U.07/0 UNITA' 07 - SOMMARIO 7. EQUAZIONI INTEGRALI DI BILANCIO PER FLUIDI IN MOTO (B) 7. BILANCIO DELL ENERGIA 7.. Bilancio dell energia stazionario er sistemi a due correnti 7... Bilancio dell energia stazionario er sistemi a iù correnti 7.. BILANCIO DELL ENERGIA MECCANICA PER FLUIDI IDEALI 7... Bilancio stazionario er sistemi a due correnti 7.3. BILANCIO DELL ENERGIA MECCANICA PER FLUIDI REALI 7.3.. Bilancio stazionario er sistemi a due correnti 7.4. EFFETTI VISCOSI 7.4.. Condizione di aderenza 7.4.. Tensioni viscose nei fluidi in moto 7.4.3. Velocità di deformazione (gradiente di velocità) 7.4.4. Legge di Newton (della viscosità) 7.5. PERDITE DI CARICO IN CONDOTTI 7.5.. Determinazione delle erdite di carico distribuite 7.5.. Determinazione delle erdite di carico concentrate 7.6. RETI IDRAULICHE 7.6.. Circolazione a gravità 7.6.. Circolazione naturale 7.6.3. Circolazione forzata (reti in ressione) 7.6.4. Criteri di scelta delle ome 7.6.5. Punto di funzionamento e adattamento al circuito
U.07/ 7. BILANCIO DELL ENERGIA 7.. Bilancio dell energia stazionario er sistemi a due correnti Si consideri un sistema aerto come quello ad un ingresso ed un uscita. In condizioni stazionarie, l equazione di bilancio dell energia che governa il funzionamento di tale sistema aerto, ricavata alicando il rimo rinciio della termodinamica, è la seguente: ovvero α W α W g ( z z ) h h = q l α W α W m & g ( z z ) h h = Q& L& Tutti i termini della rima equazione sono quantità riferite all unità di massa di fluido. A rimo membro, la rima differenza raresenta la variazione d energia cinetica er unità di massa, valutata assumendo la velocità del fluido sulle sezioni d ingresso e d uscita uniforme e ari al valore medio, risettivamente W e W, e correggendo gli effetti d eventuali disuniformità della velocità sulla sezione mediante i coefficienti correttivi α e α, diendenti dal rofilo di velocità. In articolare, assumendo la velocità del fluido attraverso una sezione (d ingresso o d uscita) unidirezionale e normale alla sezione stessa, ed indicando con u la velocità locale sulla orzione di sezione di area infinitesima ds, e con W il valore medio sulla sezione, il coefficiente di correzione α relativo al flusso di energia cinetica attraverso la sezione considerata è tale che: ovvero u W W u ds = α u ds = α S u S α = m& W Valori di riferimento er α sono: 3 ds S α = er rofilo uniforme (fluido ideale) α. er rofilo turbolento m& α = er rofilo laminare sviluato in condotto cilindrico La seconda differenza a rimo membro dell equazione di bilancio dell energia raresenta la variazione d energia otenziale gravitazionale er unità di massa tra uscita e ingresso del sistema aerto. La terza differenza è la variazione d entalia. A secondo membro della rima equazione, i termini q e l raresentano le quantità di calore e lavoro (energia termica ed energia meccanica) scambiate dal fluido mentre attraversa il sistema aerto, anch esse riferite all unità di massa di fluido. Si adottano le convenzioni, consuete in termodinamica, di considerare ositivo il calore scambiato se assorbito dal fluido, e di considerare ositivo il lavoro se ceduto dal fluido.
U.07/ 7... Bilancio dell energia stazionario er sistemi a iù correnti In condizioni stazionarie, l equazione di bilancio dell energia che governa il funzionamento di un sistema aerto a iù correnti assume la forma seguente: αout Wout αin W m& out g zout hout m& in out in I simboli hanno il significato riortato nella tabella seguente. in g z in h in = Q& L& Simbolo Definizione Unità di misura W Velocità media m/s α Coefficiente correttivo er l energia cinetica secifica media z Quota risetto ad un livello arbitrario di riferimento m h Entalia secifica J/kg q = Q& m& l = L & m& Quantità di calore scambiata er unità di massa di fluido Quantità di lavoro scambiata er unità di massa di fluido Q & Potenza termica scambiata W L & Potenza meccanica scambiata W J/kg J/kg m& Portata in massa kg/s 7.. BILANCIO DELL ENERGIA MECCANICA PER FLUIDI IDEALI L equazione di bilancio dell energia in forma stazionaria non è generalmente utilizzata in fluidodinamica. S imiega invece la cosiddetta equazione di bilancio dell energia meccanica, in cui comaiono solo termini di natura meccanica. 7... Bilancio stazionario er sistemi a due correnti Si considerano inizialmente fluidi ideali (o erfetti), er i quali si assume nulla la viscosità. Sulla base della definizione d entalia secifica (h=uv=u/), l equazione di bilancio dell energia uò essere riformulata come segue: α W α W g ( z z ) ( v v ) l = q ( u u ) Il termine l è nullo se lungo il ercorso del fluido, tra le sezioni d ingresso () e d uscita (), sono resenti macchine oeratrici come, ad esemio, un comressore o una oma, che
U.07/3 trasferiscono lavoro dall esterno al fluido ( l <0), oure macchine motrici, come una turbina, che trasferiscono lavoro dal fluido all esterno ( l >0). Per un fluido ideale e incomrimibile (vale a dire caratterizzato da densità costante, ovvero v =v =v=/=costante), l equazione di bilancio dell energia uò essere semlificata come segue: α W α W g ( z z ) = l Il risultato è semre valido in condizioni di reversibilità dei rocessi. Infatti, er un rocesso stazionario reversibile di un fluido ideale e incomrimibile, si uò dimostrare che è rigorosamente nulla la quantità: ( ) q u u Si noti che in un fluido ideale non sono resenti effetti di dissiazione, quindi il moto del fluido non roduce effetti irreversibili. Un liquido si uò generalmente considerare incomrimibile. Un gas si uò considerare incomrimibile se: W M = < 0.3 c in cui M è il numero di Mach e c è la velocità del suono nel fluido. Per un fluido ideale e comrimibile, si uò dimostrare che l equazione di bilancio dell energia meccanica assume la forma: α W α W d g ( z z ) = l Per un fluido incomrimibile, che non scambia lavoro ( l =0) e la cui velocità è uniforme sulle sezioni di assaggio in ingresso e in uscita (α =α =), l equazione di bilancio dell energia meccanica si semlifica in: ovvero W W g = ( z z ) 0 W W g z 0 g z = La relazione ermette di stabilire che, nelle condizioni considerate, er un fluido ideale e incomrimibile è costante, ad ogni sezione di assaggio del flusso, l energia meccanica er unità di massa, data dalla somma: W g z in cui W energia cinetica er unità di massa
U.07/4 g z energia otenziale er unità di massa riferita al baricentro della sezione di assaggio energia otenziale di ressione er unità di massa Per un fluido ideale incomrimibile, in assenza di macchine, si mantiene quindi costante l energia meccanica secifica associata al fluido. I termini cinetico, otenziale e di ressione ossono erò variare nel senso del moto, convertendosi reversibilmente l uno nell altro. 7.3. BILANCIO DELL ENERGIA MECCANICA PER FLUIDI REALI Nel caso di un fluido reale, in cui gli effetti viscosi non sono trascurabili, le azioni delle tensioni associate alla viscosità roducono dissiazioni d energia meccanica. Per tenere conto di tali effetti dissiativi, le varie forme dell equazione di bilancio dell energia meccanica viste in recedenza devono essere modificate tramite l aggiunta, al rimo membro, di un termine R, semre ositivo (R 0), detto erdita di carico. 7.3.. Bilancio stazionario er sistemi a due correnti L equazione di bilancio dell energia er un sistema aerto a due correnti riortata in recedenza, ricavata sulla base del rimo rinciio della termodinamica, uò essere riformulata er un fluido incomrimibile reale come segue: α W α W g z g z l = R La erdita di carico R è un termine dissiativo che raresenta la erdita d energia meccanica er unità di massa di fluido, causata dalle dissiazioni viscose. In altre arole, R raresenta quella arte d energia che alla fine del rocesso tra e non è iù disonibile in forma d energia meccanica. Per un fluido incomrimibile, l equazione di bilancio dell energia meccanica uò anche essere formulata come segue: α W α W g Per un fluido comrimibile, l equazione assume la forma: α W ( z z ) R = l α W d g ( z z ) R = l Per un fluido incomrimibile in assenza di macchine e con α =α =, l equazione di bilancio dell energia meccanica si semlifica in: W W g = ( z z ) R 0
U.07/5 ovvero W g z W g z = R 7.4. EFFETTI VISCOSI 7.4.. Condizione di aderenza In corrisondenza di una suerficie solida, un fluido reale (viscoso) aderisce alla suerficie e, quindi, ne assume la velocità. Tale caratteristica dei fluidi viene denominata condizione di aderenza. Essa si assume valida sia er i liquidi che er i gas. u = u 0 u 0 u = 0 U u = 0 u = U u = U U Come si uò osservare dagli esemi, la velocità del fluido varia muovendosi in direzione normale alla suerficie. Tale variazione, così come l adesione alla suerficie, è dovuta alla viscosità del fluido.
U.07/6 7.4.. Tensioni viscose nei fluidi in moto Se s immagina di sezionare un fluido in moto lungo un iano, si osserva che il fluido al di sora del iano di sezionamento esercita sul fluido sottostante una tensione tangenziale (τ), ovvero una forza tangenziale raortata all unità di suerficie. Una tensione tangenziale uguale e contraria è a sua volta esercitata dal fluido al di sotto del iano di sezionamento su quello sorastante. u τ τ 7.4.3. Velocità di deformazione (gradiente di velocità) Un fluido è una sostanza che continua a deformarsi indefinitamente sotto l azione di una forza tangenziale. Si consideri un volume di fluido tra due iastre iane arallele, oste a distanza δy. y δx δu δf x δy δθ δx = δy δθ La iastra inferiore è fissa, mentre quella sueriore si muove a velocità costante δu, sotto l azione di una forza δf x. Si uò dimostrare che, sotto l azione di una tensione tangenziale τ yx, il fluido si deforma con velocità di deformazione du/dy. y 7.4.4. Legge di Newton (della viscosità) Per la maggior arte dei fluidi esiste una roorzionalità diretta tra tensione tangenziale e gradiente di velocità: du τ yx dy La relazione di roorzionalità è esressa dalla legge di Newton della viscosità, che, in un caso monodimensionale come quello analizzato, resenta forma: du τ yx = μ dy La costante μ di roorzionalità, variabile da fluido a fluido, è la viscosità dinamica.
U.07/7 Viscosità dinamica. Formula dimensionale: [ML - T - ] Unità di misura SI: Pas = kg/(ms) Un effetto della viscosità è l adesione delle articelle di fluido alle suerfici di un coro solido immerso nel fluido stesso (condizione di aderenza). In generale, la viscosità diende fortemente dalla temeratura e, in articolare, nei gas aumenta con l aumentare temeratura, mentre nei liquidi diminuisce, di solito raidamente, all aumentare della temeratura. Sia er i gas che er i liquidi, la viscosità è ressoché indiendente dalla ressione, quantomeno a ressioni ordinarie; nei gas si osserva un aumento significativo della viscosità solo quando la ressione è incrementata di diversi bar, mentre serve un incremento di diverse migliaia di bar er osservare lo stesso effetto nei liquidi. Se la tensione tangenziale è direttamente roorzionale al gradiente di velocità, il fluido è detto newtoniano (sono tali l aria, l acqua, gli oli, ecc.). Quando ciò non accade, il fluido è detto nonnewtoniano. Se la viscosità di un fluido nonnewtoniano risulta aumentare con il τ gradiente di velocità, il fluido è detto dilatante. Il fluido è detto seudolastico se la viscosità sembra diminuire all aumentare della velocità di deformazione. È detto di Bingham un fluido che si deforma solo se è alicata una tensione tangenziale sueriore ad un valore minimo. È infine detto tissotroico un fluido in cui la viscosità aare diminuire nel temo, sotto l alicazione di una tensione tangenziale costante. Se la du / dy viscosità aumenta nel temo, il fluido è detto reoectico. Viscosità cinematica È definita come il raorto tra viscosità dinamica e densità. ν = μ Se un coro solido è introdotto in un fluido in moto, la regione in cui si roagano gli effetti viscosi e in cui il moto del fluido è erturbato dalla resenza del coro è tanto iù estesa quanto maggiore è la viscosità cinematica del fluido.
U.07/8 ν bassa ν alta Formula dimensionale: [L T - ] Unità di misura SI: m /s 7.5. PERDITE DI CARICO IN CONDOTTI L equazione di bilancio nell energia meccanica nelle forme recedentemente illustrate resenta uno dei suoi rinciali ambiti d alicazione dello studio del moto di fluidi in condotti e reti idrauliche. Lungo un condotto, che uò essere iù o meno comlesso ed includere curve, valvole e convergenti o divergenti, un fluido subisce erdite di carico (ovvero erdite d energia meccanica) dovute al semlice scorrimento viscoso, oure a articolari accidentalità incontrate lungo il ercorso che erturbano la vena. Le erdite di carico totali si distinguono ertanto in: erdite di carico distribuite, dovute agli attriti viscosi tra fluido e areti in tratti di condotto rettilinei a sezione uniforme, in cui il moto è erfettamente sviluato, e erdite di carico concentrate, legate alle turbolenze e alle conseguenti dissiazioni viscose che si hanno in corrisondenza o subito a valle di accidentalità quali ingressi, valvole, giunzioni, curve, variazioni di sezione, ecc. 7.5.. Determinazione delle erdite di carico distribuite In condizioni stazionarie, la velocità media del fluido, W, non cambia lungo un tratto di condotto a sezione uniforme. Non cambia quindi neanche il contenuto medio d energia cinetica er unità di massa di fluido, ari a W /, al quale sono associate le erdite distribuite. La relazione generale er il calcolo delle erdite distribuite è, er tratti di condotto a sezione circolare, la formula di Darcy-Weisbach: L W R = f D in cui f fattore d attrito (anche indicato con λ) ( ) L lunghezza del tratto di condotto rettilineo (m) D diametro (uniforme) del condotto (m) L/D termine adimensionale che esrime la lunghezza del condotto, misurata in diametri ( )
U.07/9 W velocità media (uniforme) sulla sezione (m/s) W / energia cinetica er unità di massa (uniforme) (J/kg) Nel caso di sezione non circolare, si fa riferimento al diametro idraulico (o equivalente), definito come: S D = 4 P ove S sezione di assaggio del fluido (uniforme) (m ) P erimetro bagnato della sezione (m) Il fattore d'attrito (f) è una funzione della scabrezza della suerficie interna del condotto (l altezza media delle microaserità suerficiali) raortata al diametro (ε/d) e del numero di Reynolds (Re). ove ε f = f, Re D ε scabrezza (o rugosità) media delle areti (m) ε/d scabrezza media relativa delle areti ( ) Il numero di Reynolds (Re) è un arametro adimensionale definito dalla relazione: in cui Re = W D W D = μ ν densità del fluido (costante se incomrimibile) (kg/m 3 ) μ viscosità dinamica del fluido (Pas) ν=μ/ viscosità cinematica del fluido (m /s) Il fattore d attrito er condotti a sezione circolare, in caso di moto laminare (Re<000) in tubi sia lisci che scabri, vale: 64 f = Re In caso di moto turbolento in tubi lisci (ε/d 0), il fattore d attrito uò essere valutato mediante la formula di Blasius 0. 36 f = 0. 5 Re valida er 3000<Re<0 5, o mediante la formula di Nikuradse 0. f = Re valida er 0 5 <Re<0 7 : 0. 003 0. 37
U.07/0 In caso di moto turbolento in tubi sia lisci che scabri, il fattore d attrito uò essere valutato mediante la formula di Colebrook f =. 0 log 0 ε D 3. 7. 5 Re f ovvero f = 0. 5 log 0 ε D. 5 3. 7 Re f valida er Re>3000. Nella formula di Colebrook, f è resente in entrambi i membri. Pertanto, è necessario iotizzare un valore del fattore d attrito di rimo tentativo, f 0, e quindi introdurlo nella arte di destra della formula, ottenendo: f = 0. 5 log 0 ε D. 5 3. 7 Re f 0 Il nuovo valore del fattore d attrito, che è in generale iù accurato di quello di rimo tentativo, uò essere introdotto nuovamente nella formula di Colebrook, er ottenere così una stima ancora iù accurata. Il rocedimento va iterato un numero di volte tale da arrivare a convergenza, ovvero da non osservare iù variazioni significative del valore di f tra un iterazione e l altra. Già alla rima alicazione della formula di Colebrook, il valore di f differisce er meno dell % dal valore di rimo tentativo se questo è stato stimato mediante la formula di Miller: f 0 0. 5 log ε D 3. 7 5. 74 Re = 0 0. 9 Un metodo alternativo er la stima del fattore d attrito è basato sull imiego del diagramma di Moody. Il diagramma, che è di tio bilogaritmico (resenta scala logaritmica sia in ascissa che in ordinata), restituisce il valore del fattore d attrito f in funzione del numero di Reynolds (Re) e della scabrezza relativa (ε/d). Il diagramma si divide in tre zone, individuabili sulla base del valore del numero di Reynolds. Per Re 000 il moto è di tio laminare. Il valore del fattore d attrito non diende dalla scabrezza suerficiale, ma solo dal numero di Reynolds: 64 f = Re La relazione è di tio ierbolico, ma il tracciato nel diagramma di Moody risulta lineare er effetto dell uso di scale logaritmiche. Perché il moto ossa assumersi laminare, è necessario che il fluido abbia ercorso una certa lunghezza del condotto (usualmente comresa tra 0 e 60 diametri), ovvero che il moto sia comletamente sviluato. All ingresso di un condotto, il moto è generalmente turbolento. Una volta sviluato, il moto laminare rimane stabile fino a valori di Re rossimi a 000, indiendentemente dal fatto che i condotti siano lisci o scabri.
U.07/ Per 000 < Re < 4000 ci si trova nella cosiddetta zona di transizione. In tale zona, l individuazione del valore di f risulta roblematica. In rima arossimazione, si uò fare riferimento al rolungamento del segmento di retta che esrime la diendenza di f da Re nel caso di moto laminare. Se erò il moto che si osserva effettivamente è di tio turbolento, è iù oortuno far riferimento ai rolungamenti delle curve che esrimono la diendenza di f da Re e ε/d nel caso di moto turbolento. Per Re 4000 il moto è di tio turbolento. Gli andamenti nel diagramma di Moody sono quelli descritti dalle formule di Blasius, Nikuradse e Colebrook. Se il moto è turbolento stabile, il valore di f si individua intersecando tra loro una linea verticale, tracciata in corrisondenza del valore considerato di Re, e la curva associata al valore considerato di ε/d, selezionata all interno del fascio di curve riortate nel diagramma di Moody. Dal diagramma si uò osservare che, a scabrezza relativa (ε/d) costante, il valore di f decresce all aumentare del valore di Re. Per ogni valore di ε/d si osserva oi che esiste un valore limite di Re, oltre il quale la curva raresentativa della diendenza di f da Re tende ad un asintoto orizzontale, o, in altre arole, f non diende iù da Re. La regione del diagramma di Moody in cui si verifica tale condizione (di moto altamente turbolento) è quella a destra della linea tratteggiata che interseca il fascio di curve. Il limite si raggiunge tanto iù raidamente quanto iù alta è la scabrezza relativa.
U.07/ 7.5.. Determinazione delle erdite di carico concentrate La erdita di carico indotta da un accidentalità uò essere associata al contenuto medio d energia cinetica er unità di massa di fluido, ari a W /, tramite un oortuno coefficiente di erdita K (anche indicato con il simbolo β), che diende dalla geometria dell accidentalità. W R = K Coefficienti di erdita concentrata K er ingressi. K = 0.78 K = 0.50 r D r / D K (dati da: Crane Comany, Flow of Fluids through Valves, Fittings, and Pie, Technical Paer n. 40, New York, 98) La erdita maggiore si ha nel rimo caso, nel quale il fluido che entra nell ingresso trascina arte del fluido ai suoi lati, creando vortici altamente disersivi. Nel secondo caso, subito a valle dell ingresso nel condotto la sezione effettiva di assaggio del fluido si contrae, ed è quindi iù iccola di quella nominale, causando localmente un incremento della velocità e, quindi, dell energia cinetica del fluido (a scaito della ressione). Ad una certa distanza dall ingresso, la sezione di assaggio effettiva torna ad essere quella nominale e, quindi, velocità e l energia cinetica del fluido calano fino a stabilizzarsi. L energia cinetica ersa dal fluido non è tuttavia recuerabile (in ressione) se non in iccolissima arte, oiché è erloiù disersa in attriti viscosi. Le erdite di carico minori si hanno nel caso d ingresso raccordato, in cui il coefficiente di erdita diende dal raorto fra il raggio di raccordo r e il diametro del condotto D: iù grande è r risetto a D, minore è la erdita di carico. Per valori di r/d intermedi a quelli riortati, K uò essere ricavato er interolazione lineare. Coefficienti di erdita concentrata K er bruschi restringimenti ed allargamenti.
U.07/3 S S S\ S RS = S / S RS = S / S K K RS (dati da: Streeter, V.L., Ed., Handbook of Fluid Dynamics, McGraw-Hill, New York, 96) La linea sueriore del grafico (freccia verso destra) riguarda il caso di un brusco allargamento di sezione ed indica l andamento di K in funzione del raorto RS fra le aree delle sezioni dei condotti a monte e a valle del brusco allargamento. La linea inferiore (freccia verso sinistra) riguarda il caso di un brusco restringimento di sezione ed indica l andamento di K in funzione del raorto RS fra le aree delle sezioni dei condotti a valle e a monte del brusco restringimento. La erdita di carico è semre associata al contenuto medio d energia cinetica er unità di massa di fluido nel condotto a sezione minore. Il raorto tra le aree delle sezioni di assaggio, RS, si calcola semre onendo al numeratore l area della sezione minore e al denominatore l area della sezione maggiore. Nel caso di brusco restringimento con raorto delle sezioni RS 0, ovvero con area della sezione a monte infinita risetto a quella della sezione a valle, si ha un coefficiente di erdita K = 0.5. Tale risultato oteva essere revisto, oiché coincide con il caso di ingresso semlice (non raccordato) da serbatoio, visto in recedenza. Nel caso di brusco allargamento con raorto delle sezioni RS 0, ovvero con area della sezione a valle infinita risetto a quella della sezione a monte, si ha un coefficiente di erdita K =. Infatti, si ricade nel caso di immissione del condotto in un serbatoio, in cui tutta l energia cinetica del fluido entrante è dissiata in attriti viscosi. Ovviamente, er RS il coefficiente di erdita è nullo oiché non si ha nessuna variazione di sezione.
U.07/4 Coefficienti di erdita concentrata K er restringimenti di sezione raccordati. S Angolo incluso θ S S /S 0 5-40 50-60 90 0 50 80 θ 0.50 0.05 0.05 0.06 0. 0.8 0.4 0.6 0.5 0.05 0.04 0.07 0.7 0.7 0.35 0.4 0.0 0.05 0.05 0.08 0.9 0.9 0.37 0.43 dati da: ASHRAE American Society of Heating, Refrigerating, and Air Conditioning Engineers, ASHRAE Handbook Fundamentals, Atlanta, GA, 98) La erdita di carico è semre associata al contenuto medio d energia cinetica er unità di massa di fluido nel condotto a sezione minore. Per valori intermedi a quelli riortati, K uò essere ricavato er interolazione lineare. Si uò notare come er angoli inclusi molto iccoli, ovvero er convergenti molto lunghi, il coefficiente di erdita concentrata K sia iccolo. In tal caso, la resenza della erdita concentrata è, in molte situazioni ratiche, trascurabile. Coefficienti di erdita concentrata K er allargamenti di sezione raccordati. Allargamento graduale di sezione con una conicità θ ari a D /D 4 0 5 0 30 50 60. 0.0 0.04 0.09 0.6 0.5 0.35 0.37.4 0.03 0.06 0. 0.3 0.36 0.50 0.53.6 0.03 0.07 0.4 0.6 0.4 0.57 0.6.8 0.04 0.07 0.5 0.8 0.44 0.6 0.65.0 0.04 0.07 0.6 0.9 0.46 0.63 0.68.5 0.04 0.08 0.6 0.30 0.48 0.65 0.70 3.0 0.04 0.08 0.6 0.3 0.48 0.66 0.7 4.0 0.04 0.08 0.6 0.3 0.49 0.67 0.7 5.0 0.04 0.08 0.6 0.3 0.50 0.67 0.7 (dati da: King, Handbook of Hydraulics, McGraw-Hill Book Comany) La erdita di carico è semre associata al contenuto medio d energia cinetica er unità di massa di fluido nel condotto a sezione minore. Si uò notare come, anche in questo caso, er angoli inclusi molto iccoli, ovvero er divergenti molto lunghi, il coefficiente di erdita concentrata K è iccolo, il che lo rende in molti casi trascurabile.
U.07/5 Un metodo alternativo er la valutazione delle erdite di carico concentrate è quello della lunghezza equivalente. Leq W R = f D in cui L eq lunghezza di condotto rettilineo equivalente all'accidentalità considerata (m) La lunghezza L eq è quella che un tratto di condotto rettilineo a sezione uniforme dovrebbe avere er causare erdite di carico distribuite equivalenti a quelle concentrate rodotte dall'accidentalità in esame. Per il calcolo della lunghezza equivalente L eq si fa uso di nomogrammi come quello riortato in figura. Nomogramma er il calcolo della lunghezza equivalente delle accidentalità.. Saracinesca aerta (S a /S t =/4). Saracinesca aerta (S a /S t =/) 3. Saracinesca aerta (S a /S t =3/4) 4. Saracinesca aerta (S a /S t =/) 5. Valvola dritta comletamente aerta 6. Valvola ad angolo comletamente aerta 7. Valvola di ritegno comletamente aerta 8. Raccordo curvo a 45 9. Raccordo curvo a 90, raggio stretto 0. Raccordo curvo a 90, raggio medio. Raccordo curvo a 90, raggio largo. Raccordo curvo a 80 3. Raccordo curvo a squadra 4. Imbocco 5. Restringimento brusco di sezione (D /D =/4) 6. Restringimento brusco di sezione (D /D =/) 7. Allargamento brusco di sezione (D /D =4) 8. Allargamento brusco di sezione (D /D =) (dati da: A. Cocchi, Elementi di Termofisica Generale ed Alicata, Soc. Ed. Esculaio, Bologna, 990) Si determina il valore di L eq intersecando la colonna centrale con il segmento congiungente il numero identificativo del tio d accidentalità, individuato sulla colonna di sinistra, ed il unto corrisondente al valore del diametro interno del condotto, individuato sulla colonna di destra.
U.07/6 Ad esemio, la lunghezza equivalente associata ad una valvola a saracinesca aerta a meta (accidentalità n. ), inserita in un condotto con diametro interno 00 mm, vale circa 5 m. In definitiva, le erdite di carico totali in un condotto a sezione uniforme in cui sono resenti M accidentalità valutate tramite il metodo della lunghezza equivalente, ed N accidentalità valutate mediante coefficienti di erdita concentrata, valgono. Nei casi in cui e M L L R = f L >> f L D M L eq,m m= >> N K n n= eq,m N m= W K n D n= è ossibile trascurare le erdite di carico concentrate e considerare solo quelle distribuite. L W R f D Tale situazione si riscontra nella ratica quando si ha a che fare con condotti molto lunghi, in cui è resente un numero molto ridotto d accidentalità. 7.6. RETI IDRAULICHE 7.6.. Circolazione a gravità Un metodo tra i iù semlici er alimentare una rete è er gravità. Un liquido uò essere infatti accumulato in un bacino o in un serbatoio osto ad una quota maggiore delle utenze. La circolazione è assicurata dalla differenza di carico iezometrico tra il elo libero nel reciiente di accumulo e le bocche di efflusso.
U.07/7 Se il fluido è un gas, uò essere accumulato in un serbatoio ressurizzato. Mantenendo il gas in ressione all interno del serbatoio, è ossibile ottenere, tra serbatoio di accumulo e bocche di efflusso, la differenza di carico iezometrico necessaria ad assicurare la circolazione. 7.6.. Circolazione naturale Q & c f Q & In una rete a circuito chiuso che trasferisce calore dal luogo di roduzione ad un utenza (ad esemio, nell imianto di riscaldamento di un edificio, dalla caldaia ad un coro scaldante), è ossibile ottenere una circolazione naturale (o a termosifone) del fluido, senza cioè l intervento di macchine oeratrici (ome, ventilatori, comressori, ecc.). Il risultato è conseguito er il fatto che il fluido, quando viene riscaldato, (all interno dello scambiatore di calore in basso a sinistra nella figura recedente), diminuisce di densità ed è sosinto verso l alto er galleggiamento; quando invece viene raffreddato (nello scambiatore di calore in alto a destra), il fluido aumenta di densità e tende quindi a sostarsi verso il basso. Il risultato netto è una circolazione continua del fluido all interno del circuito chiuso (in senso orario nell imianto schematizzato in figura). In un imianto a circuito chiuso è tiicamente revisto un vaso di esansione (reciiente aerto
U.07/8 in alto a sinistra), che assolve a diverse funzioni: consente al fluido di esandersi senza variare la sua ressione; ermette di evacuare dal circuito le fasi gassose (aria e vaore) che si sviluano nel fluido; fa sì che il vaore eventualmente rodotto er effetto di malfunzionamenti dell imianto e surriscaldamenti localizzati ossa essere liberato in atmosfera, limitando così le ressioni e scongiurando il rischio di scoio. Gli imianti a circolazione naturale, a causa delle limitate ortate che consentono di ottenere sono raticamente caduti in disuso, sostituiti da imianti a circolazione forzata, muniti cioè di disositivi di omaggio del fluido. 7.6.3. Circolazione forzata (reti in ressione) L alimentazione delle reti è erloiù ottenuta er circolazione forzata, utilizzando macchine oeratrici quali ome, ventilatori e comressori, che imrimono al fluido un incremento iniziale di ressione e, quindi, di carico iezometrico sufficiente comensare le erdite di carico lungo la rete. Se si è in resenza di un liquido, la circolazione è garantita da una oma. Se invece il fluido di lavoro è un gas (ad esemio, aria), si imiegano ventilatori er imrimere al fluido iccole sovra-ressioni, comressori er ottenere incrementi di ressione consistenti. Ci si limita qui a considerare i criteri di scelta delle ome da introdurre in una rete idraulica in ressione. 7.6.4. Criteri di scelta delle ome Prevalenza La revalenza è una caratteristica definibile er le macchine oeratrici che non rovocano significative variazioni della densità dei fluidi rocessati, che si ossono quindi considerare incomrimibili. Questa condizione è tiicamente verificata er le ome, in quanto i liquidi sono incomrimibili, e er i ventilatori, che imrimono ai gas rocessati moderati incrementi della ressione, mentre non è in generale valida er i comressori. Al fine di definire la revalenza di una oma, si consideri un tratto di tubazione come quello schematizzato in figura. Nella tubazione è inserita, tra le sezioni e, una oma.
U.07/9 L equazione di bilancio dell energia meccanica, alicata al tratto di tubazione tra e, assume la forma: α W α W g ( z z ) R = l Il termine l raresenta l energia meccanica scambiata dalla oma er unità di massa di fluido rocessato, negativa in quanto assorbita. Le variazioni di energia cinetica tra ingresso e uscita della oma sono generalmente nulle oiché le sezioni di assaggio sono uguali e i liquidi incomrimibili. Inoltre, le variazioni di quota tra ingresso e uscita della oma sono nulle o trascurabili. Le erdite di carico causate dalle dissiazioni viscose si ossono distinguere in erdite all interno della oma, R m, e erdite nei tratti di condotto a monte e a valle, R c. R = R m R c Il termine R c diventa trascurabile se si scelgono due sezioni e immediatamente a monte e a valle della oma. Sulla base delle considerazioni recedenti, l equazione di bilancio dell energia meccanica si semlifica in: Δ t R m = l in cui Δ t =. L equazione uò essere infine riformulata come segue: ( l ) Δ = t R m La variazione di ressione Δ t imressa dalla oma al fluido che la attraversa è la revalenza della oma stessa. La revalenza uò anche essere esressa in termini di incremento del carico iezometrico del liquido, somma dell energia otenziale e di ressione secifiche: Δt H = = ( l Rm ) g g A arità di energia meccanica l fornita dalla oma al fluido, la revalenza è tanto minore quanto iù elevate sono le erdite di carico R m causate dagli attriti viscosi all interno della oma. A tal riguardo, è ossibile definire un rendimento η della oma: Δt η = l Nella ratica, nel termine l si fanno confluire anche l energia dissiata negli organi meccanici della oma (cuscinetti, riduttori, ecc.) e quella dissiata dai disositivi elettrici di alimentazione e controllo. La otenza meccanica comlessivamente fornita alla oma dall esterno è in definitiva ari a:
U.07/0 ( l) m& = ( l) V& L & = La otenza idraulica effettivamente trasmessa al fluido è invece ari a: L& = Δ V& = η L& t t Curva caratteristica Le erdite di carico causate dagli attriti viscosi all interno della oma aumentano all aumentare della velocità e, quindi, della ortata del fluido (con rogressione circa quadratica er le ome di tio centrifugo). Pertanto, la revalenza di una oma diminuisce all aumentare della ortata. La curva che descrive l andamento della revalenza, esressa in termini di incremento di ressione o di incremento del carico iezometrico, in funzione della ortata costituisce la curva caratteristica della oma, ed è generalmente resa disonibile dal roduttore. 00 80 H (m) 60 40 0 0 0 50 00 50 Qv (m 3 /h) V & La curva caratteristica è semre riferita ad una ben secificata condizione di funzionamento (ad esemio, in una oma centrifuga, ad un valore assegnato della velocità di rotazione della girante). Per la stessa condizione di funzionamento sono di solito rese disonibili anche le curve che descrivono l andamento del rendimento e della otenza meccanica in funzione della ortata.
U.07/ 00 Rendimento (%) 80 60 40 0 0 0 50 00 50 Qv (m 3 /h) V & 30 5 L (kw). 0 5 0 5 0 50 00 50 Qv (m 3 /h) V & 7.6.5. Punto di funzionamento e adattamento al circuito Si consideri nuovamente il tratto di tubazione schematizzato in figura, in cui è inserita una oma. L equazione di bilancio dell energia meccanica alicata al tratto di tubazione, questa volta tra le sezioni e, assume la forma:
U.07/ ( ) ( ) R m R z z g W W = l α α Le velocità medie ossono essere esresse in funzione della ortata. Inoltre, si è visto come le erdite di carico ossano essere correlate alla ortata attraverso un coefficiente di resistenza al flusso R f. L equazione di bilancio dell energia meccanica si uò quindi riformulare come segue: ( ) ( ) m v f R Q R z z g V S S = l & α α La formulazione recedente ermette di valutare l andamento, in funzione della ortata, della revalenza che si dovrebbe fornire al fluido (tramite una oma ideale, o er gravità) er comensare la variazione del carico totale tra ingresso e uscita e le erdite di carico causate dagli attriti viscosi: ( ) ( ) ( ) [ ] V S S R z g z g V f t t & & = = Δ Δ α α In termini di incremento del carico iezometrico, si uò scrivere: ( ) V S S R g g z g z H V H f & & = = α α La revalenza da fornire al fluido resenta un valore minimo er V & =0, ari alla differenza di carico iezometrico tra ingresso e uscita, doodiché aumenta con il quadrato della ortata. Le relazioni recedenti consentono di costruire la curva caratteristica del circuito idraulico, cioè la curva che descrive l andamento di Δ t o H in funzione di V &. Una oma resenta una curva di funzionamento ben recisa, cioè la sua curva caratteristica. Se quindi la si accoia ad un circuito idraulico, esiste un solo valore della ortata er il quale la revalenza erogata dalla oma stessa è esattamente uguale alla revalenza da fornire al fluido. Tale valore di ortata è quello che si ha in corrisondenza del unto di intersezione tra la curva caratteristica della oma e la curva caratteristica del circuito (vedi figura seguente). 500 rm 0 0 40 60 80 00 0 50 00 50 Qv (m 3 /h) H (m) V &
U.07/3 Nella ratica, raramente accade che il unto di funzionamento dell imianto coincida con quello desiderato. È ertanto conveniente scegliere una oma che garantisca una ortata un o sueriore a quella che si vuole ottenere ed inserire nel circuito anche un disositivo di regolazione della ortata, ad esemio una valvola. Questa introduce una erdita di carico concentrata (regolabile), roorzionale al quadrato della ortata attraverso una resistenza al flusso (R f,c ) che va ad incrementare il valore totale del coefficiente di resistenza al flusso, R f. La curva caratteristica dell imianto si sosta così verso l alto (curva tratteggiata nella figura recedente) ed il unto di intersezione con la curva caratteristica della oma si sosta verso sinistra. In alcuni casi, ma entro limiti ben recisi e comunque al rezzo di un incremento del livello di comlessità e, quindi, del costo del sistema di omaggio, si uò variare la condizione di funzionamento della oma (ad esemio, in una oma centrifuga, si uò variare la velocità di rotazione della girante). Si ottiene così una diversa curva caratteristica della oma stessa e, quindi, un diverso unto di funzionamento di tutto l imianto idraulico, come raresentato in figura. 00 80 H (m) 60 40 500 rm 00 rm 0 0 0 50 00 50 Qv (m 3 /h) V &