Lezione 4 - pag.1 Lezione 4: la velocità 4.1. Velocità edia e grafico tepo - poizione Nella cora lezione abbiao coniderato la grandezza velocità edia. Ea, coe ricordate, è definita coì: ditanza percora velocità edia tepo ipiegato ΔS Δt Dalla definizione i capice ubito un fatto iportante: la velocità edia non è riferita ad un itante precio, a epre ad un ben precio intervallo di tepo. Il ibolo (che i legge delta) ignifica differenza di. Se parliao della poizione S di un corpo che alle 13.08.20 è al chiloetro 112 dell autotrada, entre alle 13.10.25 è al chiloetro 115, allora poiao dire che: - lo potaento è tato S S fin S ini 115 k 112 k 3 k 3000 - l intervallo di tepo tracoro è t t fin t ini 13.10.25 13.08.20 2 in 5 125 - la velocità edia è tata ΔS 3000 v edia Δt 125 24 Conideriao per eepio ( fig.4.1) il grafico tepo - poizione di un auto che parte dal eaforo: Fig.4.1 il grafico tepo poizione di un auto che parte dal eaforo
Lezione 4 - pag.2 Per deterinare qual è la ua velocità edia dobbiao pria pecificare a quale intervallo di tepo ci riferiao. Se conideriao i prii due econdi, allora la poizione paa da 0 a 12, entre il tepo paa da 0 a 2. La ditanza percora è perciò 12 0 12, il tepo ipiegato è 2 0 2, la velocità edia è: ditanza percora 12 velocità edia tepo ipiegato 2 6 Se invece ci riferiao agli ultii due econdi, allora la poizione paa da 27 a 75, entre il tepo paa da 3 a 5. La ditanza percora è perciò 75 27 48, il tepo ipiegato è 5 3 2, la velocità edia è: ditanza percora 48 velocità edia tepo ipiegato 2 24 Se infine ci riferiao all intero percoro, che dura 5 econdi, otteniao: ditanza percora 75 velocità edia 15 tepo ipiegato 5 I valori calcolati (6 /, 15 /, 24 /) rappreentano ripettivaente le pendenze dei egenti AB, AD, CD riportati in fig.4.1. Calcolare la velocità edia in un dato intervallo equivale a calcolare la pendenza del egento che unice il punto iniziale e quello finale del corripondente grafico tepo poizione. 4.2. Coe i iura la velocità in un ben precio itante? Abbiao vito che la velocità edia i riferice ad un intervallo di tepo che dobbiao epre pecificare. Ma allora, quando viaggiao in autoobile, coe fa il tachietro a indicare la velocità alla quale tiao andando in quel precio itante? Se lo truento indica 80 k/h, quella non è la velocità edia tenuta dall inizio del viaggio, e neeno la velocità edia tenuta nell ultia ezz ora: 80 k/h è la velocità alla quale tiao andando nel precio itante in cui facciao la lettura! Proprio per queto i chiaa velocità itantanea, e il problea diventa coe i può iurare una velocità itantanea?. La ripota è eplice: quella che i iura è in realtà una velocità edia, olo che l intervallo è piccolo ed in pratica non ce ne accorgiao. Per capire queto concetto conviene tudiare il funzionaento di uno truento ben precio: il tachietro da bicicletta, al quale è dedicato il proio paragrafo.
Lezione 4 - pag.3 Per ora oerviao oltanto che: quando il oto è unifore la velocità itantanea coincide con quella edia. Quindi il problea di definire la velocità itantanea i pone quando la rapidità con cui un corpo i uove cabia con il tracorrere del tepo. 4.3. Il tachietro da bicicletta Il tachietro da bicicletta, cioè lo truento che ne iura la velocità, funziona coì: un agnete fiato ad un raggio paa, ad ogni giro della ruota anteriore, davanti ad un enore fiato alla forcella. Il enore, ad ogni paaggio del agnete, eette un ipulo elettrico che viene inviato all unità centrale pota ul anubrio. L unità centrale contiene: - una cella di eoria, nella quale i iagazzina la lunghezza della circonferenza della ruota; - un contatore, che regitra gli ipuli traei dal enore; - un cronoetro, che ad intervalli regolari (ad eepio ogni 3 econdi) azzera il contatore; Per calcolare la velocità i procede coì: - i prende il nuero indicato dal contatore ubito pria che venga azzerato; - lo i oltiplica per il contenuto della cella di eoria: coì facendo i trova la ditanza percora dall ultia volta che il contatore era tato azzerato; - i divide il riultato per l intervallo di tepo che paa tra un azzeraento e l altro (nel notro eepio 3 econdi); Dunque lo truento che abbiao decritto non ci dice la velocità con cui ci uoviao nell itante in cui lo guardiao, benì la velocità edia con cui ci iao oi dall ultia volta in cui era tato azzerato il contatore. Siccoe il contatore viene azzerato ogni tre econdi, l intervallo è piccolo e quai non ci accorgiao della differenza. Va bene: a e voleio apere qual è la velocità della bicicletta nel precio itante in cui facciao la lettura? Non eite alcun etodo, baato ulla iura di tepi e ditanze percore, che ci peretta di ripondere a queta doanda! Tutto quello che poiao fare con etodi di queto tipo è iurare la velocità edia antenuta in un piccolo intervallo che precede l'itante che ci interea. Poiao coì dare la eguente definizione: la velocità è il rapporto tra ditanza percora e tepo ipiegato, quando l'intervallo di tepo che conideriao è coì breve che nel coro di eo il raporto non ubice variazioni apprezzabili
Lezione 4 - pag.4 La grandezza che fino ad ora abbiao indicato con la locuzione "velocità itantanea" (per ditinguerla da quella edia) i chiaa epliceente "velocità". 4.4. Velocità e grafico tepo poizione Ragioniao di nuovo ull auto che catta al via, decritta dal grafico tepo poizione di figura 4.1. Ora ci chiediao: poiao dedurre dal grafico qual è la velocità dell auto tre econdi dopo che è partita? La ripota i può dare con un etodo grafico ( fig.4.2). Fig.4.2 la velocità è la pendenza della retta tangente Abbiao vito che la velocità edia in un certo intervallo è data dalla pendenza del egento che unice i punti iniziale e finale relativi a quell intervallo. La pendenza del egento EF, quindi, indica la velocità edia in un piccolo intervallo intorno all itante t3. Poiché l intervallo è piccolo, il valore che troviao è una buona approiazione della velocità. Per igliorare ulteriorente l approiazione biogna ridurre l intervallo, avvicinando i punti E e F. Più E e F ono vicini, più la pendenza del egento EF i avvicina a quella della tangente al grafico nel punto C del grafico, la cui acia è 3 econdi. In concluione: la velocità all itante t3 i ottiene calcolando la pendenza della tangente al grafico tepo poizione nel punto corripondente all itante t3. Per calcolare la pendenza della tangente uiao due punti ditanti, coe G e H: dobbiao infatti leggere ul grafico le coordinate dei punti, e in queta operazione c è un argine di incertezza: l incertezza è percentualente tanto più rilevante quanto più ono piccoli i nueri ui quali lavoriao. Calcoliao perciò la pendenza di GH: con qualche approiazione poiao attribuire a G le coordinate (1.5, 0 ) e ad H le coordinate (5, 64 ). Per la velocità otteniao allora:
Lezione 4 - pag.5 64 velocità pendenza del egento GH 3.5 18 4.5. Il grafico tepo - velocità Abbiao vito che il grafico tepo poizione regitra, itante per itante, la poizione aunta da un oggetto che i uove. Ora che abbiao definito la velocità, in odo analogo poiao introdurre un grafico che regitra itante per itante la lettura di un tachietro che iura la velocità dell oggetto in oto. Il grafico tepo velocità riporta ull'ae delle acie il tepo e u quello delle ordinate la velocità che un oggetto in oviento poiede in quell'itante. Un grafico di queto tipo è olto iportante quando i tudia un oto non unifore. Per eepio interpretando il grafico tepo velocità del oto di un ciclita ( fig.4.6) poiao dedurne olte inforazioni: Fig.4.6 grafico tepo velocità di un ciclita - Le letture del tachietro ono tate fatte a intervalli di dieci econdi l una dall altra; - Non appiao coe la velocità ia cabiata nei dieci econdi che eparano due letture ucceive: facciao quindi l ipotei più eplice, e cioè che la variazione ia tata graduale e regolare, enza iprovvii alti; - Il viaggio decritto dura 140 econdi, cioè 2 inuti e 20 econdi; - Il ciclita parte da fero; - La ua velocità auenta nei prii 60, fino a raggiungere il valore di 10 /; - Queto valore di velocità viene antenuto per 20 ; - La velocità, dall'ottanteio econdo in poi, coincia a riduri progreivaente, fino a diventare zero dopo 2 inuti e 20 econdi dalla partenza.