Appunti di Teoria dei numeri e algebra modulare

Appunti di Teoria dei numeri e algebra modulare 29 novembre 2013 0.1 Equazioni di II grado Le soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c = 0 con b 2 4ac 0 sono Tra le soluzioni valgono le relazioni x 1,2 = b ± b 2 4ac. 2a x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a. 0.2 Radicali doppi con a 2 b 0.» a ± a + a b = 2 b a a ± 2 b 2 2 0.3 Serie geometrica Definizione 0.1. Si chiama somma parziale di una serie geometrica la sommatoria di tutte le potenze di un numero q 1 con l esponente che va da zero a un certo n N. In simboli: s n = q k = q 0 + q 1 + q 2 +... + q n. Si può dimostrare che s n = q k = 1 qn+1 1 q, da cui si ricava che 1 q n+1 = (1 q)( q k ) q n+1 = (q 1) q k + 1. 1

Esempio 0.1. Infatti s 5 = 5 2 k = 1 26 1 2 = 63 1 = 63. 5 s 5 = 2 k = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. 0.4 Algoritmo di Euclide o Algoritmo delle divisioni successive È un algoritmo che permette di calcolare il massimo comune divisore tra due numeri interi. Vediamone il funzionamento tramite un esempio. Supponiamo di dover calcolare l MCD(401, 355). Procediamo allora nel modo seguente: 401 = 355 1 + 46 355 = 46 7 + 33 46 = 33 1 + 13 33 = 13 2 + 7 13 = 7 1 + 6 7 = 6 1 + 1 6 = 6 1 + 0. Quindi abbiamo che l MCD(401, 355) = 1, ovvero l ultimo resto positivo delle divisioni successive. Andando a ritroso, possiamo scrivere l MCD come combinazione lineare dei numeri iniziali: 1 = 7 1 6 = 7 1 (13 1 7) 1 = 2 7 13 1 = 2(33 13 2) 13 1 = 2 33 5 13 = 2 33 5(46 33) 1 = 7 33 5c 46 = 7(355 46 7) 5 46 1 = 7 355 54 46 = 7 355 54(401 355) = 61 355 54 401. 0.5 Divisibilità Definizione 0.2. a divide b significa che b è multiplo di a o equivalentemente che k N tale che b = ka. Scriveremo a b b = ka. Se a b e b c, allora a b + c 2

a kb + jc k, j a kb + jc + ha k, j, h. Inoltre a b a n b n : infatti, a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b +... + ab k 2 + b k 1 ) a + b a n + b n solo se n è dispari: infatti, a n + b n = (a b)(a n 1 a n 2 b +... ab k 2 + b k 1 ) a 2 + b 2 a 6 b 6 : infatti, (a 2 ) 3 + (b 2 ) 3 = (a 2 + b 2 )(a 4 b 2 a 2 + b 4 ). Definizione 0.3. p N si dice primo se a, b N p ab p a oppure p b o equivalentemente p = ab a = ±1 o b = ±1. 0.6 Equazioni diofantee Definizione 0.4. Ogni equazione a coefficienti interi si dice diofantea. Teorema 0.1. Siano a, b, c Z. Condizione necessaria e sufficiente affinché l equazione ax + by = c ammetta soluzioni intere è che d = MCD(a, b) divida c. Esempio 0.2. Sia 132x + 27y = 6. Poiché l MCD(132, 27) = 3 6, allora l equazione ammette soluzioni intere. Scrivo quindi l MCD come combinazione lineare di a e b tramite l algoritmo delle divisioni successive: 132 = 27 4 + 24 27 = 24 1 + 3 24 = 3 8 + 0. Allora posso scrivere l MCD(= 3) come: 3 = 27 24 = 27 (132 27 4) = 132 ( 1) + 27 5, ovvero ho trovato una combinazione lineare di 3 usando 132 e 27. Poiché c = 6 = 3 2, moltiplico tutto per 2 e trovo una soluzione particolare: 6 = 132 ( 2) + 27 10 ( x, ȳ) = ( 2, 10). 3

Tutte le soluzioni saranno della forma (x, y) = ( x + b d l, ȳ a d l), quindi nel nostro caso avremo (x, y) = ( 2 + 9l, 10 44l). 0.7 Congruenze modulo n Sia n N. Allora a, b Z vale a b (mod n) n divide (a b). Se n divide (a b), allora q Z tale che a b = nq a = nq + b. Quindi b è il resto della divisione di a per n. Inoltre a b (mod n) a b + hn (mod n), h Z. Esempio 0.3. Vediamo alcuni esempi numerici di congruenze. 20 2 (mod 3). Infatti 20 2 = 3 6 20 = 3 6 + 2. 20 1 (mod 7). Infatti 20 + 1 = 7 3 20 = 7 3 1. x + 7 x 2 (mod 3). Infatti (x + 7) (x 2) = x + 7 x + 2 = 9 = 9 1. Teorema 0.2 (Piccolo teorema di Fermat). p primo e a Z, se p a allora a p 1 1 (mod p). Corollario 0.3. p primo e a Z si ha a p a (mod p). Esempio 0.4. p = 3, a = 4 4 3 4 (mod 3). Infatti: 64(= 4 3 ) 4 = 60 = 3 20. Definizione 0.5. Il periodo di a modulo n è il minimo p > 0 tale che a p 1 (mod n). 4

Esempio 0.5. 2 0 1 (mod 31) 1 (mod 11) 1 (mod 5) 1 (mod 3) 2 1 2 (mod 31) 2 (mod 11) 2 (mod 5) 2 1 (mod 3) 2 2 4 (mod 31) 4 (mod 11) 4 1 (mod 5) 1 (mod 3) 2 3 8 (mod 31) 8 (mod 11) 3 (mod 5) 2 (mod 3) 2 4 16 (mod 31) 5 (mod 11) 1 (mod 5) 1 (mod 3) 2 5 32 1 (mod 31) 1 (mod 11) 2 (mod 5) 2 (mod 3). Quindi il periodo di 2 (mod 31) è 5, (mod 11) è 10, (mod 5) è 4, (mod 3) è 2. 0.7.1 Criteri di divisibilità Regole per determinare la divisibilità usando le congruenze. Divisibilità per 2 n N si ha n = 10q + r con 0 r 9, perciò r è l ultima cifra di n. Poiché 2 10 10 0 (mod 2), si ha che 2 n 2 r, ovvero r deve essere pari. Divisibilità per 3 Siano a k, a k 1, a k 2,..., a 0 le cifre di n. Allora n = a k 10 k + a k 1 10 k 1 +... + a 0. Si ha che 10 1 (mod 3), perciò 10 l 1 (mod 3) l N. Allora n a k + a k 1 +... + a 0 (mod 3) e quindi 3 n se e solo se 3 (a k + a k 1 +... + a 0 ), cioè 3 divide un numero se e solo se divide la somma delle sue cifre. Divisibilità per 4 Ogni numero naturale può essere scritto nella forma n = 100q + r, per qualche q, r N (poiché infatti 4 divide 100, ma non divide 10). Quindi 4 n se e solo se 4 r, dove r corrisponde alle ultime due cifre di n. 5

Divisibilità per 5 Ogni numero naturale può essere scritto nella forma n = 10q + r, per qualche q, r N. Poiché 5 10, allora 5 n se e solo se 5 r, dove r è l ultima cifra di n. In altre parole 5 n se e solo se n finisce con 0 o 5. Divisibilità per 6 Poiché 6 = mcm(2, 3), per verificare la divisibilità per 6 bisogna semplicemente verificare la divisibilità per 2 e per 3. Divisibilità per 8 Ogni numero naturale può essere scritto nella forma n = 1000q + r, per qualche q, r N, dove r è il resto della divisione per 1000 (infatti, 8 non divide 100, ma divide 1000). Quindi 8 n se e solo se 8 r, dove r corrisponde alle ultime tre cifre di n. Divisibilità per 9 Come per la divisibilità per 3, la rappresentazione decimale di n è n = a k 10 k + a k 1 10 k 1 +... + a 0. Poiché 10 1 (mod 9), allora 10 l 1 (mod 9) l N. Quindi n a k + a k 1 +... + a 0 (mod 9), ovvero 9 n se e solo se 9 (a k + a k 1 +... + a 0 ), cioè 9 divide un numero se e solo se divide la somma delle sue cifre. Divisibilità per 10 Ovviamente tutti sanno che un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è uno zero. Questo proprio perché 10 = mcm(2, 5), quindi affinché 10 n deve essere 2 n e 5 n. Se 2 n, l ultima cifra di n deve essere 2, 4, 6, 8, 0. Se 5 n, l ultima cifra di n deve essere 5, 0. Quindi, perché valgano entrambe e 10 n, si può avere come ultima cifra solo lo zero. 6

Divisibilità per 11 Consideriamo la rappresentazone decimale di n come n = a k 10 k + a k 1 10 k 1 +... + a 0. Poiché 10 1 (mod 11), allora 10 l ( 1) l (mod 11) l N. Quindi n ( 1) k a k + ( 1) k 1 a k 1 +... + a 0 (mod 11), ovvero 11 n se e solo se 11 (a 0 a 1 + a 2... + ( 1) k a k ), cioè 11 n se e solo se 11 divide la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari. Divisibilità per 12 e per 15 Poiché 12 = mcm(4, 3) e 15 = mcm(5, 3), basta verificare la divisibilità rispettivamente per 4 e 3 e per 5 e per 3. 7