Per misurare una grandezza occorre eseguire una serie di operazioni, manuali e matematiche, il cui risultato finale è esprimibile con un numero e spesso con un'unità di misura. Questo procedimento che coinvolge: grandezze da misurare strumenti di misura operatore calcoli 1 / 8
implica che esista sempre una serie di errori che non è superabile dalla bravura dell'operatore o dall'accuratezza dello strumento perché insita nello stesso concetto di misura. In pratica ogni misura ha un margine di errore che bisogna imparare a valutare ed esplicitare. Errori accidentali e sistematici Se dovessimo misurare una parete di una stanza di circa 6 metri e avessimo a disposizione un metro da cantiere i 10 metri, il massimo errore che potremmo fare sarebbe quello insito nel metro stesso e quello relativo alla lettura della misura del metro. Se invece di questo avessimo il cosiddetto "metro da cantiere" che in genere è di 150 cm dovremmo utilizzare una matita ed effettuare almeno 4 misure. Per cui l'errore insito nel metro e quello di lettura aumenterebbe di un fattore 4. Se infine fossimo costretti ad utilizzare un righello di 10 cm, anche se più preciso del metro da cantiere, potremmo ridurre l'errore insito nella misura ma non nella sua lettura che viceversa aumenterebbe di un fattore 60. Il cosiddetto errore insito nello strumento di misura è detto "sistematico" ed è sempre positivo o negativo dal momento che dipende da come è stato costruito lo strumento di misura. Può essere ridotto usando uno strumento più "preciso". L'errore di lettura della misura è invece detto "accidentale", ossia dovuto al caso e, quindi, imprevedibile. Gli errori accidentali possono influenzare la misura sia in eccesso sia in difetto e possono essere ridotti con misurazioni più precise, ma mai eliminati del tutto. Ad esempio, ritornando all'esempio di prima, in alcuni casi lo zero della riga viene allineato un po' prima ed in altri un pò dopo rispetto al segno della matita e certamente tali differenze non si compensano esattamente per cui il risultato finale può essere errato sia in meno che in più rispetto al valore vero. Valor medio e valore assoluto 2 / 8
Dal momento che, come detto precedentemente l'errore di misura non è eliminabile, dobbiamo sempre considerare la nostra misura come approssimata, nel senso che essa è più o meno vicina al valore vero. Non è nemmeno possibile valutare lo "scarto" rispetto al valore vero perché non ci è dato di conoscere quest'ultimo. Tuttavia esiste una teoria scientifica, detta teoria degli errori, che insegna come dare una valutazione dello scarto tra il valore misurato e quello vero. Consideriamo per esempio n misurazioni 2,...x n. Assumiamo come valore più probabile il valor medio, ossia la media aritmetica delle misure ottenute: della grandezza X che hanno dato le misure x 1, x valor medio della grandezza X = (somma delle misure/ n delle misurazioni)= (x 1 + x 2 +...+x n )/n Come stima dell'errore assumiamo la semidifferenza tra la misura massima e quella minima, detta "errore assoluto" (E ass ): (E ass ) = (x max x min )/2 Il risultato della misurazione lo scriviamo nella forma: valor medio ± errore assoluto L'intervallo di valori compreso tra (valor medio errore assoluto) e (valor medio + valore asoluto) viene chiamato "intervallo di fiducia". 3 / 8
Misure compatibili Per confrontare due misure della stessa grandezza, ottenute da operatori diversi o eseguite in tempi successivi, occorre confrontare gli intervalli di fiducia. Le due misure si dicono compatibili se i rispettivi intervalli di fiducia hanno intersezione non nulla. Esercizio: se due misure di lunghezza hanno dato (30 ± 3) mm e (34 ± 2) mm ed altre due misure hanno dato (30 ± 3) mm e (36 ± 2) mm verificare se le due misure sono compatibili. Errore percentuale Se abbiamo le seguenti misurazioni (100 ± 1)m e (10 ± 1)m, si vede che pur essendo l'errore assoluto lo stesso e cioè (± 1 m) assume un significato diverso a seconda della misura che stiamo effettuando e cioè 100 metri o 10 metri. Quindi la precisione di una misura va fatta rapportando l'errore assoluto al valore della misura stessa. Definiamo allo scopo "l'errore relativo" (E rel ). Esso è il rapporto tra l'errore assoluto e la misura (X): E rel = E ass /X L'errore relativo per le due precedenti misura diventa rispettivamente: 4 / 8
E rel = 1m/100m = 0,01 E rel = 1m/10m = 0,1 L'errore relativo essendo il rapporto tra due misure non ha unità di misura ma è un numero. In genere tale numero viene riportato in termini percentuali e cioè moltiplicando l'errore relativo per 100 che viene detto errore relativo percentuale: E rel = E ass /X *100% Nei due esempi precedenti gli errori percentuali diventano rispettivamente: E % = 0,01 *100% = 1% E % = 0,1*100% = 10% da cui si evince che minore è l'errore relativo e maggiore è la precisione della misura. Cifre significative Quando viene letta una misura può capitare di dover decidere ad occhio la posizione di undice rispetto a due tacche successive. Questa valutazione va fatta usando molto buon senso dal momento che spesso la valutazione risulta priva di significato. Ad esempio in uno strumento a indice con sensibilità di un grammo e con le tacche molto vicine tra loro non ha senso cercare di leggere i decigrammi e quindi invece di leggere 23,3 g basterà indicare solo 23 g. E' quindi lo strumento che usiamo che stabilisce il numero delle cifre con cui dare il risultato della misurazione. A queste cifre diamo il nome di cifre significative. Le cifre significative sono pertanto tutte quelle cifre che lo strumento usato è effettivamente in grado di valutare. Operazioni matematiche con misure espresse in cifre significative: 5 / 8
nella somma e nella sottrazione il risultato va dato con il numero di cifre decimali della misura che ne ha di meno nella moltiplicazione e nella divisione il risultato va significative della misura che ne ha di meno dato con il numero di cifre nelle equivalenze deve rimanere inalterato il numero di cifre significative. Esercizi di verifica: Calcolare la velocità di un carrello che percorre 0,75 m in 2,42 secondi Calcolare l'area di un rettangolo di lati 7,58 cm e 12,65 cm Sommare le seguenti lunghezze: 7,8 cm e 6,53 cm Sottrarre 0,038 cm da 5,40 cm 6 / 8
Dire a quanti chilogrammi corrispondono 540 grammi Notazione scientifica, ordine di grandezza, arrotondamento Una misura viene detta in notazione scientifica quando è scritta con una sola cifra diversa da zero prima della virgola, moltiplicata per l'opportuna potenza di 10. esempi di notazione scientifica sono pertanto: 3,5 * 10 g 7,98* 10 3 m Per ordine di grandezza di un numero si intende la potenza di 10 più vicina al numero stesso esempi di valutazione dell'ordine di grandezza sono pertanto: 8,5 ordine di grandezza 10 6,5 * 10 3 ordine di grandezza 10 4 1,2 * 10 2 ordine di grandezza 10 2 7 / 8
6,4 10 2 ordine di grandezza 10 1 Nel caso in cui il numero sia equidistante da due potenze di 10 si arrotonda per eccesso all'ordine di grandezza maggiore, ad esempio: 550 ordine di grandezza 10 3 Arrotondamento: se la prima cifra non significativa è 0,1,2,3,4, la si trascura lasciando inalterata l'ultima cifra significativa se la prima cifra non significativa è 5,6,7,8,9 la si trascura aumentando di un'unità l'ultima cifra significativa esempi: dovendo dare solo 3 cifre significative i seguenti numeri: 3,542 e 6,745 diventano: 3,54 e 6,75 8 / 8