Elementi di meccanica quantistica meccanica classica: una particella puntiforme è descritta compiutamente da posizione r e quantità di moto p = m v. In ogni istante è inoltre possibile valutare con certezza posizione, velocità ed energia. A livello microscopico (dimensioni confrontabili con quelle atomiche) la descrizione classica non è più sufficiente ed è necessario assumere una natura ondulatoria per la materia e ricorrere alla meccanica quantistica i cui principi fondamentali sono: una particella viene descritta da un onda (funzione d onda) la cui frequenza e lunghezza d onda sono rispettivamente associate ad energia e quantità di moto. Tali funzioni d onda sono soluzione della equazione di Schrödinger ed il loro modulo-quadro è proporzionale alla probabilità di un certo stato (posizione, tempo, velocità, energia) per la particella; energia, quantità di moto, posizione nello spazio-tempo di una particella sono note solo a meno di una incertezza ineliminabile (principio di indeterminazione); per le particelle di Fermi (Fermioni) vale il principio di esclusione di Pauli, in base al quale non è possibile avere due particelle nello stesso stato contemporaneamente. è possibile attribuire comportamento corpuscolare alle onde elettromagnetiche (fotoni, E=h ν).
Dualismo onda-particella una particella di energia E e quantità di moto p è descritta da un onda con frequenza f e costante di propagazione k che obbediscono alle relazioni di Einstein: E = hf = hω (7) p = h k (8) k è un vettore parallelo alla direzione di propagazione dell onda con le dimensioni fisiche dell inverso di una lunghezza ( k = 2π/λ). k e la velocità di fase dell onda stanno fra loro nella relazione: v p k = ω. Direzione e verso di v p sono coincidenti con quelli di k. L onda è descritta matematicamente dalla funzione d onda Ψ( r, t) che soddisfa l equazione di Schrödinger ed è legata alla probabilità di trovare la particella nel volume d rdt dalla relazione: P Ψ ( r, t) = Ψ( r, t) 2 d rdt (9) Esempio di funzione d onda è costituito dall onda piana completamente individuata da energia (espressa attraverso la pulsazione ω e eq. 7) e una quantità di moto (in relazione con la costante di propagazione tramite eq. 8, risulta completamente delocalizzata nello spazio-tempo). Nella notazione degli ingegneri: Ψ( r, t) = A exp(jωt)exp( j k r) (10) con Ψ( r, t) 2 = Ψ( r, t) Ψ( r, t) = A 2 La costante A viene determinata imponendo una condizione di normalizzazione della funzione d onda.
Equazione di Schrödinger tempo-dipendente La funzione d onda per una particella di massa m in un campo di forze elettrostatico con energia potenziale U soddisfa l equazione di Schrödinger (nella notazione dei fisici cambiano alcuni segni): Ψ( r, t) j h = h2 t 2m 2 Ψ( r, t) U( r, t)ψ( r, t) (11) Tale equazione assume il significato di bilancio energetico generalizzato al caso quantistico. Sostituendo a Ψ( r, t) l eq. (10) valida per un onda piana nell ipotesi di propagazione lungo l asse x: k r = k x x. Con semplici passaggi: hω = h2 k 2 x 2m + U (12) e l applicazione delle relazioni (7), (8) portano alla espressione classica dell energia di una particella come somma di energia cinetica e potenziale: E = p 2 2m + U (13) Poichè E e p sono costanti, lo è anche U (particella libera), con opportuna scelta del riferimento dell energia tale da annullare U definisce la relazione di dispersione della funzione d onda per l elettrone libero: ω = hk2 2m l onda piana di energia arbitraria è soluzione di eq.(11) per U = 0.
Equazione di Schrödinger per stati stazionari Il potenziale U = U( r) sia indipendente dal tempo, si assuma inoltre per la funzione d onda una forma fattorizzata: Ψ( r, t) = Ψ( r) φ(t). Sostituendo tale espressione nella (11) e dividendo entrambe i per Ψ( r, t) si ottiene: j h φ(t) t 1 φ(t) = h 2 2m 2 U( r) Ψ( r) 1 Ψ( r) (14) Il primo membro dipende solo da t mentre il secondo dipende solo da x, entrambi e membri devono essere costanti e, dato il significato dell equazione di Schrödinger e le dimensioni fisiche in gioco, risulta naturale (e consistente con quanto visto con riferimento all onda piana) indicare tale costante con E, (E: energia totale della particella). Seguono le equazioni: φ(t) t = j Ē φ(t) (15) h h 2 2m 2 Ψ( r) + (E U( r)) Ψ( r) = 0 (16) Da (15) segue: φ(t) = A exp (jet/ h) = A exp (jωt) (17) L equazione (16) si dice equazione di Schrödinger per stati stazionari e la sua soluzione Ψ( r) descrive uno stato stazionario ad energia completamente definita ma indeterminato temporalmente (la probabilità di trovare la particella è la medesima in tutti gli istanti).
Pacchetti d onda Un onda piana descrive un entità ad energia definita ma completamente delocalizzata spazialmente e temporalmente. Approssimazione della particella classica ottenibile sovrapponendo funzioni d onda a energia e quantità di moto definite e fra loro distinte (analogia con l antitrasformata di Fourier). Ψ k ( r, t) = B k exp(jω( k)t j k r) dove ω( k) = E/ h = hk 2 /2m e B k è una costante di proporzionalità differente per le varie onde e quindi dipendente da k (funzione peso in k). La sovrapposizione di queste funzioni d onda costituisce un pacchetto d onde e risulta soluzione dell equazione di Schroedinger (lineare) in quanto ottenuto come sovrapposizione lineare di soluzioni. Ψ( r, t) = Ψ kd 3 k (18)
Pacchetti d onda (2) il pacchetto risulta solo parzialmente localizzato in posizione e quantità di moto esempio: pacchetto gaussiano. B(k) = C exp (k k 0) 2 4 k 2 (19) P(x,t) = Ψ(x,t) 2 = A 2 exp (x hk 0 m t)2 2 [ 1 4 k + ( h kt (20) 2 m )2] Se tali indeterminazioni sono contenute, il pacchetto si comporta approssimativamente come una particella classica. In particolare, sia k0 il vettore d onda corrispondente al massimo della densità di probabilità per il pacchetto (determinato dalla funzione peso B k ( k)), si assume k 0 come il vettore d onda del pacchetto e la velocità di propagazione del pacchetto (velocità di gruppo) si ottiene per linearizzazione della relazione ω( k) nell intorno di k 0. ω(k) = ω(k 0 ) + dω dk k 0 (k k 0 ) +... = ω 0 + ω 0(k k 0 ) (21) Ψ(x, t) = B k exp(jω(k)t jkx)dk B k exp(j[ω 0 + ω 0(k k 0 )]t jkx)dk = exp(j[ω 0 ω 0k 0 ]t) B k exp( jk[x ω 0t])dk Poichè B k exp( jk[x ω 0t]) = Ψ(x ω 0t, 0) l equazione precedente ci dice che, a meno di un termine di fase, la funzione d onda al tempo t ha in ciascun punto il medesimo valore che essa assumeva al tempo t = 0 in una posizione spostata di ω 0t = dω/dk 0 t. Pertanto il pacchetto si muove alla velocità di gruppo v g = k ω k0 = 1 h ke( k) k0.
Principio di indeterminazione Il principio di indeterminazione di Heisenberg può essere ricavato dalla equazione di Schrödinger e pone un limite inferiore alla incertezza con la quale lo stato di una particella (posizione, quantità di moto, energia e tempo) si può ritenere noto. Indicando con p x la componente lungo la direzione x della quantità di moto, x l incertezza sulla posizione, E l incertezza sull energia e t l incertezza temporale, valgono le seguenti relazioni: p x x h/2 (22) E t h/2 (23) L equazione 22 può essere riscritta, con ovvie modifiche, per le componenti lungo le direzioni y e z dei vettori posizione e quantità di moto. incertezze non eliminabili ma non apprezzabili in ambito macroscopico.
Discretizzazione dell energia Quantizzazione energia (esempio elettrone in una buca di altezza infinita); Buca 1-D estensione d; U = 0 internamente; U all esterno (Ψ 0). soluzione all interno della buca: h 2 d 2 Ψ(x) + EΨ(x) = 0 2m dx 2 soluzione generale: Ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx);k = 2mE h 2 condizioni al contorno: Ψ 0 ai confini B = 0,E = n2 h 2 π 2 2md 2 soluzione per un insieme numerabile di valori per E (autovalori); energia discretizzata tanto più quanto è minore d (confinamento); concetto di stato legato. per d recuperiamo un continuo di livelli energetici (elettrone libero). Principio di esclusione di Pauli.
Buca e barriera di potenziale Buca 1-D generica. d 2 Ψ(x) dx 2 = 2m 2 (E U(x))Ψ(x) h I valori permessi di energia sono autovalori della seguente equazione: h2 d 2 Ψ(x) 2m dx 2 + U(x) Ψ(x) = EΨ(x) Nelle zone in cui l autovalore E > U(x): Ψ(x) > 0 d 2 Ψ(x)/dx 2 < 0 e viceversa funzione d onda oscillante Nelle zone in cui l autovalore E < U(x): Ψ(x) > 0 d 2 Ψ(x)/dx 2 > 0 e viceversa funzione d onda esponenzialmente crescente/decrescente a seconda delle condizioni al contorno. Se l autovalore E U(x) le fluttuazioni di U sono poco rilevanti Ψ(x) Ψ + exp( jkx) + Ψ exp(jkx)
Struttura elettronica dei materiali Teoria classica: forza di attrazione coulombiana elettrone-nucleo (numero atomico Z); potenziale: U(r) = Zq2 4πɛ 0 r forza repulsiva inter-elettronica (spesso trascurata - modello idrogenoide); la teoria classica prevede emissione di radiazione elettromagnetica da parte degli elettroni che dovrebbero finire per ricadere sul nucleo; non permette di spiegare spettri di emissione a righe (dovuti alla quantizzazione dell energia).
Teoria quantistica dell atomo di H: descrizione dell elettrone di tipo ondulatorio-probabilistico mediante funzione d onda Ψ( r, t) legata alla probabilitá di presenza di una particella nel volume d rdt P Ψ ( r, t) = Ψ( r, t) 2 d rdt soluzione equazione di Shrödinger (si considerino i soli stati stazionari); h 2 2m 2 Ψ( r) + (E U( r)) Ψ( r) = 0 quantizzazione di energia (n), momento angolare (l [0,n- 1]), di sua componente rispetto ad una direzione (m [-l,l]) e spin (s=± 1/2); allo zero assoluto l elettrone occupa uno stato a minima energia (n=1). il modello idrogenoide é generalizzabile ad atomi di numero atomico maggiore di uno per i quali il riempimento degli stati disponibili avviene per energie crescenti (separazione in energia degli stati corrispondenti allo stesso numero quantico per interazione elet-elet...); la struttura di riempimento degli stati disponibili é rispecchiata dall organizzazione della tabella periodica degli elementi.
Distribuzione energetica degli elettroni in un cristallo I nuclei degli atomi che costituiscono un reticolo cristallino sono disposti a costituire un reticolo ordinato e periodico; in assenza di potenziali impressi si ha pertanto una distribuzione periodica di potenziale; il potenziale associato al campo di forze di attrazione coulombiana nucleo-elettrone presenta dei minimi in corrispondenza di ogni nucleo; la distribuzione energetica dei livelli elettronici permessi nel cristallo é ricavabile dalla soluzione dell equazione di Schrödinger tempo invariante: ( h 2 /2m 0 ) 2 Ψ( r) + U C ( r)ψ( r) = EΨ( r), (24) dove U C ( r) rappresenta il potenziale periodico agente sul singolo elettrone del cristallo.
Proprietá elettroniche del reticolo cristallino Se L è il periodo minimo del cristallo, deve essere: Ψ(x + nl) 2 = Ψ(x) 2 (25) Ψ(x+nL) e Ψ(x) possono differire solo per un termine di fase. pertanto: Ψ(x + nl) = exp(jknl)ψ(x) (26) Questa relazione è soddisfatta dalle cosiddette onde di Bloch Teorema di Bloch: la funzione d onda dell elettrone nel potenziale periodico del cristallo è esprimibile come prodotto di un onda piana per una funzione periodica con periodicitá data dal cristallo; Ψ k (x) = exp( jkx)u k (x) nel caso dello spazio libero (u k (x) = 1) k assume significato di costante di propagazione (nel caso 3-D si tratta di un vettore detto vettore d onda), h k = p). Nel caso di elettrone nel potenziale periodico del cristallo, k viene ancora detto vettore d onda ed é associabile alla quantitá di moto della particella. La forma funzionale generale delle onde che rappresentano gli elettroni in un cristallo dipende solo da considerazioni di simmetria (periodicità) del cristallo. u k (x) è periodica con la periodicità del cristallo e può quindi essere sviluppata in serie di Fourier. Pertanto: Ψ k (x) = exp( jkx)u k (x) = exp( jkx) + h= A k,h exp( 2π L hx)
Bande di energia di un cristallo Affinchè una particolare onda di Bloch rappresenti un elettrone del cristallo deve soddisfare l equazione di Schrödinger con il potenziale del cristallo. Sostituendo nell equazione di Schrödinger si ottiene un equazione omogenea in Ψ k (x): HΨ k (x) = EΨ k (x) Assegnato k, possono esistere soluzioni non nulle di Ψ k (x) se e solo se E assume precisi valori (in generale più di uno). Questi sono gli unici valori permessi di energia per un elettrone che abbia nel cristallo un vettore d onda pari a k. I valori E(k) prendono il nome di autovalori dell operatore H. A ciascun autovalore corrisponde una autofunzione Ψ k (x). La funzione E( k) prende il nome di struttura a bande del cristallo. Essa rappresenta la relazione di dispersione delle onde che rappresentano gli elettroni nel cristallo. E(k) è periodica di periodo 2π/L in k, dove L è il minimo periodo di ripetizione della struttura del cristallo nello spazio reale. È pertanto sufficiente rappresentarla all interno di un solo periodo, per esempio quello compreso tra π/l e π/l.
Reticolo cristallino del Silicio Il reticolo diretto è costituito dall intersezione di due reticoli cubici a facce centrate ciascuno di lato 5.4Å a temperatura ambiente. I piani reticolari posso essere identificati attraverso una terna di indici interi detta indici di Miller. La periodicità (in 3D) è definita da un vettore l m,n,p tale che tutti i punti del reticolo sono esprimibili come (m,n, p interi): lm,n,p = m a + n b + p c Qualsiasi funzione dello spazio f( r) è periodica di periodo lm,n,p.
Reticolo reciproco Poichè tutte le grandezze fisiche devono essere periodiche in r, possono essere rappresentate come una serie di Fourier: f( r + l m,n,p ) = A l m,ñ, p exp ( j l m,ñ, p ( r + l m,n,p ) ) (27) l m,ñ, p f( r + l m,n,p ) = f( r) implica exp ( j l m,ñ, p l m,n,p ) = 1, cioè: l m,ñ, p l m,n,p = 2π (28) Il reticolo reciproco è definito dai vettori l m,ñ, p ( m, ñ, p inter: l m,ñ, p = m a + ñ b + p c dove a = 2π Ω b c b = 2π Ω c a c = 2π Ω a b Ω = a b c Il reticolo reciproco di un reticolo a facce centrate è un reticolo cubico a corpo centrato. La cella elementare può essere ottenuta individuando tutti i piani passanti per il punto mediano alle congiungenti un nodo con i suoi primi vicini e ortogonali ad essa (cella di Wigner-Seitz). La relazione di dispersione è periodica nello spazio del reticolo reciproco.
Struttura a bande del Silicio Struttura a bande lungo le direzioni principali Dettaglio della cima della banda di valenza Superfici ad energia costante.
I livelli energetici sono dunque organizzati in bande permesse separate da intervalli (gap) proibiti; Le due bande piú esterne sono dette banda di valenza e di conduzione: banda di valenza: occupata dagli elettroni appartenenti al guscio energetico piú esterno fra quelli occupati che prendono parte ai legami covalenti; banda di conduzione: é quella immediatamente superiore, risulta normalmente non occupata da elettroni. si individuano tre tipi di particelle: particelle libere (energie superiori al massimo del potenziale U 0 ) le cui energie sono distribuite a formare quasi un continuo di stati permessi; particelle legate (energie molto inferiori a U 0 ) confinate all interno delle varie buche con bassissima probabilitá di passaggio da una buca all altra, si tratta degli elettroni ad energie piú basse che sono fortemente legati ai rispettivi nuclei;
Approssimazione di massa efficace Nell intorno del minimo della banda di conduzione ( k = k 0 ) l equazione di dispersione può essere approssimata con un espressione del secondo ordine: E( k) = E( k 0 ) + h2 2 k x k x0 2 m x + k y k y0 2 m y + k z k z0 2 m z dove le m prendono il nome di masse efficaci. La massa efficace dipende dalla direzione di k considerata. Nel caso del silicio m x = m l, k x0 = 0.85X, m y = m t, k y0 = 0, m z = m t, k z0 = 0, Poichè in una dimensione v g = h 1 de(k)/dk = de(p)/dp, l accelerazione della particella vale: a = dv g dt = d2 E(p) dp dp 2 dt = 1 h d 2 E(k) dk dk 2 dt Confrontando l espressione con la legge di Newton, F = ma = dp dt a = 1 dp m dt emerge che la curvatura della struttura a bande (d 2 E/dp 2 ) assume il significato di inverso della massa inerziale della particella. Formalmente, nel caso generale possiamo scrivere: 1 m i,j = 1 h 2 2 E k i k j cui corrisponde l eq. di Newton in forma matriciale: a i = 3 1 m j=1 F j ij
Approssimazione di massa efficace Trascurando l anisotropia della relazione E( k) possiamo scrivere E( k) = E( k 0 ) + h2 k k 0 2 2m dove m è una opportuna media delle masse efficaci nelle tre direzioni (banda sferica e parabolica). Utilizzando questa forma della relazione di dispersione, l equazione di Schrödinger corrispondente ad un potenziale periodico U C ( r) ed uno impresso U( r) si trasforma in (Eq.24): h2 + U( r) ξ( r) = (E 2m 2 1 E( k 0 ))ξ( r) (29) dove E 1 sono gli autovalori dell Hamiltoniana comprendente il potenziale del cristallo. Questa rappresenta l equazione di un elettrone di massa m soggetto al solo potenziale impresso U( r) e con energia misurata rispetto al fondo della banda di conduzione E( k 0 ). L effetto del cristallo appare solo attraverso la massa efficace. La funzione d onda dell elettrone vale Ψ( r, t) = Ψ( r) exp(jωt) = ξ( r)u k ( r) exp(jωt) (30) dove u k ( r) è una funzione con la periodicità del cristallo che rappresenta le variazioni della densità di carica su scala atomica microscopica. La funzione ξ( r) invece è la cosiddetta funzione inviluppo, soluzione dell equazione di Schroedinger nella quale appare esclusivamente il potenziale impresso, e quindi lentamente variabile nello spazio. Nel caso di U impr ( r) = 0 la funzione inviluppo si riduce ovviamente ad un onda piana e la Ψ ad un onda di Bloch. Gli autovalori del problema completo E 1 sono quelli dell EMA (E( k) più E( k 0 )
Il concetto di lacuna La cima della banda di valenza (doppiamente degenere) ha curvatura negativa. L energia degli elettroni nella b.v. é dunque decritta dalla relazione: con k ed E riferite al massimo. E el = h2 k 2 el 2 m Se la banda di valenza non è totalmente piena gli elettroni possono muoversi al suo interno dando luogo ad una corrente (addizionale rispetto a quella dovuta agli elettroni in banda di conduzione). v el ( k el ) (31) J v.b. = q Ω k el pieni La velocità di questi elettroni soddisfa inoltre le relazioni: v el ( k el ) = 1 h kel E el ( k el ) (32) d h k el dt = q F (33) É possibile rappresentare il moto degli elettroni in banda di valenza attraverso la dinamica dei molto meno numerosi stati vuoti? Notiamo che se il moto é semiclassico i valori di r e k ad un dato istante determinano univocamente tutti i valori successivi. Pertanto le traiettorie degli stati vuoti e degli stati pieni non si intersecano mai. Gli stati vuoti evolvono secondo le medesime leggi degli stati pieni eq.32,33. É possibile rappresentare il moto degli stati vuoti attraverso il moto di una quasi-particella (lacuna) di massa e carica positive pari in valore assoluto a quelle degli elettroni? Definiamo questa particella come avente k h = k el e E h = E el dove i k coinvolti sono quelli degli stati vuoti. Sostituendo si ha: h d k h dt = q F (34) E h = h2 k 2 el 2 m (35) h v h = kh E h (k h ) = h 2 k h / m = h 2 k el / m = kel E el (k el ) = h v el, (36) Inoltre poiché k el pieni v el ( k el ) = k el vuoti v el ( k el ) (37) si ha anche J v.b. = q Ω k el pieni v el ( k el ) = q Ω k h v h ( k h ) (38) La rappresentazione adottata soddisfa le eq.32, 33, 31.
Densità degli stati in k In un semiconduttore di dimensione finita è disponibile solo un numero finito di stati k. Infatti, considerando una catena di n atomi lunga d e imponendo condizioni periodiche agli estremi della catena abbiamo: Ψ(x + nl) = exp(jknl)ψ(x) exp(jknl) = 1 I valori discreti di k ammessi sono pertanto: k m = 2π nl m = 2π d m m = 1,...n Ogni stato occupa 2π/d nello spazio k e quindi V k = (2π) 3 /Ω nello spazio k (Ω = volume del cristallo). Ogni stato può ospitare 2 elettroni. La densità degli stati definita come il numero di stati elettronici permessi per unità di volume in r e in k vale dunque g = 2 n3 ΩV k = 2 1 (2π) 3 = 1 4π 3 (39) La densità degli stati in E (numero di stati per unità di volume e di energia) è definita come: g(e) = 1 δ(e E( k))d k, 4π 3
Densitá degli stati in E Per una banda sferica e parabolica abbiamo: E E C = h2 k 2 k = 2m 2m h 2 (E E C) Il numero di stati elettronici con vettore d onda compreso tra k e k + dk è pari al volume della corteccia sferica (4πk 2 dk) diviso per il volume dello stato ((2π) 3 /Ω)e vale: dn = 4πk2 dkω (2π) 3 Assumendo una banda di conduzione sferica e parabolica si ha dk de = 1 2m 1 2 h 2 E EC Sostituendo otteniamo il numero di stati elettronici per unità di volume in r e con energia compresa tra E ed E + de. Tenendo conto dello spin: g(e) = 2 dn de = 2 dn ΩdE = 4π h 3 (2m ) 3/2 E E c Per energie non troppo maggiori di E c (minori di E v ) la densitá degli stati in energia è data da: g c (E) = 4π h 3 (2m n) 3/2 E E c g v (E) = 4π h 3 (2m p) 3/2 E v E E E c E E v
Densitá degli stati in E Superfici ad energia costante. Nel caso di bande ellissoidali e tenendo conto della molteplicità delle valli: m e = 6 2/3 (m l ) 1/3 (m t) 2/3 m h = [ (m light) 3/2 (m heavy) 3/2] 2/3 m l = 0.916m 0, m t = 0.19m 0, m light = 0.16m 0, m heavy = 0.49m 0 L andamento della relazione di dispersione può essere calcolato per via numerica attraverso opportuni algoritmi. DOS [cm -3 ev -1 ] 6 4 2 Electrons Holes 0 0 1 2 3 4 5 Energy [ev]
Conduzione nei materiali Relazione bande di energia - conduzione: gli elettroni nelle bande di valenza e di conduzione possono muoversi lungo il reticolo; una banda completamente occupata (valenza) non contribuisce alla conducibilità elettrica perché in virtù della simmetria della banda, ad ogni stato con vettore d onda k j ne corrisponde uno con vettore d onda k j e quindi con quantità di moto uguale ed opposta; essendo entrambi gli stati occupati il loro contributo complessivo alla corrente e nullo. la banda di conduzione, qualora parzialmente occupata, contribuisce alla conducibilità elettrica in misura proporzionale agli elettroni che la occupano in quanto ogni elettrone è in grado di muoversi acquisendo energia cinetica senza che ne esista necessariamente uno con quantità di moto uguale ed opposta. Conduttori, isolanti e semiconduttori: nel caso dei conduttori banda di valenza e di conduzione sono parzialmente sovrapposte a costituire una unica successione di stati energetici solo parzialmente occupati, tutti gli elettroni presenti in tale banda contribuiscono alla conduzione nel cristallo); nel caso di isolanti e semiconduttori le due bande sono separate da un gap di ampiezza rilevante rispetto alla energia fornita dalla agitazione termica 3/2KT 38 mev per T=300K. isolanti e semiconduttori si differenziano per l ampiezza del gap.
Semiconduttori Semiconduttori intrinseci: presentano ampiezza del gap sufficientemente contenuta (0.5 1.5 ev) perché risulti possibile a temperatura ambiente la transizione banda di valenza - banda di conduzione; conduzione dovuta ad elettroni della banda di conduzione e alle lacune in banda di conduzione (mancanza di elettroni di legame); lacuna: pseudoparticella a carica positiva cui è possibile attribuire proprietà analoghe a quelle dell elettrone ed una carica elettrica positiva. nel caso di semiconduttori intrinseci ad ogni elettrone in banda di conduzione corrisponde una lacuna in banda di valenza (n i =p i ). semiconduttori elementari: elementi del IV gruppo (Si, Ge), legami covalenti; semiconduttori composti: composti di elementi appartenenti al III-V gruppo (es. GaAs) o al II-VI gruppo (es: CdTe), legami chimici misti covalenti-ionici (semiconduttori polari).
Proprietà dei portatori di carica Carica: elettroni di conduzione e lacune sono dotati di carica elettrica (q=±1.602 10 19 C). Massa: elettrone libero soggetto a campo elettrico F: Force = q F = m 0 d v dt un elettrone nella banda di conduzione di un cristallo risente dell effetto del potenziale coulombiano periodico dovuto ai nuclei atomici; il suo movimento può essere schematizzato come una successione di spostamenti interrotti da eventi di collisione con i nuclei (che assumiamo istantanei e localizzati); il movimento fra due collisioni successive è descritto dall equazione del moto classico in cui alla massa a riposo m 0 si sostuisca la massa efficace m e il campo F è dovuto alle sole forze impresse; h k = m v G t = q F m riassume l effetto del potenziale periodico dovuto al reticolo; il portatore è assimilato a particella classica libera e soggetta al solo campo elettrico impresso (o di di builtin). Semic. material m n/m 0 m p/m 0 Si 1.18 0.81 Ge 0.55 0.36 GaAs 0.066 0.52
Conduzione elettrica nei semiconduttori La conducibilità elettrica è limitata dalla concentrazione di portatori disponibili; Nel caso di semiconduttori intrinseci n = p = n i, funzione della temperatura del reticolo; Semic. material gap(ev) n i @300K (cm 3 ) Si 1.12 1 10 10 Ge 0.66 2 10 13 GaAs 1.42 2 10 6 n i è molto inferiore alla concentrazione volumetrica di elettroni di valenza (per Si a T=300K n i 1 10 10 cm 3 rispetto a 4 5 10 22 = 2 10 23 cm 3, dove il fattore 4 deriva dai 4 orbitali che contribuiscono alla banda di valenza). Considerando una barretta di semiconduttore intrinseco di 1 µm 2 di sezione soggetta ad un campo di 10 5 V/cm e con una mobilita dei portatori di 1000 cm 2 /Vs abbiamo: σ = qµ n n i = 1.6 10 19 1000 10 10 = 1.6 10 6 [Ω 1 cm 1 ] I = A J = A σe = 10 8 1.6 10 6 10 5 = 1.6nA La corrente e estremamente piccola!
Drogaggio semiconduttori Introduzione di atomi di prefissati elementi finalizzata a modificare la concentrazioni n e p a temperatura ambiente; nel caso del Si, elementi del V gruppo (donatori) per incrementare n ed atomi di elementi del III gruppo (accettori) per aumentare p; Donatori E (mev) Accettori E (mev) Sb 39 B 45 P 45 Al 67 As 54 Ga 72 In 16 E E c E v T=0K T=300K E c E v A temperatura ambiente (quasi) tutti gli atomi donatori (accettori) risultano ionizzati e contribuiscono a n (p).
Densità degli stati densità in energia degli stati nelle bande di conduzione e di valenza: per energie non troppo maggiori di E c (minori di E v ): g c (E) = 4π(2m n) 3/2 (E Ec ) h 3 2m n (E E c ) = m n π 2 h 3,E E c g v (E) = 4π(2m p) 3/2 (Ev E) h 3 2m p (E v E) = m p π 2 h 3,E E v si tratta di numero di stati disponibili per unità di energia e di volume in funzione dell energia. g v (E) g c (E) E v E c ENERGY
Distribuzione energetica all equilibrio Probabilità di occupazione degli stati elettronici; Funzione di Fermi; f(e) = 1 1 + e (E E F)/KT E F : Energia di Fermi; Assume il significato di energia alla quale la probabilità di occupazione passa da valori pressoché unitari a valori prossimi allo 0. f(e) f(e) 0.5 E F E E F E Nel caso dei semiconduttori il livello di Fermi è posizionato all interno del gap energetico (per T=0K banda di valenza completamente occupata, banda di conduzione vuota). Approssimazione (distribuzione di Boltzmann) f(e) e (E E F)/KT,E F E C 3 KT 1 f(e) e (E E F)/KT,E F E V + 3 KT La condizione necessaria per la validità della statistica di Boltzmann E V + 3 KT E F E C 3 KT individua il caso di semiconduttore non-degenere. Band tails dovute al drogante
Concentrazione dei portatori all equilibrio Note le espressioni per la densità in energia e volume degli stati elettronici e per la probabilità di occupazione in energia di tali stati: n = 1 4π 3f(E( k))d k = E C g C (E)f(E)dE p = E V g V (E)(1 f(e))de L uso della statistica di Fermi porta ad un integrale non calcolabile in forma chiusa; n = m n 2m n π 2 h 3 E C E EC de 1 + e (E E F)/KT Adottando la distribuzione di Boltzmann e risolvendo l integrale in E: n = N C e (E C E F )/KT p = N V e (E F E V )/KT con N C = 2 [ m nkt ] [ 3/2 m 2π h, 2 NV = 2 p KT ] 3/2 2π h : densità efficaci 2 degli stati in banda di conduzione e di valenza. a temperatura ambiente: N C,V = (2.5 10 19 cm 3 )(m n,p/m 0 ) 3/2
Calcolo della concentrazione dei portatori di carica Nel caso di una banda sferica parabolica: n = 4π(2m ) 3/2 E EC E C h 3 1 + exp((e E F )/kt) de pongo E E C = ɛ, cioè de = dɛ: n = 0 4π(2m ) 3/2 ɛ h 3 1 + exp((ɛ + E C E F )/kt) dɛ Approssimo con la distribuzione di Maxwell Boltzmann e pongo t 2 = ɛ, cioè dɛ = 2tdt, ɛ = t n = 0 4π(2m ) 3/2 2t 2 exp( t 2 /kt) exp( (E C E F )/kt)dt h 3 pongo t 2 /kt = ξ 2 n = 2 4π(2m kt) 3/2 h 3 Poichè otteniamo infine 0 exp( (E C E F )/kt) ξ 2 exp( ξ 2 )dξ 0 ξ 2 exp( αξ 2 )dξ = 1 π 4α α n = 2 2m ktπ h 2 = 2 m kt 2π h 2 3/2 3/2 exp ( (E C E F )/kt) exp ( (E C E F )/kt) Per tenere conto dell andamento ellissoidale e della molteplicità delle valli è necessario sostituire m con opportune masse equivalenti m n ed m p.
Legge dell azione di massa concentrazioni n, p di equilibrio nell approssimazione della statistica di Boltzmann: np = N C N V e (E C E V )/KT = N C N V e E G/KT In un semiconduttore non degenere all equilibrio termodinamico il prodotto p n non dipende dalla posizione del livello di Fermi (e quindi dal drogaggio). nel caso particolare di semiconduttore intrinseco: n = p = n i ; segue: n i = N C N V e E G/2KT pertanto, indipendentemente dalla presenza o meno di atomi droganti, all equilibrio vale: np = n 2 i Equazioni di Shockley Indicando con E Fi il livello di Fermi del semiconduttore intrinseco (vedremo come valutarlo) abbiamo: n i = N C e (E C E Fi )/KT n i = N V e (E V E Fi )/KT sommando e sottraendo E Fi dalle espressioni: n = N C e (E C E F )/KT p = N V e (E F E V )/KT otteniamo le relazioni di Shockley n = n i e (E F E Fi )/KT p = n i e (E F E Fi )/KT
Relazione E F - concentrazioni di portatori Livello di Fermi intrinseco (impongo n = p = n i ): N C e (E Fi E C )/KT = N V e (E Fi E V )/KT E Fi = E C + E V 2 + KT 2 ln N V N C per Si, T=300K, KT 2 ln ( ) N V N 13meV ; C semiconduttore drogato non-degenere, ionizzazione completa: E F = E Fi + KT ln(n/n i ) = E Fi KT ln(p/n i ) E F = E Fi + KT 2 ln(n/p) drogaggio prevalente N: E F E Fi + KTln(N D /n i ) limite per non-degenerazione: N D 1.6 10 18 cm 3 ; drogaggio prevalente P: E F E Fi KTln(N A /n i ) limite per non-degenerazione: N A 9.1 10 17 cm 3 ;
Condizione di neutralità della carica In un semiconduttore uniformemente drogato di estensione tale da potersi trascurare gli effetti di bordo ed in condizioni di equilibrio termodinamico si ha neutralità della carica elettrica: p n + N + D N A = 0 ove: N + D e N A rapresentano le concentrazioni volumetriche di atomi droganti donatori ed accettori ionizzati; nell ipotesi di completa ionizzazione dei droganti: N + D = N D, N A = N A ; Concentrazione dei portatori di carica: imponendo la neutralità della carica elettrica e la legge di azione di massa e assumendo la completa ionizzazione del drogante: n 2 i n n = N A N D n = N D N A 2 + N D N A 2 2 + n 2 i 1/2 p = N A N D 2 + N A N D 2 2 + n 2 i 1/2 Conta N D N A compensazione dei droganti.
Concentrazione dei portatori di carica: semplificazioni per casi notevoli: semiconduttore intrinseco: N A = N D = 0 n = p = n i (T); semiconduttore drogato con prevalenza di una specie sull altra: N D N A n i n = N D N A [ (ND N D 2 + 2 2 + ) 2 + n 2 i ] 1/2 N D 2 + N D 2 = N D n N D, p n 2 i/n D ; N A N D n i p N A, n n 2 i/n A ; [ (ND N ) 2 ] 1/2 A 2 + n 2 i
Dipendenza della concentrazione dalla temperatura Precedente trattazione effettuata nelle ipotesi: ionizzazione completa; N D (N A ) n i ; tali ipotesi sono rispettate in un intervallo di valori di T di ampiezza limitata: limite inferiore: ionizzazione incompleta (freeze-out); limite superiore: n i (T) > N D (N A ) (comportamento intrinseco). n/n D 1.5 1.0 0.5 0 100 200 300 400 500 T(K)
Semiconduttore non-degenere all equilibrio La trattazione svolta fino ad ora si riferisce alla condizione di equilibrio termodinamico: assenza di scambi di energia e materia fra semiconduttore e ambiente esterno; corrente elettrica nulla (assenza di uno spostamento collettivo di portatori di carica lungo una direzione preferenziale). Anche in condizioni di equilibrio i portatori di carica non sono immobili ma si muovono in maniera casuale interagendo con il reticolo i cui nuclei oscillano nell intorno della posizione di equilibrio. Tali movimenti casuali danno luogo ad una corrente complessiva nulla (distribuzione angolare uniforme dei vettori velocità). L approssimazione di Boltzmann ricavata come caso limite della distribuzione di Fermi, costituisce la descrizione statistica per un gas di particelle classiche non interagenti fra loro (gas perfetto) per le quali non vale il principio di esclusione. Applichiamo i risultati della meccanica statistica per i gas perfetti in condizioni di equilibrio al gas elettronico in assenza di esclusione (semiconduttore non degenere):
Portatori di carica: analogia con gas perfetti elettrone (lacuna) descritto da funzione d onda che soddisfa l equazione di Schrödinger nell approssimazione della massa efficace con energia cinetica (associata alla sua propagazione nello spazio) misurata rispetto ad E C (E V ); quantità di moto p = hk = m n v p, (massa e velocità della particella classica sono sostituiti da massa efficace e velocità di gruppo del pacchetto d onde); Distribuzione dei portatori: F( p), numero di elettroni con p fra p e p + d p: dn( p) = F( p)dp x dp y dp z. dn(p x,p y,p z ) = n 1 2πm nkt 0 3/2 exp p 2 2m dp x dp y dp z nkt 0 in funzione del modulo p = p: dn(p) = n 1 2πm nkt 0 3/2 dn(p) = 4n 1 π 2m nkt 0 exp p 2 p 2 dp π 2m 0 nkt 0 3/2 dalla relazione di dispersione: E = p2 2m n di variabili segue: dn(e) = 2n 1 π KT 0 2π exp p 2 2m p 2 dp nkt 0 effettuando il cambio 3/2 Eexp E de KT 0 il secondo membro è nella forma f(e) g C (E)dE con: g C (E) densità degli stati in banda di conduzione e f(e) distribuzione statistica di Boltzmann. 0 sin θdθdφ Energia media della popolazione: < E >= 3 2 K BT.
Relazione fra energia dei portatori, potenziale elettrico e bande Il teorema della massa efficace permette di considerare un elettrone (lacuna) in banda di conduzione (valenza) come particella libera con energia cinetica misurata rispetto al livello E C ( r) = E C + U impr ( r) ovvero (E V ( r) = E V + U impr ( r)); E C ( r) ed E V ( r) sono pertanto rappresentative (a meno di una costante) dell energia potenziale di elettroni (E pot ) e lacune; per una particella di carica -q si ha: potenziale elettrico φ( r): qφ( r) = E Pot ( r) = E C ( r) φ( r) = 1 q (E C( r) E Ref ); Se il livello di Fermi intrinseco e parallelo al bordo della banda di conduzione (non vero in eterogiunzioni e in presenza di variazioni spaziali del band-gap) possiamo scegliere E Ref in modo tale che φ( r) = 1 q E Fi( r) campo elettrico: F = φ F = 1 q E C = 1 q E Fi La presenza di campo elettrico corrisponde quindi ad un piegamento delle bande Concentrazione in funzione del potenziale elettrico: sapendo che all equilibrio n = n i exp (E F E Fi )/KT (relazione di Shockley) otteniamo: n = n i exp (q(φ φ F )/KT) p = n i exp ( q(φ φ F )/KT) dove φ F è il valore (costante perche all equilibrio) del potenziale corrispondente all energia di Fermi. Se lo zero del potenziale è preso in corrispondenza del livello di Fermi allora: n = n i expqφ/kt p = n i exp qφ/kt
Portatori di carica fuori equilibrio Vi sono due condizioni di fuori equilibrio di importanza rilevante: presenza di campo elettrico impresso dovuto ad azioni esterne o di disuniformità spaziale delle concentrazioni dei portatori cui consegue l insorgere di correnti elettriche (fenomeni di trasporto ); temporanea variazione delle concentrazioni rispetto alla condizione di equilibrio che produce l insorgere di fenomeni di generazione o ricombinazione tendenti a ristabilire l equilibrio;
Densitá di corrente e di carica in M.Q. In meccanica quantistica la probabilitá di trovare una particella rappresentata dalla funzione d onda Ψ all interno del volume Ω é data da: Ω P ΨdΩ = Ω Ψ 2 dω (40) Ψ 2 assume dunque il significato di densitá di probabilitá di trovare una particella. L equazione di continuitá: J Ψ + P Ψ t = 0 (41) definisce implicitamente una densitá di corrente di probabilitá. Poiché P Ψ / t = Ψ Ψ / t + Ψ Ψ/ t e poiché dall equazione di Schroedinger: Ψ( r, t) j h = h2 t 2m 2 Ψ( r, t) U( r, t)ψ( r, t) (42) otteniamo: J Ψ = j h 2m (Ψ Ψ ( r, t) Ψ Ψ( r, t)) (43) Se Ψ é nulla in un punto dello spazio allora lo stato da essa rappresentato non da contributo alla corrente. Se Ψ è reale (elettroni confinati) allora J Ψ è identicamente nulla.
Effetto Tunnel quantistico (I) Consideriamo una barriera di potenziale di altezza U compresa tra x = 0 ed x = d, ed un flusso di particelle incidente con energia E < U. La generica soluzione dell equazione di Schroedinger nelle tre regioni x < 0; 0 < x < d; x > d vale: Ψ I (x) = A exp( jk I x) + B exp(+jk I x) Ψ II (x) = C exp(αx) + D exp( αx) Ψ III (x) = E exp( ik III x) Sostituendo Ψ I (x), Ψ II (x), Ψ III (x) nell equazione di Schroedinger otteniamo: k I = k III = k = α = 2m (E U(x > d)) h 2 2m (U(0 < x < d) E) h 2 Imponendo la continuità della funzione d onda e della sua derivata prima in x = 0 ed x = d otteniamo: Ψ I (0) = Ψ II (0) A + B = C + D (44) Ψ II (d) = Ψ III (d) Ce αd + De αd = Ee jkd (45) Ψ I(0) = Ψ II(0) jka + jkb = αc αd (46) Ψ II(d) = Ψ III(d) αce αd αde αd = jkee jkd (47)
Effetto Tunnel quantistico (II) Chiamo Equazione (2 4) l equazione ottenuta eliminando E per sostituzione della Eq.(45) nella Eq.(47). Inoltre dalle Eq.(44) ed Eq.(46) ottengo 2C = j k (A B) + A + B (48) α 2D = +j k (A B) + A + B (49) α Sostituendo queste ultime due equazioni nella Eq.(2 4) ottengo infine: B ( (α + jk) 2 e αd (α jk) 2 e αd) = = A ( (α + jk)(α jk)e αd (α + jk)(α jk)e αd) da cui finalmente: B A = (α 2 + k 2 ) sinh(αd) (k 2 α 2 ) sinh(αd) 2jαk cosh(αd) (50) T = 1 R = 1 B 2 A 2 = 4α 2 k 2 (k 2 α 2 ) 2 sinh 2 (αd) + 4α 2 k 2 cosh 2 (αd) (51)
Trasporto di carica La definizione precedente é utile solo quando la corrente é dovuta a, o limitata da, fenomeni di tunneling elastico. In presenza di collisioni occorre valutare le funzioni d onda risolvendo l equazione di Schroedinger in presenza del potenziale di scattering. Se la distanza percorsa dalle particelle tra due successivi eventi di scattering é grande rispetto alle dimensioni del pacchetto d onde che rappresenta la particella, e piccola rispetto alle dimensioni del dispositivo, é lecito e conveniente adottare un approccio semiclassico al problema del trasporto. In presenza di forze impresse lentamente variabili nello spazio sappiamo che possiamo interpretare E C ( r) = U impr ( r) + E( k 0 ) (ed E V ( r)) come energia potenziale di elettroni (lacune) e E( k) = E( k) E( k 0 ) come energia cinetica, dove E( k) è la relazione di dispersione del cristallo per U impr = U S = 0. Dall approssimazione di massa efficace, l energia totale nel sistema perturbato dal campo impresso é data da E 1 ( r, k) = E C ( r) + E( k) (52) Per un elettrone rappresentato da un pacchetto d onda centrato in r, k e che si sposta in modo elastico E 1 = costante. Pertanto: che implica de 1 ( r, k) dt = k E 1 ( r, k) d k dt + re 1 ( r, k) d r dt = 0 (53) v g h d k dt + v g E C ( r) = 0 d h k = E C ( r) = F dt e (54) Questa equazione del moto semiclassica descrive lo spostamento del pacchetto, in essa il momento del cristallo h k gioca lo stesso ruolo del momento di una particella classica. Si osservi che se E( k 0 ) = E 0 ( r) dipende dal punto, allora la pseudoforza E C ( r) viene a comporsi di due termini: uno dipendente dalle forze impresse, l altro dal gradiente del fondo della banda di conduzione.
Trasporto di carica: Equazione di Boltzmann Agenti esterni che rimuovano il sistema dalla condizione di equilibrio modificano la distribuzione energetica rispetto alla dist. Fermi Dirac. La funzione di distribuzione diviene funzione della coordinata spaziale r e del tempo t, f( r, p,t). Il numero di portatori in ogni elemento di volume d rd p è semplicemente dato dalla Distribuzione dei portatori F( r, p,t)d rd p = (1/4π 3 h 3 )f( r, p,t)d rd p le variazioni temporali e spaziali di F( p, r,t) (e di f( p, r,t)) sono descritte dall equazione di Boltzmann: F t + d r r F + d p p F = dt dt F t C Le variazioni complessive di F sono dovute alla sua dipendenza da t + al flusso netto di F nello spazio r + il flusso netto di F nello spazio p. Queste variazioni devono uguagliare quelle dovute alle collisioni. p in-scattering= (df/dt) indr dp p+dp p out-flow= f(p+dp) p dr in-flow= f(r) v g dp out-flow= f(r+dr) v g dp gen.-rec. in-flow= out-scattering= f(p) p dr (df/dt) out dr dp r r r+dr F t (f(r + dr,p) f(r,p)) dr dp drdp + (f(r,p + dp) f(r,p)) dt dr + dt dp = F F drdp t t in out
Trasporto di carica: Equazione di Boltzmann Equazione di Newton della meccanica classica: d p dt = Force = ±q( F + v g B) Per B = 0 l equazione di Boltzmann diviene, dunque: F t + v g r F ± qf p F = F t C Per particelle classiche, v = p/m, mentre la relazione tra energia cinetica e momento vale E( p) = p 2 /2m e quindi E = 1 2 mv2. Per elettroni e lacune nei semiconduttori vale unicamente: v = v g = p E( p) = 1 h ke( k) Ogni tipo di semiconduttore ha una sua funzione E( p) che può essere calcolata univocamente dai principi della meccanica quantistica e dalla conoscenza della struttura cristallina del semiconduttore. Nota f( r, p,t), ovvero f( r, k, t), é immediato calcolare la concentrazione, n, e la densitá di corrente, J n, degli elettroni come (analogamente per le lacune): n = 1 4π 3 J n = q 4π 3 f( r, k, t)d k f( r, k, t)v g ( k)d k Solo per particelle con energia cinetica molto piccola la relazione energia-momento E( p) coincide con la relazione classica nell approssimazione parabolica: E( p) = p 2 /2m (approssimazione parabolica).
Equazione di Boltzmann: termine di collisione F t C = p [S( r, p, p)f( r, p,t) S( r, p, p )F( r, p,t)]d p S( r, p, p ) frequenza dell evento di scattering che produce una transizione istantanea dallo stato r, p a r, p. Equazione di Boltzmann: Limiti di validità * Validita del modello a bande. * Il campo elettrico varia lentamente sulla scala delle dimensioni del pacchetto d onde che descrive le particelle in moto (Teorema di Ehrenfest). * Approccio statistico, valido in presenza di molte particelle. * Trattazione semiclassica: legge di Newton + elementi quantistici nel calcolo del termine di collisione. In particolare il concetto di F è classico perchè specifica nello stesso istante r e p della particella. L applicazione del principio di indeterminazione comporta un incertezza di alcuni Angstrom nella localizzazione della particella se E è determinata a meno di K B T. * Per descrivere in modo semplice il termine di collisione si considerano solo collisioni binarie, indipendenti da F, e che avvengono in tempo nullo. * La forma precedente dell integrale di collisione non rispetta il principio di esclusione (semiconduttore non degenere).
Risoluzione della BTE La BTE è un equazione integro-differenziale alle derivate parziali nello spazio a sette dimensioni ( r, p, t). La soluzione diretta in forma chiusa è molto difficile anche nei casi più semplici. La difficoltà della soluzione deriva dalla disomogeneità spaziale del dispositivo, dai modelli usati per i meccanismi di collisione ( F t C) e dalla complessità della struttura a bande (E( p)). La risoluzione della BTE può avvenire in via numerica tramite metodi statistici per la soluzione diretta (Monte Carlo), oppure metodi numerici approssimati (momenti).
Il metodo dei momenti Il più noto metodo approssimato e quello dei momenti che si basa su: * Riduzione del numero delle dimensioni del dominio della funzione incognita, ottenuta sostituendo alla BTE (in F) una serie di equazioni nei momenti di F rispetto a p. * Drastica approssimazione per il termine di collisione (approssimazione del tempo di rilassamento) che concentra l effetto di tutti i tipi di collisione in un unico parametro τ che rappresenta la rapidità con cui il sistema ritorna allo stato di equilibrio. I momenti di F rispetto a p hanno un significato fisico intuitivo, infatti: n( r, t) = F( r, p,t)d p p momento di ordine zero P = pf( r, p,t)d p p momento di ordine uno W = p p 2 F( r, p,t)d p 2m momento di ordine due dove n rappresenta la concentrazione di elettroni, P il momento complessivo, P/n il momento medio del singolo elettrone, W l energia cinetica complessiva nell approssimazione parabolica p 2 /2m = E, W/n l energia media del singolo elettrone. Le nuove equazioni si ottengono dalla BTE moltiplicandola per la corrispondente potenza di p e integrandola in p. Occorre fare qualche ipotesi fisica/empirica per chiudere il sistema di equazioni
Modello drift-diffusion Esempio del metodo dei momenti è il modello drift-diffusion. Integrando in p la BTE e sostituendo all incognita F la quantità: n( r, t) = F( r, p,t)d p p che rappresenta il momento di ordine zero della F, si ottiene la ben nota equazione di continuità per gli elettroni: n t = 1 n (n < v >) + q t G R = 1 q J n + n t G R Questa equazione non fornisce alcuna informazione sulla distribuzione delle particelle in p e quindi non è sufficiente a descrivere il trasporto. Per ottenere una conoscenza più precisa della distribuzione si devono prendere in considerazione i momenti di ordine superiore della F rispetto a p. Se mi limito al momento di ordine uno ottengo dalla BTE integrata in p un equazione in J n che opportunamente semplificata (in particolare è fondamentale l assunzione che la temperatura elettronica coincida con quella del cristallo), si riduce alla formulazione della densità di corrente nel modello drift-diffusion: J n = qµ n n φ + qd n n
Modello drift-diffusion Variabili: n,p, φ, J n, J p Equazioni di Continuità: n t = 1 q J n U p t = 1 q J p U Equazioni della Corrente: J n = qµ n n φ + qd n n J p = qµ p p φ qd p p Equazione di Poisson: (ɛ φ) = ρ = q(p n + N + D N A ) Equazioni per esprimere mobilità, coefficienti di diffusione, funzione di Generazione-Ricombinazione (U = R G) in funzione delle variabili del modello.
Modello Idrodinamico Tenendo conto anche dell equazione di bilancio dell energia, ottenibile dalla BTE con l introduzione del momento del secondo ordine (energia media), si perviene al cosiddetto modello idrodinamico. Nel modello idrodinamico l equazione di bilancio del momento diviene: J n τ ( Jn ) J n q n = qnµ n F + 1 n n kt e q Le differenze rispetto al modello Drift-Diffusion riguardano principalmente due aspetti: T e rimane dentro il segno di gradiente nel termine diffusivo. è presente nel termine sinistro, un fattore correttivo che può essere importante in regioni nelle quali la velocità ( J n /n) varia rapidamente nello spazio.
Risoluzione diretta della BTE: il metodo Monte Carlo Il metodo Monte Carlo è un metodo diretto e non approssimato di risolvere l equazione del trasporto di Boltzmann La dinamica di ciascuna particella viene descritta in modo semiclassico attraverso la seguente espressione: d p dt = ±q F + R( r, p,t) Il termine R( r, p, t) rappresenta l effetto delle collisioni che modificano la dinamica della particella (dovute a impurità ionizzate, vibrazioni del reticolo, etc... ). Nel metodo Monte Carlo traiettorie deterministiche calcolate sulla base dell equazione semiclassica del moto: d p dt = ±q F si alternano ad eventi istantanei di collisione descritti da opportune funzioni di probabilità S( r, p, t) che esprimono la probabilitá che un determinato evento di scattering avvenga per unitá di tempo (scattering rates). La frequenza di questi eventi determina la durata delle traiettorie (voli liberi). Simulando il moto di molte particelle si possono accumulare tutte le informazioni necessarie alla conoscenza della funzione di distribuzione f e della distribuzione dei portatori F
Metodo Monte Carlo: volo libero Durante il volo libero: d p dt = q F t r(t) = r(0) + v g(t )dt 0 Supponendo il campo costante e diretto verso x abbiamo: p x (t) = p x (0) qf x t; p y (t) = p y (0); p z (t) = p z (0) E(t) E(0) x(t) = x(0) + ; y(t) = y(0) + p y(0) t; z(t) = z(0) + p z(0) t qf x m y m z con E(t) = p 2 (t)/2m in bande sferiche paraboliche. Indichiamo con Γ = i k S i ( k, k ) lo scattering rate totale. Se Γ fosse costante, la variazione nel numero di particelle che non subiscono scattering (n ns ) tra t e t + dt varrebbe dn ns = Γn ns dt. Pertanto: n ns (t) = n ns (0) exp( Γt) La probabilità di sopravvivere senza scattering fino a t vale dunque P(t) = n ns(t) n ns (0) = exp( Γt) La probabilità di subire un urto tra t e t + dt vale dunque P(t)dt = Γ exp( Γt)dt Scegliendo numeri casuali r, la probabilita di avere r entro dr deve essere pari a quella di avere una collisione tra t e t + dt P(t)dt = P(r)dr Se r ha distribuzione uniforme tra 0 e 1 allora P(r) = 1. Integrando: r 0 dr = t 0 Γ exp( Γt )dt r = 1 exp( Γt) Poichè r 1 = 1 r ha la medesima distribuzione uniforme di r abbiamo: t = Γ 1 ln(r 1 ) (55) Se Γ non è costante massimizzo Γ e aggiungo il self scattering, La scelta del meccanismo di scattering e dello stato dopo-scattering dipendono da ulteriori numeri casuali
Metodo Monte Carlo e BTE La simulazione Monte Carlo può procedere con il calcolo successivo delle traiettorie di numerose particelle. Consideriamo un dispositivo costituito da fette unidimensionali di spessore infinitesimo e definiamo il contributo della particella j alla concentrazione come δn j ( r, t) = δ[ r r j (t)] Il contributo alla funzione di distribuzione è dunque δf j ( r, p,t) = δ[ r r j (t)]δ[ p p j (t)] Derivando rispetto al tempo dove δf j t d r j dt = v g,j = rj δf j d r j dt + p j δf j d p j dt d p j dt = q F + p j t coll Dalla definizione del contributo di una particella alla f abbiamo rj δf j = r δf j pj δf j = p δf j Sostituendo: δf j t = r δf j v g,j + q F p δf j + pj δf j d p j dt coll Sommando su tutte le traiettorie otteniamo: f t + rf v g qf p δf = f t coll
Vantaggi e limiti del metodo Monte Carlo Fornisce una soluzione esatta dell Equazione di Boltzmann (BTE) Consente di aggiungere agevolmente nuovi meccanismi di scattering Consente di incorporare facilmente fenomeni quantistici quali il tunneling Consente di incorporare effetti di Collisional Broadening Consente di incorporare effetti full band Storicamente si è rivelato un metodo affidabile e robusto di soluzione della BTE Può essere generalizzato al caso di trasporto in sottobande Richiede tempi di calcolo elevati La soluzione è affetta da rumore di natura statistica