le striscie che abbiamo annerito diventano rette. Vale quindi il seguente fondamentale teorema la cui dimostrazione viene effettuata nel successivo paragrafo: Teorema. Nel piano cartesiano un insieme di punti le cui coordinate sono legate fra loro da un equazione di primo grado forma una retta. In particolare: se in tale equazione è presente soltanto la coordinata x la retta è parallela all asse delle y e quindi è verticale. se in tale equazione è presente soltanto la coordinata y la retta è parallela all asse delle x e quindi è orizzontale. se in tale equazione sono presenti entrambe le coordinate (x e y) la retta è obliqua. Dal momento che tutti i punti della retta hanno le coordinate che obbediscono a tale equazione, la retta prende il nome dell equazione stessa.

Alessandro Bocconi 13 Esempi L insieme di punti che hanno la seconda coordinata il triplo della prima, in simboli y = 3x, forma una retta, e tale retta viene identificata con l equazione y = 3x. L insieme di punti che hanno la seconda coordinata uguale a 3, in simboli y = 3, forma una retta, e tale retta (parallela all asse x cioè orizzontale) viene identificata con l equazione y = 3. 1.7 La retta e le equazioni di primo grado (facoltativo) Scopo di questo paragrafo è quello di dimostrare che ogni equazione di primo grado rappresenta una retta e che ogni retta è rappresentata da un equazione di primo grado. Innanzitutto precisiamo che ogni equazione di primo grado in x e in y può essere scritta come: dove a e b sono numeri qualunque. y = ax + b Precisiamo inoltre che la retta è l unca curva nel piano che ha la seguente proprietà: presa una qualunque coppia di punti della curva, anche il punto medio appartiene a tale curva. Dimostriamo ora che ogni equazione del tipo y = ax + b rappresenta una retta. Per farlo bisogna dimostrare che presa qualunque coppia di punti A(x A ; y A ) e B(x B ; y B ) che soddisfa la precedente equazione, anche il punto medio fra A e B soddisfa la stessa equazione. Il fatto che A e B soddisfino l equazione significa che: y A = ax A + b y B = ax B + b Bisogna dimostrare che il punto medio fra y A e y b coincide con ax M + b cioè: risulta che: y A + y B = ax A + b + ax B + b y A + y B = ax M + b = a(x A + x B ) + b = a x A + x B che prova che tutte le equazioni di primo grado rappresentano una retta. + b = ax M + b Per provare adesso che qualunque retta è rappresentata da un equazione di primo grado si consideri una retta e si prendano su tale retta due punti A(x A ; y A ) e B(x B ; y B ). Il sistema: { ya = ax A + b y B = ax B + b nelle incognite a e b (x A, y A, x B e y B sono numeri) ammette una soluzione. Quindi esiste un equazione di primo grado soddisfatta dai punti A(x A ; y A ) e B(x B ; y B ). Ma abbiamo provato prima che ogni equazione di primo grado rappresenta una retta che, in questo caso, passa per i punti A e B. Dal momento che per una coppia di punti passa una e una sola retta, la retta da cui siamo partiti coincide con quella descritta dall equazione di primo grado. Pertanto ogni retta è rappresentata da un equazione di primo grado. Per questo un equazione di primo grado si dice anche un equazione lineare

Alessandro Bocconi 14 1.8 L equazione della retta in forma esplicita Definizione. L equazione di una retta è in forma esplicita se al primo termine compare la sola y con coefficiente 1. Se l equazione di una retta non è in forma esplicita può essere portata in tale forma seguendo i ben noti principi di equivalenza delle equazioni, come emerge dai seguenti esempi: Portare in forma esplicita l equazione y = 3x + 1 L equazione è giá in forma esplicita. Portare in forma esplicita l equazione x + 3y 5 = 0 L equazione non è in forma esplicita. Portiamola quindi in tale forma: x + 3y 5 = 0 3 3 y = x + 5 y = x + 5 3 3 Per evidenziare il coefficiente di x si preferisce scrivere la precedente equazione nella forma equivalente: y = x + 5 y = 3 3 x + 5 3 Portare in forma esplicita l equazione x + 6y = L equazione non è in forma esplicita. Portiamola quindi in tale forma: x + 6y = 6 6 y = x + y = x + y = 1 6 6 6 x + 1 6 3 y = 1 6 x + 1 3 Osservazione. L affermazione che l equazione di una retta può essere portata in forma esplicita ha una importante eccezione: si considerino infatti le rette parallele all asse y, come ben sappiamo la loro equazione contiene soltanto la x e quindi non può essere portata in forma esplicita. Possiamo quindi affermare che: le uniche rette la cui equazione non può essere portata in forma esplicita sono quelle parallele all asse y. 1.8.1 Rappresentare una retta sul piano cartesiano nota la sua equazione Dal quarto postulato di Euclide sappiamo che per due punti passa una e una sola retta. Il problema di rappresentare una retta sul piano nota la sua equazione si risolve quindi individuando due punti appartenenti alla retta e disegnando l unica retta che passa per tali due punti. Per individuare i due punti: si porta l equazione in forma esplicita si attribuiscono a x due valori qualunque, e si determinano i relativi valori di y. Le due coppie di valori così determinati rappresentano le coordinate dei due punti cercati.

Alessandro Bocconi 15 3 1 1 Figura 1.11: Individuati i punti esiste un unica retta passante per questi punti Esempio Rappresentare sul piano cartesiano la retta di equazione x + y 3 = 0 Portiamo l equazione in forma esplicita: x + y 3 = 0 y = x + 3 Attribuiamo ad x un valore qualunque (ad esempio 0) e determiniamo il relativo valore di y: quindi un punto della retta ha coordinate (0; 3). y = 0 + 3 y = 3 Attribuiamo adesso a x un altro valore (ad esempio 1) e determiniamo il relativo valore di y: y = 1 + 3 y = 1 quindi un altro punto della retta ha coordinate (1; 1) Possiamo allora disegnare l unica retta passante per i punti (0; ) e (1; 1) (figura 1.11). Osservazione 1. Per determinare una retta sono necessari e sufficienti due punti (quindi uno è poco e tre sono troppi). Individuare tre punti della retta è un inutile perdita di tempo e va quindi considerata un errore. Osservazione. Per attribuire i valori ad x e determinare i relativi valori di y risulta comoda la seguente tabella (applicata in questo caso all esempio precedente): x y 0 3 1 1 Osservazione 3. Alla x possiamo attribuire qualunque valore. È naturale però che attribuendo alcuni valori anziché altri si semplificano i calcoli. Ad esempio attribuire a x il valore 0 risulta sempre conveniente.

Alessandro Bocconi 16 Esempi Rappresentare sul piano cartesiano la retta di equazione x 4y 1 = 0 Portiamo l equazione in forma esplicita: x 4y 1 = 0 4 4 y = x + 1 y = 1 4 4 x 1 4 y = 1 x 1 4 Usiamo la tabella dell osservazione e, attribuendo ad x due valori qualunque (ad esempio 0 e ), determiniamo i relativi valori di y: x y 0 1 4 3 4 quindi i due punti hanno coordinate (0; 1 4 ) e (; 3 4 ) e possiamo disegnare la relativa retta. Rappresentare sul piano cartesiano la retta di equazione y + 3 = 0 Portiamo l equazione in forma esplicita: y + 3 = 0 y = 3 sappiamo che un equazione contenente solo la y rappresenta una retta orizzontale. Infatti tale equazione non dipende da x pertanto possiamo attribuire ad x qualunque valore ma y rimane sempre 3: x y 0 3 3 la retta passante per i punti di coordinate (0; 3) e (; 3) è orizzontale. 1.8. Appartenenza di un punto ad una retta Per stabilire se un punto appartiene ad una retta, si sostituisce, nell equazione della retta, ad x la prima coordinata del punto e ad y la seconda. L equazione, priva di lettere, è diventata un uguaglianza. Se è vera il punto appartiene alla retta, se è falsa non ci appartiene. Esempi Data la retta di equazione 3x y = 9, verificare se i punti A(4; 3) e B(3; 1) vi appartengono. Punto A: sostituiamo nell equazione della retta ad x la prima coordinata di A (cioè 4) e ad y la seconda (cioè 3). Si ottiene: primo termine: 3 4 3 = 1 3 = 9 secondo termine: 9. Dal momento che il primo e il secondo termine sono uguali, l uguaglianza è vera e quindi A appartiene alla retta. Punto B: sostituiamo nell equazione della retta ad x la prima coordinata di B (cioè 3) e ad y la seconda (cioè 1). Si ottiene: primo termine: 3 3 1 = 9 1 = 8 secondo termine: 9.

Alessandro Bocconi 17 Dal momento che il primo e il secondo termine sono diversi, l uguaglianza è falsa e quindi B non appartiene alla retta. Data la retta di equazione y = 4x + 1, verificare se i punti A( 1 ; 3) e B(0; 1) vi appartengono. Punto A: sostituiamo nell equazione della retta ad x la prima coordinata di A (cioè 1 ) e ad y la seconda (cioè 3). Si ottiene: primo termine: 3 secondo termine: 4 1 1 + 1 = + 1 = 3. Dal momento che il primo e il secondo termine sono uguali, l uguaglianza è vera e quindi A appartiene alla retta. Punto B: sostituiamo nell equazione della retta ad x la prima coordinata di B (cioè 0) e ad y la seconda (cioè 1). Si ottiene: primo termine: 1 secondo termine: 4 0 + 1 = 1. Dal momento che il primo e il secondo termine sono uguali, l uguaglianza è vera e quindi B appartiene alla retta. Data la retta di equazione y = x + 5 e un punto A di ascissa 3. Che ordinata deve avere A per appartenere alla retta? Sostituiamo nell equazione della retta a x l ascissa del punto A cioè 3. Il secondo termine diventa: 3 + 5 = 6 + 5 = 1 quindi il primo termine, per essere uguale al secondo deve essere anch esso 1. Quindi ad y bisogna sostituire 1, per cui A per appartenere alla retta deve avere ordinata 1. 1.9 Il coefficiente angolare Definizione di coefficiente angolare di una retta. Supponiamo di avere una retta la cui equazione è scritta in forma esplicita. Si definisce coefficiente angolare della retta il coefficiente di x. Per convenzione il coefficiente angolare di una retta si indica con la lettera m (minuscola, da non confondere con il punto medio M che è indicato, come tutti i punti, con la lettera maiuscola). Esempi Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione y = x + 11 L equazione è in forma esplicita, quindi il coefficiente angolare è il coefficiente di x. m = Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione x + 3y = 3 L equazione non è in forma esplicita. Portiamola in tale forma: Pertanto x + 3y = 5 3y = x + 5 y = 1 3 x + 5 3 adesso l equazione è in forma esplicita e quindi il coefficiente angolare è il coefficiente di x. Pertanto m = 1 3 Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione y = 8

Alessandro Bocconi 18 y m= m=0 m=1/ x m=-1 Figura 1.1: Maggiore è il coefficiente angolare maggiore è la pendenza della retta L equazione è in forma esplicita, quindi il coefficiente angolare è il coefficiente di x. Il fatto che x non ci sia significa che il suo coefficiente è zero. Pertanto m = 0 Significato geometrico di coefficiente angolare di una retta. Il coefficiente angolare di una retta indica la pendenza della retta stessa. Maggiore il valore del coefficiente angolare, maggiore è la pendenza della retta. In particolare: se m > 0 la retta sale se m < 0 la retta scende se m = 0 la retta non sale né scende e quindi è in piano (cioè orizzontale). figura 1.1. 1.9.1 Il termine noto Supponiamo di avere un equazione di una retta in forma esplicita. Definizione di termine noto. Si definisce termine noto il numero presente al secondo termine in un equazione posta in forma esplicita. Convenzionalmente il termine noto si indica con la lettera q. Esempi Nell equazione y = 3x + 11 il termine noto è 11. Nell equazione y = x 3 il termine noto è 3. Nell equazione y = x il termine noto è 0. Significato geometrico di termine noto. Il termine noto corrisponde al ordinata del punto in cui la retta interseca l asse delle y.

Alessandro Bocconi 19 y m= m=1/ A m=0 x m=-1 Figura 1.13: Ad ogni valore di m corrisponde una diversa retta per A 1.9. Equazione generica di una retta in forma esplicita Un equazione generica in forma esplicita, per quanto abbiamo visto, si scrive: y = mx + q 1.10 Il fascio di rette per un punto Sappiamo che per un punto passano infinite rette. Si definisce fascio di rette per un punto tutte le infinite rette passanti per tale punto. Assegnato un punto A(x A ; y A ) l equazione delle infinite rette passanti per A è dato da: y y A = m(x x A ) Esempio Determinare l equazione delle infinite rette passanti per A( ; 4). Sostituisco i valori numerici alla precedente formula ottenendo: y 4 = m(x + ) Tramite l ultimo esempio chiariamo la precedente formula. m rappresenta il coefficiente angolare e può assumere qualunque valore. Ad ogni valore che assume corrisponde una diversa retta sul piano cartesiano (ma sempre passante per A). Agli infiniti valori che può assumere m corrispondono quindi infinite rette (figura 1.13). Finché m non è specificato l equazione rappresenta le infinite rette per A; nel momento che attribuiamo a m un valore, spariscono le infinite rette lasciando solo quella che ha come coefficiente angolare il valore attribuito a m. Quindi: y 4 = m(x + ) rappresenta le infinite rette per A. Se, ad esempio, poniamo m = 3, le infinite rette diventano una sola di equazione: y 4 = 3(x + ) y = 3x + 6 + 4 y = 3x + 10

Alessandro Bocconi 0 Osservazione 1. Continuando a prendere ad esempio il punto A( ; 4) notiamo che qualunque valore di m, le rette passano per il punto A. Verifichiamolo come abbiamo visto nel paragrafo 1.8. sostituendo a x l ascissa di A e a y l ordinata di A: primo termine: 4 4 = 0 secondo termine: m( + ) = m 0 = 0 quindi A appartiene alla retta qualunque valore di m, che prova che l equazione iniziale rappresenta le infinite rette passanti per A. Osservazione. L equazione iniziale rappresenta tutte le infinite rette passanti per A eccetto l unica la cui equazione non può essere portata in forma esplicita e cioè quella parallela all asse y che ha equazione x = x A. Quindi il fascio di rette per A è: Esempio y y A = m(x x A ) più x = x A Determinare il fascio di rette passanti per il punto A(4; 1). Successivamente si prenda la retta del fascio di coefficiente angolare m =. Applichiamo la formula delle infinite rette per un punto, al punto A: y + 1 = m(x 4) Per avere il fascio di rette bisogna considerare anche la retta parallela all asse y passante per A cioè x = 4. Quindi il fascio di rette per A è: y + 1 = m(x 4) più x = 4 Se da questo fascio vogliamo prendere la retta che ha coefficiente angolare basta sostituire ad m il valore : y + 1 = (x 4) y + 1 = x + 8 y = x + 7 1.10.1 La condizione di parallelismo Due rette si dicono parallele se non si intersecano mai. Per essere parallele due rette devono avere la stessa pendenza e quindi lo stesso coefficiente angolare. Vale quindi la seguente: Condizione di parallelismo fra rette. coefficiente angolare. Due rette sono fra loro parallele se hanno lo stesso Convenzione. Talvolta è utile indicare le rette con delle lettere. Per convenzione tali lettere devono essere minuscole.

Alessandro Bocconi 1 Esempio Determinare se la retta r di equazione y = x 3 e la retta s di equazione 4x y 5 = 0 sono parallele fra loro. r è in forma esplicita e quindi è immediato determinare il coefficiente angolare che è. s non è in forma esplicita. Portiamola in tale forma: 4x y 5 = 0 y = 4x + 5 y = 4 1 5 y = x 5 quindi anche s ha coefficiente angolare ed è quindi parallela ad r. Determinare se la retta r di equazione y = 3x + 1 e la retta s di equazione y = 4x sono parallele fra loro. r è in forma esplicita e quindi è immediato determinare il coefficiente angolare che è. Anche s è in forma esplicita e ha coefficiente angolare 4. Pertanto r e s non sono fra loro parallele. Determinare se la retta r di equazione x = e la retta s di equazione x = 3 sono parallele fra loro. r e s non sono in forma esplicita né possono essere portate in tale forma perché la loro equazione non contiene y. Sappiamo però che le rette la cui equazione contiene la sola x sono parallele all asse y e quindi sono fra loro parallele. 1.10. La condizione di perpendicolarità Sia r una retta avente coefficiente angolare m 1 e s una retta avente coefficiente angolare m. Vale la seguente: Condizione di perpendicolarità fra rette. r e s sono fra loro perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è 1. In formule: m 1 m = 1 (la dimostrazione di questa formula verrà data alla conclusione del capitolo). Esempio Dire se sono fra loro perpendicolari la retta r di equazione y = x 3 e la retta s di equazione x + 4y 5 = 0 r è in forma esplicita e quindi è immediato determinare il coefficiente angolare che è. s non è in forma esplicita. Portiamola in tale forma: x + 4y 5 = 0 4 4 y = x + 5 y = 4 1 4 + 5 4 y = 1 x + 5 4 quindi s ha coefficiente angolare 1. Calcoliamo il prodotto fra il coefficiente angolare di r (che è ) e il coefficiente angolare di s (che è 1 ) Se è 1 le due rette sono fra loro perpendicolari: ( 1 ) = 1 e quindi le due rette sono fra loro perpendicolari.

Alessandro Bocconi Un problema che ricorre spesso è quello di determinare una retta passante per un punto che sia parallela o perpendicolare a una retta assegnata. Si vedano i seguenti esempi: Esempi Determinare la retta passante per il punto A( 1; ) e parallela alla retta x + y 3 = 0. Si scrive l equazione delle infinite rette passanti per A: y = m(x + 1) Fra tali infinite rette, quella parallela alla retta assegnata è quella il cui coefficiente angolare è uguale al coefficiente angolare di x + y 3 = 0. Ricaviamoci allora il coefficiente angolare di x + y 3 = 0 portando l equazione in forma esplicita: quindi il coefficiente angolare è 1. x + y 3 = 0 y = x + 3 y = 1 x + 3 Sostituiamo allora tale valore, alla m, nell equazione delle infinite rette per A: che conclude l esercizio. y = 1 (x + 1) y = 1 x 1 + y = 1 x + 3 Determinare la retta passante per il punto A(3; 0) e perpendicolare alla retta y = 6x +. Si scrive l equazione delle infinite rette passanti per A: y = m(x 3) Fra tali infinite rette, quella perpendicolare alla retta assegnata è quella che ha il coefficiente angolare che moltiplicato per quello della retta assegnata ha come risultato 1. Quindi, dato che il coefficiente angolare della retta assegnata è 6, il coefficiente m deve soddisfare: 6 m = 1 quindi dividendo entrambi i termini per 6 otteniamo: 6 6 m = 1 6 m = 1 6 sostituiamo allora 1 6 alla m nell equazione delle infinite rette per A: y = 1 6 (x 3) y = 1 6 x + 3 1 6 y = 1 6 x + 1 che conclude l esercizio. 1.11 La retta per due punti Sappiamo che per due punti passa una e una sola retta. L equazione della retta per due punti assegnati non conterrà quindi nessun parametro e avrà come sole lettere x o y (o solo una delle due).

Alessandro Bocconi 3 Premettiamo la seguente: Osservazione. Se i due punti assegnati hanno la stessa ascissa (x), vuol dire che stanno sulla stessa verticale. L equazione della retta per questi due punti è quindi x = ascissa dei due punti. Esempio Determinare la retta passante per i punti A( ; 3) e B( ; 1). Tali punti hanno la stessa ascissa ( ) pertanto l equazione della retta per questi due punti è x =. Affrontiamo adesso, con due metodi diversi, il caso in cui i due punti abbiano ascissa diversa: il problema è quello di determinare l equazione della retta passante per questi due punti. Primo metodo: Si scrive l equazione delle infinite rette passanti per uno dei due punti assegnati. Si sostituisce a tale equazione alla x e alla y rispettivamente l ascissa e l ordinata dell altro punto. Si ottiene una equazione che ha come unica lettera la m e quindi la possiamo determinare. Si sostituisce la m trovata nell equazione delle infinite rette passanti per il primo punto. Chiariamo con un esempio. Determinare l equazione della retta passante per A( 1; 3) e B(; 9) Si scrive l equazione delle infinite rette passanti per A: y 3 = m(x + 1) Si sostituisce a tale equazione alla x e alla y rispettivamente l ascissa e l ordinata di B: 9 3 = m( + 1) Abbiamo ottenuto una equazione che ha come unica lettera m. Determiniamola: 6 = m 3 3 3 m = 6 3 m = Si sostituisce la m trovata nell equazione delle infinite rette per A: y 3 = (x + 1) y = x + + 3 y = x + 5 Quindi la retta cercata ha equazione y = x + 5 Osservazione. Saremmo arrivati allo stesso risultato cominciando con le infinite rette passanti per il punto B.

Alessandro Bocconi 4 Secondo metodo. Sappiamo che una retta generica può essere scritta come y = mx + q e che una volta determinati m e q abbiamo trovato la retta. Sostituiamo nell equazione y = mx + q alla x l ascissa del punto A e alla y l ordinata del punto A. Otteniamo un equazione contenenti le lettere m e q. Sostituiamo nell equazione y = mx + q alla x l ascissa del punto B e alla y l ordinata del punto B. Otteniamo un equazione contenenti le lettere m e q. Mettiamo a sistema le due equazioni e in tal modo determiniamo le incognite m e q Sostituiamo i valori trovati per m e q nell equazione y = mx + q. Chiariamo con lo stesso esempio di prima. Determinare l equazione della retta passante per A( 1; 3) e B(; 9) Sostituiamo nell equazione y = mx + q alla x l ascissa del punto A e alla y l ordinata del punto A. Otteniamo 3 = m + q Sostituiamo nell equazione y = mx + q alla x l ascissa del punto B e alla y l ordinata del punto B. Otteniamo 9 = m + q Mettiamo a sistema le due equazioni: { 3 = m + q 9 = m + q e risolviamo ad esempio ricavando q dalla prima e sostituendolo nella seconda: { q = m + 3 9 = m + m + 3 { q = m + 3 3m = 6 { q = m + 3 m = { q = + 3 = 5 m = Sostituiamo i valori trovati per m e q nell equazione y = mx + q ottenendo y = x + 5. Quindi la retta cercata ha equazione y = x+5 (che conferma il risultato trovato col primo metodo). 1.1 L intersezione fra due rette Se consideriamo due rette, esse possono essere fra loro: 1. incidenti. parallele e distinte 3. parallele e coincidenti (in pratica sono la stessa retta).

Alessandro Bocconi 5 Nel primo caso le due rette hanno un unico punto di intersezione, nel secondo nessuno e nel terzo infiniti. Per determinare il punto di intersezione, bisogna trovare un punto le cui coordinate x, y soddisfino sia l equazione della prima retta, sia l equazione della seconda retta. Da un punto di vista algebrico ciò si ottiene mettendo a sistema l equazione delle due rette, come si vede dai seguenti: Esempi Determinare il punto di intersezione fra le rette di equazione x + y = 5 e x + 5y + 1 = 0. Mettiamo a sistema le due equazioni: { x + y = 5 x + 5y + 1 = 0 e risolviamo ad esempio ricavando x dalla prima e sostituendola nella seconda: { { { { x = y + 5 x = y + 5 x = y + 5 x = + 5 = 3 9 ( y + 5) + 5y + 1 = 0 4y 10 + 5y + 1 = 0 9 y = 9 9 y = 1 Dal momento che il sistema ha una soluzione le due rette sono incidenti e il loro punto di intersezione ha coordinate (3; 1). Determinare il punto di intersezione fra le rette di equazione x + 4y = 5 e x y =. Mettiamo a sistema le due equazioni: { x + 4y = 5 x y = e risolviamo ad esempio ricavando x dalla seconda e sostituendola nella prima: { x + 4y = 5 x = y + { (y + ) + 4y = 5 x = y + { 4y + 4y = 5 + 4 x = y + { 0 = 9 x = y + Osserviamo che è scomparsa l incognita dalla prima equazione. Ricordando la teoria dei sistemi questo significa che il sistema è o impossibile (assenza di soluzioni) o indeterminato (infinite soluzioni). Se l uguaglianza (la prima equazione senza incognite è diventata un uguaglianza) è vera il sistema è indeterminato, mentre se l uguaglianza è falsa il sistema è impossibile. In questo caso, dato che l uguaglianza è falsa, il sistema è impossibile (assenza di soluzioni). Dal momento che il sistema non ha soluzioni significa che non esiste un punto di intersezione fra le due rette e quindi le due rette sono parallele e distinte. Determinare il punto di intersezione fra le rette di equazione 3x y = e 9x + 3y = 6. Mettiamo a sistema le due equazioni: { 3x y = 9x + 3y = 6 e risolviamo ad esempio ricavando y dalla prima e sostituendola nella seconda: { y = 3x + 9x + 3y = 6 { y = 3x 9x + 3(3x ) = 6 { y = 3x 9x + 9x 6 = 6 { y = 3x 0 = 0 Osserviamo che è scomparsa l incognita dalla seconda equazione. l uguaglianza è vera, il sistema è indeterminato (infinite soluzioni). In questo caso, dato che

Alessandro Bocconi 6 y=mx A O B y=m1x x=k Figura 1.14: Il triangolo AOB è rettangolo se le due rette oblique sono fra loro perpendicolari Dal momento che il sistema ha infinite soluzioni significa che esistono infiniti punti di intersezione fra le due rette e quindi le due rette sono coincidenti. La soluzione è quindi rappresentata dagli infiniti punti della retta y = 3x 1.13 Dimostrazione che due rette perpendicolari fra loro hanno il prodotto dei coefficienti angolari uguale a 1 (facoltativo) Sappiamo che una retta passante per l origine ha il termine noto q = 0 ed ha quindi equazione generica y = mx. Consideriamo allora due rette passanti per l origine di equazioni y = m 1 x e y = m x, dove m 1 e m sono i coefficienti angolari di tali rette. Consideriamo anche la retta verticale x = k e individuiamo il triangolo ABO i cui vertici sono le intersezioni di tali rette (fig 1.14). Determiniamo le coordinate dei vertici A e B (O è l origine che ha coordinate (0; 0)). A è l intersezione fra le rette x = k ed y = m 1 x (nella risoluzione dobbiamo vedere k, m 1 e m come dei numeri): { x = k y = m 1 x { x = k y = m 1 k quindi risulta A(k; m 1 k). B è l intersezione fra le rette x = k ed y = m x: { x = k y = m x { x = k y = m k quindi risulta B(k; m k). Ricaviamoci adesso le lunghezze dei lati: BA = (x A x B ) + (y A y B ) = (k k) + (m 1 k m k) = (m 1 k m k) = m 1 k m k AO = (x A 0) + (y A 0) = k + (m 1 k) = k + m 1 k

Alessandro Bocconi 7 OB = (x B 0) + (y B 0) = k + (m k) = A questo punto possiamo dimostrare la condizione di perpendicolarità. k + m k Infatti le rette y = m 1 x e y = m x sono perpendicolari se e soltanto se il triangolo AOB è rettangolo, e il triangolo AOB è rettangolo se e solo se su di esso vale il teorema di pitagora, quindi se e solo se: BA = AO + OB sostituendo ai segmenti le lunghezze dei lati appena determinate si ottiene: ) ) (m 1 k m k) = ( (k + m 1 k + ( (k + m k dal momento che la radice quadrata e l elevamento alla seconda si elidono a vicenda, si ottiene: dividendo tutti i termini per k : m 1k + m k m 1 m k = k + m 1k + k + m k dividendo per entrambi i termini si ottiene m 1 + m m 1 m = + m 1 + m m 1 m = m 1 m = 1 che dimostra che due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è 1. 1.14 Esercizi Paragrafo 1.4 1. Determina il punto medio fra le seguenti coppie di punti e rappresenta il tutto sul piano cartesiano. A(; 0) e B(3; 4) A( ; 1) e B( 3; 4) A(0; 0) e B(3; 0) A(; 5 ) e B( 3 4 ; 4 3 ) A(; 1 ) e B(3; 1 ). Determina il baricentro del poligono avente come vertici i punti A( 3; ), B( 3; 4), C(1; ) e D(1; 4) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano. 3. Determina il baricentro del poligono avente come vertici i punti A( 4; 1), B( 3; 3), C(1; ) e D(1; 6) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano. 4. il baricentro del poligono avente come vertici i punti A( 3; ), B( 3; 4), C(1; ), D(1; 4) e E( 6; 0) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano.

Alessandro Bocconi 8 5. il baricentro del poligono avente come vertici i punti A( ; 1), B(4; ) e C(1; 4) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano. 6. il baricentro del poligono avente come vertici i punti A( 4; 0), B(4; ), C(; 4) e D( 1; 1) e rappresenta il tutto sul piano cartesiano. 7. Sia A( ; 1). Determina le coordinate del punto B affinché il punto medio fra A e B sia M(0; ) 8. Sia A(3; 0). Determina le coordinate del punto B affinché il punto medio fra A e B sia M(1; 0) Paragrafo 1.5 9. Determina, dopo aver rappresentato A e B sul piano cartesiano la distanza fra A e B di coordinate: A(; 0) e B(5; 4) A( ; 0) e B( ; 4) A( ; 3) e B(4; 5) 10. Determina, dopo aver rappresentato A e B sul piano cartesiano la distanza fra A e B di coordinate: A( 1 ; 3) e B( 9 ; 0) A( ; 0) e B( 1; 1) A(; 3) e B(; 3) 11. Determina, dopo aver rappresentato A e B sul piano cartesiano la distanza fra A e B di coordinate: A( 1; 8) e B( 7; 4) A( ; 3) e B( ; 5) A( ; 3) e B(4; 5) Paragrafo 1.6 Disegna un reticolo di 15 x 15 celle: 1. annerisci le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima e traduci in simboli questa relazione fra coordinate. 13. annerisci le caselle che hanno la seconda coordinata uguale a 8 e traduci in simboli questa relazione fra coordinate. 14. annerisci le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla metà della prima e traduci in simboli questa relazione fra coordinate. 15. annerisci le caselle che hanno la seconda coordinata uguale al triplo della prima più 1 e traduci in simboli questa relazione fra coordinate. 16. annerisci le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima elevata alla seconda e traduci in simboli questa relazione fra coordinate. 17. annerisci le caselle che hanno la seconda coordinata uguale alla prima meno due e traduci in simboli questa relazione fra coordinate.

Alessandro Bocconi 9 18. annerisci le caselle che hanno la seconda coordinata uguale al doppio della prima meno e traduci in simboli questa relazione fra coordinate. Paragrafo 1.8 Porta quando possibile in forma esplicita le seguenti rette e successivamente rappresentale sul piano cartesiano: 19. x y = 4 0. 3x + 4y 1 = 0 1. x = y + 1. y = 3x + 4 3. x + 5y = 0 4. x y 3 = 0 5. x y = 0 6. x = 4 7. y + 3 = 0 8. 3x 6y = 6 9. x + y = 1 30. 3x y = 3 Verifica se i punti A e B appartengono alla retta indicata: 31. x y = 4 A(0; 4) B(; 0) 3. 3x + 4y 1 = 0 A( 1; 1) B(; ) 33. x = y + 1 A(0; 1) B(; 3) 34. y = 3x + 4 A( 1 3 ; 5) B(; 1 3 ) 35. x + 5y = 0 A(; 1) B(; 4 5 ) 36. x y 3 = 0 A(1; 1) B( ; 1) 37. x y = 0 A(; ; ) B( 3; 3) 38. x = 4 A(4; 3) B(3; 4) 39. y + 3 = 0 A(3; 3) B(3; 3) 40. 3x 6y = 6 A(4; 1) B(0; 1) 41. x + y = 1 A( 1 ; ) B( 3 ; ) 4. 3x y = 3 A(1; 0) B(0; 0) Paragrafo 1.1 Determina il coefficiente angolare m e il termine noto q delle seguenti rette: 43. x y = 3