ALGEBRA LINEARE I (A) per Scienze Statistiche, SGI, a.a. 2014/2015

ALGEBRA LINEARE I (A) per Scienze Statistiche, SGI, a.a. 4/5 Gemma Parmeggiani Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica via Trieste 63 353 Padova Programma del corso. Nota : Osservazioni sul rango di una matrice. Nota : Basi dello spazio delle colonne di una matrice: applicazioni. Nota 3: Calcolo di determinanti. Esercizi Tipo. Testi degli esercizi per casa. Svolgimenti degli esercizi per casa.

PROGRAMMA SVOLTO Programma svolto nella prima settimana: /3/5 Presentazione del corso. La forma algebrica, il coniugato ed il modulo di un numero complesso. Proprietà del coniugato e del modulo di un numero complesso. La forma algebrica dell inverso di un numero complesso non nullo. Enunciato del Teorema fondamentale dell Algebra. Matrici. Esempi. Dal libro: Appendice A: da pag. 67 a pag. 7. Pag. 73. Da pag. a pag. 3. Esercizi per casa: Esercizi e degli Esercizi. 4 /3/5 Prodotto di una matrice per uno scalare. Somma di due matrici. Prodotto righe per colonne di matrici. Esempi. Proprietà del prodotto per uno scalare, della somma di matrici, del prodotto righe per colonne. Il prodotto righe per colonne non è commutativo. Trasposta, coniugata ed H-trasposta di una matrice. Dal libro: Da pag. 4 a pag. 7. Pag. 9. Da pag. a pag. 3. Esercizi per casa: Esercizi 3, 4 e 5 degli Esercizi. Programma svolto nella seconda settimana: 9/3/5 Tipi di matrici. Sottomatrici. Matrici a blocchi. Operazioni a blocchi. Casi particolari di decomposizioni a blocchi. Dal libro: Pag. 4. Da pag. 7 a pag.. /3/5 Scrittura matriciale di un sistema lineare. Eliminazione di Gauss (EG). Forma ridotta di Gauss di una matrice, colonne dominanti, colonne libere. Esempi. Risoluzione di sistemi lineari. Domanda (a) dell Esercizio Tipo. Dal libro: Pag. 8. Da pag. a pag. 3. Esercizi per casa: Esercizio e domanda (b) dell esercizio 3 degli Esercizi. Programma svolto nella terza settimana: 6/3/5 Domande (b) e (c) dell Esercizio Tipo. Esercizio Tipo. Rango di una matrice. Imverse destre e sinistre. Esempi. Dal libro: Da pag. 3 a pag. 3. Nota (file sulla pagina web).

Esercizi per casa: Finire gli Esercizi. 8 /3/5 Inverse bilatere. Esistenza e costruzione delle inverse destre e delle inverse sinistre. Esercizio Tipo 3 e 3 bis. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell inversa. Esercizio Tipo 4. Inverse di matrici. Dal libro: Da pag 3 a pag. 35. Da pag. 4 a pag. 46. Esercizi per casa: Tutti gli Esercizi 3. Programma svolto nella quarta settimana: 3/3/5 Matrici elementari, loro inverse e trasposte. Decomposizione LU. Esercizio Tipo 5. Dal libro: Da pag. 47 a pag. 5. Esercizi per casa: Esercizi,, 3 e 4 degli Esercizi 4. 5 /3/5 Decomposizione P T LU. Esercizio Tipo 6. Spazi vettoriali. Esempi. Dal libro: Da pag 5 a pag. 57. Da pag. 63 a pag. 64. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi 4. Programma svolto nella quinta settimana: 3/3/5 Sottospazi di spazi vettoriali. Esempi. Insiemi di vettori. Sottoinsiemi ed unioni di insiemi di vettori. Combinazioni lineari. Dal libro: Da pag. 65 a pag. 7. Esercizi per casa: Esercizi,, 3, 4 e 5 degli Esercizi 5. /4/5 Sottospazi generati da insiemi di vettori. Insiemi di generatori. Esempi. Esercizio Tipo 7. Insiemi linearmente indipendenti ed insiemi linearmente dipendenti. Esercizio Tipo 8. Dal libro: Da pag 7 a pag. 78. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi 5. Programma svolto nella sesta settimana: 3/4/5 Proprietà degli insiemi di generatori, degli insiemi linearmente indipendenti e degli insiemi linearmente dipendenti. Basi. Esempi di basi. Come estrarre una base da un insieme di generatori. Esercizio Tipo 9. 3

Dal libro: Da pag. 78 a pag. 83. Esercizi per casa: Esercizi, e 3 degli Esercizi 6. 5/4/5 Equipotenza delle basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Definizione di somma e di somma diretta di sottospazi. I 4 sottospazi fondamentali di una matrice; calcolo di loro basi. Esercizio Tipo. Dal libro: Da pag. 83 a pag. 89. Da pag. 98 a pag. 4. Esercizi per casa: Esercizi 4, 5 e 6 degli Esercizi 6. Programma svolto nella settima settimana: /4/5 Basi dello spazio delle colonne di una matrice: applicazioni. Basi ordinate e mappe delle coordinate. Dal libro: Nota (file sulla pagina web). Da pag. 5 a pag. 7. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi 6. /4/5 Applicazioni lineari. Esempi. L applicazione lineare indotta da una matrice. Spazio nullo e spazio immagine di un applicazione lineare. Matrice associata ad un applicazione lineare rispetto a fissate basi ordinate su dominio e codominio. Esercizio Tipo. Matrice di passaggio da una base ordinata ad un altra. Esercizio Tipo. Dal libro: Da pag. 8 a pag.. Esercizi per casa: Esercizi,, 3 e 4 degli Esercizi 7. Programma svolto nella ottava settimana: 7/4/5 Come cambia la matrice associata ad un applicazione lineare rispetto a fissate basi ordinate su dominio e codominio cambiando le basi. Esercizio Tipo 3. Interpretazione geometrica di R ed R 3. Regola del paralelogramma. Dal libro: Da pag. a pag. 3. Appendice C: da pag. 85 a pag. 9. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi 7. 9/4/5 Definizione di norma. Le norme.,. e.. Il coseno dell angolo tra due vettori in R. Prodotti interni. Il prodotto interno standard. La norma indotta da un prodotto interno. Il coseno dell angolo tra due vettori in uno spazio vettoriale euclideo. Dal libro: Da pag. 9 a pag. 33. Esercizi per casa: Tutti gli Esercizi 8. 4

Programma svolto nella nona settimana: 4/5/5 Vettori ortogonali in uno spazio euclideo. Insiemi ortogonali e basi ortogonali. Basi ortonormali. L algoritmo di Gram-Schmidt. Prima parte dell Esercizio Tipo 4. Dal libro: Pag. 33. Da pag 4 a pag. 5. Esercizi per casa: Esercizi e degli Esercizi 9. 6/5/5 Seconda parte dell Esercizio Tipo 4. Il complemento ortogonale di un sottospazio di uno spazio euclideo. La proiezione ortogonale di un vettore di uno spazio euclideo su di un sottospazio, ed il suo calcolo. Esercizio Tipo 5. Dal libro: Da pag. 33 a pag. 4. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi 9. Programma svolto nella decima settimana: /5/5 Decomposizione Q R -non-normalizzata di una matrice. Decomposizione QR -normalizzata di una matrice. Matrice di proiezione sullo spazio delle colonne di una matrice. Esercizio Tipo 6. Dal libro: Pag. 5. Da pag 54 a pag. 57. Esercizi per casa: Esercizi e degli Esercizi. 3/5/5 Approssimazione ai minimi quadrati e sistema delle equazioni normali. Esercizio Tipo 7. Dal libro: Da pag. 57 a pag. 58. Da pag. 6 a pag. 6. Esercizi per casa: Esercizi 3 e 4 degli Esercizi. Programma svolto nella undicesima settimana: 8/5/5 Calcolo di determinanti. Dal libro: Prima parte della Nota 3 (file sula pagina web). Esercizi per casa: Finire gli Esercizi. /5/5 Poprietà dei determinanti. Esercizio Tipo 8. Definizione di autovalori, autovettori ed autospazi. Dal libro: Da pag. 9 a pag. 94. 5

Esercizi per casa: Esercizi, e 3 degli Esercizi. Programma svolto nella dodicesima settimana: 5/5/5 Proprietà del polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Esercizio Tipo 9. Dal libro: Da pag. 94 a pag. 99. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi ed esercizio degli Esercizi. 7/5/5 Esercizio Tipo. Traccia e determinante come somma e prodotto degli autovalori. Esercizio Tipo. Indipendenza di autospazi distinti. Dal libro: Da pag. a pag. 3. Esercizi per casa: Esercizi e 3 degli Esercizi. Programma svolto nella tredicesima settimana: 3/6/5 Caratterizzazione delle matrici diagonalizzabili. Esercizio Tipo. Dal libro: Da pag. 3 a pag. 4. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi. Programma svolto nella quattordicesima settimana: 8/6/5 Matrici unitariamente triangolarizzabili e teorema di Schur. Matrici unitariamente diagonalizzabili e teorema spettrale. Esercizio Tipo 3. Dal libro: Pag. 6. Pag. 3. Da pag. 9 a pag.. Esercizi per casa: Esercizi, 3 e 4 Esercizi 3. /6/5 Esercizi. Esercizi per casa: Finire gli Esercizi 3. 6

Nota : Osservazioni sul rango di una matrice Sia A una matrice m n. Se U ed U sono due forme ridotte di Gauss per A, allora il numero delle righe non nulle di U è uguale al numero delle righe non nulle di U. Ció dipende dal fatto che l esistenza di diverse forme ridotte di Gauss per una matrice dipende esclusivamente dalla eventuale possibilità di fare delle scelte negli scambi di righe in una EG su A, e gli scambi di righe non decrescono il numero delle righe non nulle. Il numero delle righe non nulle di una forma ridotta di Gauss di A dipende quindi esclusivamente da A (e non dalle operazioni elementari che si fanno in una EG su A) e si chiama il rango di A (piú avanti nel corso daremo un altra definizione di rango di una matrice, equivalente a questa). Si indica con il simbolo rk(a). Siano A una matrice m n di rango k ed U una forma ridotta di Gauss per A. Poichè ogni scalino di U è alto una riga, allora k numero delle righe non nulle di U numero delle colonne dominanti di U. 3 Se A una matrice m n di rango k allora k m e k n. Infatti se U è ua forma ridotta di Gauss per A allora U è m n e k numero delle righe non nulle di U numero delle righe di U m k numero delle colonne dominanti di U numero delle colonne di U n 7

Nota : Basi dello spazio delle colonne di una matrice: applicazioni. Siano v ; v ;... ; v n K m con K {R, C}, S {v ; v ;... ; v n } e W S il sottospazio di K m generato da S. Per trovare una base B di W contenuta in S, piuttosto che procedere come nell Esercizio Tipo 9, conviene: () costruire una matrice m n A le cui colonne siano gli elementi di S. Ad esempio: A ( v v... v n ) ; () fare una EG su A, trovando una forma ridotta di Gauss U per A; (3) se u i, u i,..., u ik sono le colonne dominanti di U, allora B {v i ; v i ;... ; v ik }, ossia l insieme delle colonne di A corrispondenti alle colonne dominanti di U, è una base di C(A) v ; v ;... ; v n W contenuta in S. Siano v ; v ;... ; v n K n, con K {R, C}, e B {v ; v ;... ; v n }. Per verificare se B è o meno una base di K n, piuttosto che verificare se B è un insieme di generatori linearmente indipendente di K n, conviene considerare la matrice n n A ( v v... v n ) (ossia una matrice le cui colonne siano gli elementi di B ). Da C(A) K n segue che dim C(A) rk(a) n C(A) K n ; inoltre, dal momento che B ha n elementi e contiene una base di C(A), dim C(A) rk(a) n ogni base di C(A) ha n elementi B è una base di C(A). Quindi dim C(A) rk(a) n B è una base di K n. 8

Nota 3: Calcolo di determinanti Sia A una matrice quadrata di ordine n. Il determinante di A è un numero che dipende da A. Esso si indica con il simbolo det(a), oppure Det(A). Impariamo a calcolarlo, cominciando con i casi n,, 3. Il caso n. Se A a, è Det(A) a. a a Il caso n. Se A, è Det(A) a a a a a a. Esempio. Il determinante di A 3 è Det(A) 5 3 4. 4 5 a a Abbiamo detto che Det a a a a a a. Osserviamo che a a a ( ) + Det a a ( ) (la somma degli indici di a) Det a e a ( ) (la somma degli indici di a ) il determinante della matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna di A ( il determinante della matrice che si ottiene da A ) a ( ) (la somma degli indici di a) sopprimendo la riga e la colonna in cui si trova a a a a ( ) + Det a a ( ) (la somma degli indici di a) Det a a ( ) (la somma degli indici di a ) il determinante della matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna di A ( il determinante della matrice che si ottiene da A ) a ( ) (la somma degli indici di a) sopprimendo la riga e la colonna in cui si trova a. Indicando con i simboli C C ed inoltre abbiamo: la matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna, la matrice che si ottiene da A sopprimendo la a riga e la a colonna, A ( ) + DetC, A ( ) + DetC, a a Det a a a A + a A. 9

Si tenga a mente ( che a ed a sono gli elementi della a riga di A. a a Quindi se A a a ( () mettere in evidenza gli elementi della a a a riga di A: a a ), quello che abbiamo fatto per calcolare Det(A) è stato: () per ciascuna posizione (, j) della a riga di A (posto (, ) e posto (, )) costruire la matrice C j (ottenuta sopprimendo da A la a riga e la j esima colonna di A), calcolare Det(C j ), calcolare ( ) +j, calcolare A j ( ) +j Det(C j ), (3) calcolare il prodotto A a a. A Il caso n3. Sia A a a a 3 a a a 3. Per calcolare Det(A) procediamo come nel a 3 a 3 a 33 caso n. a a a 3 () Mettiamo in evidenza gli elementi della a riga di A: a a a 3. a 3 a 3 a 33 () per ciascuna posizione (, j) della a riga di A (posto (, ), posto (, ) e posto (, 3)) costruiamo la matrice C j (ottenuta sopprimendo da A la a riga e la j esima colonna di A): a a C 3 a a, C a 3 a 3 a a, C 33 a 3 a 3. 33 a 3 a 3 calcoliamo Det(C j ), usando il caso n, ossia il caso precedente a quello che stiamo analizzando ora (che è n 3): a a DetC Det 3 a a 3 a a 33 a 3 a 3, ( 33 ) a a DetC Det 3 a a 3 a a 33 a 3 a 3, ( 33 ) a a DetC 3 Det a a 3 a a 3 a a 3, 3 calcoliamo ( ) +j : ( ) +, ( ) +, ( ) +3, calcoliamo A j ( ) +j Det(C j ): A ( ) + DetC a a 33 a 3 a 3, A ( ) + DetC (a a 33 a 3 a 3 ), A 3 ( ) +3 DetC 3 a a 3 a a 3. ),

(3) Il determinante di A è il prodotto Det a a a 3 a a a 3 a a a 3 A A a A + a A + a 3 A 3 a 3 a 3 a 33 A 3 a ( ) + DetC + a ( ) + DetC + a 3 ( ) +3 DetC 3 Esempio. Calcoliamo il determinante della matrice A 3 4. 6 3 In questo caso abbiamo per cui DetA a 3, a, a 3, 4 4 C, C 6 3, C 3 3, 6 4 4 3( ) + Det + ( )( ) 6 3 + Det + ( ) 3 +3 Det 6 3(3 4) + ( )( )( 8) + ( ) 3( ) 6 8. Quello che abbiamo fatto è quindi: (a) per le matrici porre Det ( a ) a, (b) dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici sapendo come calcolare il determinante delle matrici, ossia dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici nel caso n sapendo come calcolare il determinante delle matrici nel caso precedente, cioè il caso n (si veda il punto (a)), (c) dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici 3 3 sapendo come calcolare il determinante delle matrici, ossia dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici nel caso n 3 sapendo come calcolare il determinante delle matrici nel caso precedente, cioè il caso n (si veda il punto (b)). Procediamo quindi allo stesso modo, dando una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici n n sapendo come calcolare il determinante delle matrici (n ) (n ), ossia dare una formula che permetta di calcolare il determinante delle matrici nel caso n sapendo come calcolare il determinante delle matrici nel caso precedente, cioè il caso n. Sia dunque A a ij una matrice n n. definizione: Cominciamo con il dare la seguente

Def.. Per ogni i n e j n si chiama matrice complementare dell elemento a ij od anche matrice complementare di posto (i,j) in A, e si indica con il simbolo C ij, la matrice che si ottiene da A sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna. Dunque C ij è una matrice (n ) (n ). i 3 4 7 3 8 Esempio 3. Se A + i 5 5 7 6i 5i 4i, allora 7 + i 34 4 6i 4i i 3 4 7 3 8 + i 5 5 7 6i 5i 4i 7 + i 34 4 6i 4i i 3 + i 5 7 6i 4i C 4; 7 + i 34 4i togliendo la a riga e la 4 a colonna i 3 4 7 3 8 + i 5 5 7 6i 5i 4i 7 + i 34 4 6i 4i i 3 4 7 3 + i 5 5 C 35. 7 + i 34 4 6i togliendo la 3 a riga e la 5 a colonna Def.. Per ogni i n e j n si chiama cofattore di posto (i,j) di A, e si indica con il simbolo A ij, il numero A ij ( ) i+j Det (C ij ), dove C ij è la matrice complementare di posto (i, j) in A.

Si ha: Formula del determinante di una matrice sviluppato rispetto alla a riga se A a ij è una matrice n n allora DetA a A + a A +... + a,n A,n + a n A n dove A, A,..., A,n, A n sono i cofattori di A di posti (, ), (, ),..., (, n ), (, n) (ossia i posti della a riga) rispettivamente. 5 3 Esempio 4. Calcoliamo il determinante della matrice A 6 4. 7 5 Usando la formula dello sviluppo del determinante rispetto alla a riga di A abbiamo: DetA A + ( 5) A + A 3 + 3 A 4 A 5A + 3A 4. Dobbiamo quindi calcolare A, A ed A 4. A ( ) + Det 4 7 5 Det 4 7 5 ( ) + Det + ( ) 5 + Det + 4( ) 7 +3 Det 7 5 A ( ) + 4( ), ( ) + Det 6 4 5 Det 6 4 5 (6( ) + Det + ( ) 5 + Det + 4( ) +3 Det ) 5 (6( ) + 4( )) ( 6 4), 3

A 4 ( ) +4 Det 6 7 5 Det 6 7 5 (6( ) + Det + ( ) 7 5 + Det + ( ) 5 +3 Det ) 7 (6( ) ( )) ( ). Dunque otteniamo: DetA A 5A + 3A 4 5 + 3( ) 58. Si puó dimostrare il seguente Teorema. Sia A una matrice n n. Allora, fissato i {,..., n} si ha che a i A i +a i A i +...+a i,n A i,n +a in A in a A +a A +...+a,n A,n +a n A n, ossia che ( ) DetA a i A i + a i A i +... + a i,n A i,n + a in A in. ( ) si chiama lo sviluppo di Laplace del determinante di A rispetto alla i- esima riga di A. Quindi, per calcolare il determinante di una matrice A, si puó partire mettendo in evidenza gli elementi di una riga qualunque, e non necessariamente la a, come abbiamo fatto fino ad ora. a a Esempio 5. Sia A una matrice. Sviluppiamo il determinante a a di A rispetto alla a riga di A: mettiamo in evidenza gli elementi della a riga di A: a a, a a C è la matrice che si ottiene da A togliendo la a riga e la a colonna, quindi C ( a ) ; C è la matrice che si ottiene da A togliendo la a riga e la a colonna, quindi C ( a ). 4

Allora a A + a A a ( ) + DetC + a ( ) + DetC a Det ( a ) + a Det ( a ) a a + a a a a a a dà lo stesso risultato che abbiamo ottenuto partendo dalla a riga. Conviene quindi sviluppare il determinante rispetto alla riga che contiene piú zeri. 5 3 Esempio 6. Riconsideriamo la matrice dell Esempio 4, A 6 4, 7 5 e calcoliamo il suo determinante rispetto alla 3 a riga (che contiene due zeri). Allora 5 3 5 DetA ( )( ) 3+ Det 4 + ( ) 3+4 Det 6. 7 5 7 5 Calcoliamo separatamente Det 5 3 4 e Det 5 6. 7 5 7 5 Per entrambe queste matrici 3 3 non è conveniente calcolare il determinante rispetto alla 3 a riga, ma è indifferente scegliere la a o la a. Per fare esercizio scegliamo in entrambi i casi la a riga: Det 5 3 4 3 5 ( ) + Det + 4( ) 5 +3 Det 7 5 7 5 ( 5) 4( 5 ) 3 + 3 Det 5 6 5 6( ) + Det + ( ) 7 5 + Det 5 7 5 6( 5 ) + (5 ) 5 + 6 Quindi Det(A) ( ) 3 + ( ) 6 58 (lo stesso numero che avevamo ottenuto sviluppando il determinante rispetto alla a riga). Cosí come si puó sviluppare il determinante di una matrice rispetto ad una qualunque sua riga, lo si puó sviluppare rispetto ad una qualunque sua colonna, dal momento che vale il seguente 5

Teorema. Sia A una matrice n n. Allora, fissati j {,..., n} e si ha che ( ) DetA a j A j + a j A j +... + a n,j A n,j + a nj A nj. ( ) si chiama lo sviluppo di Laplace del determinante di A rispetto alla j-esima colonna di A. Conviene quindi sviluppare il determinante rispetto alla riga oppure alla colonna che contiene piú zeri. 5 3 Esempio 7. Riconsideriamo la matrice degli Esempi 4 e 6, A 6 4, 7 5 e calcoliamo il suo determinante rispetto alla 3 a colonna (che contiene tre zeri). Allora DetA ( ) +3 Det 6 4 + ( ) +3 Det 5 3 + 7 7 + ( ) 3+3 Det 5 3 6 4 + 5( ) 4+3 Det 5 3 6 4 7 5Det 5 3 6 4 Calcoliamo Det 5 3 6 4, ad esempio rispetto alla a colonna: Det 5 3 6 4 ( 5)( ) + Det 6 4 + ( ) + Det ( 5)( )( + 8) + ( + 6) + 6 6 3 + ( ) 3+ Det 3 6 4 quindi Det(A) ( 5) 6 58 (si noti che è lo stesso numero che abbiamo ottenuto sviluppando il determinante rispetto alla a oppure alla 3 a riga). 6

Proprietà del determinante. Sia A una matrice n n. () Se A ha una riga (risp. una colonna) nulla, oppure se A ha due righe (risp. due colonne) uguali, allora Det(A). () Se A è la matrice che si ottiene da A mediante lo scambio di due righe (risp. due colonne) allora Det(A ) Det(A). (3) Se A è la matrice che si ottiene da A sommando ad una riga (risp. ad una colonna) di A un altra riga (risp. un altra colonna) di A moltiplicata per un numero c, allora Det(A ) Det(A). (4) Se A è la matrice che si ottiene da A moltiplicando una riga (risp. una colonna) di A per un numero c, allora Det(A ) cdet(a). (5) Det(A T ) Det(A). (6) Se B è un altra matrice n n allora Det(AB)Det(A) Det(B). (7) A è non singolare se e solo se Det(A), e se A è non singolare si ha Det(A ) Det(A). N.B. Per quanto riguarda ( la ) proprietà (7), si ricordi che avevamo già osservato che a b una matrice A è non singolare se e solo se il numero ad bc, e c d tale numero è proprio Det(A). Esercizio. Si provi che il determinante di una matrice triangolare superiore (risp. inferiore) è il prodotto degli elementi diagonali. Sia T una matrice n n triangolare superiore (la dimostrazione è simile per le matrici triangolari inferiori): Chiamiamo: t t t 33 T t 44..... O........ t nn. 7

T la matrice che si ottiene da T sopprimendo la a riga e la a colonna (T è triangolare superiore (n ) (n )): t t 33 t 44 T...., O... t nn T la matrice che si ottiene da T sopprimendo la a riga e la a colonna (T è triangolare superiore (n ) (n )): t 33 t 44 T...., O... t nn e cosí via per ogni k,..., n chiamiamo T k la matrice che si ottiene da T k sopprimendo la a riga e la a colonna. T k è una matrice triangolare superiore (n k) (n k). Sviluppiamo il determinante di T ripetto alla a colonna di T: DetT t ( ) + DetT t DetT. Sviluppiamo il determinante di T ripetto alla a colonna di T : DetT t DetT t (t ( ) + DetT ) t t DetT. Cosí procedendo otteniamo: In particolare da ció segue: DetT t t DetT t t t 33 DetT 3 t t t 33 t 44 DetT 4... t t... t n,n DetT n t t... t n,n Det ( t nn ) t t... t n,n t nn. Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi diagonali, 8

poichè le matrici diagonali sono particolari matrici triangolari superiori. Esercizio. Si ha: Sia A una matrice n n. Si provi che per ogni scalare c si ha: Det(cA) c n Det(A). Det(cA) Det((cI n )A) Det(cI n )Det(A). Poichè ci n è una matrice scalare n n, in particolare una matrice diagonale, per l esercizio precedente si ha che Det(cI n ) prodotto degli elementi diagonali di ci n. Tali elementi sono tutti uguali a c, ed il loro prodotto ha n fattori (perchè ci n è n n), dunque Det(cI n ) c n, per cui Det(cA) c n Det(A). 9

ESERCIZIO TIPO Risolvere il sistema lineare Ax b nei tre seguenti casi: (a) : A 4 3 e b ; 3 3 7 3 (b) : A 4 e b ; 6 3 4 4 8 4 (c) : A 3 e b. (a) Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema: A b 4 3 E3( 3)E( )E( ) 3 3 7 E 3 ( ) ( U d ) Poichè d è dominante, allora Ux d, e quindi anche Ax b, non ha soluzioni. (Infatti: il sistema Ax b è equivalente al sistema Ux d, che è una scrittura compatta per x + x + x 3 ( ) x 3, e poichè l ultima equazione di ( ) non ha soluzioni, ( ) non ha soluzioni). (b) Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema: 3 A b 4 E 3 3( ) 4 6 3 4 E 3( )E ( ) 3 ( U d ). Il sistema Ax b è equivalente al sistema Ux d, che è una scrittura compatta per { x + 3x x 3 + x 4 x 3 + x 4.

Poichè d è libera, Ux d ammette soluzioni. Poichè U ha esattamente due colonne libere (la a e la 4 a ), Ux d ha soluzioni. Scegliamo come parametri le variabili corrispondenti alle colonne libere di U e con la sostituzione all indietro otteniamo: x h x 4 k x 3 x 4 + k + x 3x + x 3 x 4 3h + ( k + ) k 3h 5k + Dunque l insieme delle soluzioni di Ux d, e quindi anche Ax b è 3h 5k + h k + h, k C. k (c) Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema: 4 8 4 A b 3 E 3 E 4 ( )E 3 ( )E ( 4 ) ( U d ) Il sistema Ax b è equivalente al sistema Ux d, che è una scrittura compatta per x + x + x 3 x + x 3 x 3 Poichè d è libera, Ux d ammette soluzioni. Poichè U non ha colonne libere, Ux d ha esattamente una soluzione. Con la sostituzione all indietro otteniamo: x 3 x x 3 x x x 3 ( ) 4 Dunque l unica soluzione di Ux d, e quindi anche di Ax b, è il vettore v.

ESERCIZIO TIPO Si risolva il sistema lineare A(α)x b(α) dipendente dal parametro complesso α dove 3 3α 3 3α A(α) α + α + α α + i e b(α) α + α. α α + 3 Troviamo una forma ridotta di Gauss della matrice aumentata del sistema. 3 3α 3 3α A(α) b(α) α + α + α + E 3 ( )E ( )E ( 3 ) α α + i α α α + 3 α α α α i α α + 3 ( B(α) c(α) ). E 4( ) α α α α i α + i i CASO α i B(i) c(i) i è una forma ridotta di Gauss per ( A(i) b(i) ), quindi A(i)x b(i) è equivalente a B(i)x c(i) che è una forma compatta per ( ) { x + ix + x 3 i x + ix 3 Poichè c(i) è libera, B(i)x c(i) ammette soluzioni. Poichè B (i) ha esattamente una colonna libera, B(i)x c (i) ha soluzioni. Scegliamo come parametro la variabile corrispondente alla colonna libera di B(i) (la 3 a ) e con la sostituzione all indietro da ( ) otteniamo x 3 h x ix 3 + ih + x ix x 3 + i i( ih + ) h + i h i h + i h L insieme delle soluzioni del sistema B(i)x c(i) ( quindi di quelle del sistema A(i)x b(i) ) è h ih + h C. h

CASO α i α α B(α) c(α) α α i α + α α α α + E 4( α i ) E 3 ( α i ) α α α (C(α) d(α)). α + i i i Sottocaso α i C( i) d( i) i è una forma ridotta di Gauss per ( A( i) b( i) ), quindi Ā( i)x b( i) è equivalente a C( i)x d( i) che è una forma compatta per x ix + x 3 i ( ) x ix 3 x 3 Poichè d( i) è libera, C( i)x d( i) ammette soluzioni. Poichè tutte le colonne di C( i) sono dominanti, C( i)x d( i) ammette un unica soluzione. Con la sostituzione all indietro da ( ) otteniamo x 3 x ix 3 + x ix x 3 i i i L unica soluzione di C( i)x d( i) ( e quindi di A( i)x b( i) ) è Sottocaso α / {i, i} α α (C(α) d(α)) α α + i v. E 4( α+i ) α α α (D(α) e(α)) è una forma ridotta di Gauss per ( A(α) b(α) ). Poichè e(α) è dominante, D(α)x e(α) ( e quindi di A(α)x b(α) ) non ammette soluzioni. 3

ESERCIZIO TIPO 3 Si trovino tutte le inverse destre della matrice A. Un inversa destra di A è una matrice 3 R tale che se R ( c c ), allora ( c è soluzione di () Ax e e ) c è soluzione di () Ax e. Cerchiamo tutte le soluzioni di () e (). ( A I ) E( ) U b b. () è equivalente a ( ) Ux b che è una forma compatta per { x x 3 x + x 3 Scegliamo come parametro la variabile corrispondente all unica colonna libera di U (la 3 a ) e con la sostituzione all indietro otteniamo x 3 h x h x + h L insieme delle soluzioni di () è h + h h C. h () è equivalente a ( ) Ux b che è una forma compatta per { x x 3 x + x 3 Scegliamo come parametro la variabile corrispondente all unica colonna libera di U (la 3 a ) e con la sostituzione all indietro otteniamo x 3 k x k x k 4

L insieme delle soluzioni di () è k k + k C. k Le inverse destre di A sono esattamente tutte le matrici del tipo R(h, k) h + k h k +, al variare di h, k C. h k ESERCIZIO TIPO 3 bis Si trovino tutte le inverse sinistre della matrice A.. Poniamo b A T.. Cerchiamo tutte le inverse destre di B. Dall ESERCIZIO TIPO 3 sappiamo che h + k sono tutte e sole le matrici del tipo h k + con h, k C. h k 3. Una matrice è inversa sinistra di A se e solo se è la trasposta di una inversa destra di B. Quindi le inverse sinistre di A sono esattamente tutte le matrici del tipo ( h + h ) h k k + k al variare di h, k C. 5

ESERCIZIO TIPO 4 Sia A(α) α α α, non singolare, si calcoli A(α). dove α R. Per quegli α R per cui A(α) è α α A(α) I3 α E ( α+)e ( α ) α α α α α α α E ( α ) Se α / {, } A(α) α α α α : A() non ha inversa E 3 α : A() non ha inversa E 3 ( α ) E 3( ) α(α ) α α α(α ) α α( α) α α α α α α α α α. ( I 3 A(α) ). 6

ESERCIZIO TIPO 5 α 3α 3 α Sia A(α) α + 4 6 α 6, dove α C. α 3α + α + 5 Per ogni α / {, i, i} si trovi una decomposizione A(α) L(α)U(α), scrivendo anche L(α) come prodotto di matrici elementari. α 3α 3 α A(α) α + 4 6 α 6 α 3α + α + 5 3 α + 4 α 5 α 3 α B(α) 5 α E 4 ( α)e 3 ( )E ( α ) α E 4 ( )E ( α ) α / {i, i} +4 o CASO α 5 (nonchè α, i, i) 3 B(α) α 5 α E 43( 5+α)E 3( α ) 3 U(α) α α L(α) + 4 α α 5 α E (α )E 3 ()E 4 (α)e (α + 4)E 4 ()E 3 (α )E 43 (5 α) 7

o CASO α 5 3 B(5) U(5) 4 9 L(5) E (4)E 3 ()E 4 (5)E (9)E 4 () 5 N.B. Se α {, i, i} non è possibile trovare una forma ridotta di Gauss di A(α) senza fare scambi di righe, quindi A(α) NON ha una decomposizione L(α)U(α). 8

ESERCIZIO TIPO 6 4 Sia A 6 3 6. 4 Si trovi una decomposizione A P T LU per A. Applicando l algoritmo di Gauss ad A si ottiene: 4 3 6 A 6 E 3 3 6 6 4 4 4 E 3 3 6 4 7 4 E 4(7)E ( ) 3 6 E 4()E () E 43()E 3( ) 3 6 4 7 4 3 6. Sia P E 3 E 3. Allora 4 3 6 PA 6 3 6 4 6. 4 4 Applicando l algoritmo di Gauss senza scambi di righe a PA otteniamo una decomposizione LU per PA: PA 3 6 4 6 4 E 4(7)E ( ) E 4 ( )E 3 () 3 6 E 43( )E 3( ) 3 6 4 7 4 3 6 U, 9

ed L. 7 Dunque A P T LU dove 3 6 P, L ed U. 7 SI NOTI: P ha la 3 a riga di I 4 in a posizione (procedendo dall alto verso il basso) la a riga di I 4 in a posizione la a riga di I 4 in 3 a posizione la 4 a riga di I 4 in 4 a posizione. Invertendo le righe con le posizioni, la matrice che ha la a riga di I 4 in 3 a posizione la a riga di I 4 in a posizione la 3 a riga di I 4 in a posizione la 4 a riga di I 4 in 4 a posizione è quindi (d altronde da P E 3 E 3 segue P ( PT ). P (E 3 E 3 ) E 3 E 3 E 3E 3 E T 3E T 3 (E 3 E 3 ) T P T.) H E 3 E 3 P 3

e facendo un eliminazione di Gauss su HA si ottiene: 4 6 HA 6 3 6 3 6 4 4 4 E 4 ( )E ( )E ( ) 3 5 4. 7 5 Dunque HA non ha una decomposizione LU. Quindi è fondamentale, per costruire P, l ordine in cui si moltiplicano le matrici corrispondenti agli scambi di righe effettuati (si parte dall ultimo procedendo a ritroso). 3 Dall eliminazione di Gauss fatta su A si ottiene che E 43 () E 3 ( ) E 4(7) E ( ) E 3 E 4 () E () E 3 A U. Quindi la tentazione di intuire L direttamente da questa eliminazione di Gauss è fuorviante: posto B E 43 () E 3 ( ) E 4(7) E ( ) E 4() E () il prodotto delle matrici elementari diverse da quelle corrispondenti agli scambi di righe, si ha che BPA U, e quindi PA B U, ossia B non è un buon candidato per bm L. 4 Mostriamo che esistono una forma ridotta di Gauss U per A, una matrice di permutazione P ed una matrice triangolare inferiore non singolare L tali che U U, P P, L L, ma A (P ) T L U P T LU, ossia la decomposizione A P T LU non è unica. Facciamo una eliminazione di Gauss su A scegliendo degli scambi di riga diverse da quelli scelti nell eliminazione che abbiamo fatto precedentemente. 3

4 A 6 3 6 4 4 4 7 4 4 4 5 7 8 7 E 4 E 3( 7)E ( 4 ) E 43( 8 7 ) Sia P E 4. Allora 4 6 3 6 4 4 5 7 4 4 5 7. E 3 ( )E () E 4 ( ) 4 4 P A 6 3 6 6 3 6 4 4 4 4 7 4 4 4 5 7 U. E 4 ( )E 3 ( 7)E ( 4 ) 4 5 7 8 7 E 3 ( )E () E 43 ( 8 7 ) 3

Quindi A (P ) T L U con P P, 4 U 5 7 U, 4 L 7 L. 8 7 33

ESERCIZIO TIPO 7 { Si dica se S A ; A insieme di generatori di M (R). ; A 3 3 ; A 4 } è un Per sapere ( se S) è o meno un insieme di generatori di M (R) dobbiamo verificare se a b per ogni M c d (R) esistano o meno α, α, α 3, α 4 R tali che a b c d α A + α A + α 3 A 3 + α 4 A 4 ( 3 α + α + α 3 α + α + α 3 α + α + 3α 3 α + α 3 α 4 ) + α 4 ossia se il sistema lineare ( ) α + α + α 3 a α + α + 3α 3 b α + α 3 c α 4 d nelle incognite α, α, α 3, α 4 abbia o meno soluzione per ogni a, b, c, d R. Se ( ) avesse soluzione per ogni a, b, c, d R allora S sarebbe un insieme di generatori di M (R), in caso contrario (ossia se esistono a, b, c, d R per cui ( ) non ha soluzione), no. Facendo una eliminazione di Gauss sulla matrice aumentata del sistema si ottiene a a 3 b E ( ) c b a c d d E 3( ) a b a c b + a d a b a d ( U d ). c b + a E 43 34

Poichè esistono a, b, c, d R per cui d è dominante (ad esempio si prendano a b d e c ), allora S non è un insieme di generatori di M (R) (in altre parole: poichè esistono delle matrici di M (R) che NON si possono ( esprimere ) come combinazione lineare degli elementi di S, ad esempio la matrice, allora S NON è un insieme di generatori di M (R)). 35

ESERCIZIO TIPO 8 Siano v, v, v 3. 3 4 Si dica se S {v ; v ; v 3 } C 3 è linearmente dipendente o linearmente indipendente. Siano α, β, δ C tali che α + β + δ ( ) αv + βv + δv 3 α + β + δ β + δ. 3 4 3α + 4β + δ α + β + δ Allora ( ) equivale a () β + δ. 3α + 4β + δ () è un sistema lineare nelle incognite α, β, δ. () ha sempre la soluzione nulla (ossia α β δ ). Se essa dovesse essere l unica soluzione di () (quindi se () avesse un unica soluzione) allora S sarebbe L.I., altrimenti, se () ha anche una soluzione non nulla (quindi se () ha piú di una soluzione) allora S è L.D. Vediamo allora quante soluzioni ha (). Facendo una eliminazione di Gauss sulla sua matrice aumentata si ottiene E3( 3) E3() ( U ) 3 4 L ultima colonna di ( U ), ossia, è libera, per cui () ha, come avevamo già osservato, soluzioni. Poichè non tutte le colonne di U sono dominanti, il sistema () non ha un unica soluzione, quindi S è L.D. { α + β + δ Volendo risolvere (), si ha che () è equivalente ad ( ) β + δ Scegliendo come parametro la variabile corrispondente alla colonna libera di U (la δ k 3 a ), con la sostituzione all indietro si ottiene β δ k α β δ ( k) k k 36

k Il sistema ( ) ha soluzioni: tutti gli elementi dell insieme k k C. k Prendendo ad esempio k si ottiene α δ e β : v v + v 3 è una combinazione lineare nulla di {v ; v ; v 3 } con coefficienti non tutti nulli. 37

ESERCIZIO TIPO 9 Sia W lo spazio vettoriale reale delle matrici reali triangolari superiori. L insieme { 3 6 S C ; C ; C 3 ; C 4 ; C 5 ; C 6 } 4 è un insieme di generatori di W (non ne è richiesta la verifica). Si trovi una base di W contenuta in S. Restringiamo un insieme di generatori di W. passaggio. Esistono in S vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S? C 4 è senz altro combinazione degli altri: C 4 O C + C + C 3 + C 5 + C 6, per cui togliamo subito C 4 (togliamo comunque subito tutti gli eventuali vettori di S che siano nulli), e poniamo { 3 6 S C ; C ; C 3 ; C 5 ; C 6 } 4 passaggio. S è ancora un insieme di generatori di W. Esistono in S vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S? Poichè ma anche C C 6 C + C 3 + C 5 C 6 C 6 C C + C + C 3 + C 5 possiamo togliere da S il vettore C, oppure possiamo togliere da S il vettore C 6, ottenendo ancora un insieme di generatori di W. Dunque, guardiamo se tra i vettori di S ci siano coppie di vettori di cui l uno è multiplo dell altro, e per ciascuna di queste eventuali coppie togliamo uno dei due vettori. In questo caso abbiamo individuato la coppia C, C 6 e scegliamo di togliere C 6. 38

Poniamo S { C ; C 3 ; C 3 6 ; C 5 }. 3 passaggio. S è ancora un insieme di generatori di W. Esistono in S vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S? Sia α C + α C + α 3 C 3 + α 4 C 5 O una combinazione lineare nulla dei vettori di S. Allora da 3 6 α + α + α 3 + α 4 α + α + α 3 + α 4 3α + 6α 3 α 4 si ottiene il sistema lineare, nelle incognite α, α, α 3, α 4 α + α + α 3 + α 4 3α + 6α 3 α 4 Facendo una E.G. sulla sua matrice aumentata si ha: 3 6 per cui il sistema è equivalente al sistema ( ) E ( 3 )E( ) α + α + α 3 + α 4 α + α 3 α 4 il cui insieme delle soluzioni è h h h h R Prendendo una sua soluzione non nulla, ad esempio (si ponga h ), si ottiene 39

C C + C 3 O, per cui C,C e C 3 sono combinazioni lineari degli altri elementi di S e ciascuno di loro puó essere scelto come elemento da eliminare da S. N.B.: invece C 5, non essendo combinazione lineare degli altri elementi di S, non puó essere eliminato da S. Scegliamo di togliere da S la matrice C 3 (combinazione lineare degli altri elementi di S ) e poniamo S 3 { C ; C 3 ; C 5 } 4 passaggio. S 3 è ancora un insieme di generatori di W. Esistono in S 3 vettori che siano combinazioni lineari degli altri vettori di S 3? Sia α C + α C + α 3 C 5 O una combinazione lineare nulla dei vettori di S 3. Allora da 3 α + α + α 3 si ottiene il sistema lineare, nelle incognite α, α, α 3 α + α + α 3 3α α 3 α + α + α 3 3α α 3 Si può vedere direttamente oppure facendo una E.G. sulla sua matrice aumentata: 3 E ( 3 )E( ) che l unica soluzione del sistema è quella nulla. Dunque S 3 è linearmente indipendente, ed è una base di W contenuta in S. 4

ESERCIZIO TIPO Sia A α i α + i, dove α C. i α + Per ogni α C si dica qual è rk(a α ) e si trovino una base B α di C(A α ), una base D α di R(A α ) ed una base C α di N(A α ). A α α i i + i α + E 3( )E ( ) α i i + B α α + o CASO α i : B i i U i rk(a i ), D i i, B i Per il teorema nullità + rango si ha dim N(U i ) (numero delle colonne di U i ) - rk(u i ) 3. Poichè x x x N(U i ) x + ix x 3 scegliendo come parametri le variabili corrispondenti alle colonne libere di U i (la a e la 3 a ) con la sostituzione all indietro si ottiene x h x 3 k x ix ih Quindi N(A i ) N(U i ) ih h h, k C k 4

e chiamando v l elemento di N(A i ) che si ottiene ponendo h e k e v l elemento di N(A i ) che si ottiene ponendo h e k, si ha che una base di N(A i ) è C i v i ; v. o CASO α i i B α α + i α + E 3( α+i )E( α+i ) i C α α i o Sottocaso α i : C i i U i rk(a i ), D i i ;, B i ; i 3i i Per il teorema nullità + rango si ha Poichè dim N(U i )) (numero delle colonne di U i ) - rk(u i ) 3. x x x N(U i ) x 3 { x + ix x scegliendo come parametro la variabile corrispondente alla colonna libera di U i (la 3 a ), con la sostituzione all indietro si ottiene x 3 h x x ix Quindi N(A i ) N(U i ) h C h 4

e chiamando v l elemento di N(A i ) che si ottiene ponendo h si ha che una base di N(A i ) è C i v. o Sottocaso α i, i : C α i α i E 3( α i ) i U α rk(a α ) 3, D α i ; ;, B α ; i α + i ; i α + inoltre per il teorema nullità + rango si ha dim N(U α )) (numero delle colonne di U α ) - rk(u α ) 3 3, per cui N(A α ) N(U α ) {}, e quindi C α. N.B.: Essendo in questo caso C(A α ) C 3 e dim(c(a α )) 3 dim(c 3 ), allora C(A α ) C 3 e si sarebbe potuto prendere B α {e ; e ; e 3 }. N.B.: Essendo in questo caso R(A α ) C 3 e dim(r(a α )) 3 dim(c 3 ), allora R(A α ) C 3 e si sarebbe potuto prendere D α {e ; e ; e 3 }. 43

ESERCIZIO TIPO Si consideri l applicazione lineare f : C C 3 definita da ( a f b) 4a + b 3a. a b Si determini la matrice A associata ad f rispetto alle basi ordinate { } B ; e D ; 3 ; 6 4 su dominio e codominio rispettivamente. La matrice che cerchiamo è ( ) A C D (f) C 6 D (f). 4 Poichè ( f 6) 4 ( 6 e f 4) 4 6, allora A C D ( 4 6 ) C D ( 4 6 ). Piuttosto che calcolare separatamente C D ( 8 3 ) e C D ( 6 ), e calcoliamo 3 8 C D ( a b ) per un generico vettore a b R 3, e specializziamo la formula ottenuta c c ai due diversi vettori allora 4 6 e 4 6. Poichè C D ( a b ) α β a b α + β 3 + δ α + δ 3β c δ c α δ 44

α + δ a 3β b α δ c α (a + c)/ β b/3 δ (a c)/ a (a + c)/ C D ( b ) b/3. c (a c)/ Ponendo a 4, b 6 e c otteniamo C D ( 4 6 ) ; ponendo a 4, b 6 e c otteniamo C D ( 4 6 ) A 7 3. Quindi 7. 3 45

ESERCIZIO TIPO Si calcoli la matrice di passaggio M B B da B a B, dove B e B sono le seguenti basi ordinate di R 3 : B ; 3 ;, B 3 ; 3 ; 5. La matrice di passaggio M B B da B a B è M B B C B ( 3 ) C B ( 3 ) C B ( 5 ). Nell ESERCIZIO TIPO abbiamo calcolato C B ( a (a + c)/ b ) b/3. c (a c)/ 3 5 Specializzando la formula ottenuta ai tre diversi vettori, 3, otteniamo C B ( 3 ), C B ( 3 ), C B ( 5 ) 3. Dunque 3 M B B. 46

ESERCIZIO TIPO 3 7 Sia A la matrice associata ad un applicazione lineare 3 f : C C 3 rispetto alle basi ordinate {( ( B ; e D 6) 4)} ; 3 ; su dominio e codominio rispettivamente. Si determini la matrice A associata ad f rispetto alle basi ordinate { } 3 5 B 6 ; e D ; 3 ; 8 4 su dominio e codominio rispettivamente. La matrice che cerchiamo è A M D D AM B B dove M D D è la matrice di passaggio da D a D, e M B B è la matrice di passaggio da B a B. Nell ESERCIZIO TIPO abbiamo calcolato M D D 3. Calcol- iamo la sua inversa: ( M D D I 3 ) E 3 ( ) E 3 ( ) 3 ( I 3 M D D ) E 3( ) E 3( ) E 3 3 3 Dunque M D D 3 M D D. 47

Calcoliamo ( ) 6 M B B C B C 8 B. 4 ( ( a a Calcoliamo C B per un generico vettore C b) b), e specializziamo la formula 6 ottenuta ai due diversi vettori e. Poichè 8 4 a C B b ( α β risolvendo il sistema lineare ) ( a b ) α { α + β a 6α 4β b a C B b ( 6 Ponendo a 6 e b 8 otteniamo C B ( ) 8) otteniamo C B ( 4 ) (. Quindi + β 6 4 α + β 6α 4β (nelle incognite α e β)si ottiene ( a+b ) 3a b. ) ( ) 6 M B B C B C 8 B 4 ( ) ; ponendo a e b 4. Dunque A M D D AM B B 3 36 9 53 9 6. 4 37 7 3 48

ESERCIZIO TIPO 4 Si trovi una base ortonormale del sottospazio di C 4 V i ; i ; ; i. MODO Troviamo una base B di V. Poniamo w i, w i, w 3, w 4 i e costruiamo la matrice A ( w w w 3 ) w 4, ossia una matrice tale che C(A) V. i A i i i i E 34 E 3( i) i i i i E 3 ( i) E 4()E 3( ) i U Dunque B {w, w, w 4 } è una base di C(A) V. Troviamo una base ortogonale B di V : poniamo v w, v w e v 3 w 4, e applichiamo l algoritmo di Gram-Schmidt a {v ; v ; v 3 }. 49

u v i u v α u, u α (u v ) (u u ) u v α u i v i u i i i i (u v ) u H v ( i ) i (u u ) u H u ( i ) i α i/ u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u α 3 (u v 3 ) (u u ) (u v 3 ) u H v 3 ( i ) i α 3 u α 3 (u v 3 ) (u u ) (u v 3 ) u H v 3 ( i ) i i (u u ) u H u ( i ) i 5 α 3 5 i 5

u 3 v 3 α 3 u α 3 u + i 5 i v 3 + i 5 u i B {u ; u ; u 3 }, dove u i, u è una base ortogonale di V. i 5 i i 3i, u 3 5 i i, 3i 3 Troviamo una base ortonormale B di V, normalizzando gli elementi di B. u (u u ) u (u u ) 5/ u 3 (u 3 u 3 ) u 3H u 3 5 i i 3i i 5 i 5 5 3i Concludendo: B { u u ; u u ; u 3 u 3 }, dove u u è una base ortonormale di V. i, u u i i u 3 5 i, 3i, u 3 MODO Prima costruiamo un insieme di generatori ortogonale di V: poniamo 5

v i, v i, v 3, v 4 i e applichiamo l algoritmo di Gram-Schimdt a {v ; v ; v 3 ; v 4 }. Otterremo 4 vettori, u, u, u 3, u 4, e l insieme {u ; u ; u 3 ; u 4 } sarà un insieme di generatori ortogonale di V. Per sapere se alcuni degli u i saranno nulli, e in tal caso quali, troviamo innanzitutto una forma ridotta di Gauss U della matrice A che ha come colnne v, v, v 3, v 4 : le eventuali colonne libere di U corrisponderanno agli u i nulli. A ( i ) v v v 3 v 4 i i E 4 ()E 3 ( ) i i E 34 i U E 3( i) i i i i E 3 ( i) Poichè U ha come unica colonna libera la 3 a, allora applicando l algoritmo di Gram- Schimdt a {v ; v ; v 3 ; v 4 } otterremo u 3. 5

u v i u v α u, u α (u v ) (u u ) (u v ) u H v ( i ) i i (u u ) u H u ( i ) i α i/ 53

u v α u i v i u i i i u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u α 3 (u v 3 ) (u u ) (u v 3 ) u H v 3 ( i ) i (u u ) α 3 i u α 3 (u v 3 ) (u u ) (u v 3 ) u H v 3 ( i ) u 3 v 3 α 3 u α 3 u v 3 i u + u 5 (u u ) u H u ( i ) α 3 i 5 i i + i 54

u 4 v 4 α 4 u α 4 u α 34 u 3 u α4 (u v 4 ) (u u ) (u v 4 ) u H v 4 ( i ) i α 4 u α 4 (u v 4 ) (u u ) (u v 4 ) u H v 4 ( i ) i i (u u ) u H u ( i ) i 5 u 4 v 4 α 4 u + i 5 i v 4 + i 5 u i 5 i i 3i α 4 5 i u 3 α 34 per def. Dunque u i ; u i ; u 3 ; u 4 i 5 i 3i è un insieme di generatori ortogonale di V. Costruiamo una base ortogonale di V togliendo dall insieme di generatori 55

ortogonale di V trovato al punto gli eventuali u i nulli. In questo caso poniamo: L insieme w u i, w u è una base ortogonale di V. w i ; w i i, w 3 u 4 5 ; w 3 5 i i 3i i i. 3i 3 Costruiamo base ortonormale di V normalizzando la base ortogonale trovata al punto, ossia dividendo ciascun elemento della base ortogonale trovata in per la propria norma euclidea. Cominciamo con il calcolare la norma euclidea di w, w, w 3 : Allora dove w (u u ) w (u u ) 5/ w 3 (u 4 u 4 ) u 4H u 4 w w è una base ortonormale di V. 5 B { w w ; i i 3i i 5 i 5 5 3i w w ; i, w w i w 3 w 3 }, i w 3 5 i, 3i, w 3 56

ESERCIZIO TIPO 5 Si consideri il sottospazio W ; i ; i di C 3. i (a) Si trovi il complemento ortogonale W di W in C 3. (b) Si calcoli la proiezione ortogonale P W (v) del vettore v 5i su W. Posto w, w i i, w 3 i A ( w w w 3 ), sia una matrice tale che C(A) w ; w ; w 3 W. i i i (a) Da W C(A) segue W C(A) N(A H ). Facendo una EG su A H i i i si ottiene: A H i i i E3(i)E( i) i E 3 i U Poichè allora x x x N(U) x 3 { x ix 3 x N(A H ) N(U) ih h C. h (b) Troviamo una base ortonormale di W. Facendo una EG su A si ottiene: A i i i E 3( i) i i. 57

Poichè le colonne dominanti di una forma ridotta di Gauss per A sono la a e la 3 a, B {w, w 3 } è una base di C(A) W. Posto i v w e v w 3 i applichiamo l algoritmo di GS a {v ; v } per trovare una base ortogonale {u ; u } di W. u v i u v α u, u α (u v ) (u u ) (u v ) u H v ( i ) i i (u u ) u H u ( i ) i u v α u v iu i i i α i/ i Dunque B u ; u i è una base ortogonale di W. Troviamo una base ortonormale B di W, normalizzando gli elementi di B. Essendo u (u u ) e u (u u ), B u u ; u u u u i 58

è una base ortonormale di W. 5i La proiezione ortogonale P W (v) di v su W è P W (v) (u v)u + (u v)u (u ) H v u + (u ) H v u i 5i + ( ) 5i i (5i i) + i i i +. i 59

ESERCIZIO TIPO 6 Sia A 5 3 4. 5 (a) Si trovi una decomposizione Q R -non-normalizzata per A. (b) Si trovi una decomposizione QR-normalizzata per A. (c) Si calcoli la matrice di proiezione sullo spazio delle colonne C(A) di A. (a) I Poniamo 5 3 4 v, v, v 3, v 4 5 e applichiamo l algoritmo di Gram-Schimdt a {v, v, v 3, v 4 }. Otterremo 4 vettori, u, u, u 3, u 4. Per sapere se alcuni degli u i saranno nulli, e in tal caso quali, troviamo innanzitutto una forma ridotta di Gauss U di A: le eventuali colonne libere di U corrisponderanno agli u i nulli. A 5 3 4 5 5 3 4 U E 3() 5 3 4 E 3( ) Poichè U ha come colonne libere la a e la 4 a, applicando l algoritmo di Gram-Schimdt a {v, v, v 3, v 4 } otterremo u u 4. u v u v α u, u α (u v ) (u u ) 6

u v α u v + 5u (u v ) u H v ( ) (u u ) u H u ( ) α / 5 5 5 5 + 5 u 5 u 3 v 3 α 3 u α 3 u, u 3 v 3 α 3 u α 3 u v 3 u u α 3 (u v 3 ) (u u ) (u v 3 ) u H v 3 ( ) α 3 4/ u α 3 3 4 3 u 3 u 4 v 4 α 4 u α 4 u α 34 u 3, u α 4 (u v 4 ) (u u ) (u v 4 ) u H v 4 ( ) 4 6 α 4 6/ 3 u α 4 6

u 4 v 4 α 4 u α 4 u α 34 u 3 v 4 3u u 3 u 3 α 34 (u 3 v 4 ) (u 3 u 3 ) (u 3 v 4 ) u H 3 v 4 ( ) 4 3 (u 3 u 3 ) u H 3 u 3 ( ) 3 α 34 3/3 4 3 u 4 II Poniamo Q u u u 3 u 4 α α 3 α 4 5 3 R α 3 α 4 α 34. A Q R è una decomposizione Q R -non-normalizzata per A. (b) III Sia Q la matrice che si ottiene dalla matrice Q, ottenuta al punto II, togliendo tutte le (eventuali) colonne nulle di Q. In questo caso Q ha due colonne nulle, la a e la 4 a, quindi Q u u 3. Sia R la matrice che si ottiene dalla matrice R, ottenuta al punto II, togliendo le righe di R che corrispondono alle colonne che sono state tolte da Q per ottenere Q. 6

In questo caso, poichè per ottenere Q sono state tolte da Q la a e la 4 a colonna, allora per ottenere R si toglie da R la a riga e la 4 a riga. Dunque 5 3 R. IV Costruiamo la matrice diagonale D che ha sulla diagonale la norma euclidea delle colonne di Q (ossia delle colonne non nulle di Q ), e calcoliamo D. Poichè allora D u (u u ) e u 3 (u 3 u 3 ) 3, u u 3 ( ) 3 e D. 3 V Poniamo 3 Q Q D 3 3 3. ( ) ( ) R DR 5 3 5 3. 3 3 3 Allora A QR è una decomposizione QR-normalizzata di A. (c) La matrice di proiezione sullo spazio delle colonne C(A) di A è P QQ H : 3 P QQ H 3 3 3 3 + 3 3 + 3 3 3 3 + 3 3 3 5 6. 5 + 3 63

ESERCIZIO TIPO 7 Si trovi l equazione della parabola che meglio approssima i cinque punti di R : P ( 3, 8), P (, ), P 3 (, ), P 4 (, 3), P 5 (3, 6). Cerchiamo l equazione della parabola che approssima a minimi quadrati i cinque punti. Siano x x... x n y x x... x n A....... e y y. x N x N... xn N y N dove N 5 è il numero dei punti P i da approssimare, n è il grado del polinomio con cui si vuol fare l approssimazione (rendendo minima la somma dei quadrati degli errori) (x i, y i ) sono le coordinate del punto P i, per i,..., N. Nel nostro caso Dopo aver calcolato 3 9 8 A e y 3. 3 9 6 A H 3 3, 9 9 calcoliamo 64

B A H A 3 9 3 3 9 9 5 e 64 3 9 8 b A H y 3 3 9 9 3 5. 3 6 Poichè allora gli x i sono tutti distinti, per i,..., 5 N 5 3 + n +, rk(a) n + 3 rk(a H ) rk(a) rk(b) n + 3, per cui B è non singolare. Quindi il sistema ( Bz b nell incognita z z ) z z ( ossia il sistema delle equazioni normali A H Az A H y associato al sistema Az y ), ha un unica soluzione (che quindi è la soluzione ai minimi quadrati del sistema Azy). Facendo una E.G. sulla matrice aumentata del sistema otteniamo: 5 B b 5 E3( )E( 5 ) 64 3 4 4 5 84 5 E 3 ( 84 )E ( ) 4 4 4 ( U d ) 7 8 65

Il sistema Bzb è equivalente al sistema Uzd, che è una forma compatta per Con la sostituzione all indietro otteniamo z + 4z 4 z 4 z 7 8 z 7 8 z 4 ( z 4z 4 4 ) 7 8 4 7 Dunque l unica soluzione del sistema delle equazioni normali è z z z z 7 4 7 8 e la parabola che approssima ai minimi quadrati i cinque punti ha equazione: y z + z x + z x 7 + 4 x 7 8 x. 66

ESERCIZIO TIPO 8 z z Sia A(z) z i, dove z C. Si dica per quali z C la matrice A(z) è non singolare. A(z) è non singolare se e solo se Det(A(z)). Calcoliamo dunque Det(A(z)). z z sviluppato rispetto alla Det(A(z)) a riga ( ) +3 Det z i sviluppato rispetto alla 3 a colonna z z (z i)( ) +3 Det (z i)(z z) Quindi A(z) è non singolare se e solo se (z i)(z z). Si osservi che (z i)(z z) se e solo se o z i, e quindi z i, oppure z z, e quindi z z. Poichè z z z R, allora e quindi Concludendo Det(A(z)) Det(A(z)) z R {i} z / R {i}. A(z) è non singolare z / R {i}. 67

ESERCIZIO TIPO 9 Siano A 3i 3 e B 3i 3. 3i Si trovino: i loro autovalori, le loro molteplicità algebriche, le loro molteplicità geometriche, basi dei loro autospazi. Il polinomio caratteristico di A è: p A (x) x 3i Det(A xi 3 ) Det 3 x 3i x x 3i ( ) + (3 x)det 3i x (3 x)[( x) ( 3i) 3i] (3 x)(x + 9i ) (3 x)(x 9) ( 3 x)(3 x). Gli autovalori di A sono gli zeri del polinomio caratteristico p A (x) di A, ossia le soluzioni dell equazione p A (x). Dal momento che le soluzioni dell equazione sono 3 e 3, gli autovalori di A sono: ( 3 x)(3 x) λ 3 e λ 3. Siano m ed m le molteplicità algebriche e d e d le molteplicità geometriche di λ e λ rispettivamente. Da p A (x) ( 3 x)(3 x) (λ x) m (λ x) m otteniamo: m e m. Infine, da d i m i per i,, otteniamo: d e d. 68

( E A (λ ) E A ( 3) N(A ( 3)I 3 ) N(A + 3I 3 ) N 3 3i 6 ) 3i 3 Da una E.G. su A + 3I 3 : 3 3i 6 3i 3 E 3( 3i)E ( 3 ) i 6 E ( 6 ) i, segue che E A ( 3) N( 3 3i 6 ) N( i ) { ih h C }, 3i 3 h { e quindi i } è una base di E A (λ ) E A ( 3). E A (λ ) E A (3) N(A 3I 3 ) N( 3 3i ) 3i 3 Da una E.G. su A 3I 3 : 3 3i 3i 3 E 3( 3i)E ( 3 ) i, segue che e quindi E A (3) N( 3 3i ) N( i ) { ih k h, k C }, 3i 3 h d dim(e A (3)) [numero di colonne di (A 3I 3 )] rk(a 3I 3 ) 3 69

{ e i ; } è una base di E A (λ ) E A (3). B è una matrice triangolare, per cui i suoi autovalori sono i suoi elementi diagonali: λ e λ 3. ( Infatti, il polinomio caratteristico di B è: x 3i p B (x) Det(B xi 3 ) Det 3 x x x ( ) 3+3 ( x)det 3 x ( x)( x)(3 x) x (3 x), e gli autovalori di B sono gli zeri del) polinomio caratteristico p B (x) di B, ossia le soluzioni dell equazione x (3 x). Siano m ed m le molteplicità algebriche e d e d le molteplicità geometriche di λ e λ rispettivamente. Da p B (x) x (3 x) (λ x) m (λ x) m otteniamo: m e m. Infine, da d i m i per i,, otteniamo: d e d. E B (λ ) E B () N(B I 3 ) N(B) Da una E.G. su B : 3i 3 segue che E ( 3 i)e ( 3 )E, 7

e quindi E B (λ ) E B () N(B) N( ) { h h C }, d dim(e B (λ )) (numero di colonne di B) rk(b) 3 { e } è una base di E B (λ ) E B (). ( 3 3i E B (λ ) E B (3) N(B 3I 3 ) N ) 3 Da una E.G. su B 3I 3 : 3 3i 3 E 3( 3 )E3E( 3 ) i, segue che ( 3 3i E B (3) N ) ( N i ) { h h C }, 3 { e quindi } è una base di E B (λ ) E B (3). 7