nduzione Magnetica egge di Faraday ezione 8 (oltre i campi elettrostatico, magnetostatico, e le correnti stazionarie) Variazione nel tempo del campo : Muovendo un magnete vicino a una spira connessa ad un amperometro si osserva il passaggio di corrente nel circuito! Corrente indotta: solo con magnete in movimento generazione di corrente indotta in circuiti secondari Chiudendo l interruttore, la corrente nel circuito primario cresce nel tempo fino al suo valore stazionario (Ohm); solo in questo intervallo di tempo si osserva il passaggio di corrente nel circuito secondario! Corrente indotta Campo del magnete Circuito secondario Campo creato dalla corrente nel circuito primario
egge di Faraday: variazione nel tempo di generazione di forza elettromotrice indotta (f.e.m.), o di campo elettrico indotto, anche nel vuoto corrente indotta in circuiti (Ohm etc.) Formulazione matematica (di Maxwell) Derivata temporale totale del flusso del campo magnetico su Forza elettromotrice sul circuito C dφ Φ egno negativo! (egge di enz; anche connessione alla regola della mano destra) r n r ds circuito C circuito C ds n r r Flusso di attraverso una qualunque superficie concatenata al circuito C ( numero linee di forza) n r n r r uperficie qualsiasi che ha per bordo C
Forza elettromotrice indotta: integrale del campo elettrico indotto su circuito chiuso qualunque, anche nel vuoto (circuitazione di E ) Campo elettrico indotto Circuito C (secondario) A l campo elettrico indotto (dalla variazione di ) non è conservativo! l lavoro del campo su circuito chiuso è diverso da zero! E dl C Esempio: spira aperta Flusso di variabile nel tempo olo il campo elettrostatico è conservativo (derivabile da un potenziale) ( ) f.e.m. di un generatore differenza di potenziale (lavoro del campo elettrostatico E s ) V A V A A E s dl E s (interno) Campo elettrostatico su circuito chiuso: C E s dl Campo conservativo circuitazione nulla!
egge di enz: (il segno negativo) Campo creato dalla corrente indotta l verso della f.e.m. indotta è tale da produrre una corrente che, a sua volta, crea un campo che si oppone alla variazione del flusso di concatenato col circuito Campo del magnete m Esempio: il magnete si muove verso la spira; il flusso di attraverso la superficie concatenata a C aumenta (entrano più linee di forza); si produce la corrente indotta, diretta come in figura, che crea un campo secondo il teorema di Ampere. Questo campo è diretto opposto al precedente e tende quindi a contrastare l aumento del flusso. e il magnete si allontana dalla spira C: la corrente indotta ha direzione opposta al caso precedente, quindi a legge di enz è connessa alla conservazione dell energia: se valesse il segno positivo, forza elettromotrice e campo magnetico si alimenterebbero a vicenda crescendo senza limiti, e creando energia dal nulla.
pira piana con campo magnetico uniforme Flusso concatenato f.e.m. indotta Φ n ds cosθ ds cosθ dφ d ( cosθ ) spira n r ds corrente indotta θ r Quindi in un circuito la forza elettromotrice può essere indotta: a) variando nel tempo il campo magnetico (t) b) variando la superficie del circuito (t) c) variando l angolo tra e la normale alla superficie del circuito θ(t) (rotazione spira) Analisi dimensionale (unità di misura): per il flusso del campo magnetico (campo superficie) si usa spesso il Weber: Weber T m [ ] [ f.e.m. ] V (volt) dφ flusso Weber T m Ns m J V tempo s s Cm s C a legge di Faraday non necessita di costante dimensionale (ma di costante numerica?. a dopo!)
Caso b): conduttori in movimento in campo magnetico e bilancio energetico a spira rettangolare (di resistenza ) si muove con velocità di modulo v dx/ costante uscendo dalla regione limitata di spazio in cui è presente il campo Flusso del campo, in diminuzione nel tempo: Φ x Modulo della f.e.m indotta: dφ v a corrente indotta è diretta come in figura (legge di enz) per contrastare la diminuzione di Φ, e vale v F ext F l campo agisce sui conduttori con forze date dalla legge di aplace F l F ; F x F x nelle direzioni specificate dal prodotto vettore (vedi figura) ; 3 F e F 3 si equilibrano; la forza F si oppone alla forza applicata esterna F ext ; se v costante è F F ext v Potenza della forza esterna (lavoro fatto da F ext nell unità di tempo): Pext Fext v v v Potenza dissipata nella resistenza: P uguale alla precedente! Trasformazione energia meccanica energia termica per mezzo di legge di Faraday (correnti di Foucault o correnti parassite riscaldamento per induzione etc.)
nduttanza (di una spira, di un circuito, di una bobina): rapporto tra il flusso di concatenato al circuito, e la corrente che genera. E una proprietà geometrica del circuito. (nduttanza: accumulo flusso di campo ) Φ Analogia con la definizione di capacità (anche essa proprietà geometrica): Q C V Capacità: accumulo cariche Unità di misura: Henry (H) H Weber A T m A nduttanza di un solenoide olenoide di lunghezza l, con N spire circolari di raggio r, percorse da corrente Flusso di concatenato al solenoide nduttanza del solenoide circolare: Φ ( Ω s) µ n n N π r µ π r µ r π l N N l N l r r l
(t) f.e.m. autoindotta Per la legge di Faraday - enz, se la corrente varia nel tempo, si genera un campo (t) all interno dell induttanza, Φ /, il quale a sua volta genera una f.e.m (t) che si oppone alla variazione di corrente: Circuito (t) Costante di tempo del circuito : τ / dφ d d t (t) (t) Chiudendo l interruttore al tempo iniziale t : equazione della maglia d ( t) ( t) (equazione differenziale per (t) analoga a quella per il circuito C) oluzione con condizione iniziale () : ( t) t / ( e ) t /τ ( e ) corrente stazionaria /
Energia immagazzinata in una induttanza Moltiplicando per l equazione della maglia, e utilizzando la conservazione dell energia: P d Energia totale immagazzinata nell induttanza (dalla chiusura del circuito ): proporzionale alla corrente stazionaria finale al quadrato! Potenza accumulata nell induttanza (per la creazione del campo ) E d Potenza sviluppata dal generatore Potenza dissipata nella resistenza t t d P d Energia magnetica accumulata nell induttanza, ovvero lavoro necessario per creare il campo magnetico nell induttanza (o induttore): E Densità di energia del campo magnetico n un solenoide (di volume Vol π r l) è praticamente confinato all interno, quindi la densità dell energia magnetica è: u E Vol Vol µ π r N l π r l µ n µ u µ n parallelo alle formule analoghe per l energia accumulata nel condensatore e la densità di energia del campo elettrico u E
nduttanze in serie e in parallelo ezione 9 serie parallelo induttanza equivalente eq d d eq d eq d eq ( ) d ( ) eq
Moto di una carica in campo magnetico: forza di orentz F l Tratto di conduttore percorso da corrente, e immerso in ; su di esso agisce la forza F F l l v d l Forza di orentz a corrente è costituita da N cariche q per unità di volume in moto con velocità di deriva v d (ez. 4) Forza sulla singola particella carica: r F r q v r È la forza esercitata dal campo magnetico su cariche elettriche in movimento (N.. se v, la forza è nulla!) avoro della forza di orentz, o lavoro del campo magnetico su particelle carica; poichè F è sempre perpendicolare a v : Q F ds F P Q P ( v ) l lavoro delle forze magnetiche è sempre nullo! energia cinetica delle particelle cariche si conserva. F F Fl /( N l) v N F q v d v ( modulo F q v senθ )
a forza magnetica agisce come forza centripeta (perpendicolare alla velocità) quindi la particella percorre traiettorie circolari o elicoidali. Esempio: se la velocità della particella forma un angolo φ con la direzione z del campo, la forza ha modulo F q v senφ qv cioè dipende solo dalla componente di v perpendicolare a, e giace sul piano x-y. Quindi agisce da forza centripeta costringendo la particella a un moto circolare sul piano x-y, che si compone col moto rettilineo uniforme in direzione z (infatti la componente su z della velocità rimane invariata). i ha così un moto a elica, che si avvolge intorno a. Esempio: le particelle cariche che viaggiano verso la Terra vengono catturate dal campo magnetico e orbitano a spirale intorno alle linee di forza di, entrando nell atmosfera nei pressi del polo Nord (aurore boreali) x F z y Passo dell elica F pettrometro di massa: misura della massa di uno ione o ione di carica q e massa m viene accelerato da un campo elettrostatico fino alla velocità v, entra nella regione dove vi è il campo magnetico (perpendicolare) e percorre la traiettoria circolare di raggio r fino a colpire la lastra fotografica alla distanza xr dall ingresso. i determina quindi la sua massa. v v F m ac m q v m m r r q r v
elazione tra forza di orentz e legge di Faraday ) Azione della forza (cariche in movimento) Una sbarretta conduttrice di lunghezza l scorre con velocità v su due guide fisse; sulle cariche libere presenti in essa agisce la forza di orentz F q v e le cariche positive tendono ad accumularsi ad una estremità. i genera quindi un campo elettrico E (tratteggiato in figura) in direzione opposta alla forza. i avrà equilibrio quando la forza di orentz sarà uguale alla forza elettrica qe, cioè q E q v E v Alle estremità della sbarretta si ha una differenza di potenziale V E l l e le guide sono conduttrici e vi è una resistenza, la sbarretta funge da generatore per il passaggio di corrente nel circuito. ) egge di Faraday (flusso magnetico in movimento) a sbarretta conduttrice taglia il flusso del campo magnetico (che quindi aumenta nella superficie spazzata), quindi si genera una f.e.m. indotta di modulo dφ d d x ( l x) l l v che induce nel circuito una corrente diretta in modo da contrastare l aumento del flusso del campo magnetico. o stesso risultato vale se la sbarretta è ferma e a muoversi è il campo magnetico (verso sinistra). v F - E e due descrizioni sono diverse ma portano allo stesso risultato! C è quindi una relazione profonda tra le due leggi (si va verso il principio di relatività di Einstein) x V ( )
Magnetismo e materia Dipolo magnetico da moto orbitale m dell elettrone in un atomo: e si muove in orbita circolare intorno al nucleo: momento angolare, e momento magnetico m (l elettrone si può considerare come una corrente di cariche negative! e per il teorema di Ampere ) Dipolo magnetico o momento magnetico: rappresentato dal vettore m, genera un campo magnetico come in figura. m e Campo da moto orbitale materiali magnetici devono le loro proprietà al moto (orbitale o intrinseco) degli elettroni; infatti vi sono due contributi al loro momento magnetico (e quindi al campo interno associato) elettrone (come le altre particelle elementari) possiede un momento magnetico intrinseco m, associato s al momento angolare intrinseco detto spin (si può pensare all elettrone in rotazione attorno al proprio asse). m s Campo da momento magnetico intrinseco
Materiali diamagnetici (semplificando) n un atomo, il numero di elettroni che orbitano in un senso eguaglia quello degli elettroni che orbitano in senso opposto; il momento magnetico totale è nullo. Quando si applica un campo esterno, il moto elettronico varia e il materiale tende a respingere sviluppando un dipolo magnetico opposto. Materiali paramagnetici ext Atomi (o molecole) hanno un momento magnetico risultante non nullo, orientato casualmente. n presenza di campo esterno si ha tendenza all allineamento dei dipoli Orientamento casuale, magnetici, con un momento magnetico totale magnetizzazione nulla macroscopico. l materiale è detto magnetizzato (analogia con la polarizzazione elettrica) m Allineamento, magnetizzazione non nulla m Materiali ferromagnetici Allineamento spontaneo di dipoli magnetici atomici su grande scala (effetto quantistico); formazione di domini magnetici, generalmente cristalli microscopici. e i domini sono ben allineati (dipende dalla temperatura) si ha il ferromagnete o magnete permanente (calamita: ferro,nichel etc.) che possiede un campo magnetico proprio. Configurazione dei domini magnetici in Nickel n questo caso, in media, m