La fisica dei mesoni Nel 1935 Yukawa propose un potenziale per rappresentare l interazione N-N come uno scambio di particelle che desse origine alla forza nucleare (come il potenziale ed il campo e.m. sono descritti tramite lo scambio di fotoni). Problema: l interazione e.m. ha un range, l interazione forte ha un range 10-13 cm. Se m rappresenta la massa della particella scambiata, una particella virtuale può essere creata ed esistere per un tempo t senza violare la conservazione dell energia a patto che (principio indeterminazione): t mc 2 La distanza percorsa vale: x = ct = c 200 MeV f = 2 mc mc 2 E pertanto, per un range di pochi fm, la massa della particella scambiata deve essere dell ordine di 200 MeV/c 2.
Dal momento che l equazione di Schroedinger non è relativistica, Yukawa partì dalla relazione: E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 In meccanica quantistica: E i t p i Sostituendo nella (1), dividendo per 2 c 2 e riordinando, si ottiene l equazione di Klein- Gordon: 2 m2 c 2 Φ = 1 2 Φ 2 c 2 t 2 dove Φ rappresenta l ampiezza del campo (per m 0 si riduce all equazione d onda del campo e.m.) Cominciamo col cercare un potenziale statico risolvendo: 2 Φ k 2 Φ = 0, dove k = mc /. (1)
In coordinate radiali, la soluzione sfericamente simmetrica è data da: Φ( r) = g e kr r dove g è una costante che rappresenta la forza del campo (pionico), analoga alla carica elettrica e per le interazioni e.m. Secondo questa espressione la forza nucleare dovrebbe avere un range dell ordine di R = 1 k = mc, come già trovato con argomenti basati sul principio di indeterminazione.
Yukawa chiamò questa particella mesone, avendo una massa intermedia tra l elettrone (leptone) ed il nucleone (barione). Il mesone fu subito cercato nei raggi cosmici ed erroneamente individuato con una particella di massa 100 MeV che risultò successivamente essere un suo prodotto di decadimento: il muone µ (leptone). π + µ + + ν µ π µ + ν µ π 0 2γ ( τ = 2.6 10 8 s, cτ = 7.8 m) ( τ = 2.6 10 8 s, cτ = 7.8 m) ( τ = 0.82 10 16 s, cτ = 2.5 10 8 m) µ + e + + ν e + ν ( µ τ = 2.2 10 6 s, cτ = 660 m) µ e + ν e + ν ( µ τ = 2.2 10 6 s, cτ = 660 m)
Tale mesone fu individuato solo nel 1947 da Powell come una particella di massa 150 MeV e chiamato mesone π, o pione. Successivamente, con gli acceleratori (che raggiunsero con la tecnologia energie superiori alla soglia di produzione dei pioni) iniziò uno studio dettagliato delle sue proprietà fisiche. I laboratori LAMPF (Los Alamos, Messico), TRIUMF (Vancouver, Canada), SIN (Zurigo, CH) furono chiamati appunto meson factories. Proprietà del mesone π. Carica elettrica I pioni hanno carica +e, 0, -e e sono rispettivamente denotati da π +, π 0 e π -. Il π 0 è antiparticella di se stesso (come il fotone) e π +, e π - sono uno antiparticella dell altro. Non trattandosi di materia ordinaria, ha poco senso stabilire chi è la particella e chi l anti.. Inoltre le sezioni d urto delle loro interazioni hanno peso statistico del tutto equivalente. Quindi i pioni possono essere considerati un set di tre particelle, π +, π 0 e π -, le cui antiparticelle sono rispettivamente π -, π 0 e π +.
Isospin Trattandosi di un tripletto, essendo la molteplicità data dal valore 2T+1, se ne deduce automaticamente che T=1. La terza componente T z = 1,0,-1 identifica quindi rispettivamente π +, π 0 e π -. Massa La massa dei pioni è stata misurata con grande precisione, con tecniche completamente diverse a seconda della carica del pione. La massa del π - è determinata da una misura dei raggi X emessi da atomi π-mesici, dove un π - è catturato in un orbita elettronica e l atomo per diseccitazione emette raggi X che vengono rivelati. Dalla loro energia (salto quantico tra orbite differenti) si può risalire alla massa del pione. L energia dei raggi X in questo caso, dal momento che le orbite dei pioni sono molto più vicine al nucleo, hanno valori dell ordine delle decine di kev. Infatti: E n = Z2 e 2 = Z 2 e 4 2n 2 a 0 2n 2 m 2 e che per l Idrogeno ed n=1 si riduce a: E = e4 1 2 m = 13.6 ev 2 e
Nel casi di un atomo di Idrogeno π-mesico: E 1 = e4 2 2 m π = 13.6 m π m e = 3.8 kev Per nuclei a più alto Z l energia di legame, e quindi l energia degli X emessi, cresce come Z 2 e i raggi X di diseccitazione hanno energie dell ordine della decine e del centinaio di kev. Il valore di massa dedotto è: m π- = 139.5675 ± 0.0009 MeV Non si può ovviamente applicare la stessa tecnica nel caso dei π +. In questo caso misuriamo energie e masse dei suoi prodotti di decadimento. π + µ + + ν µ La massa del muone µ + è nota (dallo studio degli atomi µ-mesici) con grande precisione, e si assume zero la massa del ν µ. Nel sistema di riferimento del π + il bilancio energetico del suo decadimento è: m = E + E = E + p = E + p = p 2 2 + m π + µ + ν µ µ + ν µ µ + µ + µ + µ + + p µ + in quanto, nel sdr del pione risulta evidentemente: p ν = p µ.
In un esperimento effettuato nel 1979 al SIN un fascio di π + venne decelerato fino a portare i pioni in quiete. Usando uno spettrometro magnetico si misurò il momento dei µ + emessi: p µ = 29.7877 ± 0.0014 MeV/c. Noto p µ, si può calcolare la massa del π + : m = p 2 2 + m π + µ + µ + + p µ + Il valore di massa dedotto è: m π+ = 139.5658 ± 0.0018 MeV La massa del π 0 è stata ottenuta studiando la reazione: π + p n + π 0 Il π - iniziale è stato decelerato fino a portarlo alla quiete prima di interagire col bersaglio di idrogeno (cioè protone in quiete). Il π 0 non può essere rivelato direttamente perchè decade in due fotoni con una vita media dell ordine di 10-16 s.
Si applica al solito la conservazione dell energia e del momento, esprimendo E π 0 e p π 0 in funzione della velocità β n del neutrone (misurata con la tecnica dei tempi di volo): Dalla reazione: π + p n + π 0, essendo il π - ed il protone in quiete si ha: E = m + m E = m + m m γ γ π 0 π p n π p n n n = ( 2 1 β ) 1/ 2 n Inoltre, essendo il π - ed il protone in quiete: p π 0 = p n = m n β n Si ricava quindi: m = E 2 2 p π 0 π 0 π 0 ( = m + m m γ ) 2 ( m π p n n n β ) 2 n Alternativamente si può risalire alla massa invariante del π 0 da una misura delle energie e dell angolo tra i due fotoni nei quali decade. ( ( )) m π 0 = 2 E γ1 E γ2 1 cos θ 12 Il valore di massa dedotto è: m π0 = 134.9745 ± 0.0016 MeV
Spin e parità Il decadimento π 0 2γ e la produzione di un singolo pione nelle collisioni nucleonenucleone (p. es.: p + p p + n + π + ) mostra che il pione non può avere spin semi-intero. L indicazione più diretta del valore dello spin dei pioni viene dallo studio della reazione: p + p d + π + e della reazione inversa: π + + d p + p Se la natura è simmetrica rispetto all inversione temporale (time reversal) le due reazioni dovrebbero essere identiche, a parte fattori cinematici e statistici. Questo è chiamato principio del bilancio dettagliato. Il principio del bilancio dettagliato (inversione temporale) lega le sezioni d urto totali delle due reazioni: a + A B + b e b + B A + a
nel seguente modo: ( 2J a + 1) 2J A + 1 ( ) ( 1 + δ ) aa σ Aa bb p a 2 = 2J b + 1 ( )( 2J B + 1) ( 1 + δ ) bb σ Bb aa p b 2 quando l energia totale nel cm è la stessa. (p a e p b sono riferiti al cm) Il fattore (1+δ) tiene conto del principio di Pauli per eventuale interazione tra particelle identiche.
Reazioni inverse e bilancio dettagliato Reazione diretta: 1 + 2 C 3 + 4 (Q > 0) Reazione inversa: 3 + 4 C 1 + 2 (Q < 0) La reazione diretta può essere visualizzata nel seguente modo: La sezione d urto del processo si scrive nel seguente modo: ( ( )( 2J 2 + 1) 1 + δ ) 3 + 4 H 12 II C C H I 1 + 2 2 2 2J + 1 σ 12 = π 12 2J 1 + 1
Cioé la sezione d urto può essere pensata come il prodotto dei seguenti termini: 2 π 12 2J + 1 2J 1 + 1 riflette il carattere quantistico dell interazione; ( )( 2J 2 + 1) è un fattore statistico che rappresenta la somma su tutti gli stati finali e la media sugli stati iniziali. Il canale di uscita ha infatti 2J + 1 possibili sottostati, mentre il canale di ingresso comprende (2J 1 + 1)(2J 2 + 1) stati iniziali e la probabilità di trovare le particelle 1 e 2 in un possibile sottostato vale [(2J 1 + 1)(2J 2 + 1)] -1. ( ) evita il double counting nel caso di particelle identiche nello stato iniziale. 1 + δ 12 3 + 4 H II C C H I 1 + 2 2 dipende dalle forze in gioco. Rappresenta un processo a due step: l elemento di matrice C H I 1 + 2 descrive la transizione del canale di ingresso delle particelle 1 e 2 allo stato eccitato C, dove l operatore responsabile della transizione è H I.
Analogamente l elemento di matrice 3 + 4 H II C descrive il decadimento del nucleo composto nelle particelle 3 e 4 ed è mediato dall operatore H II. Per la reazione inversa, possiamo scrivere: ( ( )( 2J 4 + 1) 1 + δ ) 1 + 2 H 34 I C C H II 3 + 4 2 2 2J + 1 σ 34 = π 34 2J 3 + 1 Gli elementi di matrice sono identici, ad eccezione dell ordine nel quale si presentano. Per processi che involvono interazioni elettromagnetiche e forti vale il principio di invarianza per inversione del tempo (time-reversal invariance). Ad oggi non vi è evidenza sperimentale che questa invarianza sia violata. Dal momento che gli elementi di matrice sono identici, si può scrivere: σ 12 2 = 12 2 σ 34 34 ( 2J 3 + 1) 2J 4 + 1 ( ) ( 1 + δ ) ( 2J 1 + 1) ( 2J 2 + 1) ( 12 1 + δ ) = 34 2 p 34 2 p 12 ( 2J 3 + 1) 2J 4 + 1 ( ) ( 1 + δ ) ( 2J 1 + 1) ( 2J 2 + 1) ( 12 1 + δ ) 34 Il principio del bilancio dettagliato vale anche se la reazione non passa per lo stato intermedio C
Tornando al nostro problema abbiamo quindi: ( ) ( ) = σ pp πd σ πd pp ( 2s π + 1) ( 2s d + 1) ( 1 2s + 1 ) 2 2 p p π 2 ( ) p = 3 2s + 1 π 2 p 2 p π 2 p p 2 dove il fattore ½ tiene conto della identità delle particelle interagenti pp La figura mostra l andamento con l energia delle sezioni d urto delle due reazioni corrette per il fattore cinematico p π 2 / p p 2 e assumendo il valore di sπ = 0.
Se avessimo scelto s π = 1,2,3,.. le due sezioni d urto sarebbero differite per un fattore 2s π +1 = 3,5,7.. in violazione del bilancio dettagliato e dell invarianza per time reversal nelle interazioni forti.
Una evidenza dello spin del π 0 viene dal suo decadimento π 0 2γ. Nel sdr del π 0 i fotoni sono emessi in direzioni opposte. I fotoni hanno spin 1 e quindi hanno m s = ±1 lungo la loro direzione di moto (m s = 0 è vietato dalla natura trasversa delle onde elettromagnetiche: E e B sono entrambi perpendicolari alla direzione dell onda). Il valore totale di m s per i due fotoni vale quindi 0, ±2. La scelta di s π0 = 0 è la scelta ovvia, in analogia con lo spin dei π carichi. Parità La parità intrinseca del π - può essere dedotta studiando la reazione: π + d n + n Se l energia dei π incidenti è sufficientemente bassa può avvenire solo cattura in onda s (l =0). La parità dello stato iniziale è: π i = π π π d ( 1) i = π ( π π d = +1, i = 0) La parità dello stato finale è: π f = π n π ( n 1) f = ( 1) f
Quindi deve essere: π = ( 1 ) f π Dalla conservazione della parità nelle interazioni forti discende: f = pari π π = +1 f = dispari π π = 1 Il momento angolare iniziale vale: J i = s π + s d + i ma, poichè s π = 0, s d = 1 e l i =0 deve essere J i = 1. Il momento angolare finale vale: J f = s n1 + s n2 + f Poichè i neutroni sono fermioni, la loro funzione d onda ψ=u(r) χ(s) deve essere antisimmetrica per lo scambio dei due neutroni. Pertanto risultano due casi: a) u(r) simmetrica e χ(s) antisimmetrica -> l f pari e s tot = 0 b) u(r) antisimmetrica e χ(s) simmetrica -> l f dispari e s tot = 1 Ma il caso a) è escluso, in quanto con s tot = 0 e l f pari non può mai risultare J f = J i = 1. Deve pertanto essere l f dispari, e quindi π π = 1 : il pione π - ha parità dispari.
Un argomento simile si può usare per la parità del π +, attraverso la reazione: π + + d p + p. Si ricava ovviamente che anche π π+ = 1 Analogamente, la parità del π 0 è dedotta dallo studio della reazione: π + d n + n + π 0 Modi di decadimento Il pione è il più mesone leggero, quindi non può decadere per interazione forte (τ 10-22 s) in un altro mesone, ma solo per interazione elettromagnetica o debole, con conseguente vita media molto più lunga. Il π 0 decade elettromagneticamente con una vita media τ 10-16 s. Il suo principale modo di decadimento è: π 0 2γ Questo è un tempo troppo breve per essere misurato direttamente, ma è troppo lungo per essere dedotto da una misura della larghezza della distribuzione energetica nel processo di produzione dei π 0 (attraverso la relazione ΔE Δτ = ): la larghezza corrispondente alla vita media del π 0 è infatti di appena 8 ev.
Si sono sfruttate quindi reazioni nucleari più complesse. La misura più accreditata è descritta nel seguito. Protoni di alta energia (p = 450 MeV/c) incidono su un bersaglio di tungsteno costituito da due fogli di spessore 70 µm ciascuno, separati da una distanza variabile d. I pioni neutri vengono prodotti per interazione forte nel primo strato e decadono in volo tra i due strati secondo la reazione π 0 2γ. I due fotoni, interagendo con il secondo strato generano coppie e + e - ed i positroni vengono successivamente rivelati. I conteggi registrati dipendono dalla distanza d tra i due fogli e la distribuzione del numero di eventi in funzione di d fornisce una misura della vita media dei pioni neutri. Il valore dato da questo esperimento è: τ πo = (0.897 ± 0.022) 10-16 s.
La misura più precisa della vita media dei pioni carichi fu fatta in un famoso esperimento da Ayres nel 1971. Fasci di π + e di π - sono estratti come fasci secondari dal protosincrotrone di Berkeley. Un contatore viene spostato lungo la linea di volo dei pioni e viene misurata l intensità del fascio a distanze crescenti. La legge di decadimento radioattivo (che si applica anche al decadimento di particelle): N t ( ) = N 0 e t/ τ' fornisce il numero relativo di pioni sopravvissuti al tempo t se la vita media nel sdr del laboratorio vale τ. Il fascio viaggia a velocità v e la legge di decadimento può essere scritta in termini della distanza percorsa x = vt come: ( ) = N 0 e vt/ vτ' = N 0 e N x x/ vτ' Nel sistema del laboratorio la vita media τ è diversa dalla vita media propria τ misurata nel sdr del pione. La relazione è: τ' = τ γ = Pertanto: τ 1 β 2
( ) = N 0 e x/ vτ' = N 0 e x/ v τ γ = N 0 e Bx dove : B = N x 1 v τ γ = 1 v 2 / c 2 v τ
Dalle pendenze si ricava il valore di B = 0.0575 m -1, che è lo stesso per π + e π -, segno che le vite medie sono uguali. Questa deduzione è consistente con il teorema CPT. La simmetria CPT stabilisce che una immagine speculare" del nostro universo dove tutti gli oggetti hanno le loro posizioni riflesse da un piano immaginario (inversione di parità), hanno tutti i momenti opposti (inversione temporale) e dove tutta la materia è rimpiazzata da antimateria (inversione della carica) evolverebbe secondo le nostre stesse leggi fisiche. Con la tecnica dei tempi di volo si è misurato il momento dei pioni nel fascio, che nell esperimento vale: p = 311.89 MeV/c. Pertanto: 1 τ = B v = B m 0 v = B m γ v 0 1 v 2 / c 2 m 0 1 v 2 / c 2 m 0 = B p m 0 τ = m 0 B p = 1 c m 0 c 2 B pc = 26.02 ± 0.04 ns
Con questo esperimento Ayres, oltre a misurare la vita media dei pioni carichi, fornì due test diretti di fisica fondamentale: la validità del teorema CPT e la validità della relatività speciale per la dilatazione del tempo (nell esperimento: β = 0.913). Infatti altri esperimenti sulla vita media del pione effettuati con il pione in quiete danno lo stesso risultato. I pioni carichi decadono per interazione debole (come suggerito dalla loro vita media 10-8 s) in leptoni (elettroni o muoni ed i loro rispettivi neutrini). pione canale decadim br. ratio π µ + ν µ 100% π e + ν e π µ + ν µ + γ π e + ν e + γ 1.23 10 4 1.24 10 4 5.6 10 8 π e + ν e + π 0 1.03 10 8
Analoga tabella esiste per i decadimenti del π +, opportunamente scambiando particelle ed antiparticelle corrispondenti. In tutti i decadimenti si conservano la carica e il numero leptonico (separatamente per elettroni e muoni). Non esiste in natura un numero mesonico da conservare.. Produzione di pioni I pioni sono largamente prodotti nelle meson factories da collisioni di protoni con bersagli nucleari. Le principali reazioni sono le seguenti: p + p p + p + π 0 p + n + π + p + n p + p + π p + n + π 0 n + n + π + Il Q-valore di queste reazioni è < 0 e vale approssimativamente -m π. L energia di soglia nel laboratorio risulta essere T thresh =290 MeV. La sezione d urto è abbastanza piccola alla soglia ma cresce rapidamente fino a circa 20 mb all energia di 1 GeV per poi decrescere lentamente, motivo per cui i fasci di protoni delle meson factories hanno energia tra 500 e 800 MeV.
A differenza dei fermioni a spin 1/2 come i leptoni e i barioni, per i pioni non v è alcuna legge che ne preveda la conservazione. Per questo motivo le reazioni nucleone-nucleone possono produrre un numero qualsiasi di pioni, purchè consistente con la conservazione della carica e dell energia. Per Ep 600 MeV diviene possibile anche la produzione di due pioni: p + p p + p + π + + π p + p p + p + π 0 + π 0 p + p p + n + π + + π 0 p + p n + n + π + + π + Per energie più elevate può essere prodotto un numero maggiore di pioni Le figura che segue riporta la sezione d urto di produzione di due pioni
La fotoproduzione di pioni: γ + p n + π + γ + p p + π 0 γ + n n + π 0 γ + n p + π ha una soglia di circa 150 MeV. Fasci di fotoni di elevata energia (> 150 MeV) sono disponibili come fasci secondari presso gli acceleratori di elettroni e vengono in genere ottenuti per bremsstrahlung degli elettroni su materiali pesanti. L energia del singolo fotone è determinata misurando in coincidenza il momento p dell elettrone diffuso (tagging): E γ = E - E
Nelle meson factories i fasci di protoni sono indirizzati su bersagli di materiale leggero, in genere Be o C. Poichè la lunghezza d onda dei protoni di energia dell ordine di 0.5-0.8 GeV vale 0.8-1.1 fm, questi vedono i nucleoni individuali piuttosto che il nucleo nel suo insieme. Il motivo per cui i π+ sono prodotti maggiormente dei π- è semplice: Su un nucleo (Z N) solo una reazione può produrre un solo π-: p + n p + p + π mentre due reazioni possono produrre un singolo π+: p + n n + n + π + p + p p + n + π +
Reazioni pione-nucleone: risonanze barioniche Distinguiamo: scattering elastico, scattering anelastico, scambio carica. Esempi di scattering elastico sono: π + + p π + + p π + p π + p Nelle reazioni nucleari anelastiche il nucleo bersaglio è lasciato in uno stato eccitato. Nel caso dei pioni l energia viene impiegata nella creazione di nuovi pioni. π + + p π + + p + π 0 π + + p π + + n + π + Le reazioni di scambio carica sono simili alle reazioni (n,p) o (p,n): π + + n π 0 + p π + p π 0 + n Solo nel caso di scattering anelastico con la produzione di un pione esiste una soglia in energia elevata (dell ordine di 170 MeV). Le altre reazioni avvengono anche ad energia molto bassa dei pioni (vedi definizione di energia di soglia).
Le sezioni d urto mostrano un numero di larghe risonanze. In fisica nucleare consideriamo le risonanze come livelli nucleari discreti, con energia, vita media (o larghezza), spin e parità definiti: possiamo studiare la loro formazione e il loro decadimento in ben definiti stati finali. In breve, una risonanza è un vero e proprio stato nucleare legato. Allora, come possiamo interpretare queste risonanze pione-nucleone? Da altri esperimenti verifichiamo che esse hanno energia, vita media, parità e spin definiti: ciascuna risonanza pione-nucleone forma una struttura altrettanto definita che un protone o un neutrone e il fatto che queste risonanze abbiano vita media molto corta non impedisce di includerle nella lista delle particelle. La sezione d urto π + p è dominata da una risonanza ad una energia cinetica di pione di 200 MeV, corrispondente ad una energia di 1232 MeV nel cm. La stessa risonanza è presente nel canale elastico π + p e nelle reazioni di scambio carica π + + n π 0 + p, oppure π + p π 0 + n
E questa risonanza non è limitata allo scattering di pione: essa è presente anche nello scattering anelastico nucleone-nucleone, nello scattering anelastico di elettroni da protone, e nel canale di fotoproduzione. Le sezioni d urto mostrano inoltre altre risonanze minori. Alcune di queste risonanze, come quella a 1232 MeV, sono chiamate e compaiono sempre in multipletti di quattro stati di carica ( ++, +, 0, - ). Altre risonanze compaiono in doppietti di carica (+1, 0), come i nucleoni: queste sono chiamate N (o talvolta N*).
È del tutto appropriato considerare le risonanze N e le risonanze come stati eccitati del nucleone. Ignorando per ora la struttura interna che può essere responsabile degli stati eccitati, possiamo considerare lo spettro di eccitazione alla stregua dello spettro di eccitazione dell atomo di idrogeno o di un nucleo. Ciascuno degli stati N è, come il nucleone, un doppietto al quale viene assegnato isospin T=1/2. Ciascuno degli stati è un quadrupletto, corrispondente a T=3/2. La assegnazione di isospin è consistente con la interpretazione delle risonanze N e come stati eccitati del sistema pione-nucleone: accoppiando T=1 (pione) a T=1/2 (nucleone) ci aspettiamo come T risultante T=1/2 e T=3/2. L identificazione di queste risonanze è illustrata nel caso della 1232. La sezione d urto della risonanza ha la forma tipica della Breit-Wigner: σ = π k 2 Γ pπ Γ ( E E ) 2 R + Γ 2 / 4 2s Δ + 1 ( ) ( 2s π + 1) 2s p + 1 dove Γ pπ è la larghezza parziale della, Γ la larghezza totale, E R l energia di risonanza e s rappresenta lo spin delle particelle (s π = 0, s p = 1/2). Per la, π+p è l unico modo di decadimento, quindi Γ = Γ pπ = 115 MeV corrispondenti ad una vita media τ = 6 10-24 s.
In generale la sezione d urto di un processo risonante del tipo: a + X C b + Y si scrive nel seg. modo: σ = π k 2 Γ ax Γ by ( E E ) 2 R + Γ 2 / 4 2J C + 1 ( ( 2J a + 1) ( 2J X + 1) 1 + δ ) ax (al solito: somma su tutti gli stati finali e media sugli stati iniziali) La larghezza totale: Γ = Γ ax + Γ by +... è data dalla somma delle ampiezze parziali di tutti i canali di decadimento aperti, cioè energeticamente possibili. Il fattore: (1 + δ ax ) tiene conto dell eventuale interazione tra particelle identiche, dove la sezione d urto risulta essere doppia. La vita media τ della risonanza è legata alla larghezza totale Γ attraverso la relazione: τ = Γ
Alla risonanza, per E = E R : σ( E ) R = π Γ 2 2s Δ + 1 k 2 Γ 2 / 4 2 = 2π ( k 2s + 1 ) 2 Δ Per una energia cinetica del pione di 200 MeV nel lab, p = 230 MeV/c nel cm 1 k = 2 2 p = 2 c 2 2 p 2 c = 0.7 2 fm2 = 7 mb Pertanto: σ ( E ) = 2π ( R k 2s + 1 ) = 45( 2s 2 Δ Δ + 1) mb Il valore misurato σ(e R ) = 200 mb è consistente con s = 3/2. Lo spin della risonanza vale quindi 3/2 e l unico modo di accoppiare un pione con spin-0 ed un protone con sin-1/2 a uno spin risultante 3/2 è in uno stato di momento angolare orbitale l=1. La parità della risulta quindi: π = π π π p (-1) l = +1. Con argomenti simili si sono assegnati spin e parità agli stati riportati in tabella.
Qui è riportato lo schema dei livelli energetici delle Risonanze Δ e N* con i relativi valori di J e parità.
I decadimenti delle risonanze N e avvengono tramite interazione forte con tempi caratteristici dell ordine di 10-23 s. I modi di decadimento dominanti sono i seguenti: Δ( 1232) N( 939) + π N( 1440) N( 939) + π ( 60% ) Δ( 1232) + π ( 20% ) Δ( 1950) N( 939) + π ( 40% ) N( 1650) N( 939) + π ( 60% ) Δ( 1232) + π ( 40% ) Δ( 1232) + π ( 10% ) N( 939) + ρ ( 20% ) N( 939) + ρ ( 20% )
Risonanze mesoniche I pioni sono i mesoni più leggeri. Al crescere dell energia di interazione N-N o N-π possono essere prodotti altri mesoni. Tutti questi mesoni hanno una massa maggiore di 2m π e, non essendovi una legge di conservazione del numero di mesoni, possono decadere in due o più pioni per interazione forte in tempi 10-23 s. Non vi è quindi speranza di osservarli direttamente: l esistenza di queste risonanze mesoniche a vita media cortissima è verificata osservando i loro prodotti di decadimento: dalla loro distribuzione energetica possiamo dedurre la larghezza della risonanza e di conseguenza la sua vita media. Ad esempio, consideriamo il mesone ρ +, che può essere formato in una interazione π-n: π + + p ρ + + p π + + π 0 È però anche possibile produrre π + e π 0 tramite la reazione diretta a tre corpi: π + + p π + + π 0 + p Dal momento che non possiamo osservare il mesone ρ + direttamente, le particelle rivelate sono in entrambi i casi un protone, un π + e un π 0.
È però possibile risalire alla identificazione della risonanza intermedia ρ + identificando le particelle dello stato finale come pioni e misurandone energia e momento. Infatti: m ρ = ( E 2 2 ρ p ) 1/ 2 ρ Ma: E ρ = E π + + E π 0 e: pρ = p π + + p π 0 Pertanto: m ρ = E + E π + π 0 ( ) 2 p π + + p π 0 2 1/ 2 m ρ = m 2 + m 2 + 2E E 2p +p cos ( θ ) π + π π + π π π ππ Nel grafico che segue è riportata la distribuzione di massa invariante della coppia di pioni nel caso di produzione rispettivamente di ρ + e ρ 0 attraverso i due canali di reazione: π + + p ρ + + p π + + π 0 γ + p ρ 0 + p π + + π
La distribuzione continua sotto la risonanza è la produzione diretta di una coppia di pioni: π + + p p + π + + π 0 γ + p p + π + + π
La risonanza ρ + è così identificata ad una energia di 770 MeV con una larghezza di circa 150 MeV, tipica di un decadimento forte. Il mesone ρ +, come il pione, è il membro di un tripletto (spin isotopico T=1) di particelle: ρ +, ρ 0 e ρ -. Da una misura della distribuzione angolare dei due pioni emessi nel decadimento del mesone ρ si deduce il valore dello spin totale: J = 1. E poichè i due pioni costituenti hanno s=0, devono necessariamente trovarsi in uno stato di momento angolare orbitale l = 1. Ne consegue che la parità intrinseca del mesone ρ è dispari: Π ρ = Π π Π π ( 1) = ( 1) ( 1) ( 1) = ( 1) È anche possibile produrre il mesone ρ 0 da annichilazione e + -e - usando un collider di elettroni. Di nuovo, poichè non esiste legge di conservazione del numero di mesoni e nello stato iniziale il numero di particelle è zero (una particella ed una antiparticella), può avvenire il processo: e + + e ρ 0 +π + + π La risonanza può essere analizzata usando la forma della Breit-Wigner:
σ = π k 2 Γ ee Γ ( E E ) 2 R + Γ 2 / 4 che, all energia di risonanza e con s e = ½ diviene: σ = π Γ ee ( k 2 Γ 2s + 1 ) ρ 2s ρ + 1 ( 2s e + 1) 2
Qui Γ ee è la larghezza di formazione del mesone ρ nella collisione e + -e -. Possiamo dedurre il rapporto Γ ee /Γ dalla probabilità relativa di decadimento ρ 0 e + + e - che è misurata e vale (6.4 ± 0.2) 10-5. Nel centro di massa (che per esperimenti ai collider coincide con il sdr del lab) l energia degli elettroni vale 770/2 = 335 MeV. A questa energia, per gli elettroni, p = E. Da questi dati si ricava: σ = π Γ ee ( k 2 Γ 2s + 1 ) = π 2 ρ 2 p e Γ ee ( Γ 2s + 1 ) = 6.8 10 5 ( 2s ρ ρ + 1) fm 2 = 0.68( 2s ρ + 1) µb Consistente (vedi figura) con il valore s ρ = 1. Come secondo esempio di risonanze mesoniche consideriamo gli stati finali a tre pioni elettricamente neutri formati nella reazione: π + + p π + + p + π + + π 0 + π La figura mostra lo spettro di massa invariante. Di nuovo si nota un fondo continuo sul quale appaiono due risonanze, rispettivamente ad energie di 549 MeV (mesone η) e a 783 MeV (mesone ω). La risonanza ω ha una larghezza di circa 10 MeV, stando ad indicare un decadimento un ordine di grandezza più lento rispetto alla ρ. Esistono altre risonanze mesoniche. Sono riportate, assieme ai loro principali modi di decadimento, nella tabella che segue.
Mesoni e barioni strani Nel microcosmo della fisica delle particelle esistono leggi di conservazione che non hanno una corrispondenza nell esperienza macroscopica. Un esempio è la legge della conservazione della parità e/o dello spin isotopico: senza la conservazione della parità, per esempio, non potremmo capire perchè un decadimento alfa 0 + 2 - è proibito. E più ci avviciniamo ai livelli più elementari della fisica delle particelle, più regole nuove emergono. L esistenza di queste regole è di grande aiuto per comprendere la struttura interna delle particelle e per la loro classificazione. D altra parte, dal momento che queste regole non hanno una controparte nel mondo macroscopico, noi non sappiamo cose significhino realmente (del resto, anche l uso dell avverbio realmente può essere discusso..).
Di conseguenza i fisici hanno dato a queste proprietà delle particelle nomi spesso fantasiosi, principalmente come aiuto per ricordare certe proprietà. Per classificare le particelle vengono assegnati concetti come stranezza, colore, sapore, bellezza,... Questi nomi servono solo ad assegnare numeri quantici alle particelle per spiegare l osservazione (o la non osservazione) di certi fenomeni. Storicamente, il primo esempio di numero quantico dal nome esotico usato per la classificazione delle particelle fu la stranezza : questo per contrassegnare un certo numero di particelle (cioè particelle con un valore di stranezza diverso da zero). I mesoni K, con una massa di circa 500 MeV, sono i mesoni strani più leggeri; esistono anche (come vedremo) barioni strani, più pesanti dei nucleoni. I mesoni K (o kaoni) possono essere creati tramite reazioni simili a quelle che producono pioni: π + p π + + n + K + + K
La sezione d urto di questo processo (interazione π-n) è dell ordine del millibarn, tipica delle interazioni forti. Tuttavia il decadimento del K + e del K - avviene con una vita media dell ordine di 10-8 s, tipica dei processi deboli. Per di più, l ovvio decadimento forte: K + π + + π 0 è fortemente soppresso in competizione con il processo: K + µ + + ν µ che è un chiaro segnale di interazione debole. Come è possibile che una particella creata attraverso una interazione forte decada tramite una interazione debole? Un altra proprietà delle particelle strane è quella di essere sempre prodotte a coppie. Cominciamo con l assegnare il numero quantico stranezza S alle particelle che subiscono interazioni forti, in maniera analoga all assegnazione della carica elettrica: diciamo che tutte le particelle non-strane (p, n, π, ρ,..) hanno S=0 e scegliamo (arbitrariamente) S=1 per il mesone K +.
Postuliamo la seguente legge: La stranezza si conserva in tutte le interazioni forti ed elettromagnetiche; la stranezza cambia nelle interazioni deboli. Da questa regola e dalla reazione (interazione forte π-n): π + p π + + n + K + + K deduciamo immediatamente S=-1 per il mesone K -. Altri membri della famiglia dei kaoni sono il kaone neutro K 0 e la sua antiparticella K 0. Noi descriviamo i kaoni come un doppietto di particelle (T = 1/2) K + e K 0 con relative antiparticelle K e K 0. I kaoni sono quindi diversi dai pioni, per i quali il π 0 è antiparticella di se stesso. I mesoni K decadono in due o tre pioni o in leptoni (generalmente µ ± più il suo neutrino). Lo stato finale ha S=0, quindi i decadimenti sono caratteristici dell interazione debole, per la quale è permesso il cambio di stranezza di un unità. Così è assolutamente vietato che il decadimento K 2π avvenga per interazione forte o elettromagnetica, e può avvenire solo attraverso interazione debole.
Oltre ai K esistono altre risonanze definite come mesoni strani. Queste possono decadere tramite interazione forte in mesoni strani più leggeri senza violare la regola S = 0. Per esempio. la risonanza 892-MeV chiamata K* può decadere secondo la reazione: K* -> K + π con S = ± 1 su entrambi i lati della reazione. La larghezza delle risonanza indica infatti una vita media 10-23 s, tipica dei processi forti (che conservano la stranezza). Il mesone K è il più leggero tra i mesoni strani, e può quindi decadere solo attraverso processi deboli, cioè più lentamente, in particelle non strane. Esempi di decadimento del mesone K + sono riportati di seguito. (Per i decadimenti del K - basta cambiare ogni particella con la sua antiparticella). I decadimenti del K 0 sono simili, ma mostrano un ulteriore comportamento inusuale che verrà discusso nel prossimo paragrafo.
decadimenti del K + br. ratio K + µ + + ν µ 63% K + π + + π 0 21% K + π + + π + + π 6% K + π + + π 0 + π 0 2% K + π + + µ + + ν µ 3% K + π 0 + e + + ν e 5% K + e + + ν e 0,0015%
Esistono anche, simili ai nucleoni, dei barioni strani, chiamati iperoni. Il loro valore di stranezza può essere assegnato in base ai processi di produzione: π + + n π + + Λ 0 + K + Dal momento che questo è un processo di interazione forte (interazione π-n) deve essere S = 0 e quindi S(Λ 0 ) = -1. Il Λ 0 è l iperone più leggero, con una massa a riposo di 1116 MeV e deve quindi decadere in un protone o un neutrone per conservare il numero barionico che, per quanto ne sappiamo, è assoluto. Il canale di decadimento: Λ 0 p + K che conserverebbe S é proibito per conservazione dell energia (m p + m K > m Λ ). I possibili modi di decadimento che includono un nucleone sono: Λ 0 p + π oppure Λ 0 n + π 0 entrambi con S=0 nello stato finale. Pertanto il decadimento della Λ 0 cambia di un unità la stranezza e deve essere un processo debole: la vita media della Λ 0 infatti risulta pari a 2.6 10-10 s.
Il barione appena più pesante è la Σ, un multipletto di tre particelle, Σ +, Σ 0 e Σ -, aventi una massa di circa 1190 MeV. Un esempio di reazione di produzione è: π + p Σ + K + Per la conservazione della stranezza nei processi forti deve risultare S(Σ - ) = -1 (lo stesso vale per Σ + e Σ 0 ). Il decadimento della Σ - deve andare in un protone o un neutrone (per conservare il numero barionico) più un pione, e ancora S = 1 mostra che il processo deve avvenire attraverso interazione debole, consistente con una vita media misurata di 10-10 s. Ad una massa appena maggiore (1320 MeV) vi è il doppietto Ξ e Ξ 0, formato attraverso le reazioni: K + p Ξ + K + e K + n Ξ 0 + K 0 La Ξ deve perciò avere S = -2.
Poichè il decadimento debole può cambiare la stranezza di un unità, i prodotti di decadimento dell iperone Ξ devono includere uno dei barioni con S = -1, cioè Λ 0 o Σ. Per la conservazione dell energia il decadimento Ξ Σ + π non può avvenire: l unico decadimento possibile resta: Ξ 0 Λ 0 + π 0 e Ξ Λ 0 + π con vite medie di 10-10 s. Le otto particelle n, p, Λ 0, Σ +, Σ 0, Σ -, Ξ 0, Ξ formano un gruppo di barioni a spin 1/2 con proprietà molto simili, come vedremo quando ne esamineremo la struttura interna con il modello a quark. I loro valori di stranezza formano una progressione da S=0 a S=-2. Un altro gruppo di barioni con spin 3/2 comprende le 4 (1232) (S=0), le tre risonanze Σ*(1385) (S=-1) e una particella con S=-3, la Ω - (1673). Si nota la progressione in S, nella molteplicità delle particelle, e nei valori di massa (che salgono a step di 150 MeV circa).
In base a questa progressione fu appunto postulata l esistenza della Ω - (1673) a circa 1680 MeV: la sua osservazione fu un grande trionfo per la teoria del modello a quark (in base al quale fu prevista la sua esistenza). Per la Ω - non può esistere nessun canale di decadimento forte: infatti non può decadere nell unica combinazione: Ω Ξ 0 + K con S=-3 per conservazione dell energia. Sono però possibili altri stati finali con stranezza S=-2 raggiunti attraverso interazione debole: Ω Λ 0 + K Ω Ξ 0 + π Ω Ξ + π 0
Ipernuclei A prima vista la Λ 0 appare simile ad un neutrone pesante (sebbene un neutrone strano ) e sembra ragionevole immaginare l interazione Λ 0 -p o Λ 0 -n in maniera analoga all interazione nucleone-nucleone. Tale interazione viene studiata attraverso la formazione di ipernuclei, nei quali un neutrone è rimpiazzato da una Λ 0. Questo può essere ottenuto bombardando nuclei con mesoni K secondo la reazione: K + n Λ 0 + π dove un neutrone viene rimpiazzato da una Λ 0. Da conti di cinematica relativistica si vede che, se il momento dei K vale 500 MeV/c rispetto ad un neutrone in quiete e il π - è rivelato ad un angolo θ=0 rispetto alla direzione dei K, la Λ 0 è prodotta con un momento prossimo a zero.
Ha quindi una alta probabilità di rimanere legata al nucleo, praticamente nello stesso stato orbitale del neutrone originario. La Λ 0 può velocemente cadere nello stato 1s più basso del modello a shell anche se questo è già occupato da due neutroni in quanto la Λ 0 é diversa dal neutrone e non risente del principio di esclusione di Pauli. E nello stato 1s la Λ 0 rimane finchè non decade secondo: Λ 0 p + π oppure Λ 0 n + π 0 o interagendo per via debole con qualche nucleone del nucleo secondo le reazioni: Λ 0 + n n + n oppure Λ 0 + p n + p. Le reazioni o il decadimento avvengono in tempi dell ordine di 10-10 s, che sono tempi abbastanza lunghi da consentire di osservare le proprietà degli ipernuclei.
Una reazione tipica di formazione di ipernuclei è la seguente: K + A X Λ A X + π Per esempio un bersaglio di 4 He può produrre Λ 4 He, un nucleo costituito da 4 barioni: due protoni, un neutrone ed una Λ 0. Nello stato fondamentale del nucleo Λ 4 He tutte le quattro particelle sono nello stato 1s (come nel normale 4 He). Ma, mentre per il principio di Pauli nel 4 He ordinario i due neutroni (come i due protoni) devono avere spin anti-paralleli dando uno spin totale nullo, nell ipernucleo lo spin del neutrone e della Λ 0 possono essere sia anti-paralleli (spin totale 0) che paralleli (spin totale 1).
In figura è riportato lo schema dei livelli dell ipernucleo Λ 4 He, dove sono evidenti lo stato fondamentale 0 + e lo stato eccitato 1 + (il nucleo ordinario 4 He non ha stati eccitati)
Il fotone di energia 1.09 MeV è rivelato in coincidenza con il π 0 decadimento dello stato fondamentale: risultante dal 4 He 4 He + π 0. La struttura dell ipernucleo Λ 4 H è molto simile. Λ Da una misura accurata delle energie delle particelle che risultano dai decadimenti dello stato fondamentale degli ipernuclei è possibile dedurre la loro massa. Possiamo quindi determinare l energia di legame della Λ 0 nel nucleo: B Λ = m Λ 0 ( ) + m( A 1 X) m( A 1 Λ X) Per esempio, nel caso dell ipernucleo Λ 4 He risulta B Λ = 2.39 MeV.
In figura è riportata l energia di legame della Λ 0 in vari nuclei nell intervallo 3 < A < 16. Si vede che l energia di legame cresce linearmente con A, in contrasto con l energia di legame di un singolo neutrone che è pressocchè costante e non dipende da A. Questa è una diretta conseguenza del principio di Pauli, che limita le possibili interazioni del neutrone ma non si applica nel caso della Λ 0.
verifica della cinematica K + n Λ 0 + π con Mathematica :