Idraulica delle correnti: definizioni

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1 Idraulica delle correnti: definizioni Assumiamo un asse z verticale, positivo verso l alto, avente origine su un piano di riferimento orizzontale (nei calcoli per gli acquedotti si assume come riferimento il livello medio del mare). Per una sezione di corrente con traiettorie sensibilmente parallele (correnti gradualmente variate) definiamo: h = z + p/γ = carico piezometrico [] H = z + p/γ + U g = carico totale [] z = quota = energia di posizione (potenziale) per unità di peso p/γ = altezza piezometrica = energia di pressione per unità di peso U /(g) = altezza cinetica = energia cinetica per unità di peso Q = portata della corrente attraverso una sezione regolare Ω U = Q/Ω = velocità media della corrente Nota: si è approssimato a il coefficiente di ragguaglio per l energia cinetica. altezza piezometrica carico piezometrico Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( / ) Correnti in pressione e a pelo libero Corrente in pressione Corrente a pelo libero U /g inea dei carichi totali (H) inea dei carichi piezometrici (h) U /g inea dei carichi totali (H) U /g Y Pelo libero U /g P /γ P /γ Y H H h h H h h H z z f z f z Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( / )

2 unghe condotte: ipotesi Si confonde la lunghezza effettiva delle condotte con la lunghezza della sua proiezione orizzontale Si trascurano tutte le perdite di carico concentrate, si considerano solo le perdite di carico distribuite Si trascura l altezza cinetica della corrente U g : si confonde la linea dei carichi totali con la linea dei carichi piezometrici (H h) Condizioni di moto nelle condotte Si considera sempre il moto permanente ( / t = ). Spesso si assume anche uniforme: velocità (medie temporali U, se il moto è turbolento) indipendenti dalla coordinata spaziale nella direzione del moto. Talvolta è gradualmente variato (es. condotte con distribuzione uniforme). Si considera in ogni caso il moto dell acqua (incomprimibile) in tratti di condotta indeformabile a sezione Ω costante, perciò il rapporto Q/U risulta costante: quindi valgono leggi di proporzionalità tipo J U α J Q α e viceversa. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 3 / ) Equazione del moto e perdite di carico distribuite equazione del moto esprime la variaz. di carico totale per unità di lunghezza della condotta. Assumiamo per le ip. di lunghe condotte H = h e l asse x orizzontale con direzione-verso ottenuti dalla proiez. della velocità in condotta: dh dx = J J dh dx Il carico piezometrico diminuisce sempre nel verso del moto. a formula più generale per J (perdita di carico distribuita o pendenza motrice o cadente) è quella di Darcy-Weisbach: J = λ D U g J il coefficiente d attrito (o di resistenza) λ adimensionale è funzione del numero di Reynolds R e = (ρud)/µ (dipendenza di λ dalla velocità) e di uno o più parametri di scabrezza r s, ad es. ɛ/ell abaco di Moody: λ = λ(r e, ɛ D ) Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 4 / )

3 Regimi di moto di scarso interesse per gli acquedotti (R e < 35) R e < 5: Regime laminare Si ricava una espressione esatta per λ (equivalente alla legge di Hagen-Poiseuille U = γω 8π µ J): λ = 64 R e 5 < R e < 35: Zona critica J U É caratterizzata da regime di moto instabile, la legge di resistenza non è ben definita. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 5 / ) Regimi di moto di interesse per gli acquedotti (R e > 35) Formula di Colebrook-White λ = log (.5 R e λ + ɛ ) 3.7D () All aumentare del rapporto fra il secondo e il primo termine della somma ( ɛ D R e λ = ɛu ν λ), si verificano i seguenti regimi di moto: εu Regime di moto ɛ D R e λ appross. () ( λ α λ(r e ).75.8 tubo liscio < 4 λ log ).5 R e λ transizione 4 eq. () completa λ(r e, ɛ D ).8.9 assol. turb. > λ log ( ) ɛ λ( ɛ D ) 3.7D I valori per l esponente α che esprime le proporzionalità J U α e J Q α si riferiscono a formule pratiche. α caratterizza il regime di moto. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 6 / )

4 Abaco di Moody Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 7 / ) Espressioni pratiche per moto assolutamente turbolento Formula di Che zy Proposta per il moto uniforme nei canali, viene utilizzata anche per il moto assolutamente turbolento (α = ) nelle condotte in pressione: U = χ RJ U J= χ R = Espressioni utilizzate per il coefficiente di resistenza dimensionale χ χ= 87 + γr χ = ks R /6 (Bazin) χ= (Gauckler-Strickler) + mr χ= /6 R n (Kutter) (Manning) Scabrezze γ, m, ks, n in tabelle: unita di tutte le grandezze in metri e secondi R = raggio idraulico (per condotte circolari di diametro D: R = D/4) q egame con la formula di Darcy-Weisbach: χ = 8g λ Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 8 / )

5 Coefficienti di scabrezza delle tubazioni Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 9 / ) Espressione di Contessini per le perdite distribuite Spesso nella progettazione degli acquedotti viene utilizzata una espressione monomia (proposta da Contessini) per le perdite di carico: J = k Qα Il parametro α caratterizza il regime di moto Regime laminare α = Regime di tubo liscio α [.75.8] Regime di transizione α [.8.9] Regime assolutamente turbolento α = I parametri k ed n dipendono dalla scabrezza della condotta Per la semplicità nelle derivazioni ed integrazioni analitiche, la formula di Contessini viene spesso preferita alla formula di Colebrook-White. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( / )

6 Espressione di Contessini per moto turbolento (α = ): derivazione di k e n da altre formule Tubazione di cui siano noti e assegnati i coefficienti di scabrezza, ad esempio per le formule di Colebrook-White (ɛ), o di Bazin(γ), o di Kutter (m). J Darcy-Weisbach Q = λ Ω Dg = f (D, ɛ) = f (D) λ = λ( ɛ D ) Chézy J Q = Ω χ R = f (D, r s) = f (D) r s = γ, m Contessini J Q = kd n log (J/Q ) = log J = log k n log D Q Per alcuni diametri D i si calcola (J/Q ) i con Darcy- Weisbach/Chézy: da best-fit su diagramma bilogaritmico si ricava intercetta (log k) e pendenza ( n) log D Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( / ) Espressione di Contessini per moto turbolento (α = ): valori di k, n per alcune scabrezze Kutter e Bazin Contessini: J = k Qα Moto assolutamente turbolento: α = scabrezza di origine k n Kutter: m = Kutter: m = Kutter: m = Bazin: γ = Bazin: γ = Bazin: γ = Bazin: γ = Bazin: γ = Per il funzionamento dell acquedotto al termine della durata tecnico-economica si deve fare riferimento alle scabrezze delle condotte in servizio. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( / )

7 Perdite di carico: condotte con funzione di solo trasporto dh Qα = J dh = Jdx J = k dx = cost Fissiamo sempre un orientamento della condotta dalla estremità alla. A) Moto da sez a (Fig. a). Integrale da x = (sez ) a x = (sez ): h h dh = dh = h h = Jdx = J = k Qα h h B) Moto da sez a (Fig. b). Integrale da x = (sez ) a x = (sez ). Si ottiene l espressione generale: h = h h = δk Qα δ = +: moto (caso A) δ = : moto (caso B) a portata Q non contribuisce al segno perché è sempre positiva. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 3 / ) Condotte con funzione di solo trasporto: due casi Figura a h = h h > Figura b h = h h < h> h< h(x) h(x) h h dh dx = cost h h x Moto diretto dall estremo al. h = h h = k Qα x Moto diretto dall estremo al. h = h h = k Qα Nota: il verso dell asse delle x è sempre concorde al verso del moto. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 4 / )

8 Perdite di carico: condotte con funzione di distribuzione Portata distribuita uniformemente per unità di lunghezza di condotta: p Portata totale distribuita da una condotta lunga : P = p Fissiamo sempre un orientamento della condotta dalla estremità alla. Indichiamo con Q e Q le portate (positive) alle estremità e Condotta senza sezione neutra, moto sempre da sez a (Fig. a). Integrale da x = (sez ) a x = (sez ): Q(x) = Q px dq = pdx J(x) = k Q(x)α h h = J(x)dx = h = h h = k Q(x)α Q dx = k Q(x)α Q p dq k P (α + ) (Qα+ Q α+ ) cost Si ottiene la stessa equazione nel caso il moto sia diretto da sez. a (Fig. b) e per distributrici con sezione neutra (Figure 3a, 3b, 3c); l equazione è indipendente dai versi effettivi del moto nelle due estremità e. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 5 / ) Condotte con funzione di distribuzione (senza sezione neutra) Figura a h = h h > Figura b h = h h < h> h< h(x) h(x) Q Q h h p P = p x dh dx cost Q h h p P = p x Q Moto diretto dall estremo al. Q > Q h > Moto diretto dall estremo al. Q < Q h < Stessa equazione per h: il segno cambia in relazione a Q Q. h = h h = k P (α + ) (Qα+ Q α+ ) Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 6 / )

9 Condotte con funzione di distribuzione (con sezione neutra) - I Traccia per il calcolo del h Posizione della sezione neutra: = Q /p ; = Q /p = = / = Q /Q Figura 3a (sez. neutra a destra) h = h h > h> h h N = k p (α + ) (Qα+ ) h h N N h Q h h N = k p (α + ) (Qα+ ) a differenza di carico h si ricava sottraendo le due equazioni. Q p P = p x Q > Q h > Stessa equazione per h: il segno cambia in relazione a Q Q. h = h h = k P (α + ) (Qα+ Q α+ ) Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 7 / ) Condotte con funzione di distribuzione (con sezione neutra) - II Figura 3b (sez. neutra a sinistra) h = h h < Figura 3c (sez. neutra al centro) h = h h = h< Q h N h N h dh dx cost h N h N h Q p P = p x Q Q p P = p x Q < Q h < Q = Q h = Stessa equazione per h: il segno cambia in relazione a Q Q. h = h h = k P (α + ) (Qα+ Q α+ ) Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 8 / )

10 e equazioni di continuità Equazioni di continuità ai nodi Q u = Q u = portata uscente dal nodo con segno (es. + se uscente dal nodo) Equazioni di continuità per le condotte di distribuzione Q + Q = P Q = portata al nodo (con segno, es + se entrante in condotta) Q = portata al nodo (con segno, es + se entrante in condotta) P = portata distribuita complessivamente dalla condotta (> ) NOTA: la portata è positiva per definizione, tuttavia per scrivere le equazioni di continuità in forma compatta sono state introdotte sopra delle convenzioni sul segno. e equazioni del moto continuano invece ad essere valide con le portate positive (quindi espresse in modulo, se si è introdotto il segno). Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( 9 / ) e equazioni disponibili dall idraulica: + N + d (= numero totale di condotte) equazioni del moto: Q α i i δ i i k i D h,i h,i = n solo trasporto i i k i i i =,, i i P i (α i + ) (Qα i +,i Q α i +,i ) distribuzione δ i = + per moto, δ i = per moto N (= numero totale di nodi) equazioni di continuità ai nodi: Q j,i = j =,, N i sommatoria estesa a tutte le condotte i aventi un estremo nel nodo j. d (= numero condotte distribuzione) equazioni continuità nelle condotte: Q,i + Q,i = P i i =,, d Nelle equazioni di continuità le portate hanno segno + se entranti in condotta. Acquedotti e Fognature - A.A. - - R. Deidda A.4 - Richiami di Idraulica ( / )