Analisi Numerica I, a.a Docente: M.Gaviano

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1 Eserctazone n.1 Anals Numerca I, a.a Medante MatLab 1) Costrusc le seguent matrc ) Calcola la matrce prodotto C= A*B Medante la funzone sze defnta n MatLab calcola le dmenson delle matrc A, B, e C. Costrusc la matrce D, 64, formata dalle 4 rghe che compongono A e le 2 rghe che compongono B. Costrusc dalla matrce A la matrce E composta dalle prme due colonne d A. Costrusc dalla matrce A la matrce F ottenuta elmnando la prma ed ultma rga, e la prma ed ultma colonna. Genera la matrce denttà d dmensone 2, 4, 6 e 8. Genera una matrce casuale (medante la funzone rand() predefnta n Matlab) con valor compres tra 0 e 10 d dmensone 2, 4. Genera una matrce 44 casuale con valore compres tra 0 e 1. Calcolane l determnante e l nversa. Genera 2 matrc A e B, 44, casual con valor compres tra -2 e 2. Costrusc una matrce C ottenuta moltplcando gl element d A e B elemento per elemento ovvero c j = a j * b j Costrusc una matrce D ottenuta dvdo gl element d A e B elemento per elemento ovvero d j = a j / b j 3) Utzzando l help verfca l utlzzo delle funzon per matrc rand(), nv(), eye(), zeros(), ones() Calcola: rand(6), eye(4), zeros(6), ones(3), nv(a) con A matrce 55 casuale con valor compres tra -10 e 10 Calcola la soluzone del seguente sstema d 4 equazon n 4 ncognte: A=b n cu A è una matrce casuale 44 e b un vettore casuale 41 d element compres tra 0e 1. Verfca l esattezza della soluzone. Genera vettor rga 1 con 20 element scelt equdstant nell ntervallo [ π, π] 2 con 12 element equdstant nell ntervallo [ 4, 4] 4) Costrusc un fle MatLab che, quando eseguto, chede come dat un ntervallo [a,b] un numero ntero n e qund genera un vettor rga costtuto da n punt equdstant nell ntervallo [a,b]. 5) Costrusc funzon MatLab d nome fun1, fun2, fun3 e fun4 (memorzzate n fles d nome fun1.m, fun2.m, fun3.m e fun4.m) che calcolno le funzon y=2*sn(), y=sn()++4, y= , y=1/( 2 +1) Fa n modo che se è un vettore allora vene resttuta la tabulazone della funzone. 6) Costrusc un fle MatLab d nome grafco.m che tracc l grafco delle funzon y=2*sn(), y=sn()++4, y= , y=1/( 2 +1) n un ntervallo da assegnare ogn volta che l fle vene eseguto. Il numero d punt per la tabulazone sa ugualmente assegnato da tastera.

2 Eserctazone n.2 Anals Numerca I, a.a ) Scrvere un programma n MATLAB che calcol le radc real (D 0, D=b 2 4ac) dell equazone d secondo grado ovvero calcol le radc 1 e 2 date da 12 a 2 +b+c=0 2 b ± b 4ac = 2a Nel caso D<0, D=b 2 4ac l programma deve solo dare l seguente messaggo: radc complesse conugate. Fare l test su seguent problem 2) a b c Scrvere un programma n MATLAB che calcol le radc real o complesse conugate dell equazone d secondo grado ovvero per D 0 calcol le radc 1 e 2 date da a 2 +b+c=0 12 = b ± 2 b 4ac 2a Per D<0 calcol le radc complesse conugate 1 e 2 date da 1,2 ( parte _ reale ( = Fare l test su seguent problem b ) ± 2a ( parte _ mmagnara ( = 4ac b 2a 2 ) ) 3) a b c Scrvere un programma n MATLAB che calcol le radc real o complesse conugate dell equazone d secondo grado n modo da sfruttare la capactà d matlab d operare con numer compless. Fare l test su seguent problem a b c

3 Eserctazone n.3 Anals Numerca I, a.a a) Scrvere un programma n Matlab che legga un valore e ne calcol l seno utlzzando la sere nfnta sn = - 3 /3! + 5 /5! - 7 /7! n /7!. dove è espresso n radant ed n è un numero ntero ntrodotto da tastera. Vsualzzare la dfferenza tra l valore d sn() calcolato dal programma e quello calcolato con la funzone predefnta d MatLab. Rere l programma nterattvo, ovvero l esecuzone contnu assegnando valor successv d n e termn quando l utente lo desdera b) Scrvere un programma n Matlab che legga un valore e ne calcol l seno utlzzando la sere nfnta sn = - 3 /3! + 5 /5! - 7 /7! +... dove è espresso n radant. Nel sommare gl element successv della sere nterrompere l operazone quando la dfferenza tra gl ultm 2 termn (calcolat) della sere è mnore n valore assoluto d 10-8 (accuratezza). Vsualzzare la dfferenza tra l valore d sn() calcolato dal programma e quello calcolato con la funzone predefnta d MatLab. Vsualzzare anche l numero d terazon necessare a raggungere l accuratezza. Rere l programma nterattvo, ovvero l esecuzone contnu assegnando valor successv d e termn quando l utente lo desdera Fare l test con var valor d.

4 Eserctazone n.4 Anals Numerca I, a.a a) Scrv un algortmo che calcol la precsone macchna d MatLab e del complatore C della Borland col tpo d dat float e double (solo per gl nformatc).. Lo schema dell algortmo può essere algortmo(precsone macchna) eps=1. eps1=eps+1; whle eps1> 1, eps=0.5*eps; eps1=eps+1 stampa la precsone macchna è: 2*eps Calcola valor approssmat d t, L, U per l sstema floatng pont d MatLab e del complatore Borland col tpo d dat float e double. b) La funzone può essere scrtta anche nella forma y 1 = y 2 =(-1) 6 c) Fa l grafco della funzone utlzzando le 2 rappresentazon. Ovvero fa l grafco d y 1 e y 2 nell ntervallo [0.994, 1.006] nella stessa fgura. Cerca d capre perché l grafco della rappresentazone y 1 ha un andamento non regolare. S sa da un qualsas lbro d Anals Matematca che per <1 la sere n = 0 te a 1/(1-) per n che assume valor crescent. Scrv un algortmo n MatLab che legge un numero reale, controlla se l suo valore assoluto è mnore d 1, qund se la rsposta è affermatva, legge un numero reale postvo Acc quale accuratezza, e determna l'ntero n* tale che * n = Acc (Consdera che = -1 *. Qund cascun termne della sere può essere ottenuto eseguo una sola moltplcazone) Esempo: Input: = 0.6 Acc = Output: n* = 16

5 Eserctazone n.5 Anals Numerca I, a.a Un algortmo per la rsoluzone d sstem trangolar nferor del tpo Ly=b è l seguente: 1. algortmo y 1 =b 1 /l 11 for =2,,n y =b for j=1,, -1 y =y -l j y j y =y /l Scrv un algortmo n Matlab che a) gener a caso un problema del tpo Ly=b d dmensone n la cu soluzone esatta yy è nota. b) applch l algortmo 1 per trovare la soluzone approssmata y. c) stamp la soluzone trovata e la norma del massmo dell errore yy-y. Spermenta l algortmo con n=10, 20,40, 60, 80,100,200, 300. Suggermento: Determna l problema a caso, generando una matrce A casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1. Estra da A medante la funzone trl() predefnta n MatLab, la trangolare nferore otteno L. Scegl ugualmente a caso (element tra 0 e 1) l vettore colonna yy d dmensone n e qund calcola b=l*yy. I dat del problema sono n, L e b; yy è la soluzone esatta del problema. R l algortmo MatLab nterattvo.

6 Eserctazone n.6 Un algortmo per la rsoluzone d sstem trangolar superor del tpo U=y è l seguente: 1. algortmo n =y n /u nn for =n-1,,1 =y for j=+1,,n = -u j j = /u Scrv un algortmo n Matlab che a) gener a caso un problema del tpo U=y d dmensone n la cu soluzone esatta è nota. b) applch l algortmo 1 per trovare la soluzone approssmata. c) stamp la soluzone trovata e la norma eucldea dell errore -. Spermenta l algortmo con n=10, 20,40, 60, 80,100, 200,300. Suggermento: Determna l problema a caso n 2 mod dvers (otteno problem con caratterstche dfferent) 1. genera una matrce A casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1. Estra da A medante la funzone tru(), predefnta n MatLab, la trangolare superore otteno U. Scegl ugualmente a caso (element tra 0 e 1) l vettore colonna d dmensone n e qund calcola y=u*. n, U e y sono dat del problema; è la soluzone esatta del problema. R l algortmo MatLab nterattvo. 2. genera una matrce A casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1. Estra da A medante la funzone tru(), predefnta n MatLab,la trangolare superore otteno U. Modfca U pono gl element nella dagonale prncpale ugual a 1. Scegl ugualmente a caso (element tra 0 e 1) l vettore colonna d dmensone n e qund calcola y=u*. n, U e y sono dat del problema; è la soluzone esatta del problema. R l algortmo MatLab nterattvo. Controlla l valore dell errore al crescere d n.

7 Eserctazone n.7 1) L algortmo d Gauss nave per la rsoluzone d sstem lnear A=b trasforma l sstema n uno trangolare superore medante l seguente: 1. algortmo for =1,2,,n-1 for =+1,,n ( ) a, m, = ( ) a, for j=+1,,n+1 + 1) ( ) a = a m a ( ( ) j, j j Scrv un algortmo n Matlab che rsolva l sstema lneare A=b operando come segue a) gener a caso un problema del tpo A=b d dmensone n la cu soluzone esatta è nota; b) applch l algortmo 1 per trangolarzzare l sstema; c) trov la soluzone approssmata rsolvo l sstema trangolare superore; c) stamp la soluzone trovata e la norma eucldea dell errore -. Spermenta l algortmo con n=10, 20,40, 60, 80,100. Suggermento: Il problema a caso può essere determnato, generando una matrce A casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1. S scegle, ugualmente a caso, l vettore colonna d dmensone n e qund s calcola b=a*. n, A e b sono dat del problema; è la soluzone esatta del problema. 2) Modfca l metodo d Gauss nave n modo che sa applcable a problem A=b n cu det(a) 0 e qualche mnore prncpale sa uguale a zero. Suggermento: Il problema a caso può essere determnato come nel caso precedente ed mpono successvamente che due rghe d qualche matrce prncpale sano ugual.

8 Eserctazone n.8 Il seguente algortmo d Gauss scalato trangolarzza un sstema lneare A=b n cu A e b sono memorzzat n un unco array A 1. algortmo for =1,..,n d =ma 1<=j<=n+1 a j Scala l sstema lneare dvdo la rga -sma del sstema per d. for =1,2,,n-1 ( ) ( ) p ntero tale che a p = ma a ( ) j ( ) a pj n scambo a e, j=1,,n+1. for =+1,,n ( ) a, m, = ( ) a, for j=+1,,n+1 + 1) ( ) a = a m a ( ( ) j, j j Scrv un algortmo n Matlab che rsolva l sstema lneare A=b operando come segue Caso 1 a) gener a caso un problema del tpo A=b d dmensone n la cu soluzone esatta è nota; b) applch l algortmo 1 per trangolarzzare l sstema; c) trov la soluzone approssmata rsolvo l sstema trangolare superore; d) stamp la soluzone trovata e la norma eucldea dell errore -. Caso 2 a) gener un problema test A =b n cu A è la matrce d Hlbert e la cu soluzone esatta è nota; I pass b), c), d) sono gl stess del caso 1 Spermenta l algortmo con n=10, 20,40, 60, 80,100. Suggermento: Il problema a caso può essere determnato, generando una matrce A casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1. S scegle, ugualmente a caso, l vettore colonna d dmensone n e qund s calcola b=a*. n, A e b sono dat del problema; è la soluzone esatta del problema. La matrce d Hlbert s genera utlzzando la funzone hlb( ) predefnta n MatLab.

9 Eserctazone n.9 Il seguente algortmo d Gauss Dooltle fattorzza una matrce A nella forma A=LU con L matrce trangolare nferore avente 1 nella dagonale prncpale e U trangolare superore For =1,..,n For =,..,n u = a For =+1,..,n l 1 l p= 1 1 p p u p ( a = lpu p ) / u =1 Rsolv con MatLab un sstema lneare A=b generato a caso, fattorzzando prma A con l algortmo su descrtto e po rsolvo sstem trangolar. Calcola anche l numero d operazon artmetche (addzon, sottrazon, moltplcazon e dvson) esegute durante l esecuzone dell algortmo. Suggermento: Il problema a caso può essere determnato, generando una matrce A casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1. S scegle, ugualmente a caso, l vettore colonna d dmensone n e qund s calcola b=a*. n, A e b sono dat del problema; è la soluzone esatta del problema. Eserctazone n.10 Anals Numerca I, a.a Il seguente algortmo d Cholesy fattorzza una matrce A, smmetrca defnta postva, nella forma A=R*R T con R matrce trangolare nferore. For =1,..,n 1 ( a = a a p= 1 For =+1,..,n p ) 1 a ( a = apap ) / a =1 p Rsolv con MatLab un sstema lneare A=b generato a caso, con A smmetrca defnta postva, fattorzzando prma A con l algortmo su descrtto e po rsolvo sstem trangolar.. Suggermento: Il problema a caso può essere determnato, generando una matrce C casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1 e pono po A=C T C. S scegle, ugualmente a caso, l vettore colonna d dmensone n e qund s calcola b=a*. n, A e b sono dat del problema; è la soluzone esatta del problema.

10 Eserctazone n.11 Calcola l tempo che l algortmo d Gauss con pvotng scalato mpega a rsolvere sstem lnear con dmenson n= 10,20,30, 40,, 200. Memorzza temp ottenut n un array d nome temp(), qund fa l grafco della varable n e della corrspondente tabulazone temp() Suggermento. Pon l algortmo d Gauss dentro un cclo n cu n vara da 10 a 200 con passo 10 e qund memorzza temp d calcolo. Utlzza le funzon d Matlab cputme che fornsce l tempo dell orologo n second; la dfferenza tra due chamate successve d cputme fornsce l tempo d utlzzo della cpu tra le due chamate.

11 Eserctazone n.12 L algortmo d Gauss per la fattorzzazone A=L*U d matrc a banda nferore p e superore q è 1. algortmo for =1,2,,n-1 for =+1,,mn(+p,n) a a, = a, for =+1,,mn(+p,n) for j=+1,,mn(+q,n) a = a a a j j j Scrv un algortmo n Matlab che rsolva l sstema lneare A=b n cu A è una matrce a banda (p,q) determnando prma le matrc U ed L con l algortmo su ndcato e po rsolvo Ly=b e U=y. Spermenta l algortmo con n=60, q=p=0, n/4, n/2, n-1. Calcola l tempo d esecuzone per cascuno d quest parametr medante la funzone d MatLab cputme. Suggermento: Il problema a caso può essere determnato, generando prma una matrce A, casuale d dmensone n cu element sono tra 0 e 1, po utlzzando successvamente le funzon predefnte trl(a,) e tru(a,) (l help d tru() e trl() ndcano quale valore dare a ). S scegle, ugualmente a caso, l vettore colonna d dmensone n e qund s calcola b=a*. n, A e b sono dat del problema; è la soluzone esatta del problema.

12 Eserctazone n.13 Rsolv un sstema lneare A=b utlzzando sa l metodo teratvo d Jacob sa l metodo d Gauss- Sedel. Il prmo è basato sul seguente schema teratvo For 1=1,..,n ( + 1) = ( b 1 n ( ) aj a j j j= 1 j= + 1 ( ) j ) / a Il secondo sullo schema For 1=1,..,n ( + 1) = ( b 1 n ( + 1) aj a j j j= 1 j= + 1 ( ) j ) / a Testa due metod sa nel caso la matrce A sa data da A = 1 1 1, A = sa nel caso la matrce A sa generata a caso utlzzando funzon predefnte d MatLab per costrure un sstema A=b per l quale s è scur che l metodo d Jacob converge: B=(1/n)*rand(n); DD=dag(dag(B)); B=B-DD; A=DD-DD*(B); Suggermento. I due metod sono teratv; ndcando con l ndce d terazone s ha che la convergenza è ottenuta per che te all nfnto. Pertanto nella formulazone dell algortmo è necessaro nserre un crtero d stop. Questo può essere: fssata un accuratezza acc termna le terazon quando la norma della dfferenza d due n-ple successve (+1), () è mnore d acc. Inoltre poché l crtero d stop potrebbe non essere ma soddsfatto ( caso della non convergenza), entrando n un cclo nfnto, convene aggungere un altro crtero d stop: l esecuzone dell algortmo è nterrotta quando vene raggunta un terazone massma prefssata. Nota anche che nell mplementazone non è necessaro memorzzare tutta la successone () basta solo operare su due vettor 0 e 1.

13 Eserctazone n.14 L algortmo d Nevlle data la tabulazone d una funzone, y = 0,..n permette d calcolare l valore del polnomo nterpolante fs n un punto generco s. Memorzzando valor d e y negl arrays () e y() l algortmo può scrvers nella forma t(0)=y(0) for =1,,n t()=y() for j=-1,-1,0 t(j)=t(j+1)+(t(j+1)-t(j))*(s-())/(()-(j)) fs=t(0). Scrv un algortmo n matlab che dato un ntervallo [a,b] scelga per una assegnata funzone f(), n nod equdstant nell ntervallo dato e calcol valor y = f( ). con l algortmo d Nevlle calcol valor ps j del polnomo nterpolante n m punt s j equdstant nell ntervallo [a,b]. calcol valor d f() ne punt s j da ndcare con fs j. Usando valor s j e ps j e fs j facca grafc del polnomo nterpolante e della funzone f(). Come funzon test f() pr 2sen()+2, e 1/(1+ 2 ) Hnt: Scegl n come una varable nput n questo modo s possono faclmente fare prove con un numero d nod varable. Usa la defnzone d funzone presente n Matlab per creare l fle fun.m contenente la defnzone d funzone. Per esempo: functon y = fun() y=2*sn()+2; % calcolo d y

14 Anals Numerca I, a.a Eserctazone n.15 Data la tabulazone d una funzone, y = 0,..n, MatLab permette d costrure l polnomo nterpolante d grado n. Cò s ottene medante la funzone polyft(,y,n) con ( ), y (y ) e n l grado del polnomo (polyft s trova nel gruppo polyfun). Polyft resttusce un vettore, che possamo chamare P cu element sono coeffcent del polnomo nterpolante. Inoltre n matlab esste, predefnta, la funzone polyval(p,z) la quale dat coeffcent P d un polnomo dà una tabulazone del polnomo n z, con z vettore d numer. Scrv un algortmo n matlab che dato un ntervallo [a,b] scelga per una assegnata funzone f(), n nod equdstant nell ntervallo dato e calcol valor y = f( ). medante la funzone polyft calcol coeffcent del polnomo nterpolante ne punt j y. facca l grafco d f() e del polnomo nterpolante sceglo m punt s j equdstant nell ntervallo [a,b]. Come funzon test f() pr e - sen(2π) nell ntervallo [0,4] (-3+1.4)*sen(18) nell ntervallo [ , ]. 1/(1+ 2 ) nell ntervallo [-5, 5]. Hnt: Scegl n come una varable nput n questo modo s possono faclmente fare prove con un numero d nod varable. Usa la defnzone d funzone presente n Matlab per creare l fle fun.m contenente la defnzone d funzone. Per esempo: functon y = fun() y=2*sn()+2; % calcolo d y

15 Eserctazone n.16 Data la tabulazone d una funzone f(),, y = 0,..n, la f() può approssmars medante una splne lneare. Scrv un algortmo n matlab che dato un ntervallo [a,b] scelga per una assegnata funzone f() n nod equdstant nell ntervallo dato e calcol valor y = f( ). facca grafc della splne nterpolante e della funzone f(). Come esempo funzone pr le funzon 2sen()+2 (nell ntervallo [-20, 20]), e - sen(2π) nell ntervallo [0,4] (-3+1.4)*sen(18) nell ntervallo [ , ]. 1/(1+ 2 ) (nell ntervallo [-6, 6]) Hnt: n deve essere una varable nput n questo modo s possono faclmente fare prove con dvers nod. Usa la defnzone d funzone presente n Matlab: Crea l fle fun.m contenente % defnzone d funzone functon y = fun() y=2*sn()+2; la scrttura fun(6.0) n un programma o nella fnestra d commando permette d calcolare 2sen()+2 nel punto =6.0. Attento che alla funzone può passars uno scalare o un vettore. In quest ultmo caso la funzone resttusce l vettore tabulazone, ma la defnzone deve essere fatta opportunamente.

16 Eserctazone n.17 1) Suppon d conoscere la tabulazone, y, =1,..,m, d una funzone f() n un ntervallo [a,b]. Utlzzando Matlab costrusc un polnomo d grado n, n<m che approssma la f() nel senso de mnm quadrat (caso dscreto). Fa l grafco della f() (per punt) e del polnomo approssmante. 2) Rpet la stessa procedura utlzzata per rsolvere 1) suppono che valor d f() non sano calcolat esattamente ma con un errore casuale che non supera l 10% del valore della funzone. Coè nvece d f() s ha g()=f()+ casuale() con f() 0.1* f() <casuale()< f() +0.1* f(). Consdera come esemp d funzon 2sen()+2 (nell ntervallo [-20, 20]), e - sen(2π) nell ntervallo [0,4] (-3+1.4)*sen(18) nell ntervallo [ , ]. 1/(1+ 2 ) (nell ntervallo [-6, 6]) Hnt: Approssmare nel senso de mnm quadrat (caso dscreto) con un polnomo d grado n sgnfca: Data la tabulazone, y, =1,..,m, d una funzone f()εc[a,b] e l sottospazo W de polnom d grado n, w(a,)= a 0 +a 1 + +a n n, trovare l polnomo w(a*,) tale che m = 1 ( w( a*, ) y ) 2 m = 1 ( w( a, ) y ) 2 Il vettore a * = ( a, a,..., a * * * 0 1 n ) è dato da Con M m = 1 Ma*=r j = ( m = =0,1,,n e j=0,1,,n, j ) m = 1 r = ( r ) = y =0,1,,n

17 Eserctazone n.18 3) Suppon d conoscere la tabulazone, y, =1,..,m, d una funzone f() n un ntervallo [a,b]. Dato un ntero n, n 0, utlzzando la funzone predefnta d Matlab polyft(,y,n) (data la tabulazone ( ), y (y ) ed n l grado del polnomo, Polyft resttusce un vettore, che possamo chamare P cu element sono coeffcent del polnomo nterpolante) costrusc un polnomo d grado n, che approssma la f() nel senso de mnm quadrat (caso dscreto). Fa l grafco della f() ( per punt) e del polnomo approssmante. 4) Rpet la stessa procedura utlzzata per rsolvere 1) suppono che valor d f() non sano calcolat esattamente ma con un errore casuale che non supera l 10% del valore della funzone. Coè nvece d f() s ha g()=f()+ casuale() con f() 0.1* f() <casuale()< f() +0.1* f(). Consdera come esemp d funzon 2sen()+2 (nell ntervallo [-20, 20]), e - sen(2π) nell ntervallo [0,4] (-3+1.4)*sen(18) nell ntervallo [ , ]. 1/(1+ 2 ) (nell ntervallo [-6, 6]) Hnt: per ottenere la tabulazone del polnomo nterpolante utlzza la funzone polyval(p,z) la quale dat coeffcent P d un polnomo dà una tabulazone del polnomo n z, con z scalare o vettore d numer.