Fsca Generale I Msure d grandezze fsche e ncertezze d msura Lezone 3 Facoltà d Ingegnera Lvo Lancer
Indce Abbamo mparato: Orgne e classfcazone delle ncertezze (error) d msura Rappresentazone delle ncertezze Stma delle ncertezze n msure drette non rpetute propagazone degl error n msure ndrette non rpetute Adesso: passamo alla descrzone delle msure drette rpetute Meda e devazone standard Devazone standard della meda all nterpretazone de rsultat n termn probablstc (prossma lezone) Probablta` e dstrbuzone d probablta` La dstrbuzone normale (Gauss) Intervall d confdenza e alle msure ndrette rpetute propagazone degl error rveduta e corretta
Msure drette rpetute La statstca c auta anals statstca degl error accdental
A proposto: statstca? I metod statstc Sono stat svluppat per descrvere dat emprc e sono usat da tutte le scenze (e tecnche) spermental Fanno uso d var strument matematc (anals, calcolo delle probablta`) Affrontano dvers problem: La descrzone sntetca de dat emprc dstrbuzon, mede, dsperson, correlazon Il confronto tra dat e teora o tra dvers nsem d dat Determnazone d parametr Test d potes ( decson), su parametr o dstrbuzon L nterpretazone probablstca de rsultat (dvers approcc: frequentsta, bayesano, ) o c lmteremo a consderazon molto semplc su alcun aspett descrttv (Mede e devazon standard, dstrb.gaussana, ntervall d confdenza) 4
Una msura fatta durante la lezone - Msure drette rpetute della lunghezza d un banco A. Usando fotocope d un rghello Campo d msura cm Costante d lettura c mm B. Con un regolo metallco Campo d msura cm Costante d lettura c mm metodo Indce operatore (cm) A SS 7.6 A SS 7.5 A 3 LL 7. A 4 LL 7.7 A 5 SD 7.3 A 6 SD 7.6 A 7 GS.4 A 8 GM 7. A 9 LB 7.8 A LB 7.6 A LL 7.8 A LB. A 3 GS 7.6 A 4 LL 7.6 A 5 LL 7.8 B 69.8 B 69.8 B 3 69.8 B 4 69.8 B 5 69.8 B 6 69.8 B 7 69.8 B 8 69.8 B 9 69.8 B 69.8 5
Msura: comment - Istogramma (a barre): Scala orzzontale: nclude tutt valor msurat (p.es.da 69. a. cm Intervall ( bn ): abbamo scelto cascuno. cm, estremo nferore ncluso Scala vertcale: per ogn bn, barra proporzonale al numero d msure nell ntervallo corrspondente 8 6 4 Errore sstematco Metodo B outler??? Error accdental Metodo A 69 69. 69.4 69.6 69.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 More 6
Msura: comment - Metodo A: Error accdental, maggor della costante d lettura del regolo: le operazon rudmental d msura con l regolo fotocopa, corto, ntroducono ad ogn passo pccole varazon casual: e l tpco caso n cu le msure rsultano avere una dstrbuzone gaussana (come vedremo) ; Errore sstematco: le msure dfferscono sensblmente da quelle esegute col regolo metallco (metodo B); una prma stma della dfferenza percentuale e` crca: (7.7 69.8)/69.8.7%, compatble con un problema d calbrazone dello strumento fotocopato (n effett: la fotocopa era stata eseguta con fattore d rduzone 98% ): non bsogna aspettars che uno strumento qualsas sa ga` perfettamente calbrato! outler : la msura numero 7 (operatore GS) e` sensblmente dstante dalle altre: possamo escluderla solo su questa base? La rsposta, n lnea generale, e` O. Commenteremo ulterormente possbl eccezon e crter d esclusone accettabl. In questo caso, data la dfferenza d crca 4 mm, e` probable che l operatore GS abba usato n un pao d occason l estremta` del regolo nvece dello zero : se questo fosse confermato, sarebbe preferble escludere entrambe le msure d GS. Metodo B: Tutt valor msurat sono ugual, entro la costante d lettura d mm, essendo l metodo pu` semplce e rproducble. 7
Meda e devazone standard Meda Varanza {,,,..., } Devazone Standard msure d 3 V ( ) ( ) Esempo operatore Indce (cm) -m(cm) (-m)^ -m'(cm) (-m')^ SS 7.6.93.87.5. SS 7.5 -.7. -.85.7 LL 3 7. -.37.94 -.385.479 LL 4 7.7.93.374.5.33 SD 5 7.3 -.7.47 -.85.8 SD 6 7.6.93.87.5. GS 7.4 -.7.47 GM 8 7. -.47.654 -.485.349 LB 9 7.8.93.86.5.464 LB 7.6.93.87.5. LL 7.8.93.86.5.464 LB..493.434.45.75 GS 3 7.6.93.87 LL 4 7.6.93.87.5. LL 5 7.8.93.86.5.464 5 587.6..93 m 7.5..46 Var().4 sgma.4 V ( ) ( ) not(gs) 3 43.6..7969 m' 7.58..63 Var().6 sgma'.5 8
9 Meda e devazone standard Perche usare la meda? E` quel partcolare numero che mnmzza la somma quadratca degl scart ( Prncpo de mnm quadrat ) Un modo alternatvo per calcolare n un solo cclo varanza e devazone standard: verfcare come eserczo che: (usato p.es per calcolare ncrementalmente la varanza durante una sequenza d presa dat: le due sommatore vengono accumulate evento per evento e sottratte alla fne) tale che : trovamo ),... ( msure date X ( ) ( ) ( )( ) X X X X X dx d X mnmo ( ) ) ( Var
Ancora devazone standard Attenzone: c sono motv teorc per modfcare la defnzone d devazone standard sosttuendo con (-): ( ) Le due defnzon sono equvalent per suffcentemente grande grande, ma la prma defnzone tende a sottostmare l ncertezza per pccolo. el nostro esempo (3) la dfferenza e` ga` poco rlevante (crca 4%): Prma def.:.7969.476.5mm 3 Seconda def.:.7969.577.6 mm
Devazone standard della meda Aumentando l numero d msure, la devazone standard calcolata da dat raccolt rmane stable, fluttuando attorno ad un valore che descrve la dspersone delle sngole msure n modo sempre pu` precso costante Invece: la devazone standard della meda, che descrve la (mnore!) dspersone delle mede, dmnusce all aumentare d ( ) ( ) Verfchamolo su sequenze d dat (smulat con un generatore d numer casual) corrspondent a msure rpetute con crescente:
campon d msure: Campone n.: Campone n.6: Etc : rgettare msure sulla base della devazone standard d poche msure e` percoloso! Verfca: stogramm delle mede e delle dev.standard Ved prossma pagna 3.5 3.5.5.5 3.5 3.5.5.5..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 More..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 More..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 7.59 cm.9 cm 7.75 cm.3 cm.3 cm.4 cm Campone n. mm mm.5.5.5.5.5.5 Campone n.6 mm mm
(mede e devaz. standard) campon d msure cascuno: Calcolamo volte la Meda e la Devazone Standard (per cascun campone) stogrammamo Meda Standard devaton 4.5.5 4 3.5 3.5.5.5.5.5..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8...3.4.5 La meda fluttua meno delle sngole msure:. 8cm 3. 5cm Dev.Standard: ma fluttua pareccho da un campone all altro! 3
,, campon d msure: Campone n.: Campone n.: 35 3 5 5 35 3 5 5 Etc mede, dev.standard: Prossma trasparenza 4..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 More..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 More..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 7.594 cm.7 cm 7.588 cm.5 cm.7 cm.5 cm Campone n. mm mm 8 6 4 8 6 4 8 6 4 5 8 6 4 5 Campone n. mm mm
(mede e devaz. standard) campon d msure cascuno: Calcolamo volte la Meda e la Devazone Standard (per cascun campone) stogrammamo Meda Devazone Standard 8 3.5 7 3 6 5 4.5 3.5.5..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8...3.4.5 La meda fluttua meno delle sngole msure:. 5cm. 5cm Dev.Standard: Adesso fluttua d meno da un campone all altro! 5
7 6 5 4 3 Meda (. cm bn) 6 7.5 7.5 7.5 7.53 7.54 7.55 7.56 7.57 7.58 7.59 7.6 7.6 7.6 7.63 7.64 7.65 7.66 7.67 7.68 7.69 7.7 More..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 35 3 5 5 5 4 bn. cm 6 5 3 Meda (. cm bn) 9 8 7 6 5 4 3 Devazone Standard...3.4.5..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8 More..4.6.8 7 7. 7.4 7.6 7.8..4.6.8,, campon d msure: Campone n.: 7.597 cm.8 cm Etc mede, dev.standard:.5 cm Campone n. mm mm 8 6 4 8 6 4 Scala orzz. Allargata: 7. 6cm 7. 6cm. 5cm
Conclusone In sntes: all aumentare d, nel nostro esempo (smulazone con valor ver not): 7.6cm.5cm.5cm la dspersone del valore medo dmnusce anche negl esperment real, Ma: attenzone agl error sstematc! Inutle aumentare ulterormente l numero d msure n un espermento, se gl error sstematc non possono essere rdott ad un lvello nferore! 7
In grafco: : Scala vertcale lneare 7.6cm. 5cm Scala vertcale logartmca 8. 6 4. 8. 6 4..5 7 7.5.5 (cm)..5 7 7.5.5 (cm) 8