Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 5 Luglio 2016 Nome Cognome Matricola Punteggi 10 cfu Teoria Ex.1 Ex.2 Ex.3 Ex. 4 Ex.5 /6 /5 /5 /5 /5 /5 Tutte le soluzioni vanno copiate in questo fascicolo, non verrà raccolta nessuna brutta copia. I risultati non copiati negli appositi riquadri verranno considerati errati. Ogni affermazione deve essere correttamente giustificata, la presenza di un risultato corretto non è sufficiente. 1
TEORIA Definizione di funzione biiettiva Definizione di grafico di una funzione di variabile reale Teorema di Weierstrass Si enunci il Teorema di Hôpital II, forma [± / ± ] Definizione di matrice trasposta Teorema di Rolle 2
STUDIO FUNZIONE Data la funzione determinare il suo dominio f (x) = x 3 e 2x Identificare i sottoinsiemi in cui la funzione è positiva ( f (x) > 0) e ove è nulla. Calcolare la derivata prima della funzione e identificare i sottoinsiemi in cui la funzione è crescente Dire se la funzione ammette asintoti e in caso affermativo, scriverne le equazioni. Dire se la funzione è limitata inferiormente e se f (x) ammette minimo. Sul retro di questo foglio calcolare i limiti rilevanti ed abbozzare un grafico della funzione 3
. 4
Integrali Calcolare, se esistono, i seguenti integrali e x sin(x) dx = π 0 e x sin(x) dx = 2 0 3 x 1 dx = 5
Equazione differenziale Trovare la soluzione generale della seguente equazione differenziale, per t > 1 y (t) = 1 t + 1 y(t) t + 1 2. Calcolare la soluzione particolare y(t) della suddetta eq. differenziale che soddisfi la condizione y(0) = 0 Calcolare, se esiste, una soluzione costante della seguente equazione differenziale. y y = y2 4y 6
Algebra lineare Dati calcolare: A = 2 1/2 3 4 2 6 1 0 3/2 b = 0 0 0 det(a) = la matrice inversa, se esiste, di A A 1 = risolvere il sistema lineare Ax = b dove x = (x 1, x 2, x 3 ) T 7
Funzioni a più variabili Si consideri il problema di ottimizzazione min f (x, y) = x 2 + (y 3) 2 soggetto a scrivere il gradiente di f (x, y) x + y = 5 f (x, y) = trovare i punti stazionari di f (x, y) e dire se appartengono alla R.A.={(x, y) R 2 x + y = 5}, Scrivere l insieme di livello k della funzione f (x, y) Γ k = Disegnare la regione ammissibile rappresentare le curve di livello e risolvere il problema di ottimizzazione. 8
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 5 Luglio 2016 Nome E L I S A INTEGRAZIONE Cognome C O R R A D O S I N F O R O S A Matricola Tutte le soluzioni vanno copiate in questo fascicolo, non verrà raccolta nessuna brutta copia. I risultati non copiati negli appositi riquadri verranno considerati errati. Ogni affermazione deve essere correttamente giustificata, la presenza di un risultato corretto non è sufficiente. TEORIA Si dia la definizione di gradiente di una funzione f (x 1, x 2, x 3 ) : R 3 R Si dica cosa si intende per matrice Hessiana associata ad una funzione f (x 1, x 2 ) : R 2 R 9
Equazione differenziale Trovare la soluzione generale della seguente equazione differenziale, per t > 1, y (t) = 1 t + 1 y(t) t + 1 2. Calcolare la soluzione particolare y(t) della suddetta eq. differenziale che soddisfi la condizione y(0) = 0 Calcolare, se esiste, una soluzione costante della seguente equazione differenziale y y = y2 4y 10
Equazione differenziale Trovare la soluzione generale della seguente equazione differenziale y = 2y + 4t Calcolare la soluzione particolare y(x) della suddetta eq. differenziale che soddisfi la condizione y( 1/2) = 0 11
Funzioni a più variabili Si consideri il problema di ottimizzazione min f (x, y) = x 2 + (y 3) 2 soggetto a scrivere il gradiente di f (x, y) x + y = 5 f (x, y) = trovare i punti stazionari di f (x, y) e dire se appartengono alla R.A.={(x, y) R 2 x + y = 5}, Scrivere l insieme di livello k della funzione f (x, y) Γ k = Disegnare la regione ammissibile rappresentare le curve di livello e risolvere il problema di ottimizzazione. 12
Funzioni a più variabili Data la funzione g (x, y) = 2x(y 1) + y determinarne il dominio e rappresentarlo graficamente scriverne il gradiente g (x, y) = dire dove la funzione è differenziabile scrivere la matrice hessiana nel generico punto (x, y) trovarne i punti stazionari e caratterizzarli 13
Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Matematica con Elementi di Informatica COMPITO 5 Luglio 2016 Nome S A R A INTEGRAZIONE Cognome M A R C H E L U Z Z O Matricola Tutte le soluzioni vanno copiate in questo fascicolo, non verrà raccolta nessuna brutta copia. I risultati non copiati negli appositi riquadri verranno considerati errati. Ogni affermazione deve essere correttamente giustificata, la presenza di un risultato corretto non è sufficiente. TEORIA Si dia la definizione di gradiente di una funzione f (x 1, x 2, x 3 ) : R 3 R Si dica cosa si intende per matrice Hessiana associata ad una funzione f (x 1, x 2 ) : R 2 R 14
Algebra lineare Dati calcolare: A = 2 1/2 3 4 2 6 1 0 3/2 b = 0 0 0 det(a) = la matrice inversa, se esiste, di A A 1 = risolvere il sistema lineare Ax = b dove x = (x 1, x 2, x 3 ) T 15
Algebra lineare Dati i seguenti vettori in R 4, dire se sono linearmente indipendenti v T = (2, 6, 3, 6), w T = (1, 4, 2, 4), h T = (3, 2, 1, 7) 16
Funzioni a più variabili Si consideri il problema di ottimizzazione min f (x, y) = x 2 + (y 3) 2 soggetto a scrivere il gradiente di f (x, y) x + y = 5 f (x, y) = trovare i punti stazionari di f (x, y) e dire se appartengono alla R.A.={(x, y) R 2 x + y = 5}, Scrivere l insieme di livello k della funzione f (x, y) Γ k = Disegnare la regione ammissibile rappresentare le curve di livello e risolvere il problema di ottimizzazione. 17
Funzioni a più variabili Data la funzione g (x, y) = 2x(y 1) + y determinarne il dominio e rappresentarlo graficamente scriverne il gradiente g (x, y) = dire dove la funzione è differenziabile scrivere la matrice hessiana nel generico punto (x, y) trovarne i punti stazionari e caratterizzarli 18