ALGEBRA LINEARE I (A) PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 2003/04, GEMMA PARMEGGIANI

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Unverstà degl Stud d Padova Dpartmento d Matematca Pura e Applcata va Belzon, 7 353 Padova. Programma. Esercz tpo svolt 3. Eserctazon a grupp svolte Typeset by AMS-TEX

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Programma del corso d Algebra Lneare I A Il testo d rfermento è: Appunt d Algebra Lneare, Gregoro, Parmeggan, Salce 6//4 Matrc. Esemp. Tp partcolar d matrc. Prodotto d una matrce per uno scalare. Somma d due matrc. Propretà della somma e del prodotto per uno scalare. Prodotto d un vettore rga per un vettore colonna. Dal lbro: Da pag. a pag. 6. Esercz per casa: Eserczo delle Eserctazon *. 7//4 Prodotto rghe per colonne d matrc. Esemp. Propretà del prodotto rghe per colonne. Premoltplcazone e postmoltplcazone per matrc dagonal. Il prodotto rghe per colonne non è commutatvo. Potenze d matrc. Trasposta e H-trasposta d una matrce. Esercz. Dal lbro: Da pag. 6 a pag. saltando pag. 7. Esercz per casa: Esercz, 3, 4, 5 delle Eserctazon *. 3//4 Matrc smmetrche, ant-smmetrche, hermtane, ant-hermtane e loro propretà. Parte hermtana ed ant-hermtana d una matrce. Sottomatrc. Dal lbro: Da pag. a pag. 5. Esercz per casa: Esercz 6, 7 delle Eserctazon *. 4//4 Decomposzone a blocch e operazon a blocch. Cas partcolar d decomposzon a blocch. Scrttura matrcale d un sstema lneare. Operazon elementar sulle equazon d un sstema. Dal lbro: Da pag. 5 a pag. 9. Pag. 7. Esercz per casa: Eserczo 8 delle Eserctazon *. 5//4 Operazon elementar sulle rghe d una matrce. Elmnazone d Gauss EG. Forma rdotta d Gauss d una matrce, colonne domnant, colonne lbere. Esemp. Rsoluzone d sstem lnear. Esemp d sstem lnear senza soluzon, con un unca soluzone, con nfnte soluzon. Dal lbro: Da pag. 9 a pag. 6. Nota sulle operazon elementar fle sulla pag. web, Esercz per casa: Esercz e 3 delle Eserctazon *. //4 Eserczo Tpo. Rango d una matrce. Inverse destre, snstre blatere. Esemp. Dal lbro: Da pag. 6 a pag. 9 tutto comprese le dmostrazon delle proposzon 4. e 4.4 fno all enuncato d 4.5. escluso. Enuncat d: 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 a pag 8 e 9. Nota : osservazon sul rango d una matrce fle sulla pag. web. Esercz per casa: Eserczo Tpo. Esercz e 4 delle Eserctazon *. //4 Crtero per l esstenza d una nversa destra e sua costruzone. Eserczo Tpo 3. Come costrure

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 l nversa snstra d una matrce la cu trasposta abba un nversa destra esempo numerco: eserczo Tpo 3 bs. Crtero per l esstenza d una nversa snstra. Inverse d matrc. Algortmo d Gauss-Jordan. Dal lbro: Teorema 4. con dmostrazone, enuncat d 4. e 4.. Esercz per casa: Esercz,, 4 e 5 delle Eserctazon *3. //4 Algortmo d Gauss-Jordan per l calcolo dell nversa. Eserczo Tpo 4. Spaz vettoral. Esemp. Sottospaz vettoral. Esemp. Dal lbro: Enuncato d 4.5 e propretà delle matrc nvertbl a pag. 3. Da pag 35 a pag. 39. Da pag. 45 a pag. 5. Esercz per casa: Esercz 3, 6, 7 e 8 delle Eserctazon *3. //5 Insem d vettor. Combnazon lnear. Sottospaz generat da nsem d vettor. Insem d generator. Prma domanda dell eserczo Tpo 5. Dal lbro: Pag. 5 e pag. 5. Proposzone.6. con dmostrazone ed esempo.7. a pag. 5. La seconda parte d pag. 53. Esercz per casa: Esercz e delle Eserctazon *4. //5 Seconda domanda dell eserczo Tpo 5. Lo spazo nullo d una matrce. Sottonsem e unon d nsem d vettor Esemp d nsem d generator. Insem d vettor lnearmente dpendent e nsem d vettor lnearmente ndpendent. Dal lbro: Enuncato della Proposzone.4. a pag. 5. Da pag. 53 a pag. 56. Enuncato della Proposzone.8., Proposzone.4. con dmostrazone, defnzone d nseme d vettor lnearmente ndpendente a pag. 57 e Proposzone.. Esercz per casa: Esercz 3 e 4 delle Eserctazon *4. //5 Eserczo Tpo 6. L nseme delle colonne domnant d una matrce n forma rdotta d Gauss è L.I. Bas. Esemp. Ogn spazo vettorale fntamente generato ha una base. Come estrarre una base da un nseme d generator. Impostazone dell eserczo Tpo 7. Dal lbro: Proposzone.8 e Proposzone.. Esempo.6. Defnzone d base a pag. 6. Da pag 56 a pag. 59 saltando l Teorema.5. Esercz per casa: Esercz 5 e 6 delle Eserctazon *4. 7//5 Caratterzzazon delle bas come nsem come nsem d generator mnmal. Eserczo Tpo 7. Teorema d Stentz Teorema 3.7 con dmostrazone e Teorema 3.8. Dal lbro: Da pag. 6 a pag. 63. Esercz per casa: Esercz e delle Eserctazon *5. 8//5 Teorema 3. equpotenza delle bas d uno spazo vettorale fntamente generato, con dmostrazone. Dmensone d uno spazo vettorale. Lemma 3. e Proposzone 3.7. Caratterzzazon delle bas come nsem lnearmente ndpendent massmal. Applcazon lnear. Esemp. Applcazone lneare

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ndotta da una matrce. Spazo nullo e mmagne d un applcazone lneare. Il caso d un applcazone lneare ndotta da una matrce. Spazo delle colonne d una matrce. Teorema nulltà+rango. Dal lbro: Da pag. 63 a pag. 73 saltando le Proposzon 3.8, 4.7, 4., 4. e 4.3. Esercz per casa: Esercz 3, 4 e 5 delle Eserctazon *5. 9//5 Dmensone e bas dello spazo nullo d una matrce. Eserczo Tpo 8. Spazo delle rghe d una matrce. Bas dello spazo delle colonne e dello spazo delle rghe d una matrce. Prmo caso dell Eserczo Tpo 9. Dal lbro: Da pag. 73 a pag. 77. Esercz per casa: Eserczo 6 delle Eserctazon *5. 4//5 Nota 3. Propretà del rango. Bas ordnate. Mappa delle coordnate. Matrce d passaggo da una base ordnata ad un altra. Matrce assocata ad un applcazone lneare rspetto a fssate bas su domno e codomno. Secondo caso dell Eserczo Tpo 9. Esercz Tpo, e. Dal lbro: Da pag. 77 a pag. 8. Esercz per casa: Eserczo 7 delle Eserctazon *5 ed Eserczo delle Eserctazon *6. 5//5 Come camba la matrce cambando le bas sul domno e sul codomno. Interpretazone geometrca d R ed R 3. Regola del parallelogramma. Norme d vettor. Le norme.,. e.. Eserczo Tpo 3. Dal lbro: Appendce C: da pag. 3 a pag. 35. Da pag. 83 a pag. 93. Esercz per casa: Eserczo delle Eserctazon *6. 6//5 Eserczo Tpo 4. Come cambano le coordnate d un punto nel pano ruotando l sstema d rfermento. Matrc d rotazone. Il coseno dell angolo tra due vettor d R. Prodott ntern. Il prodotto nterno standard. Prma verfca nell Eserczo Tpo 5. Dal lbro: Da pag. 93 a pag. 97. Esercz per casa: Esercz 3 e 4 delle Eserctazon *6. 3//5 Fne dell Eserczo Tpo 5. La norma ndotta da un prodotto nterno. La dseguaglanza d Cauchy-Schwarz. Non tutte le norme sono ndotte da prodott ntern. Vettor ortogonal n uno spazo eucldeo. Insem ortogonal e bas ortogonal. Bas ortonormal. L algortmo d Gram-Schmdt. Prmo punto dell Eserczo Tpo 6. Dal lbro: Da pag. 97 a pag., da pag. 6 a pag. 5. Esercz per casa: Eserczo 5 delle Eserctazon *6 ed Eserczo delle Eserctazon *7. //5 Fne dell Eserczo Tpo 6. Il complemento ortogonale d un sottospazo d uno spazo eucldeo, e le sue propretà. La proezone ortogonale d uno spazo eucldeo su d un suo sottospazo, ed l suo calcolo. Eserczo Tpo 7. Dal lbro: Da pag. a pag. 6.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 Esercz per casa: Eserczo 6 delle Eserctazon *6 ed Esercz e 3 delle Eserctazon *7. //5 Calcolo d determnant. Propretà de determnant. Eserczo Tpo 8. Dal lbro: Appendce D: da pag. 37 a pag. 46. Esercz per casa: Eserczo 4 delle Eserctazon *7.

6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO Rsolvere l sstema lneare Ax b ne tre seguent cas: a A 4 3 e b ; 3 3 7 b A 3 6 4 5 e b 4 ; 3 3 6 c A 4 8 4 e b 3 5. a Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema: A b 4 3 E3 3E E 3 3 7 E 3 U d Pochè d è domnante, allora Ux d, e qund anche Ax b, non ha soluzon. Infatt: l sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d, che è una scrttura compatta per x + x + x 3 x 3, e pochè l ultma equazone d non ha soluzon, non ha soluzon. b Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema: A b 3 4 6 4 5 E3 E 3 4 3 3 6 4 8 E 3 3 4 4 8 U d. Il sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d, che è una scrttura compatta per x + 3x x 3 + x 4 + x 5 4 x 3 + x 4 + 4x 5 8. x 5 Pochè d è lbera, Ux d ammette soluzon.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 7 Pochè U ha esattamente due colonne lbere la a e la 4 a, Ux d ha soluzon. Sceglamo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U e con la sosttuzone all ndetro ottenamo: x h x 4 k x 5 x 3 x 4 4x 5 + 8 k 4 + 8 k x 3x + x 3 x 4 x 5 + 4 3h + k k + 4 3h 5k Dunque l nseme delle soluzon d Ux d, e qund anche d Ax b, è 3h 5k h k h, k C. k c Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema: A b 4 8 4 3 E3 E E 4 3 5 5 E 3 3 U d Il sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d, che è una scrttura compatta per x x + x 3 x x 3 3. x 3 Pochè d è lbera, Ux d ammette soluzon. Pochè U non ha colonne lbere, Ux d ha esattamente una soluzone. Con la sosttuzone all ndetro ottenamo: x 3 x x 3 + 3 + 3 5 x x x 3 5 8 Dunque l unca soluzone d Ux d, e qund anche d Ax b, è l vettore 8 5.

8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO S rsolva l sstema lneare Aαx bα dpendente dal parametro complesso α dove α α α Aα e bα + C 4. α α + α α α Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema. α α α Aα bα + E4α+E3 α α + α α α α α α + Bα cα. α + α + α + CASO α B c è una forma rdotta d Gauss per A b, qund A x b è equvalente a B x c che è una forma compatta per { x x x Pochè c è lbera, B x c ammette soluzon. Pochè B ha esattamente una colonna lbera, B x c ha soluzon. Sceglamo come parametro la varable corrspondente alla colonna lbera d B la 3 a e con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x 3 h x x x L nseme delle soluzon del sstema B x c e qund l nseme delle soluzon del sstema A x b è h C. h CASO α α α α Bα cα + E3 α+ α + α + α +

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 9 α α α α α + E4 α+ α + Cα dα. α + α Sottocaso α C d è una forma rdotta d Gauss per A b, qund Ax b è equvalente a Cx d che è una forma compatta per Pochè d è lbera, Cx d ammette soluzon. x x x 3 Pochè tutte le colonne d C sono domnant, Cx d ammette un unca soluzone. L unca soluzone d Cx d e qund d Ax b è v. α α α Sottocaso α / {, } Cα dα + E4 α α α α α + Dα eα è una forma rdotta d Gauss per Aα bα. Pochè eα è domnante, Dαx eα e qund d Aαx bα non ammette soluzon.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 3 S trovno tutte le nverse destre della matrce 6 8 Ponamo A. 8 8 Un nversa destra d A è una matrce 3 R tale che se R c c, allora c è soluzone d Bx e e c è soluzone d Ax e. Cerchamo tutte le soluzon d e. 6 8 E E A I 6 3 6 8 8 4 3 E 3 6 36 U b b. è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x 3x 3 6 x + x 3 36 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 h x x 3 36 h 36 x x + 3x 3 + 6 h 36 + 3h + 6 h + 9 L nseme delle soluzon d è h + 9 h 36 h C. h è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x 3x 3 x + x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 k x x 3 + k + x x + 3x 3 k + + 3k k + 6

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI L nseme delle soluzon d è k + 6 k + k C. k h + 9 k + 6 Le nverse destre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo Rh, k h 36 k + h k al varare d h, k C., ESERCIZIO TIPO 3 bs S trovno tutte le nverse snstre della matrce A 6 8. 8 8. Ponamo B A T.. Cerchamo tutte le nverse destre d B. Dall ESERCIZIO TIPO 3 sappamo che sono tutte e sole le h + 9 k + 6 matrc del tpo h 36 k +, al varare d h, k C. h k 3. Una matrce è nversa snstra d A se e solo se è la trasposta d una nversa destra d B. Qund h + h le nverse snstre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo 9 36 h k + 6 k + k al varare d h, k C.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 4 Sa Aα α α α, dove α C. Per quegl α C per cu Aα è non sngolare, s calcol Aα. Aα I 3 α α α E αe α α : A non ha nversa α α α E3 α α α E α α E3 α α : A non ha nversa α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α E 3 α+ α α α E 3 E α α α I 3 Aα. Se α / {, } Aα α α α + + α α α α α. α α

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 ESERCIZIO TIPO 5 S prov che S {v ;v ;v 3 ;v 4 ;v 5 } è un nseme d generator d R 3. Sa S {w ;w nseme d generator d R 3. 3 3 ;w 3 ;w 4 ;w 5 4 3 }. S dca se S è un Per provare che S è un nseme d generator d R 3 occorre provare che per ogn α, α, α 3, α 4, α 5 R tal che a b c α v + α v + α 3 v 3 + α 4 v 4 + α 5 v 5 α + α + α 3 + α 4 + α 5 ossa che l sstema lneare α + α + α 3 a α + α + α 4 b α 3 α 4 + α 5 c nelle ncognte α, α, α 3, α 4, α 5 ha soluzone qualunque sano a, b, c R. a b R 3 esstono c α + α + α 3 α + α + α 4 α 3 α 4 + α 5 Facendo una elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata del sstema s ottene a b a b a E c c a a b U d. E 3 E c + b a Pochè d è lbera qualunque sano a, b, c R, allora ha soluzone qualunque sano a, b, c R, per cu S è un nseme d generator d R 3. Per sapere se S è o meno un nseme d generator d R 3 dobbamo verfcare se per ogn esstano o meno α, α, α 3, α 4, α 5 R tal che a b c α w + α w + α 3 w 3 + α 4 w 4 + α 5 w 5 α + α 3 3 + α 3 + α 4 + α 5 4 3 a b c α + 3α + α 3 + α 4 + 4α 5 α + 3α + α 4 + 3α 5 α 3 + α 4 + α 5 R 3

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ossa se l sstema lneare α + 3α + α 3 + α 4 + 4α 5 a α + 3α + α 4 + 3α 5 b α 3 + α 4 + α 5 c nelle ncognte α, α, α 3, α 4, α 5 abba o meno soluzone per ogn a, b, c R. Se avesse soluzone per ogn a, b, c R allora S sarebbe un nseme d generator d R 3, n caso contraro ossa se esstono a, b, c R per cu non ha soluzone no. Facendo una elmnazone d Gauss sulla matrce aumentata del sstema s ottene 3 4 a 3 3 b 3 4 a b a E c c E 3 E 3 4 a a b c + b a U d. Pochè esstono a, b, c R per cu d è domnante ad esempo s prendano a b e c, allora S non è un nseme d generator d R 3 n altre parole: pochè esstono de vettor d R 3 che NON s possono esprmere come combnazone lneare degl element d S, ad esempo l vettore, allora S NON è un nseme d generator d R 3.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 ESERCIZIO TIPO 6 Sano v, v 3, v 4 3, v 4 S dca se S {v ;v ;v 3 ;v 4 } C 4 è lnearmente dpendente o lnearmente ndpendente.. Sano α, β, δ, γ C tal che αv + βv + δv 3 + γv 4 α Allora equvale a 3 α + β + δ β + δ γ 3α + 4β + δ + γ α + δ γ + β + δ + γ 4 è un sstema lneare nelle ncognte α, β, δ, γ. ha sempre la soluzone nulla ossa α β δ γ.. α + β + δ β + δ γ 3α + 4β + δ + γ α + δ γ Se essa dovesse essere l unca soluzone d qund se avesse un unca soluzone allora S sarebbe L.I., altrment, se ha anche una soluzone non nulla qund se ha pú d una soluzone allora S è L.D. Cerchamo allora le soluzon d. Facendo una elmnazone d Gauss sulla sua matrce aumentata s ottene 3 4 E 4E 3 3 U E 4 E 3 { α + β + δ Dunque è equvalente ad β + δ γ Sceglendo come parametr le varabl corrspondent alle colonne non domnant d U la 3 a e la 4 a, con γ h δ k la sosttuzone all ndetro s ottene β δ + γ k + h α β δ k + h k k h k h Il sstema ha k + h soluzon: tutt gl element dell nseme h, k C k. h.

6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Prendendo ad esempo h e k s ottene α, β γ, δ e v + v + v 4. Qund {v ;v ;v 3 ;v 4 } è lnearmente dpendente.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 7 ESERCIZIO TIPO 7 Sa W l nseme delle matrc real smmetrche. L nseme S { C ;C è un nseme d generator d W. 3 ;C 3 3 S trov una base d W contenuta n S. ;C 4 ;C 5 ;C 6 } MODO Restrngamo un nseme d generator d W. passaggo. Esstono n S vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S? C 5 è senz altro combnazone degl altr: C 5 O C + C + C 3 + C 4 + C 6, per cu toglamo subto C 5 toglamo comunque subto tutt gl eventual vettor d S che sano null, e ponamo S { C ;C 3 ;C 3 3 ;C 4 ;C 6 }. passaggo. S è ancora un nseme d generator d R 3. Esstono n S vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S? Pochè ma anche C C 6 C + C 3 + C 4 + C 6 C 6 C C + C + C 3 + C 4 possamo toglere da S l vettore C, oppure possamo toglere da S l vettore C 6, ottenendo ancora un nseme d generator d R 3. Dunque, guardamo se tra vettor d S c sano coppe d vettor d cu l uno è multplo dell altro, e per cascuna d queste eventual coppe toglamo uno d due vettor. In questo caso abbamo ndvduato la coppa C,C 6 e sceglamo d toglere C. Ponamo S { C 3 ;C 3 3 ;C 4 ;C 6 }. 3 passaggo. S è ancora un nseme d generator d R 3. Esstono n S vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S? Sa α C + α C 3 + α 3 C 4 + α 4 C 6 O una combnazone lneare nulla de vettor d S. Allora da 3 α + α 3 + α 3 + α 4 α + α + α 3 3α + α + α 4 3α + α + α 4 α 3 + α 4

8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI s ottene l sstema lneare, nelle ncognte α, α, α 3, α 4 α + α + α 3 3α + α + α 4 α 3 + α 4 Facendo una E.G. sulla sua matrce aumentata s ha: 3 E 3E 3 E 3, per cu l sstema è equvalente al sstema α + α + α 3 α + 3α 3 α 4 α 3 + α 4 l cu nseme delle soluzon è h 5h h R h h 5 Prendendo una sua soluzone non nulla, ad esempo C + 5C 3 C 4 + C 5 O, s ponga h, s ottene per cu C,C 3, C 4 e C 5 sono combnazon lnear degl altr element d S e cascuno d loro puó essere scelto come elemento da elmnare da S. Sceglamo d toglere da S la matrce C combnazone lneare degl altr element d S e ponamo S 3 { C 3 ;C 4 ;C 5 } 4 passaggo. S 3 è ancora un nseme d generator d R 3. Esstono n S 3 vettor che sano combnazon lnear degl altr vettor d S 3? Sa α C 3 + α C 4 + α 3 C 5 O una combnazone lneare nulla de vettor d S. Allora da α + α α + α + α 3 α + α 3 α + α 3 α + α 3 s ottene l sstema lneare, nelle ncognte α, α, α 3 α + α α + α 3 α + α 3

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 9 Facendo una E.G. sulla sua matrce aumentata s ottene: E E3 E E3 L unca soluzone del sstema è quella nulla, per cu S 3 è lnearmente ndpendente, ed è una base d W contenuta n S. MODO Invece d toglere successvamente vettor che sano combnazon lnear d quell rmast, ossa nvece d restrngere nsem d generator, s puó allargare nsem L.I. Ad esempo:. C per cu {C } è L.I. Tenamo C. Chamamo S S.. {C ;C } è L.I. Tenamo C. Chamamo S S. 3. {C ;C ;C 3 } è L.I. Tenamo C 3. Chamamo S 3 S }. 4. {C ;C ;C 3 ;C 4 } è L.D. Toglamo C 4. Chamamo S 4 S 3 \ {C 4 } {C ;C ;C 3 ;C 5 ;C 6 }. 5. {C ;C ;C 3 ;C 5 } è L.D. Toglamo C 5. Chamamo S 5 S 4 \ {C 5 } {C ;C ;C 3 ;C 6 }. 6. {C ;C ;C 3 ;C 6 } è L.D. Toglamo C 6. Chamamo S 6 S 5 \ {C 6 } {C ;C ;C 3 }. Dunque S 6 {C ;C ;C 3 } è una base d W contenuta n S.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 8 S trov una base dello spazo nullo NA della matrce A 3. 4 3 Pochè NA NU per ogn forma rdotta d Gauss U d A perchè NA è l nseme delle soluzon del sstema omogeneo Ax, e se U è una forma rdotta d Gauss d A allora U è una forma rdotta d Gauss per A, per cu Ax è equvalente al sstema Ux, l cu nseme delle soluzon è NU, trovamo una base dello spazo nullo d una forma rdotta d Gauss per A. 3 E 3 A U 4 3 4 U è una forma rdotta d Gauss per A. Per l teorema nulltà + rango s ha Pochè dm NU numero delle colonne d U - rku 5 3. x x x x 3 x 4 x 5 { x + x NA + x 3 + 3x 5 x 3 + x 4 4x 5 sceglendo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U la a, la 4 a e la 5 a con la sosttuzone all ndetro s ottene x h x 4 k x 5 w x 3 x 4 + 4x 5 k + 4w x x x 3 3x 5 h k + 4w 3w h + k 7w Qund h + k 7w h NA NU { k + 4w h, k C} k w e chamando v l elemento d NA che s ottene ponendo h e k w, v l elemento d NA che s ottene ponendo h w e k, e v 3 l elemento d NA che s ottene ponendo h k e w, s ha che una base d NA è v ;v ;v 3 7 4.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 9 Sa A α α 3 α +, dove α C. 3 3α 3 α + 3 a Per ogn α C s dca qual è rka α e s trovno una base B α d CA α ed una base D α d RA α. b Sa A A la matrce che s ottene ponendo α. S trov una base dello spazo nullo NA d A. a A α α 3 α + E3 3E α α + 3 α B α 3 3α 3 α + 3 α CASO α + 3 coè α { 3, 3} B α 3 α E3 α α! 3 α U α α rka α 3 Una base B α d CA α è B α ; ; α +. 3 3 α + 3 3 Una base D α d RA α è D α ; ;. α Qund: B 3 ; ; + 3 3 3 3 + e D 3 3 ; 3 ;, 3 e B 3 ; ; 3 3 3 3 e D 3 3 ; ; 3. 3 CASO α + 3 coè α / { 3, 3} B α α α + 3 α E α +3 α α α +3 α α α +3 C α

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Sottocaso α C 3 U rka Una base B d CA è B ; 3. 3 Una base D d RA è D ; 3. Sottocaso α / { 3, 3, } C α α α α +3 α α +3 E3 α rka α 3 Una base B α d CA α è B α ; α 3 ; α + 3 3α. α + 3 α Una base D α d RA α è D α ; α ;. +3 α α +3 α α α +3 α +3 b A 3 3 3 3 Una forma rdotta d Gauss per A è U 3 trovata nel sottocaso. Per l Teorema nulltà+rango, dm NA numero delle colonne d A rk A 4. Pochè NA NU { x C 4 U x }, allora U α x x x NA x 3 x 4 { x + x 3 + x 4 x + 3 x 3 Prendendo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U, ossa la 3 a e la 4 a, con la

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 sosttuzone all ndetro s ottene x 3 h x 4 k x 3 x 3 3 h x x 3 x 4 h k h k Qund NA NU 3 h h, k C h. Ponendo: k v h k 3 e v h k, s ottene che una base d NA è v 3 ;v.

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO Sa B {v ;v ;...;v n } K n, dove K {R, C}. Per vedere se B è una base o meno d K n s puó procedere nel seguente modo: s costrusce la matrce n n le cu colonne sono gl element d B; s trova una forma rdotta d Gauss U per A. A v v... v n Se rkun ossa l numero delle colonne domnant d U, o, equvalentemente, l numero delle rghe non nulle d U è n, allora B è una base d K n, altrment ossa se rku < n B non è una base d K n. ESERCIZIO S dca per qual α R l nseme B α α ; ; α + è una base d R3. Costruamo una matrce le cu colonne sano gl element d B α : A α α α +. Il problema dventa stablre per qual α R s ha che rka α 3. Faccamo un elmnazone d Gauss su A α. A α α α + E3 E α α B α CASO: α B E3 U rka rku 3 B NON è una base d R 3. CASO: α B α α E /α /α U α rka α rku α 3 B α E una base d R 3.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 ESERCIZIO TIPO S calcol la matrce d passaggo M B B da B a B, dove B e B sono le seguent bas ordnate d R 3 : B { ; ; }, B { 3 ; ; 5 }. La matrce d passaggo M B B da B a B è 3 5 M B B C B C B C B. Per calcolarla, puttosto che calcolare separatamente C B 3, C B e C B 5, calcolamo C B a b c per un generco vettore a b R 3, e specalzzamo la formula ottenuta a tre dvers vettor 3,, c 5. Pochè allora C B a b c ossa α, β e δ sono tal che α + β + δ a β b α δ c per cu α β δ C B a b c α β δ a b α + β + δ c α + δ a b β b α δ c α + β + δ β α δ a a b + c/ C B b c b a b c/ a b c α a b + c/ β b δ a b c/ Dunque M B B 3.

6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO S consder l applcazone lneare f : C 3 C defnta da f a a + a a. a + a S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate B ; ; { } e D ; su domno e codomno rspettvamente. a Pochè La matrce che cerchamo è allora A C D f f a a a f A a a a C D f C D f, f a a a, C D C D C 5 D 5, a Puttosto che calcolare separatamente C D, C D e C 5 D, calcolamo C D per un generco vettore C b a b, e specalzzamo la formula ottenuta a tre dvers vettor,,. 5 Pochè a C D b α β a α + β b

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 7 allora a C D b α β α + β α β a b ossa α e β sono tal che Qund { α + β a α β b, per cu { α a + b/ β a b/ a C D b a + b/ a b/ Dunque C D a b C D a b, C D 5 a b 5 7 3 e qund A 7 3.

8 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 3 7 Sa A 3 la matrce assocata ad un applcazone lneare f : C 3 C rspetto alle bas ordnate B ; ; e D B { 3 ; 5 { } ; su domno e codomno rspettvamente. S determn la matrce A assocata ad f rspetto alle bas ordnate ; } e D { ; } su domno e codomno rspettvamente. La matrce che cerchamo è A M D D AM B B dove M D D è la matrce d passaggo da D a D, e M B B è la matrce d passaggo da B a B. Nell ESERCIZIO TIPO abbamo vsto che a C D b qund per cu M D D C D C D a + b/ a b/ 3 M D D 3 3 3 La matrce M B B è gà stata calcolata nell ESERCIZIO TIPO : M B B 3 e qund A M 3 7 D D AM B B 3 3 3 4 3. 3.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 9 ESERCIZIO TIPO 4 S verfch che φ : R R defnta da φ φ φ + +. Sa v a a. Pochè φv, per provare che a v φv > a a + a + a a è una norma. basta provare che ossa basta provare che Ora: φv a v a { a + a a a v φv, φv v. { a + a a a a a v. a αa φαv φα φ αa a αa + αa + αa αa α a + a + α a a α a + a + a a α φv. 3 Sano v a a e w b b. a + b φv + w φ a a + b + b + a + b + a + b a + b a + a + b + b + a a + b b a + a + b + b + a a + b b φv + φw.

3 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 5 S verfch che.. : C C C defnta da è un prodotto nterno. x y x x y y + x y Sano x x x e y y y. y x? x y y x y x + y x y x + y x x y. Sano x x x, y y y, z z z, w w w e α, β C. x αy + βw? αx y + βx w x αy + βw x αy + βw + x αy + βw αx y + βx w + αx y + βx w αx y + x y + βx w + x w αx y + βx w. 3? x x x? x x R + > + x x x x + x x x + x Essendo x, s ha che x oppure x, per cu x R + > oppure x R + >. Qund x + x R + >.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 ESERCIZIO TIPO 6 S trov una base ortonormale del sottospazo d C 4 V ; ; ;. MODO Trovamo una base B d V. Ponamo w, w, w 3, w 4 e costruamo la matrce A w w w 3 w 4, ossa una matrce tale che CA V. A E 3 E 4E 3 U E 34 E 3 Dunque B {w ;w ;w 4 } è una base d CA V. Trovamo una base ortogonale B d V : ponamo v w,v w e v 3 w 4, e applchamo l algortmo d Gram-Schmdt a {v ;v ;v 3 }.

3 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI u v u v α u, u α u v u u u v α u v u u v u H v u u u H u α / u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u α 3 u v 3 u u u v 3 u H v 3 α 3 u α 3 u v 3 u u u v 3 u H v 3 u u u H u 5 α 3 5

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 33 B {u ;u ;u 3 }, dove è una base ortogonale d V. u 3 v 3 α 3 u α 3 u v 3 + 5 u + 5 u, u 5 3, u 3 5, 3 3 Trovamo una base ortonormale B d V, normalzzando gl element d B. u u u u u u 5/ u 3 u 3 u 3 u H 3 u 3 5 3 5 5 5 3 B { u u ; u u ; u 3 u 3 }, dove u, u è una base ortonormale d V. u u, u 3 u 3 5, 3 MODO Costruamo dapprma un nseme d generator ortogonale d V: ponamo v, v, v 3, v 4 e applchamo l algortmo d Gram-Schmdt a {v ;v ;v 3 ;v 4 }. Otterremo 4 vettor, u,u,u 3,u 4, e l nseme {u ;u ;u 3 ;u 4 } sarà un nseme d generator ortogonale d V.

34 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Per sapere se alcun degl u saranno null, e n tal caso qual, trovamo nnanztutto una forma rdotta d Gauss U della matrce A che ha come colnne v,v,v 3,v 4 : le eventual colonne lbere d U corrsponderanno agl u null. A v v v 3 v 4 E 3 E 4E 3 U E 34 E 3 Pochè U ha come unca colonna lbera la 3 a, allora applcando l algortmo d Gram-Schmdt a {v ;v ;v 3 ;v 4 } otterremo u 3. u v u v α u, u α u v u u u v α u v u u v u H v u u u H u α /

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 35 u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u α 3 u v 3 u u u v 3 u H v 3 u,u α 3 u α 3 u v 3 u u u v 3 u H v 3 5 u u u H u α 3 5 u 3 v 3 α 3 u α 3 u v 3 u + u + u 4 v 4 α 4 u α 4 u α 34 u 3 u α 4 u v 4 u u u v 4 u H v 4 α 4 u α 4 u v 4 u u

36 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI u v 4 u H v 4 u u u H u 5 u 4 v 4 α 4 u v 4 + 5 u + 5 5 3 α 4 5 u 3 α 34 per def. Dunque u ;u d V. ;u 3 ;u 4 5 3 è un nseme d generator ortogonale Costruamo una base ortogonale d V toglendo dall nseme d generator ortogonale d V trovato al punto gl eventual u null. In questo caso ponamo: w u, w u, w 3 u 4 5. 3 L nseme w ;w ;w 3 5 3 è una base ortogonale d V. 3 Costruamo base ortonormale d V normalzzando la base ortogonale trovata al punto, ossa dvdendo cascun elemento della base ortogonale trovata n per la propra norma eucldea. Comncamo con l calcolare la norma eucldea d w,w,w 3 :

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 37 Allora B { w w ; w u u w u u 5/ w 3 u 4 u 4 w w ; w 3 w 3 }, dove w, w è una base ortonormale d V. u H 4 u 4 5 3 5 w w, w 3 w 3 5 5 5 3, 3

38 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCIZIO TIPO 7 S calcol la proezone ortogonale del vettore v d C 4. sul sottospazo U ; ; ; Trovamo una base ortonormale d U. Dall ESERCIZIO TIPO 6 ottenamo che u u u è una base ortonormale d U. La proezone ortogonale d v ;u u u su U è ;u 3 u 3 u 3 5 3 P U v u vu + u vu + u 3 vu 3 dove Qund u v u H v u v u H v u 3 v u 3 H v 3 5 P U v u.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 39 ESERCIZIO TIPO 8 z z Sa Az, dove z C. z S dca per qual z C la matrce Az è sngolare. Az è sngolare se e solo se DetAz. Calcolamo dunque DetAz. DetAz svluppato rspetto alla a rga svluppato rspetto alla 3 a colonna +3 Det z z z z +3 Det z z z z z Qund Az è sngolare se e solo se z z z, ossa se e solo se o z, e qund z, oppure z z, e qund z z. Pochè z z z R, allora Az è sngolare z R {}.

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* D cascuna delle seguent matrc s dca se è scalare, dagonale, trangolare superore, trangolare nferore o nessuna delle precedent: 4 3, 4 4, 4, 4 4 4, 4 4, 4 4, 4 4 4, 4 4 4 4. 4 6 3 4 4 4 + Sano A, B 8 9, C 3 e D. S 5 calcol A + DCA + B. 3 S trovno tutte le matrc real A tal che A A. 4 Sano A una matrce reale n non nulla n cu la prma colonna è l trplo della seconda. S trovno tutte le matrc real dagonal D tal che AD abba tutte le colonne ugual. 5 Sano A 3 +, B +, C 3 + 5 7 + + 3 6, D. 3 a D cascuna delle precedent matrc s calcolno la trasposta, la conugata e la H-trasposta. b S calcol A H C + B T B + + 3D H. 6 D cascuna delle seguent matrc s dca se è smmetrca, ant-smmetrca, hermtana, ant-hermtana o nessuna delle precedent: + 3 + 3 + 3 + 3 3,,,,,. 3 3 + 3 3 + 3 3 3 7 S calcolno la parte hermtana e la parte ant-hermtana della matrce complessa A 8 Sa A 3 + T, dove è l vettore colonna con n component ugual a e v I n v è l vettore colonna con n component ugual a qund A ha tutte le component dell ultma colonna ugual a. Sa B una matrce n n n cu la prma colonna ha tutte le component ugual a. S prov che la matrce ABe e. Suggermento: s suddvda B a blocch mettendo n evdenza la sua ultma rga e la sua prma colonna e s calcol l prodotto AB a blocch..

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 4 SVOLGIMENTO ESERCITAZIONI* D cascuna delle seguent matrc s dca se è scalare, dagonale, trangolare superore, trangolare nferore o nessuna delle precedent: 4 3, 4 4, 4, 4 4 4, 4 4, 4 4, 4 4 4, 4 4 4 4. 4 4 3 4 4 4 scalar: dagonal: trang. sup.: trang. nf.: nessuna delle precedent: 4 4 4 4, 4 4, 4 4 4 3 4 4, 4 4 4, 4 4, 4 4 4 4 3 4 4, 4 4 4, 4 4, 4 4, 4 4 3 4 4 3, 4 4, 4 4 4 4 4 + Sano A, B 8 9, C 5 calcol A + DCA + B. 3 e D. S + A 5 4 CA 3 + + 3 5 + 3 + + 5 5 + 5 + + + 5 3 8 + 3 + 4 5

4 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI B 8 9 8 9 CA + B 8 + 3 + 8 9 3 + DCA + B 3 + + + 3 + + + + 3 + + + 3 + + + + 3 + 3 4 6 A + DCA + B + + 3 8 + 3 + 3 S trovno tutte le matrc real A tal che A A. x y Sa A una matrce reale. Pochè z t la condzone A A equvale a A x y x y x AA + yz yx + t z t z t zx + t t, + yz x + yz x yx + t y zx + t z t + yz t. Studamo separatamente cas y e y. Il caso y. x x Se y, sosttuendo n ottenamo zx + t z t t Dalla a e dalla 3 a equazone rcavamo rspettvamente x {, } e t {, }. Dalla a equazone deducamo che o z oppure t x. Se z, le matrc che s ottengono sono qund:,,.,.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 43 Se nvece z, dovendo allora essere t x e x, t {, }, per cu x e t non sono entramb ugual a nè entramb ugual a le matrc che s ottengono sono:, z z con z. Il caso y. Se y, dalla a equazone d s rcava che t x, per cu la 3 a equazone d puó essere omessa. Inoltre la 4 a s ottene dalla a sosttuendo x t. { x Dunque se y, è equvalente a + yz x t x, e la a equazone è equvalente a z x x possamo y dvdere per y essendo y. Le matrc che s ottengono n questo secondo caso sono tutte le matrc del tpo: x y x x x y, con x, y R, y. 4 Sano A una matrce reale n non nulla n cu la prma colonna è l trplo della seconda. S trovno tutte le matrc real dagonal D tal che AD abba tutte le colonne ugual. Pochè A ha due colonne ed esste AD, allora D ha due rghe. Qund, essendo D dagonale reale, è d D per opportun numer real d d e d. Dalla condzone che la prma colonna d A è l trplo della seconda segue che se c è la seconda colonna d A qund un vettore colonna con n coordnate, allora A 3c c, per cu d AD 3c c 3d d c d c. A questo punto la condzone che AD abba le colonne ugual comporta che 3d c d c. Se fosse c non potremmo trarre alcuna conclusone su d e d. Ma c, altrment entrambe le colonne d A sarebbero nulle, mentre A è supposta non nulla. Ora per cu ogn matrce D 5 Sano A 3 3d c d c c 3d d, d con d numero reale è soluzone del nostro problema. 3d +, B +, C 3 + 5 6, D 7 + + 3 3 a D cascuna delle precedent matrc s calcolno la trasposta, la conugata e la H-trasposta. b S calcol A H C + B T B + + 3D H..

44 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 3 A T A + 3 + 3 + A + H + B T B B + H C T 3 + 5 6 C 3 5 6 C H 3 5 6 + + 7 + 3 7 3 7 3 + D T D D + 3 3 + H 3 A H C + B T B + + 3D H + 3 + 3 5 6 + + + 33 5 + + + 3 5 6 + + + + 3 + + + + 6 + 9 + 5 + + + + + 3 3 5 5 6 + + + + 3 + + + + 5 + + 5 + 5 + 3 + + 3 + 3 + + 3 + 4 + + 5 + 5 + + 4 + 6 6 + + 3 + + 3 + 3 + + 3 7 3 + 3 + 37 + 33 + + 3 3 7 + + 3 3 + 9 + 6 + 6 3 + 9 + 3 + 5 + 3 3 5 + 3 9 9 6 D cascuna delle seguent matrc s dca se è smmetrca, ant-smmetrca, hermtana, ant-hermtana o nessuna delle precedent: + 3 + 3 + 3 + 3 3,,,,,. 3 3 + 3 3 + 3 3 3

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 45 smmetrche: ant-smmetrche: hermtane: ant-hermtane: nessuna delle precedent: + 3, + 3 3 3 + 3 3 + 3, 3 3 3 + 3 + 3 3 7 S calcolno la parte hermtana e la parte ant-hermtana della matrce complessa A. 4 + 3 + 4 Pochè A H, la parte hermtana d A è 3 A + A H e la parte ant-hermtana d A è A A H 8 Sa A + 4 + 4 + 3 3 + 4 4 + 3 3 4, 6 3 6 6 3 3 T, dove è l vettore colonna con n component ugual a e v I n v è l vettore colonna con n component ugual a qund A ha tutte le component dell ultma colonna ugual a. Sa B una matrce n n n cu la prma colonna ha tutte le component ugual a. S prov che la matrce ABe e. Suggermento: s suddvda B a blocch mettendo n evdenza la sua ultma rga e la sua prma colonna e s calcol l prodotto AB a blocch. Seguendo l suggermento, suddvdamo la matrce B a blocch mettendo n evdenza la sua ultma rga e la sua prma colonna: v D B. b T Voglamo nnanztutto vedere che con tale suddvsone è possble calcolare l prodotto AB a blocch. Pochè entrambe A e B sono matrc con rghe d blocch e colonne d blocch, allora, se l prodotto a.

46 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI blocch d A per B s puó fare, anche AB avrà rghe d blocch e colonne d blocch: X Y Il problema è dunque verfcare: AB Z T. se esste T v +, e n tal caso porlo al posto d X;. se esste T D + b T, e n tal caso porlo al posto d Y; 3. se esste I n v + v, e n tal caso porlo al posto d Z; 4. se esste I n D + vb T, e n tal caso porlo al posto d T; noltre, perchè X, Y, Z, T sano effettvamente blocch d una rpartzone d AB, occorre verfcare che: 5. l numero delle rghe d T v + sa uguale al numero delle rghe d T D + b T, 6. l numero delle rghe d I n v + v sa uguale al numero delle rghe d I n D + vb T, 7. l numero delle colonne d T v + sa uguale al numero delle colonne d I n v + v, 8. l numero delle colonne d T D + b T sa uguale al numero delle colonne d I n D + vb T. Pochè T e b T C n, v C n, D e I n M n C, è un numero, allora s ha: a T v + esste ed è un numero ossa, b T D + b T esste ed è n, c I n v + v esste ed è n, d I n D + vb T esste ed è n n. Dunque l prodotto a blocch s puó fare e s ottene: T AB I n v. v D b T T v + T D + b T I n v + v I n D + vb T b T D + vb T

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 47 Pochè ABe a colonna d AB, allora ABe e.

48 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* Sano A 4 3 3 8 e B 4. S trovno forme rdotte d Gauss per A e B. 4 3 α Sa Aα α + 4 α, dove α C. Per ogn α C s trov una forma rdotta d α + 4 α Gauss Uα per Aα e s dca qual sono le colonne domnant e qual sono le colonne lbere d Uα. 3 S rsolva l sstema lneare Ax b dove A 3 3 9 6 7 4 e b 6 4. 3 4 S rsolva l sstema lneare Aαx bα dpendente dal parametro reale α dove α α + α + Aα e bα α α α α α + α α +.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 49 SVOLGIMENTO ESERCITAZIONI* Sano A 4 3 3 8 e B 4. S trovno forme rdotte d Gauss per A e B. 4 3 Facendo un elmnazone d Gauss su A s ottene: 4 A 3 3 8 4 E 3E /4 U ed U è una forma rdotta d Gauss per A. E3 E 3E/ 4 8 4 Facendo un elmnazone d Gauss su B s ottene: B 4 3 E3 E E/ ed U è una forma rdotta d Gauss per B. E3 U 3 S rsolva l sstema lneare Ax b dove A 3 3 9 6 7 4 e b 6 4. 3 Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema. A b 3 3 9 6 6 7 4 4 E3 E E 3 3 3 4 E 4 3 U d. Il sstema Ax b è equvalente al sstema Ux d che è una forma compatta per { x x + 3x 3 + x 4 x 3 + x 4

5 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Pochè d è lbera, Ux d ammette soluzon. Pochè U ha esattamente due colonne lbere, Ux d ha soluzon. Sceglamo come parametr le varabl corrspondent alle colonne lbere d U la a e la 4 a e con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x h x 4 k x 3 x 4 + k + x x 3x 3 x 4 + h 3 k + k + h k + L nseme delle soluzon del sstema Ux d e qund l nseme delle soluzon del sstema Ax b è h k + h k + h, k C. k α Sa Aα α + 4 α, dove α C. Per ogn α C s trov una forma rdotta d α + 4 α Gauss Uα per Aα e s dca qual sono le colonne domnant e qual sono le colonne lbere d Uα. Faccamo un elmnazone d Gauss su Aα: α Aα α + 4 α α + 4 α E3 E E α α + 4 Bα α + 4 α o CASO α + 4 ossa α ed α. α Bα α + 4 E3 α 4E α α +4 /α + 4 Cα α + 4 α α o sottocaso del caso α, α, α Cα α /α + 4 E3/α α /α + 4 Uα α

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 5 Uα è una forma rdotta d Gauss per Aα, le colonne domnant sono la a, la a e la 4 a, l unca colonna lbera è la 3 a. o sottocaso del caso α C /4 U d Gauss per A, le colonne domnant sono la a e la a, quelle lbere la 3 a e la 4 a. è una forma rdotta o CASO α + 4 ossa α oppure α. Bα α E3 α α α E3/α α α Uα Uα è una forma rdotta d Gauss per Aα, le colonne domnant sono la a, la 3 a e la 4 a, l unca colonna lbera è la a. 4 S rsolva l sstema lneare Aαx bα dpendente dal parametro reale α dove α α α + α + α + Aα e bα. α α α α α + Trovamo una forma rdotta d Gauss della matrce aumentata del sstema. α α α + α + α + Aα bα E3 E E α α α α α + α α α E 4 α α α + α α α Bα cα. α α CASO α B c è una forma rdotta d Gauss per A b, qund Ax b è equvalente a Bx c che è una forma compatta per { x + x + x 3 x + x 3

5 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Pochè c è lbera, Bx c ammette soluzon. Pochè B ha esattamente una colonna lbera, Bx c ha soluzon. Sceglamo come parametro la varable corrspondente alla colonna lbera d B la 3 a e con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x 3 h x x 3 + h + x x x 3 + h + h + L nseme delle soluzon del sstema Bx c e qund l nseme delle soluzon del sstema Ax b è h + h C. h CASO α α α α Bα cα E3 α α α α α α E 4 α α α α α Cα dα. α + Sottocaso α C d è una forma rdotta d Gauss per A b, qund A x b è equvalente a C x d che è una forma compatta per x x + x 3 x x 3 x 3 Pochè d è lbera, C x d ammette soluzon. Pochè tutte le colonne d C sono domnant, C x d ammette un unca soluzone. Con la sosttuzone all ndetro da ottenamo x 3 x x 3 + x x x 3

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 53 L unca soluzone d C x d e qund d A x b è v. Sottocaso α / {, } è una forma rdotta d Gauss per Aα Aαx bα non ammette soluzon. α α α Cα dα E4 α+ α + α α α Dα eα bα. Pochè eα è domnante, Dαx eα e qund d

54 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* 3 Sa A +. S calcol A. S dca per qual α C la matrce Aα α + 3 è non sngolare. Per tal α, s trov l nversa α + 3 α d Aα. 3 Sa Aα α α + 3 α α dove α R. Per quegl α R per cu Aα è non sngolare, s calcol α α + 4 Aα. 4 S trovno tutte le nverse destre della matrce A. 3 5 S trovno tutte le nverse snstre della matrce A. 3 6 Sa W {A M n C A A T } l nseme delle matrc smmetrche complesse d ordne n. S prov che W è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. 7 Sa W {A M n C A A H } l nseme delle matrc ant-hermtane complesse d ordne n. S prov che W non è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. 8 Sa V R 3 spazo vettorale reale. S dca quale de seguent sottonsem d V è un sottospazo vettorale d V : a S ; S ; ; S 3 ; ; ; ; S 4 b a, b R S 5 a b + a, b R ; S 6 a a + b a, b R ; S 7 a + a a R ; S 8 a a a R.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 55 SVOLGIMENTO ESERCITAZIONI* 3 Sa A +. S calcol A. s ha: Pochè allora Rcordando che a b c d A ad bc d b c a + + se ad bc, + + + + + + +, A. + S dca per qual α C la matrce Aα d Aα. α + 3 è non sngolare. Per tal α, s trov l nversa α + 3 α a b Rcordando che è non sngolare se e solo se ad bc ed n tal caso s ha c d allora Aα è non sngolare se e solo se a b c d ad bc d b c a, α + 3α α + 3 α + 3α, ossa se e solo se α / { 3, }, ed n tal caso s ha: Aα α α + 3α α 3. α + 3 4 S trovno tutte le nverse destre della matrce A. 3 Un nversa destra d A è una matrce 3 R tale che se R c c, allora

56 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI c è soluzone d Ax e e c è soluzone d Ax e. Cerchamo tutte le soluzon d e. E E A I 3 3 E U b 6 b. è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x x 6x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 h x 6x 3 + 6h + x x + 6h + + 3h L nseme delle soluzon d è 3h 6h + h C. h è equvalente a Ux b che è una forma compatta per { x + x x 6x 3 Sceglamo come parametro la varable corrspondente all unca colonna lbera d U la 3 a e con la sosttuzone all ndetro ottenamo x 3 k x 6x 3 6k x x 6k 3k + L nseme delle soluzon d è 3k + 6k k C. k

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 57 Le nverse destre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo Rh,k varare d h, k C. 5 S trovno tutte le nverse snstre della matrce A. 3 3h 3k + 6h + 6k, al h k. Ponamo B A T.. Cerchamo tutte le nverse destre d B. Dall eserczo precedente sappamo che sono tutte e sole le 3h 3k + matrc del tpo 6h + 6k con h, k C. h k 3. Una matrce è nversa snstra d A se e solo se è la trasposta d una nversa destra d B. Qund le 3h 6h + h nverse snstre d A sono esattamente tutte le matrc del tpo al varare d h, k C. 3k + 6k k 3 Sa Aα α α + 3 α α dove α R. Per quegl α R per cu Aα è non sngolare, s calcol α α + 4 Aα. a Aα I 3 α 3 + α E α α 3 α 4 + α α 3 + α α α E α α : A non ha nversa α 3 + α E α 3 3 αe 3 α 4 + α 3 α E α α 4 + 3α 3 3α α I 3 Aα.

58 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Se α Aα 4 + 3α 3 3α α. 6 Sa W {A M n C A A T } l nseme delle matrc smmetrche complesse d ordne n. S prov che W è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. O n n W: O T O A,B W? A + B W A W A M n C B W B M n C A W A A T A + B M n C B W B B T A + BT A T + B T A + B A + B W α C,A W? αa W A W A M n C αa M n C A W A A T αa T αa T αa αa W 7 Sa W {A M n C A H A} l nseme delle matrc ant-hermtane complesse d ordne n. S prov che W non è un sottospazo dello spazo vettorale delle matrc quadrate complesse d ordne n. O n n W: O H O O A,B W? A + B W A W A M n C A + B M n C B W B M n C A + B W A W A H A B W B H A + BH A H + B H A + B A + B B α C,A W? αa W A W A M n C αa M n C A W A H A αa H αa H α A αa

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 59 Non è vero che αa W per ogn scalare α ed ogn A W: prendendo A O s ottene che αa αa α α α R pochè A O Qund se O A W e α / R ad esempo se A è la matrce n n con al posto, n, al posto n, e altrove, ed α allora αa / W. Dunque W non è un sottospazo dello spazo vettorale M n C. 8 Sa V R 3 spazo vettorale reale. S dca quale de seguent sottonsem d V è un sottospazo vettorale d V : S ; S ; ; S 3 ; ; ; ; S 4 a b a, b R S 5 a b + a, b R ; S 6 a a + b a, b R ; S 7 a + a a R ; S 8 a a a R. S è un sottospazo vettorale d V : l unco elemento d S è l vettore α S per ogn scalare α S è l sottospazo nullo d R 3., e + S e S ed S 3 non sono sottospaz d V : entramb contengono e ma entramb non contengono e + e e d altra parte nessun sottonseme fnto d uno spazo vettorale W che contenga un elemento non nullo w può essere un sottospazo d W, perchè se lo fosse dovrebbe contenere l nseme nfnto d vettor {αw α scalare }. Per vedere se S 4 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 4 u + v S 4 per ogn u,v S 4, αu S 4 per ogn u S 4 ed ogn scalare α. Pochè gl element d S 4 sono esattamente vettor d R 3 che hanno la terza coordnata nulla, allora S 4, noltre dal fatto che la somma d due vettor d R 3 con la terza coordnata nulla è un vettore d R 3 con la terza coordnata nulla s ha, e dal fatto che l prodotto d un vettore d R 3 con la terza coordnata nulla per uno scalare è un vettore d R 3 con la terza coordnata nulla segue. In smbol: S 4

6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Se u,v S 4 esstono a, b, a, b R tal che u a b e v a b, noltre u + v S 4 a 3, b 3 R 3 u + v a 3 b 3. Pochè u + v a b + a b a + a b + b Se u S 4 esstono a, b R tal che u, basta prendere a 3 a + a e b 3 b + b. a b, noltre per ogn scalare α R αu S 4 c, d R 3 αu Pochè αu α a b αa αb, basta prendere c αa e d αb. Dunque S 4 è un sottospazo d V. c d. Per vedere se S 5 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 5 u + v S 5 per ogn u,v S 5, αu S 5 per ogn u S 5 ed ogn scalare α. esstono a, b R tal che a b + : s prenda a e b, qund S 5 noltre Se u,v S 5 esstono a, b, a, b R tal che Pochè u + v a b + a a u b + e v b +, u + v S 5 a 3, b 3 R 3 u + v a 3 b 3 +. + a b + a + a b + b +, basta prendere a 3 a + a e b 3 b + b +.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 6 Se u S 5 esstono a, b R tal che u a b +, noltre per ogn scalare α R αu S 5 c, d R 3 αu c d +. Pochè αu α a b + αa αb + α, basta prendere c αa e d αb + α. Dunque S 5 è un sottospazo d V. Per vedere se S 6 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 6 u + v S 6 per ogn u,v S 6, αu S 6 per ogn u S 6 ed ogn scalare α. esstono a, b R tal che a a + b : s prenda a b, qund S 6 Se u,v S 6 esstono a, b, a, b R tal che u a a + b e v a a + b, noltre u + v S 6 a 3, b 3 R 3 u + v a 3 a 3 + b 3. Pochè u + v a a + b + a a + a a + b a + a + b + b, basta prendere a 3 a + a e b 3 b + b. Se u S 6 esstono a, b R tal che u a a + b, noltre per ogn scalare α R αu S 6 c, d R 3 αu c c + d. Pochè αu α a a + b αa αa + αb, basta prendere c αa e d αb. Dunque S 6 è un sottospazo d V.

6 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI Per vedere se S 7 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 7 u + v S 7 per ogn u,v S 7, αu S 7 per ogn u S 7 ed ogn scalare α. Perchè appartenga a S 7 occorre che essta a R tale che a + a. Pochè l sstema a + a nell ncognta a non ha soluzon, allora S 7 non è un sottospazo d V. Per vedere se S 8 è o non è un sottospazo d V occorre stablre se le seguent condzon sono soddsfatte: S 8 u + v S 8 per ogn u,v S 8, αu S 8 per ogn u S 8 ed ogn scalare α. a esste a R tale che a : s prenda a. Qund S 8. Se u,v S 8 esstono a, b R tal che u a a e v b b, noltre Pochè u + v a a + u + v S 8 c R 3 u + v b b a + b a + b, basta prendere c a + b. c c. Se u S 8 esste a R tale che u a a, noltre per ogn scalare α R αu S 8 b R 3 αu b b. Pochè αu α a a αa αa, basta prendere b αa.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 63 Dunque S 8 è un sottospazo d V.

64 ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI ESERCITAZIONI* 4 { } a Sa W a R a l nseme delle matrc real ant-smmetrche d ordne.. S prov che W è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale reale M R.. S prov che W non è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale M C. 3. S dca qual de seguent sottonsem d M R è un nseme d generator per W: { } { } { } a ; b ; ; c ; { } a b + c Sa W a, b, c, d R l nseme delle matrc complesse hermtane d ordne. b c d W non è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale reale M R, nè è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale M C. W è però uno spazo vettorale reale. S dca { qual de seguent sottonsem d M C } è un nseme d generator d W come spazo vettorale reale: a ; ; ; { } { } + b ; ; c ; ; 3 Sa S v ;v + ;v 3. S dca se S è un nseme d generator d C 3. 4 Sano V uno spazo vettorale ed S {v ;v } un nseme d generator d V. S supponga che sa v v. S consderno seguent nsem d vettor: S {v + v ;v }, S {v + v ; v + v }. Quando S è ancora un nseme d generator d V? Quando S è ancora un nseme d generator d V? 5 S dca quale de seguent sottonsem d R 3 è lnearmente ndpendente: v 4 ;v 4 6 ;v 3, w ;w ;w 3 4. 6 Sano V uno spazo vettorale ed S {v ;v ;v 3 } un nseme lnearmente ndpendente d vettor d V. S dca quale de seguent nsem d vettor d V è lnearmente ndpendente: S {v + v 3 ;v + v 3 ;v + v + v 3 }, S {v v 3 ;v + v ;v + v 3 }.

ALGEBRA LINEARE I A PER SCIENZE STATISTICHE, A.A. 3/4, GEMMA PARMEGGIANI 65 Svolgmento delle Eserctazon *4 Sa W { } a a R l nseme delle matrc real ant-smmetrche d ordne. a. S prov che W è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale reale M R.. S prov che W non è un sottospazo vettorale dello spazo vettorale M C. 3. S dca qual de seguent sottonsem d M R è un nseme d generator per W: { } { } { } a ; b ; ; c ;. MODO O W: O M R e O T O O A W A M R A + B M R B W B M R A + B W A W A A T B W B B T A + BT A T + B T A B A + B α C,A W? αa W A W A M R αa M R A W A A T αa T αa T α A αa αa W MODO esste a R tale che Se A,B W esstono a, b R tal che a A a a : s prenda a. a e B b, b noltre c A + B W c R A + B. c a b a + b Pochè A + B +, basta prendere c a + b. a b a + b a Se A W esste a R tale che A, noltre per ogn scalare α R a αa W b R 3 b αa. b