Daniela Tondini dtondini@unite.it Facoltà di Medicina veterinaria CdS in Tutela e benessere animale Università degli Studi di Teramo 1
INDICI STATISTICI La moda M O di una distribuzione di frequenza X, calcolabile per caratteri sia quantitativi sia qualitativi, non risentendo dei valori estremi, rappresenta la modalità, o classe di modalità, caratterizzata dalla massima frequenza (assoluta o relativa) o densità di frequenza, ovvero il valore numerico che, nella distribuzione di frequenza, è maggiormente presente rispetto agli altri. A tal riguardo occorre evidenziare che la moda è una modalità, non una frequenza. Se si rappresenta, pertanto, la distribuzione di frequenza in termini grafici, si può affermare che la moda corrisponde al picco della distribuzione (ad esempio in un grafico a colonne o a nastri, la colonna più alta o il nastro più lungo individua la moda della distribuzione) che, di conseguenza, risulterà zeromodale se non ammette alcun valore modale, ovvero nessun picco, unimodale se ne ammette uno solo (in tal caso la moda ha significato di sintesi), bimodale se ne ammette due, trimodale se ne ammette tre,
INDICI STATISTICI Esempio La moda della seguente successione di termini (N=13): x 1 = 3; x 2 = 5; x 3 = 9; x 4 = 3; x 5 = 5; x 6 = 7; x 7 = 3; x 8 = 2; x 9 = 9; x 10 = 3; x 11 = 4; x 12 = 3; x 13 = 6 è data dal termine che compare con maggiore frequenza, ovvero è M O = 3 perché compare 5 volte. Esempio Data la variabile X = numero di esami sostenuti da sei studenti ed osservati i seguenti valori: STUDENTI Nicola Mary Eleonora Beatrice Davide Christian ESAMI 30 19 8 7 27 10 Si può concludere che la variabile X non ha moda, ovvero è zeromodale, essendo la moda definita come la modalità più frequente: non esiste, infatti, nessuna modalità (numero di esami) ripetuta più delle altre ovvero tutte le modalità hanno la stessa frequenza assoluta pari ad uno studente. Qual è la modalità più alta? 30 Qual è la modalità più frequente? Nessuna in quanto tutte hanno la stessa frequenza pari ad 1. Per individuare la moda di una variabile, dunque, bisogna chiedersi in primo luogo qual è la variabile e poi quali sono le modalità e qual è la modalità con la frequenza più alta.
INDICI STATISTICI Esempi v.s. discrete v.s. continue v.s. continue di uguale ampiezza di diversa ampiezza Voti x i Numeri di studenti n i 25 3 26 2 27 8 28 1 Voti x i Numeri di studenti n i 18---20 3 21---23 5 24---26 10 27---29 4 M O =27 M O =24---26 Voti x i Numeri di studenti a i d i = n i / a i n i 18---21 5 3 5/3 = 1,6 22---23 4 1 4/1 = 4 24---28 6 4 6/4 = 1,5 29---30 3 1 3/1 = 3 M O =22---23
INDICI STATISTICI Si osservi che: - per caratteri discreti la moda si individua facilmente scorrendo lungo la colonna delle frequenze, ovvero individuando la frequenza più alta; - per caratteri continui, se le classi di modalità hanno tutte uguale ampiezza, la moda cade nella classe con maggiore frequenza; se le classi di modalità, invece, hanno ampiezza diversa, si divide ogni frequenza per l ampiezza della rispettiva classe calcolando, così, la densità di frequenza; la moda, poi, cade nella classe con maggiore densità di frequenza.
INDICI STATISTICI I quantili sono una famiglia di misure che dividono, dopo aver ordinato i dati, una distribuzione in un certo numero di parti uguali (ad esempio, la mediana è quel valore che divide in due parti uguali l insieme delle unità ordinate per grandezza, ovvero la distribuzione è divisa, rispetto a tale valore, in due parti, ognuna contenente il 50% delle unità). Se si divide la distribuzione in tre parti si parla di terzili (il primo terzile è quello che lascia alla sua sinistra un terzo delle osservazioni e alla sua destra i rimanenti due terzi; il secondo terzile è quello che lascia alla sua sinistra i due terzi e alla sua destra un terzo rimanente). Se si divide la distribuzione in quattro parti si parla di quartili (il primo quartile Q 1 lascia alla sua sinistra il 25% dei casi e alla sua destra il rimanente 75%; il secondo quartile Q 2, che coincide con la mediana, lascia alla sua sinistra il 50% dei casi e alla sua destra il rimanente 50%; il terzo quartile Q 3 lascia alla sua sinistra il 75% dei casi e alla sua destra il rimanente 25%). Se si divide la distribuzione in dieci parti si parla di decili,, in cento parti si parla di percentili o centili. I quantili, dunque, si possono calcolare per tutte quelle variabili per le quali risulta possibile ordinarne le modalità, ovvero solo per variabili qualitative ordinabili e per variabili quantitative.
I PERCENTILI O CENTILI I percentili, o centili, rappresentano un modo per confrontare una misura con i valori normali della popolazione, ovvero rappresenta il livello di misura al di sotto del quale cade una determinata percentuale della distribuzione. Ad esempio, il pediatra, quando effettua i bilanci di salute è solito dire a quale percentile il bambino corrisponde. Il percentile, o più precisamente i diagrammi percentili, costituiscono l unità di misura che si utilizza per stabilire come procede la crescita del bambino in peso e in altezza. Sono realizzati considerando, come termine di paragone, gruppi formati da 1000 bambini della stessa età. I bambini vengono suddivisi a seconda del peso e della statura e poi vengono inseriti in 100 sottogruppi, ciascuno formato da 10 bambini. Ogni sottogruppo dei 100 rappresenta un centile ed ogni centile rappresenta l 1% della popolazione infantile dell età anagrafica presa in esame. Nel primo centile, dunque, si trovano i bambini più piccoli e nel centesimo centile quelli più alti e grandi. La maggior parte della popolazione infantile è posizionata tra il 25 ed il 75 percentile. I bambini che si trovano al 50 centile sono i bambini di dimensioni medie.
I PERCENTILI O CENTILI Ma allora, cosa significa occupare il 90 percentile per statura? Significa occupare il 90 posto per statura in una scala ordinata di 100 stature prese a caso; vale a dire che, se si prendono altri 100 coetanei, 90 saranno più bassi e 10 più alti. Analogamente, il 50 centile significa avere 50 più alti e 50 più bassi, ovvero avere un valore medio di statura. Al contrario, essere sul 5 centile significa essere fra i più piccoli, ovvero solo 5 saranno più bassi. In realtà, qualsiasi misurazione può essere confrontata con il metodo dei centili, non solo l altezza ma anche il peso, la circonferenza cranica, la pressione arteriosa, la colesterolemia, Tale misura risulta, dunque, particolarmente utile per individuare i limiti di normalità: in generale, infatti, si considera il 3 percentile come limite inferiore ed il 97 percentile come limite superiore; oltre tali limiti, pertanto, la deviazione della norma merita attenzione. I percentili maggiormente usati sono: - il 25, ovvero il primo quartile; - il 50, ovvero il secondo quartile o mediana; - il 75, ovvero il terzo quartile.
I QUARTILI Q 1 Q 2 Q 3
I QUARTILI Se X è una variabile discreta con N modalità quantitative ordinate x 1, x 2,, x n (x 1 x 2 x n ) ed i dati sono in una distribuzione unitaria con frequenza pari ad 1, per il calcolo dei quartili occorre utilizzare le seguenti formule: - se N è pari ed N è divisibile per 4: Q 1 x N N 1 4 4 2 x Q 2 M e x N N 1 2 2 2 x Q 3 x N N 1 4 4 2 x - se N è dispari ed N+1 è divisibile per 4 : Q si conta da sinistra 1 xn 1 4 Q M x 2 e N 1 2 si conta da destra Q 3 xn 1 4
I QUARTILI Esempio Date le seguenti modalità (N=7, dispari): 20; 65; 2; 10; 37; 15; 3 il loro quartile Q 1 si ottiene ordinando dapprima le modalità in ordine crescente: x 1 = 2; x 2 = 3; x 3 = 10; x 4 = 15; x 5 = 20; x 6 = 37; x 7 = 65 e poi applicando la formula precedentemente riportata, ovvero: Q x x x x 1 N 1 71 8 2 4 4 4 Analogamente il terzo quartile Q 3 si ottiene considerando la modalità che occupa sempre il secondo posto partendo, però, dall ultima osservazione, ovvero Q 3 = x 6 = 37. Invece, la mediana, ovvero il secondo quartile, è data da: Q M x x x x 15 2 e N1 71 8 4 2 2 2 3
Esempio Date le seguenti modalità (N=8, pari): 20; 65; 83; 10; 37; 15; 3; 2 il loro quartile Q 1 si ottiene ordinando dapprima le modalità in ordine crescente: x 1 = 2; x 2 = 3; x 3 = 10; x 4 = 15; x 5 = 20; x 6 = 37; x 7 = 65; x 8 = 83 e poi applicando la formula precedentemente riportata, ovvero: Q 1 xn xn x8 x8 1 1 4 4 4 4 x2 x3 3 10 13 6,5 2 2 2 2 2 Per il terzo quartile Q 3 occorre considerare le modalità di posizione 2 e 3 partendo dall ultima osservazione, ovvero: Q Invece, la mediana, ovvero il secondo quartile, è data da: Q 2 I QUARTILI 3 37 65 102 51 2 2 xn xn x8 x8 1 1 2 2 2 2 x4 x5 15 20 35 Me 17,5 2 2 2 2 2
I QUARTILI Se X è una variabile discreta con N modalità quantitative ordinate x 1, x 2,, x n (x 1 x 2 x n ) o qualitative ordinabili ed i dati sono organizzati in frequenze (tabella di distribuzione), per il calcolo dei quartili occorre utilizzare le frequenze relative cumulate ricordando che: - il 25 percentile rappresenta il primo quartile; - il 50 percentile rappresenta il secondo quartile o mediana; - il 75 percentile rappresenta il terzo quartile.
I QUARTILI Esempio Se si effettua un indagine e si ottiene la seguente tabella: x i F.A.=n i 5 135 7 123 10 97 11 127 21 99 29 51 35 43 38 51 39 80 40 109 allora occorre considerare le frequenze relative e le relative cumulate, tenendo conto che è N=915, ovvero:
Q 1 Q 2 Q 3 I QUARTILI x i n i F.R. F.R.C. 5 135 0,1475 0,1475 7 123 0,1344 0,2819 10 97 0,1060 0,3879 11 127 0,1387 0,5266 21 99 0,1081 0,6347 29 51 0,0557 0,6904 35 43 0,0469 0,7373 38 51 0,0557 0,793 39 80 0,0874 0,8804 40 109 0,1191 0,9995 N 915 25% 50% 75% da cui segue: Q1 7 Q2 11 Q3 38
Esempio In un sondaggio effettuato all interno di una facoltà composta da 250 studenti si intende rilevare il carattere «gradimento dei professori» secondo cinque modalità qualitative ordinate. Risulta che 10 studenti si dicono entusiasti dell operato dei professori, 51 soddisfatti, 63 mediamente soddisfatti, 90 insoddisfatti e 36 molto delusi. Determinare i quartili. I dati del problema possono essere riassunti nella seguente tabella, ordinando le modalità qualitative in senso crescente: Gradimento dei professori I QUARTILI F.A. Molto delusi 36 Insoddisfatti 90 Mediamente soddisfatti 63 Soddisfatti 51 Entusiasti 10 Anche in questo caso, quindi, occorre ricorrere alle frequenze relative cumulate.
I QUARTILI Q1, Q2 Q 3 Gradimento dei professori F.A. F.R. F.R.C. Molto delusi 36 0,144 0,144 Insoddisfatti 90 0,36 0,504 Mediamente soddisfatti 63 0,252 0,756 Soddisfatti 51 0,204 0,96 Entusiasti 10 0,04 1 N=250 25% e 50% 75% da cui segue: Q1, Q2 insoddisfatti Q3 mediamente soddisfatti ovvero «almeno» la metà degli studenti è insoddisfatto dei professori ed «almeno» ¾ è mediamente soddisfatto.
I QUARTILI Se X è una variabile discreta con N (pari o dispari; N ed N+1 non divisibili per 4) modalità quantitative ordinate x 1, x 2,, x n (x 1 x 2 x n ) ed i dati sono in una distribuzione unitaria con frequenza pari ad 1, per il calcolo dei quartili occorre utilizzare le seguenti formule: posizione di Q x 1 N 1 1 4 posizione di Q x 2 N 1 2 4 posizione di Q x 3 N 1 3 4
I QUARTILI Esempio Sei bambini di 36 mesi hanno ottenuto ad un test sul linguaggio la seguente serie di punteggi: 23; 29; 42; 47; 53; 70 Determinare i quartili. In primo luogo osserviamo che risulta N=6 pari; inoltre N ed N+1 non sono divisibili per 4. Osserviamo, inoltre, che le modalità sono già ordinate in senso crescente. Risulta, quindi: Q x x x x 1 N 1 61 7 1,75 1 1 1 4 4 4 Q x x x x x 2 N 1 61 7 7 3,5 2 2 2 4 4 4 2 Q x x x x 3 N 1 61 7 5,25 3 3 3 4 4 4
I QUARTILI Quindi possiamo affermare che: - il primo quartile, che è la modalità di posizione 1,75, ovvero compresa tra la prima e la seconda, assume un valore compreso tra 23 e 29; - il secondo quartile, che è la modalità di posizione 3,5, ovvero compresa tra la terza e la quarta, assume un valore compreso tra 42 e 47; - il terzo quartile, che è la modalità di posizione 5,25, ovvero compresa tra la quinta e la sesta, assume un valore compreso tra 53 e 70. In tal caso si procede nel modo seguente: si moltiplica la differenza tra i due valori per la quantità che eccede dalla posizione occupata dal quartile; il risultato va poi sommato al valore corrispondente alla posizione occupata dal quartile. Quindi, risulta: Q1 29 23 0,75 23 27,5 Q2 47 42 0,5 42 44,5 Q3 70 53 0, 25 53 57, 25
I QUARTILI Esempio Dati i seguenti risultati relativi alla resistenza alla trazione di un lotto di cavi prodotti da un azienda: 1,2; 3,5; 4,3; 7,2; 7,9; 8,1; 8,9; 9,3; 10,2; 11,7; 13,8; 15,5; 17,1 Determinare i quartili. In primo luogo osserviamo che risulta N=13 dispari; inoltre N ed N+1 non sono divisibili per 4. Osserviamo anche che le modalità sono già ordinate in senso crescente. Risulta, quindi: Q x x x x 1 N 1 131 14 3,5 1 1 1 4 4 4 Q x x x x x 2 N 1 131 14 14 7 2 2 2 4 4 4 2 Q x x x x 3 N 1 131 14 10,5 3 3 3 4 4 4
I QUARTILI Quindi possiamo affermare che: - il primo quartile, che occupa la posizione 3,5, ovvero compresa tra la terza e la quarta, assume un valore compreso tra 4,3 e 7,2; - il secondo quartile, occupa la posizione 7, ed è pari a 8,9; - il terzo quartile, che occupa la posizione 10,5, ovvero compresa tra la decima e l undicesima, assume un valore compreso tra 11,7 e 13,8. In tal caso si procede nel modo seguente: si moltiplica la differenza tra i due valori per la quantità che eccede dalla posizione occupata dal quartile; il risultato va poi sommato al valore corrispondente alla posizione occupata dal quartile. Quindi, risulta: Q1 7, 2 4,3 0,5 4,3 5,75 Q2 8,9 Q3 13,8 11,7 0,5 11,7 12,75
INDICI DI VARIABILITÀ La variabilità può essere definita come l attitudine di un carattere ad assumere diverse modalità quantitative; la variabilità, cioè, è la quantità di dispersione presente nei dati. Il campo di variazione o range R di una sequenza N di numeri x 1, x 2,, x n si ottiene effettuando la differenza tra il dato più grande ed il dato più piccolo: R x x max Il range, però, pur essendo molto semplice da calcolare, è poco significativo poiché tiene conto solo del valore più piccolo e di quello più grande, trascurando tutti gli altri valori. Può essere utile, ad esempio, in campo meteorologico quando viene indicata l escursione termica. Il campo di variazione, pertanto, fornisce informazioni sulla distribuzione dei dati: - più R è piccolo, più i dati sono concentrati; - più R è grande, più i dati sono dispersi. min
INDICI DI VARIABILITÀ La varianza 2 di una sequenza N di numeri x 1, x 2,, x n è il quadrato dello scarto quadratico medio; in formule è data da: 2 2 2 2 1 a 2 a... n a x M x M x M Dev N N avendo indicato con Dev la devianza, ovvero la somma dei quadrati degli scarti dei numeri dati dalla loro media aritmetica M a. Lo scarto quadratico medio o deviazione standard di una sequenza di numeri x 1, x 2,, x n rappresenta la media quadratica degli scarti dei dati dalla media aritmetica M a ; in formule è dato da: x M x M x M 2 2 2 a a n a 1 2... N
Si osservi, però, che la varianza si può ottenere anche facendo la media aritmetica dei quadrati delle modalità meno il quadrato della media aritmetica, ovvero in formule: - se i dati sono senza frequenze: - se i dati sono con frequenze: INDICI DI VARIABILITÀ 2 2 2 1 n i i a x M N 2 2 2 1 1 s i i i a s i i x n M N n 2 Dev N 2 Dev N
INDICI DI VARIABILITÀ Esempio Data la seguente tabella: Valori x i F.A. n i 2 3 4 1 8 2 11 4 Tot. 10 Calcolare scarto quadratico medio e varianza. Si ha: M a 23 41 8 2 11 4 10 7
INDICI DI VARIABILITÀ Ne segue che la varianza è data da: 2 2 2 2 2 2 7 3 4 7 1 8 7 2 11 7 4 150 15 10 10 da cui ne deriva che la devianza è data dal numeratore della varianza, ovvero: Dev 150 e lo scarto quadratico medio è dato da: 2 150 15 3,87 10
INDICI DI VARIABILITÀ Utilizzando l altro metodo, si ha che la varianza è data da: s 2 xi ni 2 2 2 2 2 i1 2 2 M s a 2 3 4 1 8 2 11 4 7 15 n 10 i1 i da cui la devianza è data da: Dev 1510 150 e lo scarto quadratico medio è dato da: 2 15 3,87
INDICI DI VARIABILITÀ Il coefficiente di variazione CV è una misura relativa (le precedenti sono tutte assolute) di dispersione ed è una grandezza adimensionale particolarmente utile quando si devono confrontare le distribuzioni di due gruppi con medie molto diverse o con dati espressi in scale differenti (ad esempio, confronto tra variazione del peso e variazione dell altezza). In formule, è dato da: CV 100 % M a
INDICI DI VARIABILITÀ Lo scostamento semplice medio S(M a ) consiste nel calcolare la distanza di tutti i dati dalla media e fare la media aritmetica di tali distanze. In formule, è dato da: - se i dati sono senza frequenze: n i1 S M a x i N M a - se i dati sono con frequenze: s i1 S M a x M n i a i N s i1 n i
INDICI DI VARIABILITÀ Esempio Se si considerano le seguenti valutazioni delle tre prove degli esami di stato riportate da quattro studenti: STUDENTI Nicola Mary Eleonora Giacomo PRIMA PROVA 3 5 8 9 SECONDA PROVA 2 7 8 8 TERZA PROVA 6 7 6 6 si ha: M M M 6, 25 1 2 3 a a a
INDICI DI VARIABILITÀ da cui gli scarti semplici medi delle tre prove sono rispettivamente: 4 4 4 3 6,25 5 6,25 8 6,25 9 6,25 3,25 1,25 1,75 2,75 9 1 S M a 2,25 4 4 4 2 6,25 7 6,25 8 6,25 8 6,25 4,25 0,75 1,75 1,75 8,5 2 S M a 2,125 0,375 4 4 4 6 6,25 7 6,25 6 6,25 6 6,25 0,25 0,75 0,25 0,25 1,5 3 S M a Si può osservare, quindi, che nella prima prova lo scarto, pari a 2,25 (ovvero i valori della sequenza si discostano mediamente di 2,25 dalla media), è superiore rispetto a quello della terza prova, i dati sono più dispersi ed i risultati più eterogenei; nella terza prova, in cui lo scarto è pari a 0,375, invece, i dati sono più concentrati ed i risultati più omogenei. La distribuzione della prima prova, inoltre, risulta diversa da quella della seconda prova. Dunque, più S(M a ) è piccolo, più i dati sono concentrati, più S(M a ) è grande più i dati sono dispersi. Inoltre, S(M a ) è espresso nella stessa unità di misura dei dati ed S(M a ) tiene conto di tutti i dati della distribuzione.