8(+#.%09:;<%:% 8(+#.%0901.)#'2',(3'").%1'%%?"1.55'%1')(?','% % :;=%65>"+'#?'%@(#,A%1'%'1.)#'2',(3'").%BC8%

8(+#.%09:;<%;% Gli algoritmi di identificazione MEP si dividono in due grandi categorie: Algoritmi batch: si tratta di algoritmi in cui i dati osservati vengono elaborati tutti insieme e la determinazione del modello viene quindi effettuata una volta acquisiti tutti i dati Algoritmi ricorsivi: si tratta di algoritmi in cui i dati osservati vengono elaborati una alla volta magari contestualmente alla fase di acquisizione nel loro ordine temporale

Algoritmo di identificazione dei minimi quadrati batch 8(+#.%09:;<%D% Ricordiamo che il primo passo e` quello di stabilire la famiglia di modelli da utilizzare alla quale poi corrisponde una famiglia di predittori Consideriamo modelli di tipo ARX: per semplicita` d ora in avanti non indichiamo piu`

8(+#.%09:;<%E% Applichiamo la teoria della stima ai minimi quadrati. Quindi: E` fondamentale osservare come il predittore abbia una struttura lineare rispetto al vettore dei parametri incogniti

8(+#.%09:;<%F% L errore di predizione e`: dove e` la variabile misurata in uscita dal sistema che viene identificato e che viene predetta all istante dal predittore Si considera la funzione di costo quadratica:

8(+#.%09:;<%G% Obiettivo del problema delle regressione lineare sara` quindi quello di minimizzare l errore determinando un vettore per cui questo minimo venga raggiunto Si definisce la funzione di costo quadratica Stimatore ai minimi quadrati

8(+#.%09:;<%H% Indicando con la componente i-esima del vettore ed osservando che

Imponendo 8(+#.%09:;<%I% convertendo l uguaglianza tra vettori riga in un uguaglianza tra vettori colonna si puo` mettere in evidenza il vettore : Equazioni normali dei minimi quadrati (q eqz. in q incognite) Se e` non singolare Formula dei minimi quadrati

Verifichiamo che sia un minimo valutando la definitezza della matrice simmetrica 8(+#.%09:;<%J% si ha e`una matrice simmetrica e semidefinita positiva e` un minimo locale di

8(+#.%09:;<%:K% Considerando quindi la forma quadratica si hanno i due casi possibili:

8(+#.%09:;<%::% Quindi: Se unico minimo globale Se e` uno degli infiniti minimi globali La condizione e` detta condizione di identificabilita`

L algoritmo dei MQ e` riferito ai modelli ARX per comodita`. Pero` cio` che conta e` la linearita` nei parametri. Esempio 8(+#.%09:;<%:;% Si supponga che il sistema da identificare sia descritto da un modello XAR: in cui solo il parametro e` incognito. E questo modello ha la struttura di un ARX(1,2):

8(+#.%09:;<%:D% Tuttavia identificare il modello di partenza in questo modo e` poco efficiente in quanto: non si usa l informazione per cui. Inoltre i parametri dipendono in realta` da uno solo ed anche questa informazione non viene utilizzata. Infine stimare tre parametri per ottenerne uno non e` efficiente. Riscriviamo il modello cosi`: Ponendo (sono ambedue quantita` note): con ed ora si procede nel modo consueto

8(+#.%09:;<%:E% Esempio Si supponga che il sistema da identificare sia descritto da un modello non lineare: in realta`, ponendo si ottiene la struttura lineare ed ora si procede nel modo consueto

Analisi asintotica dell algoritmo MQ batch 8(+#.%09:;<%:F% Abbiamo visto che in generale per i metodi MEP sotto opportune ipotesi la stima converge asintoticamente all insieme dei minimi della funzione La funzione del sistema vero si puo` valutare solo conoscendo il modello Supponiamo che significa supporre che esista che: il che, nel nostro caso, (parametrizzazione vera) tale Se e` stabile (zeri di con ) allora la stazionarieta` di e di implica la stazionarieta` di

L errore di predizione e`: 8(+#.%09:;<%:G% Ma trasposto da cui: e` uno scalare per cui coincide con il suo Se Se L algoritmo MQ converge q.c. alla parametrizzazione vera Non si e`in condizioni di identificabilita`

8(+#.%09:;<%:H% Valutiamo ora la varianza asintotica della stima: non dipende da per grande, la varianza della stima e` Passando alle media empiriche: Attenzione: la vale solo nell ipotesi

Procedura operativa di identificazione dei MQ batch 8(+#.%09:;<%:I% Si fissa l ordine del modello ARX da identificare A partire dai dati e si costruisce il vettore Si opera un test di singolarita` sulla matrice Se si calcola Si valuta l incertezza della stima e` una valutazione campionaria di dove Si valuta la bianchezza dell errore di predizione che e`fondamentale per verificare l adeguatezza del modello scelto (complessita` e struttura). il

Persistente eccitazione 8(+#.%09:;<%:J% Analizziamo la matrice e per fissare le idee focalizziamo l analisi al caso ARX(1,1): Si noti come gli elementi della matrice siano divergenti per

8(+#.%09:;<%;K% Notiamo che e quindi puo` essere invertibile solo se (un solo parametro da stimare). Fissata la complessita` del modello, la numerosita` dei dati deve comunque essere sufficientemente elevata E` conveniente quindi definire

Nel caso ARX(1,1) in esame: 8(+#.%09:;<%;:% dove Nel caso generale : dove e cosi` via

8(+#.%09:;<%;;% La definitezza positiva di e` quindi la condizione da soddisfare per avere stima unica almeno per un numero di dati sufficientemente elevato Consideriamo il test di Sylvester: una matrice quadrata simmetrica e` definita positiva se e solo se tutti i minori principali sono positivi, ovvero se e solo se

Quindi ovvero e` condizione necessaria affinche` sia invertibile 8(+#.%09:;<%;D% In generale, per un generico, si ha: che e` una matrice di Toeplitz (gli elementi sulle diagonali coincidono) e dipende solo da cioe` dalle condizioni sperimentali. Definizione. Il segnale d ingresso di ordine se e` non singolare. e` persistentemente eccitante Condizione necessaria per poter identificare un modello e` che il segnale sia persistentemente eccitante di ordine Nota. Dal test di Sylvester e` evidente che se allora e` p.e. di ordine e` p.e. di ordine

8(+#.%09:;<%;E% Problema della identificabilita` coi MQ nel caso di modelli ARX Analizzare l identificabilita` di un certo sistema tramite una data famiglia di modelli significa analizzare la cardinalita` dell insieme In generale: Condizioni sperimentali Struttura famiglia di modelli cardinalita` Nel nostro caso vogliamo analizzare l identificabilita` di un certo sistema tramite una data famiglia di modelli

Condizioni sperimentali 8(+#.%09:;<%;F% Anche se non e` detto che (cioe` che contenga un solo elemento). Esempio banale e supponiamo che nelle condizioni sperimentali in cui si opera l identificazione si abbia Evidentemente qualunque scelta di e` ammissibile per cui e` costituito da un infinita` di elementi.

Quindi: 8(+#.%09:;<%;G% Se le condizioni sperimentali possono essere progettate bisogna far si` che sia sufficientemente ricco in modo da garantire che contenga un solo elemento). Se per contro non e` possibile progettare le condizioni sperimentali bisogna ridurre la complessita` dei modelli (ovvero il numero di parametri) limitandosi di conseguenza ad identificare solo cio` che e` effettivamente identificabile Nel nostro caso, sufficientemente ricco significa p.e. di ordine Osserviamo che e` p.e. di ordine arbitrario in quanto in questo caso e` una matrice diagonale. Non e` detto peraltro che si tratti necessariamente della scelta migliore. L importante e` costruire segnali con un spettro adatto a sollecitare tutti i modi del sistema.

Struttura della famiglia di modelli 8(+#.%09:;<%;H% Supponiamo che ma che la famiglia scelta abbia una complessita` maggiore di quella del sistema Esempio Evidentemente, comunque si costruiscano le condizioni sperimentali, sara` necessariamente costituito da un numero infinito di elementi in quanto puo` essere descritto da un infinita` di modelli appartenenti alla famiglia in cui vi siano fattori in comune. La famiglia non deve essere sovraparametrizzata Nel nostro caso strutturale significa avere non avere identificabilita` singolare nonostante

8(+#.%09:;<%;I% Riassumendo e` fattori comuni tra p.e. di ordine senza e La stima converge alla parametrizzazione vera Se p.e. di ordine e la stima non converge anche per alti valori di probabilmente la complessita` del modello va ridotta. Se la stima converge ma l errore di predizione non e` bianco significa che la famiglia di modelli e` inadeguata per cui o si aumenta l ordine dei modelli o se ne cambia la tipologia.

Esempio notevole 8(+#.%09:;<%;J% Si supponga che il sistema da identificare sia descritto da un ARMAX(1,1,1): in cui i processi e sono supposti scorrelati. Scegliamo la famiglia di modelli ARX(1,1): ed usiamo l algoritmo MQ per identificare il sistema con un modello ARX. La teoria asintotica assicura la convergenza ad uno dei punti di minimo della funzione

8(+#.%09:;<%DK% Ma dipende da e quindi, viste le ipotesi, si ha e quindi Poi

Ora, utilizzando l informazione sul sistema vero si ottiene: 8(+#.%09:;<%D:%

Pertanto: 8(+#.%09:;<%D;% e quindi l errore di stima del parametro vero, a parita` di, e` inversamente proporzionale al rapporto segnale rumore. Inoltre il valore vero puo` ottenersi solo per o per, e quindi solo nel caso in cui il modello ARMAX e` in realta` ARX. Vediamo l errore di predizione: che non e` bianco, a meno che non sia