CAPITOLO 8 TEORIA DELLA SIMILITUDINE Premessa. La teoria della similitudine ha una duplice fondamentale importanza nel campo delle macchine in quanto, da una parte, consente di mettere in relazione le caratteristiche di funzionamento di macchine simili senza che si debbano compiere su ciascuna di esse prove sperimentali lunghe, costose e spesso impossibili da condurre in laboratorio. Il costruttore di macchine, rispettando opportuni parametri, potrà quindi limitarsi a condurre le prove sperimentali su un modello, deducendo poi per via analitica le prestazioni di tutte le macchine appartenenti alla stessa famiglia del modello. D'altra parte, la teoria della similitudine consentirà all'utente di scegliere la macchina che risponda alle proprie particolari esigenze col miglior rendimento. 8.1) Criteri di similitudine. Affinché siano applicabili a macchine di dimensioni e prestazioni diverse le relazioni deducibili dalla teoria della similitudine, è necessario che siano rispettati i seguenti criteri di similitudine: - Similitudine geometrica: tutte le dimensioni omologhe, o corrispondenti, devono stare in rapporto di scala costante. Indicando, ad esempio, con l e l' due generiche grandezze corrispondenti di due macchine simili (ad es. il diametro massimo di una girante), in base a questo criterio deve essere: α = l (8.1) l dove con α si è indicato il rapporto caratteristico della similitudine geometrica. - Similitudine cinematica: i triangoli di velocità in sezioni omologhe devono essere simili. Per il criterio di similitudine dei triangoli sarà: v β = v = w w = u (8.) u dove β è il coefficiente caratteristico della similitudine cinematica. - Similitudine dinamica: in sezioni omologhe deve essere uguale il rapporto tra forze corrispondenti: δ = F i = F p = (8.3) F i F p dove con F i e F p si sono rispettivamente indicate le forze d'inerzia e quelle d'attrito viscose agenti su una particella di fluido e con δ il coefficiente caratteristico della similitudine dinamica. Osserviamo che dalla definizione del numero di Reynolds Re si può dedurre: Re Re' = F F i p = δ F p F i δ =1 La similitudine dinamica può, quindi, essere espressa dicendo che in sezioni corrispondenti devono essere uguali i numeri di Reynolds del fluido. - Similitudine termodinamica: tiene conto degli effetti della comprimibilità del fluido e stabilisce che, per flussi isoentropici, in sezioni corrispondenti deve essere uguale il numero di Mach periferico M u = u/c, dove con u si è indicata la velocità periferica in una sezione generica e con c la velocità del suono alle condizioni esistenti nella stessa sezione. Per M u ridotti gli effetti legati alla comprimibilità del fluido possono essere trascurati e si parlerà, in tal caso, di similitudine idraulica; a tali condizioni si farà riferimento nella trattazione seguente.
60 Dalle due prime condizioni di similitudine si può dedurre che per una macchina operatrice sarà: l e = u v cosα = β l e u v cos α In cui si è supposto per semplicità un ingresso assiale. In altri termini, per macchine geometricamente simili e operanti in condizioni di similitudine, è costante e uguale a β il rapporto fra i lavori euleriani. Analogo risultato è evidentemente ottenibile per le macchine motrici. Tenendo presente, inoltre, che in condizioni di similitudine è: β = u u = ω R ω R = n n α (8.4) si ricava: l e = α l e n n (8.5) Per macchine simili operanti in condizioni di similitudine, il rapporto fra i lavori euleriani è, quindi, proporzionale al quadrato del rapporto fra le dimensioni e al quadrato del rapporto fra le velocità di rotazione. Sempre dai primi due criteri e dall'equazione di continuità per fluidi incomprimibili si può ricavare che, per macchine simili operanti in condizione di similitudine, sarà: V V = vs v S = α β dove con v si è indicata una generica velocità (assoluta o relativa) normale ad una data sezione di passaggio S. Tenendo presente la (8.4) si ottiene ancora: V V = α n 3 n (8.6) Le portate elaborate da macchine simili operanti in condizioni di similitudine dipendono linearmente dal rapporto fra le velocità di rotazione e dal cubo del rapporto fra le dimensioni. Dalla definizione della forza d'inerzia si può dedurre l'espressione del coefficiente δ della similitudine dinamica in funzione dei coefficienti α e β. Per una massa m di fluido in movimento sarà infatti: F i = ma F i m a = mdv d t dt m d v = m dv m d v = ρ V dv ρ V d v = ρ ρ α β Indicando con F la risultante delle forze attive e reattive agenti sulla massa m, somma a sua volta delle forze d'inerzia e delle forze d'attrito viscose, dalla (8.3) si deduce: F F = F + F i p = F 1+ F p F i F i + F p F i i F 1+ = ρ p ρ α β F i Per un fluido in movimento, tale risultante sarà anche uguale alla differenza di pressione totale moltiplicata per la superficie S a cui è applicata, e quindi: Δp t = F S Δ p t S F = ρ ρ β e dalla definizione di prevalenza di una pompa: = Δp t g ρ = β = α (8.7) gρ Δ p t n n analogamente a quanto ottenuto per il rapporto fra i lavori euleriani. Da quanto sopra esposto e dalla definizione di rendimento idraulico si ricava, infine, la fondamentale relazione della similitudine idraulica:
η i = h e = β =1 (8.8) η i h e β Macchine geometricamente simili e operanti in condizioni di similitudine idraulica, hanno lo stesso rendimento idraulico. Una relazione perfettamente analoga alla (8.8) può essere ovviamente dedotta anche per le macchine motrici. Osserviamo, inoltre, che per la validità della (8.8) non è necessario che il fluido elaborato sia lo stesso poiché prevalenza e lavoro euleriano sono indipendenti dalla densità del fluido. A pari condizioni operative, in particolare alla stessa prevalenza, dipenderà invece dalla densità del fluido la differenza di pressione a cavallo della pompa. Dalle relazioni precedenti e osservando che, in condizioni di similitudine, è η v = η' v e η m = η' m, si ricava: P a = γ V P a γ = ρ 3 V ρ α n 5 (8.9) n dalla quale si deduce che il rapporto fra le potenze all'asse assorbite da pompe simili è uguale al rapporto fra le densità dei fluidi elaborati per la quinta potenza del rapporto fra le dimensioni lineari e per il cubo del rapporto fra le velocità di rotazione. Dalla (8.6) e dalla (8.7), ponendo α = 1, si ottiene: V V = n h e m = n (8.10) n n relazioni che permettono la costruzione della caratteristica interna di una pompa per una velocità di rotazione diversa da quella fornita dal costruttore. Eliminando la velocità di rotazione nelle due relazioni precedenti si ottiene ancora: = V V (8.11) che esprime il luogo geometrico dei punti di funzionamento ad uguale rendimento idraulico per una pompa che operi in condizioni di similitudine a diverse velocità di rotazione: tale luogo è, quindi, rappresentato da una parabola con vertice nell'origine. 61 Fig.8.1 In fig. 8.1 sono illustrate le considerazioni sopra esposte. Osserviamo che al variare della velocità di rotazione di una macchina variano anche le velocità del fluido all'interno della stessa e quindi varia Re. Il mancato rispetto della similitudine dinamica provocherà perciò uno scostamento dalle curve di isorendimento paraboliche tanto più consistente quanto più Re si discosta dal valore di progetto. Nella pratica, si avranno quindi diagrammi collinari analoghi a quelli qualitativamente riportati in fig. 8..
6 Fig. 8. 8.) Coefficienti adimensionali. Le grandezze operative delle macchine dipendono di norma da numerosi parametri che rendono gravosa la loro rappresentazione; per una pompa, ad esempio, la relazione tra portata e prevalenza sarà esprimibile mediante relazioni del tipo: = f ( V,ω,D,ρ,μ) dove D è una dimensione di riferimento, solitamente il diametro della girante, che identifica la taglia della macchina, ω è la velocità di rotazione, ρ e μ sono rispettivamente la densità e la viscosità del fluido e f è una generica funzione per lo più d'origine sperimentale. L'analisi dimensionale permette, però, di ridurre il numero delle variabili effettivamente indipendenti utilizzando opportune variabili adimensionali al posto di quelle dimensionali. Secondo il teorema di Vaschy-Buckingham, infatti, una relazione fra n parametri differenti può essere espressa da una relazione tra n m variabili adimensionali indipendenti, essendo m il numero delle grandezze fondamentali del sistema (ad es., massa, lunghezza e tempo per un sistema meccanico). La relazione soprascritta potrà quindi ridursi alla funzione di due variabili adimensionali: ω D = f ( V ωd, ρωd 3 μ ) da cui: ψ = f (ϕ,re) (8.1) dove D è il diametro massimo della girante e dove si sono introdotti i coefficienti adimensionali: V coefficiente di portata ϕ = ωd 3 coefficiente di prevalenza ψ = g ω D numero di Reynolds Re = ρud μ In condizioni di similitudine dinamica la (8.1) si riduce alla funzione ad una sola variabile ψ=f(ϕ) che esprime in forma adimensionale la caratteristica interna di tutte le pompe simili operanti in condizioni di similitudine. Oltre a quelli citati, richiamiamo altri coefficienti adimensionali comunemente utilizzati nell'analisi e nella progettazione delle macchine idrauliche a flusso continuo:
63 P coefficiente di potenza τ = a ρω 3 5 D u coefficiente di velocità periferica k u = g Tali coefficienti potranno essere correlati fra loro mediante relazioni del tipo (8.1) che saranno suggerite dall'esperienza e dall'indagine sperimentale. Ai coefficienti elencati si potrà aggiungere il grado di reazione ampiamente trattato nel capitolo precedente. Per quanto concerne la cavitazione nelle macchine idrauliche, osserviamo che lo sviluppo delle bolle di gas e/o di vapore altera lo stato di moto del fluido in modo tale che, per macchine geometricamente simili, la similitudine cinematica e dinamica non siano più rispettate; sarà cioè: NPSH r = β x NPS H r dove x è un coefficiente sperimentale diverso da e che varia a seconda del tipo di macchina. Nella pratica, possono essere utilizzati alcuni coefficienti di previsione dello NPSH r o dello TREH che possono guidare il progettista sia nel fissare l'altezza d'aspirazione di una pompa o di scarico di una turbina e sia nella scelta della macchina più adatta all'impianto in relazione ai problemi della cavitazione. Tra questi citiamo il coefficiente di cavitazione di Thoma: σ = NPSH r per le pompe, e σ = TREH per le turbine. In fig. 8.3 a) è riportato l'andamento del coefficiente di Thoma per pompe a flusso continuo al variare del numero di giri specifico mentre in fig. 8.3 b) è riportato l'andamento dello stesso coefficiente per le turbine idrauliche al variare del numero di giri caratteristico. Fig. 8.3 Il numero di giri specifico e il numero di giri caratteristico saranno trattati nel paragrafo successivo. Un altro coefficiente utilizzato nella pratica è la velocità specifica d'aspirazione (o numero caratteristico d'aspirazione di Vislicenus): S = ω V ( gnpsh r ) 3 4
64 L'esperienza ha evidenziato che, in generale, S = 3 per le pompe e S = 4 per le turbine. Tale fatto può essere spiegato osservando che le condizioni d'innesco della cavitazione dipendono essenzialmente dalla geometria dell'imbocco in girante per le pompe e dallo scarico girante per le turbine, geometrie che sono molto simili anche in macchine diverse appunto perché disegnate per evitare l'insorgere della cavitazione. 8.3) Numeri caratteristici. Per caratterizzare famiglie di macchine simili sono utilizzati nella pratica alcuni coefficienti, legati alle condizioni operative di progetto e costanti per macchine simili, di cui, senza occuparci di come possano essere teoricamente dedotti, elenchiamo le espressioni più comunemente usate: - Numero di giri caratteristico: n c = n P a h (8.13) 54 m Dove n è la velocità di rotazione espressa in giri/min, P a è la potenza all'asse espressa in CV e hm è il salto motore o la prevalenza espressi in m. E' utilizzato soprattutto per le turbine idrauliche e rappresenta la velocità di rotazione di massimo rendimento di una turbina che, sotto un salto motore di un metro, eroghi all'asse una potenza di 1 CV. Si può facilmente dedurre che il numero di giri caratteristico, come quelli descritti in seguito, è un invariante della similitudine idraulica e, quindi, è rappresentativo di macchine appartenenti alla stessa famiglia seppur di dimensioni diverse. Sviluppando le grandezze contenute nella (8.13) si ottiene: γ n c = n 75 η V γ g = n 54 75 η V g 34 dove 75 è il coefficiente di passaggio da kgm/s a CV. Tenendo presente che per l'acqua il peso specifico è pari a 1000 kg/m 3, si deduce: n c = n 1000 V η g 75 h 3,65n η V 34 g m h (8.14) 34 m per le pompe operanti con acqua sarà ovviamente: n c 3,65 V n η g h (8.15) 34 m Osserviamo che talvolta nelle (8.14) e (8.15) è omesso il rendimento globale η g senza che ciò comporti variazioni significative di n c. - Numero di giri specifico (o velocità specifica): n s = n V 34 (8.16) E' utilizzato sopratutto per le pompe e, come si può osservare dalla (8.16), è indipendente dalla natura del fluido pompato. Dalle definizioni sopra riportate si deduce che, per pompe operanti con acqua, sarà: n c 3,65 n s η g Della (8.16) si può dedurre la forma adimensionale del numero di giri specifico talvolta usata nella pratica: dove g è l'accelerazione di gravità. - Velocità angolare specifica: V n s = n (8.17) ( g ) 34
V ω s = ω ( g ) = π 34 30 n V 34 (8.18) ( g ) dove ω è la velocità di rotazione espressa in rad/s. - Numero di giri caratteristico utilizzato per i compressori: V π σ n = ω ( Δh is ) = π 34 30 n V (8.19) 34 ( Δh is ) dove Δh is è il salto entalpico isoentropico a cavallo del compressore espresso in J/kg. Il numero di giri caratteristico, o uno qualsiasi dei numeri caratteristici presentati, è immediatamente correlabile alla geometria di una macchina a flusso continuo, motrice o operatrice, ottenendo, in tal modo, delle relazioni che legano la geometria della stessa alle grandezze operative nelle condizioni di massimo rendimento (condizioni di progetto della macchina). 65 Fig.8.4 Riferendoci, a titolo d'esempio, alla girante di una pompa centrifuga schematicamente rappresentata in fig. 8.4, si può osservare che: V V e = = πd η b ( 1 ξ )v m = πd b ( 1 ξ )v sinα v dove V e è la portata elaborata dalla girante, v m = v sinα la componente della velocità allo scarico girante normale alla sezione di passaggio (componente radiale) e ξ è il coefficiente d'ingombro delle pale allo scarico girante. D'altra parte, in condizioni di progetto (ingresso assiale) si ha: = η i h e = η i g u v cosα e dalla (8.17) si ricava: n s = 60 34 u g η v πd b ( 1 ξ )v sinα π D η i ( u v cosα ) 34 da cui: n s = 60 34 14 g b η π η v ( 1 ξ ) u tgα i D (8.0) v cosα Per il teorema dei seni applicato al triangolo delle velocità allo scarico girante, si può scrivere:
66 u ( ) = sin α + β = sinα cosβ + sinβ cosα v sinβ sinβ e sostituendo nella (8.0): n s = 60 34 g b η π η v ( 1 ξ ) tgα i D 1+ tgα 14 (8.1) tgβ che esprime la relazione cercata tra numero caratteristico e geometria della macchina. Tenendo presente la (8.17) che lega il numero di giri specifico alle condizioni operative, si può dedurre che al crescere della portata erogata o al diminuire della prevalenza deve crescere n s : per ottenere ciò saranno necessarie giranti con pale sempre più larghe e diametro esterno sempre più piccolo (giranti più compatte). L'angolo α deve crescere mentre l'angolo β deve diminuire, con pale sempre più rivolte all'indietro rispetto al moto all'aumentare del numero di giri specifico. Osserviamo ancora che, per evitare distacchi della vena fluida dalla superficie lambita, con conseguente caduta di rendimento, all'aumentare dell'altezza di pala b sarà necessario passare da giranti con palettatura radiale a giranti con palettatura conica (giranti a flusso misto), sino alle giranti assiali per i valori di n s più elevati. Relazioni analoghe alla (8.1) e che qui omettiamo per brevità di trattazione, sono ricavabili tra i numeri caratteristici e le grandezze adimensionali definite nel presente capitolo (coefficienti di velocità, grado di reazione, coefficiente di portata, ecc ). Nella fig. 8.5 sono sinteticamente evidenziati i concetti sopra esposti. Fig. 8.5 In fig. 8.6 è rappresentato il diagramma di Baljé in cui sono riportate in funzione della velocità angolare specifica le condizioni operative delle pompe a flusso continuo per diversi rendimenti e ( ) 14 diametri specifici D s = D g. Per condizioni di rendimento ottimali il diagramma coincide V con quello di Cordier. Se, per date prestazioni della macchina, le dimensioni corrispondenti al rendimento ottimale non sono accettabili o economicamente convenienti, si dovrà modificare il numero di giri o accettare un rendimento non ottimale. Diagrammi statistici analoghi a quello riportato in fig. 8.6 e che guidano nel progetto di massima delle macchine sono disponibili in letteratura tecnica. A conclusione di queste note, osserviamo che tutte le considerazioni svolte e tutte le grandezze riportate nelle espressioni precedenti s'intendono riferite a macchine monostadio o a singoli stadi di macchine pluristadio.
67 Fig. 8.6 8.4) Limiti di validità della similitudine. Effetto della viscosità. Si è detto come la teoria della similitudine sia valida solo nel rispetto di alcune ipotesi che nella pratica sono spesso difficilmente realizzabili, come ad es. nel caso della cavitazione il cui sviluppo, come si è già osservato, fa sì che similitudine cinematica e dinamica non siano più verificate. Per quanto riguarda la similitudine dinamica si può ancora osservare che al variare di Re varierà il "peso" delle forze viscose rispetto a quello delle forze d'inerzia, con conseguenti variazioni di rendimento pur nel rispetto della similitudine geometrica e cinematica. In generale, si potrà dire che l'influenza delle forze viscose sarà trascurabile per regimi di moto turbolenti in cui il peso delle forze d'inerzia è preponderante: in questo tipo di regimi la variazione di Re avrà perciò effetti trascurabili sul rendimento della macchina. Passando da regimi turbolenti a regimi di transizione o laminari, com'è per fluidi molto viscosi o per macchine di piccole dimensioni, l'influenza della variazione di Re sul rendimento sarà sempre più accentuata. In fig. 8.7 sono riportate le curve di rendimento di una pompa centrifuga operante alla stessa velocità di rotazione con oli di diversa viscosità cinematica e, quindi, con una corrispondente variazione del numero di Re da 31.4 10 4, per il funzionamento con acqua, a.19 10 4 per il funzionamento con l'olio di viscosità cinematica pari a 16 csk. Il mancato rispetto della similitudine dinamica avrà anche effetto sulle prestazioni delle macchine quali, ad esempio, potenza all'asse e prevalenza di una pompa. Di conseguenza, le caratteristiche operative di macchine simili, espresse mediante coefficienti adimensionali, non saranno più curve a una sola variabile ma curve a due variabili. In fig. 8.8 sono riportate le caratteristiche interne di una famiglia di pompe operanti con lo stesso fluido e espresse mediante i coefficienti di prevalenza ψ di portata ϕ in cui appare evidente la dipendenza dal numero di Reynolds.
68 Fig. 8.7 Per quanto concerne il funzionamento in condizioni diverse da quelle di progetto, possiamo osservare che, in tali condizioni, tendono a prevalere, rispetto alle perdite distribuite, le perdite per distacco della vena fluida e quelle per urto. Tali perdite dipendono dal numero di Reynolds in modo trascurabile e, in ogni caso, diversamente da come ne dipendono le perdite distribuite. Anche per il funzionamento in condizioni fuori progetto, viene a cadere, quindi, la condizione di similitudine dinamica e non sarà perciò lecito attendersi il pieno rispetto delle leggi della similitudine idraulica. Effetti di scala. Fig 8.8 Con effetti di scala s'intendono i limiti di validità delle leggi della similitudine dovuti alla non perfetta riproduzione in scala della geometria di macchine simili. Al variare delle dimensioni è in
genere mantenuto invariato, per motivi tecnologici e di costo, il grado di lavorazione superficiale e il gioco tra parti mobili e fisse della macchina. Di conseguenza, al variare delle dimensioni delle macchine di una data famiglia, varierà la scabrezza relativa con conseguente variazione del rendimento idraulico da cui esso dipende. Allo stesso modo, al variare delle dimensioni delle macchine, varierà il "peso" della portata di ricircolo o di by-pass sul rendimento volumetrico della macchina. Da quanto sopra esposto, si può concludere che, all'interno di una data famiglia di macchine, quelle di dimensioni maggiori avranno miglior rendimento di quelle di dimensioni minori. Per ogni famiglia di macchine, esisterà perciò una dimensione minima sotto la quale non sarà opportuno scendere onde evitare rendimenti eccessivamente bassi e una dimensione massima imposta dalle condizioni di resistenza meccanica delle diverse parti della macchina. Diversi criteri semiempirici sono stati proposti per tener conto dell'effetto scala sul rendimento di una macchina. Uno dei più semplici è dato, per macchine idrauliche, dalla formula di Moody: 1 η 1 η = D α D dove l'esponente α varia da 0.1 a 0.5 a seconda del tipo di macchina. L'esperienza ha tuttavia mostrato che, all'interno di una famiglia di macchine simili, il coefficiente α è molto variabile con le dimensioni. In alternativa alla formula di Moody, si può ricorrere a funzioni statistiche del tipo: η = η s f r ( D) Dove η s è il rendimento di una macchina di dimensione standard per la famiglia di macchine simili presa in considerazione e f r è un fattore correttivo abbastanza generale all'interno della famiglia. Il grafico riportato in fig. 8.9 si riferisce a famiglie di pompe per la quale si è assunto come diametro standard un diametro all'aspirazione pari 60 pollici, diametro per cui gli effetti di scala possono essere considerati trascurabili. 69 Fig. 8.9 Effetti della comprimibilità. Le relazioni di similitudine sopra esposte sono state ricavate trascurando gli effetti della comprimibilità del fluido e, quindi, con un rapporto costante, per un dato fluido, tra portata massica e portata volumetrica. Ne consegue,quindi, che una variazione di portata in una data sezione implica una variazione proporzionale della velocità del fluido e viceversa. Nel caso di fluidi comprimibili a velocità sufficientemente elevate (Ma 0.4), affinché le portate volumetriche stiano in rapporto proporzionale alle portate massiche in una data sezione è necessario che varino in proporzione anche le densità. Dalla relazione (4.1) possiamo dedurre
70 che, per un flusso isoentropico, il rapporto fra le densità in una data sezione resta invariato solo se il numero di Mach è lo stesso, così come il rapporto fra le temperature e fra le pressioni. Perché sia soddisfatta la similitudine nel campo dei fluidi comprimibili, oltre alle condizioni di similitudine geometrica, cinematica e dinamica, sarà perciò necessaria l'uguaglianza dei numeri di Mach o di grandezze ad essi proporzionali. Con riferimento ad una generica sezione della macchina, si usa definire il numero di Mach periferico: M u = u c dove c è velocità del suono in una data sezione. Fig. 8.10 La fig. 8.10 mostra l'effetto del numero di Mach sulle curve caratteristiche adimensionali teoriche (ossia calcolate) di un compressore. Si può osservare che le curve coincidono fino a Ma 0.5 per poi subire forti modifiche di forma, soprattutto causa dell'effetto di choking alle portate più elevate. Per tener conto degli effetti della comprimibilità, le variabili operative di un compressore sono abitualmente riferite a condizioni d'aspirazione standard (tipicamente, le condizioni dell'atmosfera standard p 0, T 0, ρ 0 ) ottenendo in tal modo le grandezze ridotte, quali ad esempio: pressione ridotta δ = p 1 p 0 temperatura ridotta ϑ = R T 1 1 R 0 T 0 portata ridotta m r = m ϑ δ D D r n D D numero di giri ridotto n r = r ϑ dove D r è una dimensione standard per la famiglia di compressori simili.