Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del

Prova scritta di fondamenti di meccanica razionale del 8..19 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna Oxyz Oê 1 ê ê, con l asse Oy diretto verticalmente verso l alto, si considera il sistema S costituito da una lamina quadrata L, di lato a e vertici OBCD, e da un asta rettilinea OA, di lunghezza a, disposti come mostrato in figura. Le densità di lamina e asta si scrivono, rispettivamente: σ(p µ a 4 P O P L λ(q µ Q O Q OA, a con µ massa costante caratteristica. Sapendo che il sistema è pesante, determinare: (a la massa, la posizione del baricentro e l inviluppo convesso del sistema S; (b la matrice d inerzia di S relativa a Oxyz; (c i momenti d inerzia di S rispetto alle rette OC e CD; (d i momenti principali d inerzia in O della sola lamina L; (e l asse centrale e il momento rispetto all asse Oz delle forze peso agenti su S. 1

Esercizio Tre aste omogenee BC, CD e AD, ciascuna di lunghezza r e massa m, si muovono nel piano Oxy di una terna Oxyz Oê 1 ê ê, posta in rotazione con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. AD e BC ruotano attorno ai punti fissi A e B, rispettivamente, posti lungo l asse Ox a distanza r dall origine. L asta CD è incernierata alle altre due in C e D. L intero sistema è pesante e una molla ideale di stiffness k mω /4 collega il punto medio M di CD con il punto fisso L(, 4r. Assunti i vincoli ideali, usare l angolo θ R in figura per determinare del sistema, relativamente a Oxyz: (a l espressione dell energia cinetica; (b gli equilibri ordinari, con le relative condizioni di esistenza; (c le proprietà di stabilità degli equilibri ordinari; (d le equazioni di Lagrange; (e gli eventuali equilibri di confine qualora fosse θ [ π/, π/], precisandone le condizioni di esistenza.

Soluzione dell esercizio 1 (a Massa e baricentro del sistema S Massa dell asta OA L asta OA è descritta dalla parametrizzazione banale: Q(x O xê 1 x [, a], in termini della quale l elemento infinitesimo di lunghezza si scrive: ds Q (x ê 1 e la densità lineare della curva materiale assume la forma: La massa dell asta vale dunque: λ(q µ a xê 1 µ x x [, a]. a m OA OA λ ds µ a x µ a a µ. Massa della lamina L Un ovvia parametrizzazione della lamina è espressa in termini delle coordinate cartesiane x ed y: P (x, y O xê 1 + yê (x, y [, ] [, a], con elemento infinitesimo d area: da P x P y dy ê1 ê dy ê dy dy e densità areale: σ(p µ xê1 a 4 + yê µ a 4 (x + y Per la massa della lamina L si ha quindi: m L σ da L µ a 4 dy µ a 4 (x + y µ a 4 (ax + a µ [a x a 4 + a x (x, y [, ] [, a]. ] [x y + y µ a 4 ( a 4 ] a y + a4 µ. Massa del sistema S Poichè il punto di intersezione O fra asta e lamina rappresenta un insieme di misura nulla sia per la curva che per la superficie materiale, la massa del sistema S OA L è la semplice somma delle masse parziali di asta e lamina: m S m OA + m L µ + µ 7 6 µ.

Baricentro dell asta L asta OA giace lungo l asse coordinato Ox, che deve quindi contenere anche il relativo baricentro G OA. Il vettore posizione di questo deve assumere la forma: G OA O x OA ê 1, in cui l ascissa è calcolata usando la definizione: x OA 1 x λ ds x µ µ a x a in modo che risulta: m OA OA G OA O aê 1. x a a a, Baricentro della lamina La determinazione del baricentro di L si semplifica notando che la retta r di equazione y x nel piano Oxy costituisce un evidente asse di simmetria della lamina: questa infatti risulta simmetrica rispetto ad r e punti P, P L simmetrici rispetto ad r si collocano alla stessa distanza da O e presentano quindi lo stesso valore della densità areale: σ(p µ a 4 P O µ a 4 P O σ(p. Di conseguenza, il baricentro G L della lamina deve essere individuato da un vettore posizione del tipo: G L O x L ê 1 x L ê, con ascissa: x L 1 x σ da m L µ L a 4 ( a 4 a4 4 a ] a [x y + x y y a 4 dy x µ a 4 (x + y a 4 a ( 1 a 4 + 1 6 dy (x + xy (ax + a x [a x4 a 4 4 + a 5 8 a. La posizione del baricentro G L della lamina è quindi data da: G L O 5 8 aê 1 + 5 8 aê. x ] Baricentro del sistema Essendo l intersezione OA L {O} ininfluente, il baricentro G S del sistema S si determina applicando il teorema distributivo alle parti costituenti OA ed L: G S O m OA(G OA O + m L (G L O m S 4

6 [ µ 7µ 6 7 aê 1 + ( µ 5 8 aê 1 + 5 ] 8 aê 6 ( 1 5 + 5 7 ê1 1ê1 ( 1 1ê1 + 5 1ê a 1 14 aê 1 + 5 14 aê. 1ê a Inviluppo convesso del sistema S Per determinare l inviluppo convesso conv(s del sistema basta considerare l intersezione dei semipiani in Oxy contenenti l origine e delimitati rispettivamente dalle rette: DA Ox AB BC CD. L intersezione di questi semipiani individua l inviluppo richiesto, che si identifica con il trapezio chiuso DABC. L inclusione: conv(s DABC è evidente dalla definizione di inviluppo convesso i semipiani precedenti contengono completamente il sistema, dunque la loro intersezione deve includere conv(s. D altra parte si osserva che non è possibile escludere da conv(s nessun punto del triangolo OAB: conv(s deve infatti contenere i punti O, A e B del sistema, e di conseguenza anche l intero triangolo chiuso OAB. Pertanto vale anche DABC conv(s e la verifica è completa. (b Matrice d inerzia in Oxyz del sistema S Matrice d inerzia dell asta OA La matrice d inerzia dell asta relativa alla terna Oxyz deve essere della forma: [L OA O ] L OA yy L OA yy dal momento che il segmento OA giace lungo l asse coordinato Ox. Il momento d inerzia rispetto all asse Oy si calcola direttamente dalla definizione, e risulta: L OA yy OA x λ ds x µ a x µ a x µ a a 4 4 µa 4. Pertanto: O ] µa 1/4. 1/4 [L OA Matrice d inerzia della lamina L Poichè la lamina giace nel piano coordinato Oxy, i prodotti d inerzia L L xz e L L yz devono annullarsi e il momento d inerzia rispetto all asse Oz è pari alla somma dei momenti d inerzia relativi agli assi Ox ed Oy: L L zz L L xx + L L yy. 5

Una ulteriore semplificazione viene dalla presenza già riconosciuta dell asse di simmetria r di equazione y x, che implica L L yy L L xx; basta infatti osservare che per ogni punto (x, y L, il punto simmetrico rispetto ad r è ( y, x L e che, di conseguenza, il cambiamento di variabili (x, y ( y, x conduce a: L L yy dy x µ a 4 (x + y dy In definitiva, la matrice d inerzia della lamina è del tipo: L L [L L xx L L xy O] L L xy L L xx L L xx con momento d inerzia relativo a Ox: L L xx y σ da L µ a 4 µ a 4 [ a e prodotto d inerzia non banale: L L xy L µ a 4 µ a 4 xyσ da dy y µ a 4 (x + y µ a 4 [x y + y5 5 dy (x y + xy µ a 4 ] a y y µ a 4 (y + x dy y µ a 4 (x + y L L xx. µ a 4 x ] + a5 5 x µ ( a 6 a 4 9 + a6 5 dy xy µ a 4 (x + y (x a + xa4 µ [ a 4 a 4 [x y x 4 4 + a4 4 + xy4 4 dy (x y + y 4 (x a + a5 5 ] a y 14 45 µa x ] µ ( a 6 a 4 8 + a6 µa 8 4. In conclusione: 14/45 1/4 [L L O] µa 1/4 14/45. (1 8/45 6

Matrice d inerzia del sistema S La matrice d inerzia del sistema è la somma delle matrici d inerzia, relative alla stessa terna, delle parti OA ed L: [L S O] [L OA O ] + [L L O] µa 14/45 1/4 1/4 + µa 1/4 14/45 1/4 8/45 14/45 1/4 µa 1/4 11/18. 157/18 (c Momenti d inerzia di S rispetto alle rette OC e CD Momento rispetto a OC La retta OC passa chiaramente per l origine ed è individuata dal versore direttore: ˆn C O C O ê 1 + aê aê 1 + aê 1 ê 1 + 1 ê. Il momento d inerzia del sistema rispetto ad OC è quindi dato dalla relazione: I OC ˆn L O (ˆn ( 1/ 1/ [L O ] 1/ 1/ 1 ( 1 1 [L O] 1 1 1 ( 1 [ L xx + 1 ] L yy + ( 1 1 L xy 1 (L xx + L yy L xy 1 (L zz L xy 1 ( 157 18 1 µa 67 4 6 µa. Momento rispetto a CD La retta CD è parallela all asse coordinato Oy, ma non passa per il baricentro G S del sistema. Il momento d inerzia relativo a CD può quindi essere calcolato considerando le rette parallele CD, Oy e G S y ed applicando due volte il teorema di Huygens-Steiner. Tra le rette Oy e G S y questo porge: mentre tra CD e G S y risulta: I Oy I GS y + m S x G, ( I CD I GS y + m S (x G + a, ( essendosi indicata con x G (G S O ê 1 /14 l ascissa del baricentro. Sottraendo la ( dalla ( si ottiene: I CD I Oy m S (a + ax G 7

e pertanto: I CD I Oy + m S a(a + x G 11 18 µa + 7 (a 6 µa a µa ( 11 7 18 + 1 81 18 µa. (d Momenti principali d inerzia in O della lamina L Per definizione, i momenti principali d inerzia in O della lamina non sono altro che gli autovalori della matrice d inerzia (1 di L, soluzioni in λ dell equazione caratteristica: det ( [L L O] λi. Per adimensionalizzare il problema conviene porre λ µa ξ, in modo che l equazione precedente si semplifica in: ( 1 det µa [LL O] ξi, con: 1 µa [LL O] 14/45 1/4 1/4 14/45. 8/45 L equazione caratteristica diventa perciò, in forma adimensionale: 14/45 ξ 1/4 1/4 14/45 ξ 8/45 ξ 14/45 ξ 1/4 ( 8 [ ( 1/4 14/45 ξ 45 ξ ξ 14 1 45 16 ( ξ 14 45 1 ( ξ 14 4 45 + 1 ( 8 ( 4 45 ξ ξ 11 18 e fornisce le radici reali positive: ] (8 45 ξ ( ξ 11 18 ( 8 45 ξ ξ 1 11 18 ξ 11 18 ξ 8 45. Ne seguono i momenti principali d inerzia in O richiesti: A 1 11 18 µa A 11 18 µa A 8 45 µa. (e Asse centrale e momento rispetto all asse Oz delle forze peso agenti su S Asse centrale Le forze peso che agiscono su S costituiscono un sistema di vettori applicati paralleli con risultante non nullo, di cui sono definiti centro ed asse centrale. Il centro si identifica come ben noto con il baricentro G S del sistema, mentre l asse centrale è la retta passante 8

per G S e parallela alla comune direzione di tutti i vettori applicati. Si tratta quindi della retta G S y, la cui equazione parametrica può scriversi: x 1 14 a y α z α R. Momento rispetto a Oz Il momento delle forze peso rispetto all asse Oz si calcola facilmente ricordando che il sistema delle forze peso è equivalente ad un sistema fittizio di vettori applicati costituito dal peso totale m S gê applicato in G S. Il momento in O del sistema delle forze peso è quindi dato da: M O (G S O ( m S gê e il momento rispetto all asse Oz vale, per definizione si ricordi che l asse è orientato: M Oz M O ê (G S O ( m S gê ê ( 1 14 aê 1 + 5 14 aê ( m S gê ê 1 14 a 5 14 a m S g 1 14 m Sga 1 7 14 6 µga 1 1 µga. Soluzione dell esercizio (a Energia cinetica L energia cinetica del sistema è la somma dei contributi delle tre aste, che vengono calcolati separatamente. Energia cinetica dell asta BC L asta BC ruota con velocità angolare θê attorno all asse fisso Bz, per cui la sua energia cinetica si scrive: T BC 1 IBC Bz θê 1 m(r θ mr θ. Energia cinetica dell asta CD L asta CD è priva di punti/assi fissi e per il calcolo dell energia cinetica si procede con la relazione di König: T CD m Ṁ + 1 ICD Mz ωcd, nella quale risulta: e: M O r(sin θê 1 cos θê Ṁ r(cos θê 1 + sin θê θ Ṁ 4r θ, mentre la velocità angolare istantanea ω CD è costantemente nulla: ω CD 9

dal momento che lungo qualsiasi moto possibile il segmento CD si mantiene parallelo all asse Ox l asta si muove di moto puramente traslatorio. Di conseguenza: T CD m 4r θ + mr θ. Energia cinetica dell asta AD L asta AD ruota attorno all asse fisso Az, ma dello stesso angolo θ che descrive la rotazione di BC attorno a Bz. Poichè le due aste sono identiche, tali risultano anche le espressioni dell energia cinetica. Pertanto: T AD T BC mr θ. Energia cinetica del sistema Sommando le energie cinetiche delle tre aste si ricava l energia cinetica del sistema: T T BC + T CD + T AD mr θ + mr θ + mr θ 1 mr θ. (4 (b Equilibri ordinari Il sistema è scleronomo, a vincoli bilaterali ideali e soggetto soltanto a sollecitazioni posizionali conservative (peso, interazione elastica e forze centrifughe. Le forze di Coriolis in linea di principio costituiscono un sistema di sollecitazioni non energetiche, ma si vedrà che esse non influenzano il comportamento del sistema. Potenziale gravitazionale Il potenziale delle forze peso è la somma dei contributi relativi a ciascuna delle tre aste, che conviene calcolare separatamente. Trattandosi di aste omogenee, i loro baricentri rispettivi G BC, G CD, G AD coincidono con i rispettivi punti medi (e centri di simmetria. Si hanno dunque i vettori posizione: G BC O B O + C B rê 1 + r(sin θê 1 cos θê r(sin θ + 1ê 1 r cos θê G CD O M O r(sin θê 1 cos θê G AD O A O + D A rê 1 + r(sin θê 1 cos θê dai quali si deduce il potenziale gravitazionale dell intero sistema: r(sin θ 1ê 1 r cos θê U g mgê (G BC O mgê (G CD O mgê (G AD O mgr cos θ + mgr cos θ + mgr cos θ 4mgr cos θ. Si osservi che allo stesso risultato si può pervenire molto più rapidamente ricorrendo ad un trucco diabolico: è infatti evidente che il potenziale gravitazionale del sistema non cambierebbe, se non per una costante additiva del tutto irrilevante, qualora alle tre aste 1

BC, CD e AD se ne aggiungesse una quarta identica alle precedenti e collocata nella posizione fissa AB. Il parallelogramma composto dalle quattro aste sarebbe quindi un telaio omogeneo deformabile di massa 4m e baricentro: G O M O r(sin θê 1 cos θê, cui corrisponderebbe il potenziale gravitazionale: a conferma dell espressione precedente. U g 4mgê (G O 4mgr cos θ, Potenziale elastico Alla molla ideale di stiffness k mω /4 tesa tra i punti M ed L è associato il potenziale: dove: U el k M L 1 mω 4 M L mω M L 8 M L M O (L O r sin θê 1 r cos θê ( 4rê r sin θê 1 +r(4 cos θê e di conseguenza: M L 4r sin θ + r (4 cos θ r (4 sin θ + 16 + 4 cos θ 16 cos θ r ( 16 cos θ. Il potenziale elastico assume dunque la forma: U el mω 8 r ( 16 cos θ mr ω cos θ + costante. Potenziale centrifugo Anche il potenziale centrifugo si può esprimere come somma dei potenziali relativi alle singole aste: U cf U BC cf + U CD cf + U AD cf che si calcolano convenientemente usando la definizione per le aste BC e AD, ovvero ricorrendo al teorema di Huygens-Steiner nel caso dell asta CD. Per BC si ha, in termini dell ascissa curvilinea s [, r] misurata lungo l asta dall estremo fisso B: U BC cf ω IBC Oy ω r (r + s sin θ m r ds mω 4r r (r + s sin θ + rs sin θ ds. 11

Per CD il teorema di Huygens-Steiner porge: U CD cf ω ICD Oy ω ω [ IMy CD + m[(m O ê 1 ] ] ω [ ] mr + 4mr sin θ [ m(r 1 mr ω sin θ + costante. + m(r sin θ ] Il potenziale di AD si ricava in modo analogo a quello di BC, usando l ascissa curvilinea s misurata lungo l asta a partire dal punto fisso A: U AD cf ω IAD Oy ω r (r s sin θ m r ds mω 4r r (r + s sin θ rs sin θ ds. Si osservi che non conviene calcolare esplicitamente gli integrali, perchè sommando i tre potenziali parziali si verifica una parziale cancellazione di termini quelli di primo grado in s. Il potenziale delle forze centrifughe è dunque: U cf mω 4r + mω 4r mω r mω r r r r (r + s sin θ + rs sin θ ds + mr ω sin θ + (r + s sin θ rs sin θ ds (r + s sin θ ds + mr ω sin θ (r + (r sin θ + mr ω sin θ mr ω + 4 mr ω sin θ + mr ω sin θ 1 mr ω sin θ + costante. Potenziale del sistema La somma dei potenziali gravitazionale, elastico e centrifugo definisce il potenziale del sistema che, omesse le costanti additive, diventa: U(θ U g + U el + U cf 4mgr cos θ + mr ω cos θ + 1 mr ω sin θ (4mgr + mr ω cos θ + 1 mr ω sin θ θ R. Forze di Coriolis Per ogni punto P del sistema, di massa infinitesima m P, il contributo alla componente generalizzata delle forze di Coriolis è nullo: m P ω ê P P θ m P ω ê P θ θ P θ m P ω θ ê P θ P θ m P ω θ ê P θ P θ m P ω θ ê, 1

per cui Q Cor θ identicamente. Le forze di Coriolis non hanno effetto alcuno né sulla dinamica né sulla statica del sistema. Al solito, questo risultato si può interpretare alla luce del fatto che le forze di Coriolis risultano costantemente ortogonali al piano vincolare Oxy e vengono controbilanciate da appropriate forze reattive, anch esse ortogonali a detto piano (condizione dei vincoli ideali. Equilibri ordinari Gli equilibri ordinari del sistema vanno identificati con i punti stazionari del potenziale U. Occorre quindi calcolare la derivata prima del potenziale: U (θ (4mgr + mr ω sin θ + mr ω sin θ cos θ ed eguagliarla a zero per ottenere l equazione di equilibrio: (4mgr + mr ω sin θ + mr ω sin θ cos θ, che equivale a: ( mr ω sin θ 4mgr + mr ω mr ω e si semplifica nella forma fattorizzata: ( sin θ g 5 rω 1 + cos θ. + cos θ Due equilibri definiti incondizionatamente seguono da sin θ : mentre per 5 θ θ π, g rω + cos θ si ricavano gli ulteriori equilibri: 1 ( θ θ : arccos 1 + g 5 rω θ θ, che invece sono definiti e distinti dai precedenti se e soltanto se: 1 + 5 con θ (, π/. g rω < 1 5 g rω < 7 1 g rω < 7 6, (c Stabilità degli equilibri Le proprietà di stabilità degli equilibri possono essere caratterizzate facendo riferimento ai teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. Per analizzare la stabilità degli equilibri si parte, al solito, dal calcolo della derivata seconda del potenziale: U (θ (4mgr + mr ω cos θ + mr ω (cos θ sin θ 1

della quale si deve determinare il segno in ciascun equilibrio. Equilibrio θ, definito incondizionatamente In questo punto stazionario la derivata seconda del potenziale non presenta segno definito: U ( (4mgr + mr ω + mr ω 4mgr + 14 mr ω 4mr ω ( 7 6 g rω ed impone di considerare tre diversi casi: per g/rω < 7/6 la derivata seconda è positiva e consente di riconoscere l equilibrio come instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; se g/rω > 7/6 è invece U ( <, con conseguente stabilità dell equilibrio, quale massimo relativo proprio del potenziale; qualora sia infine g/rω 7/6 risulta U ( e la discussione richiede uno sviluppo di Taylor del potenziale di ordine superiore al secondo. La derivata seconda diventa in effetti: ( U (θ mr ω [ mr ω [ 4 g rω + cos θ + ] (cos θ sin θ ] cos θ + (cos θ sin θ mr ω ( cos θ + cos θ sin θ mr ω ( cos θ + cos θ, e se ne traggono le derivate successive: U ( (θ mr ω (sin θ sin θ che in θ valgono: e tramite lo sviluppo di Taylor: U (4 (θ mr ω (cos θ 4 cos θ U ( ( U (4 ( mr ω < U(θ U( + U (4 ( θ 4 + o(θ 4 U( 5 4! 6 mr ω θ 4 + o(θ 4 (θ permettono di individuare l equilibrio come un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet. Equilibrio θ π, definito incondizionatamente Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale ha sempre segno positivo: U (π 4mgr + mr ω + mr ω > 14

ed assicura l instabilità dell equilibrio per il teorema di inversione parziale di Lagrange- Dirichlet. Equilibrio θ θ, con cos θ g 5 rω + 1 e definito per g/rω < 7/6 La derivata seconda del potenziale si scrive: U (θ (4mgr + mr ω cos θ + mr ω (cos θ sin θ ( mr ω [ g 5 rω + ] cos θ + cos θ sin θ 1 mr ω ( cos θ cos θ + cos θ sin θ mr ω sin θ < e dal suo segno negativo si deduce la stabilità dell equilibrio, quale massimo relativo proprio del potenziale. Equilibrio θ θ, con cos θ g 5 rω + 1 e definito per g/rω < 7/6 È immediato verificare che in questa configurazione la derivata seconda del potenziale risulta identica a quella calcolata nella configurazione di equilibrio simmetrica θ θ : U ( θ U (θ <, per cui anche questo equilibrio è stabile come peraltro si poteva intuire per ragioni di simmetria. (d Equazioni di Lagrange Nell ipotesi di vincoli ideali le equazioni pure del moto del sistema scleronomo si riducono all unica equazione di Lagrange: nella quale figura la lagrangiana: d ( L dt θ L θ, (5 L T + U 1 mr θ + (4mgr + mr ω cos θ + 1 mr ω sin θ. I termini del binomio di Lagrange a primo membro nella (5 si calcolano in modo elementare: d ( L dt θ mr θ L θ (4mgr + mr ω sin θ + mr ω sin θ cos θ per cui risulta: mr θ + (4mgr + mr ω sin θ mr ω sin θ cos θ. 15

(e Equilibri di confine Nell ipotesi che l angolo θ sia limitato all intervallo chiuso [ π/, π/] il sistema scleronomo diventa a vincoli unilaterali ideali ed ammette due configurazioni di confine, per θ π/ e per θ π/. L eventuale ricorrere dell equilibrio in tali configurazioni viene riconosciuto applicando il teorema dei lavori virtuali. Configurazione θ π/ La condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio in θ π/, fornita dal teorema dei lavori virtuali, è la seguente: ed equivale a: α θ Q θ ( π/ α θ, U ( π/. L espressione esplicita della forza generalizzata risulta: U ( π/ (4mgr + mr ω sin θ + mr ω sin θ cos θ θ π/ (4mgr + mr ω mr ω ( 4mgr + mr ω 1 mr ω 1 ( 4mgr 4 mr ω mr ω ( g rω 1 e la condizione per il sussistere dell equilibrio diventa perciò: g rω 1. Configurazione θ π/ In questo caso il teorema dei lavori virtuali si scrive: ossia: α θ Q θ (π/ α θ, U (π/. Poichè la derivata U (θ è chiaramente una funzione dispari, la condizione precedente equivale a: U ( π/ U ( π/ e viene dunque a coincidere con quella già considerata per la configurazione di confine θ π/. Si ha così equilibrio se e soltanto se: g rω 1. 16